Bac Maths 2025 — Metropole Septembre Jour 1

9 septembre 2025 — 4 exercices — 20 points

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Les deux parties de cet exercice peuvent etre traitees de maniere independante.

Apres un repas, la glycemie (taux de sucre dans le sang, en g.L^-1) d'une personne est modelisee par une fonction $f$ definie sur l'intervalle $[0; 6]$ .

Le temps $t$ est exprime en heures apres le repas. On a $f (0) = 1$ .

Partie A — Resolution de l'equation differentielle

On considere l'equation differentielle :

(E) : y^{'} + 0, 4 y = e^{- 0, 4 t}

1. Verifier que la fonction $u$ definie sur $[0; 6]$ par $u (t) = t e^{- 0, 4 t}$ est une solution de $(E)$ .

a. On note $(H) : y^{'} + 0, 4 y = 0$ l'equation differentielle homogene associee a $(E)$ . Demontrer que si $g$ est solution de $(H)$ , alors $f = g + u$ est solution de $(E)$ .

b. Resoudre l'equation differentielle $(H) : y^{'} + 0, 4 y = 0$ .

c. En deduire les solutions de $(E)$ .

d. Determiner la solution $f$ de $(E)$ telle que $f (0) = 1$ .

Partie B — Application a la glycemie

On admet que la glycemie est modelisee par $f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t}$ sur $[0; 6]$ .

a. Montrer que $f^{'} (t) = (- 0, 4 t + 0, 6) e^{- 0, 4 t}$ .

b. Etudier les variations de $f$ sur $[0; 6]$ et dresser le tableau de variations.

a. On dit que la personne est en hypoglycemie lorsque sa glycemie est inferieure a $0, 7$ g.L^-1. Demontrer que l'equation $f (t) = 0, 7$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 6]$ .

b. Donner un encadrement de $α$ a $1 0^{- 1}$ pres et indiquer au bout de combien de temps cette personne est en hypoglycemie.

a. Par une integration par parties, montrer que $\int_{0}^{6} f (t) d t = - 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75$ .

b. En deduire la glycemie moyenne de cette personne sur les six heures suivant le repas.

Exercice 2 — (5 points)

On considere le cube $A B C D E F G H$ d'arete 1 et le point $M$ tel que $B M = A B$ .

On se place dans le repere orthonorme $(A; A B, A D, A E)$ .

Partie A

1. Montrer que les droites $(F G)$ et $(F M)$ sont perpendiculaires.

2. Montrer que les points $A$ , $M$ , $G$ et $H$ sont coplanaires.

Partie B

1. Donner les coordonnees de $GM$ et de $A H$ , et montrer que ces vecteurs ne sont pas colineaires.

a. Donner une representation parametrique de la droite $(GM)$ .

b. Montrer que le point d'intersection $N$ de $(GM)$ et $(A H)$ a pour coordonnees $(0; 2; 2)$ .

a. Montrer que le triangle $A M N$ est rectangle en $A$ .

b. Calculer l'aire du triangle $A M N$ .

a. Determiner les coordonnees du point $J$ , centre de la face $B C GF$ .

b. Montrer que $F J$ est un vecteur normal au plan $(A M N)$ .

c. Montrer que $J$ appartient au plan $(A M N)$ et en deduire que $J$ est le projete orthogonal de $F$ sur le plan $(A M N)$ .

5. Montrer que le volume du tetraedre $A M N F$ est le double de celui de la pyramide $B C GF M$ .

Exercice 3 — (6 points)

Les parties A, B et C peuvent etre traitees de maniere independante.

Partie A — Etude de la suite $(u_{n})$

On considere la fonction $f$ definie sur $[2; + \infty [$ par $f (x) = 3 x - 2$ et la suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

1. Justifier le tableau de variations de $f$ sur $[2; + \infty [$ .

a. Demontrer par recurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

b. En deduire que la suite $(u_{n})$ converge.

3. Determiner la limite $ℓ$ de la suite $(u_{n})$ .

4. On considere la fonction Python suivante :

def rang(a):
    u = 6
    n = 0
    while u >= a:
        u = (3*u - 2)**0.5
        n = n + 1
    return n

a. Expliquer pourquoi l'instruction $rang(2.000001)$ renvoie une valeur.

b. Pour quelles valeurs de $a$ l'instruction $rang(a)$ renvoie-t-elle un resultat ?

Partie B — Etude de la suite $(v_{n})$

La suite $(v_{n})$ est definie par $v_{0} = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 3 - \frac{2}{v _{n}}$ .

1. Calculer $v_{1}$ .

2. On pose, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n} = \frac{v _{n} - 1}{v _{n} - 2}$ .

a. Demontrer que $(w_{n})$ est une suite geometrique dont on precisera le premier terme et la raison.

b. En deduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

c. En deduire la limite de la suite $(v_{n})$ .

3. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} < 2, 01$ .

Partie C

Determiner le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n ⩾ N$ , $u_{n}$ et $v_{n}$ appartiennent a l'intervalle $] 1, 99; 2, 01 [$ .

Exercice 4 — (4 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la reponse. Toute reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Un musee propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent etre achetes en ligne ou au guichet. On sait que :

$70 %$ des visiteurs achetent leur billet en ligne ;
parmi les visiteurs ayant achete en ligne, $80 %$ optent pour l'audioguide ;
au total, $32 %$ des visiteurs ne prennent pas l'audioguide.

On note $L$ l'evenement « le visiteur a achete en ligne » et $A$ l'evenement « le visiteur choisit l'audioguide ».

Affirmation 1. Un code de validation est constitue de 4 chiffres deux a deux distincts, le premier chiffre etant different de 0. Le nombre de codes differents est $5040$ .

Affirmation 2. La probabilite qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a achete son billet au guichet est superieure a $\frac{2}{3}$ .

Affirmation 3. On choisit au hasard 12 visiteurs. La probabilite qu'exactement la moitie opte pour l'audioguide est egale a $924 \times 0, 217 6^{6}$ .

Affirmation 4. Le temps de parcours peut etre modelise par une variable aleatoire $X$ dont la loi est donnee par :

x_{i} P (X = x_{i}) 50 min 0, 1 80 min 0, 6 100 min 0, 3

L'esperance de $X$ est 77 minutes.

Exercice 1 — Equation differentielle et glycemie (5 points)

Rappels utiles : Equations differentielles du premier ordre

y^{'} + a y = f (t)

, solution particuliere, theoreme des valeurs intermediaires, integration par parties.

Partie A — Resolution de l'equation differentielle

On considere l'equation differentielle $(E) : y^{'} + 0, 4 y = e^{- 0, 4 t}$ .

1. Verifier que $u (t) = t e^{- 0, 4 t}$ est solution de $(E)$

Calculons $u^{'} (t)$ :

u^{'} (t) = 1 \times e^{- 0, 4 t} + t \times (- 0, 4) e^{- 0, 4 t} = (1 - 0, 4 t) e^{- 0, 4 t}

Verifions que $u^{'} (t) + 0, 4 u (t) = e^{- 0, 4 t}$ :

u^{'} (t) + 0, 4 u (t) = (1 - 0, 4 t) e^{- 0, 4 t} + 0, 4 \times t e^{- 0, 4 t}

= (1 - 0, 4 t + 0, 4 t) e^{- 0, 4 t} = e^{- 0, 4 t} ✓

u^{'} (t) + 0, 4 u (t) = e^{- 0, 4 t} : u est bien solution de (E)

2.a. Demontrer que si $g$ est solution de $(H)$ alors $f = g + u$ est solution de $(E)$

On pose $f (t) = g (t) + u (t)$ .

Supposons que $g$ est solution de $(H) : y^{'} + 0, 4 y = 0$ , c'est-a-dire $g^{'} (t) + 0, 4 g (t) = 0$ .

Calculons $f^{'} (t) + 0, 4 f (t)$ :

f^{'} (t) + 0, 4 f (t) = g^{'} (t) + u^{'} (t) + 0, 4 g (t) + 0, 4 u (t)

= (g^{'} (t) + 0, 4 g (t)) + (u^{'} (t) + 0, 4 u (t))

= 0 + e^{- 0, 4 t} = e^{- 0, 4 t}

Donc $f$ est bien solution de $(E)$ .

f^{'} (t) + 0, 4 f (t) = e^{- 0, 4 t} ✓

2.b. Resoudre l'equation differentielle $(H) : y^{'} + 0, 4 y = 0$

Methode : Les solutions de

y^{'} + a y = 0

sont les fonctions

y (t) = C e^{- a t}

avec

C \in R

Ici $a = 0, 4$ , donc les solutions de $(H)$ sont :

g (t) = C e^{- 0, 4 t}, C \in R

2.c. En deduire les solutions de $(E)$

D'apres la question 2.a. (et sa reciproque admise), $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f - u$ est solution de $(H)$ .

Les solutions de $(E)$ sont donc :

f (t) = u (t) + C e^{- 0, 4 t} = t e^{- 0, 4 t} + C e^{- 0, 4 t} = (t + C) e^{- 0, 4 t}

f (t) = (t + C) e^{- 0, 4 t}, C \in R

2.d. Determiner la solution $f$ de $(E)$ telle que $f (0) = 1$

La condition initiale donne :

f (0) = (0 + C) e^{0} = C = 1

f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t}

Partie B — Application a la glycemie

La glycemie (en g.L^-1) est modelisee par $f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t}$ sur $[0; 6]$ .

1.a. Montrer que $f^{'} (t) = (- 0, 4 t + 0, 6) e^{- 0, 4 t}$

On derive $f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t}$ avec la formule du produit :

f^{'} (t) = 1 \times e^{- 0, 4 t} + (t + 1) \times (- 0, 4) e^{- 0, 4 t}

f^{'} (t) = e^{- 0, 4 t} [1 - 0, 4 (t + 1)]

f^{'} (t) = e^{- 0, 4 t} (1 - 0, 4 t - 0, 4)

f^{'} (t) = (- 0, 4 t + 0, 6) e^{- 0, 4 t}

1.b. Variations de $f$ sur $[0; 6]$

Puisque $e^{- 0, 4 t} > 0$ pour tout $t$ , le signe de $f^{'} (t)$ est celui de $- 0, 4 t + 0, 6$ .

- 0, 4 t + 0, 6 = 0 ⟺ t = \frac{0 , 6}{0 , 4} = 1, 5

Pour $t \in [0; 1, 5 [$ : $- 0, 4 t + 0, 6 > 0$ , donc $f^{'} (t) > 0$ et $f$ est croissante.
Pour $t \in] 1, 5; 6]$ : $- 0, 4 t + 0, 6 < 0$ , donc $f^{'} (t) < 0$ et $f$ est decroissante.

Valeurs aux bornes et au maximum :

f (0) = 1 \times e^{0} = 1

f (1, 5) = 2, 5 \times e^{- 0, 6} \approx 2, 5 \times 0, 5488 \approx 1, 372

f (6) = 7 \times e^{- 2, 4} \approx 7 \times 0, 0907 \approx 0, 635

Tableau de variations :

t f^{'} (t) f (t) 01 + ↗ 1, 5 0 1, 372 - ↘ 6 0, 635

f est croissante sur [0; 1, 5] et decroissante sur [1, 5; 6]

2.a. Demontrer que $f (t) = 0, 7$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 6]$

Methode : On utilise le theoreme des valeurs intermediaires sur un intervalle ou

f

est strictement monotone.

Sur l'intervalle $[1, 5; 6]$ , la fonction $f$ est continue et strictement decroissante.

De plus :

$f (1, 5) \approx 1, 372 > 0, 7$
$f (6) \approx 0, 635 < 0, 7$

D'apres le theoreme des valeurs intermediaires, l'equation $f (t) = 0, 7$ admet une unique solution $α$ dans $[1, 5; 6]$ .

Sur $[0; 1, 5]$ , $f$ est croissante avec $f (0) = 1 > 0, 7$ , donc $f (t) ⩾ 1 > 0, 7$ pour tout $t \in [0; 1, 5]$ : pas de solution sur cet intervalle.

f (t) = 0, 7 admet une unique solution α \in [1, 5; 6]

2.b. Encadrement de $α$ et temps d'hypoglycemie

On cherche $α$ tel que $(α + 1) e^{- 0, 4 α} = 0, 7$ . Par balayage a la calculatrice :

f (5) = 6 e^{- 2} \approx 0, 812

f (5, 5) = 6, 5 e^{- 2, 2} \approx 0, 720

f (5, 6) = 6, 6 e^{- 2, 24} \approx 0, 703

f (5, 7) = 6, 7 e^{- 2, 28} \approx 0, 685

On a $f (5, 6) \approx 0, 703 > 0, 7$ et $f (5, 7) \approx 0, 685 < 0, 7$ , donc :

5, 6 ⩽ α ⩽ 5, 7, soit environ 5 h 39 min apres le repas

Attention : La personne est en hypoglycemie lorsque

f (t) < 0, 7

, c'est-a-dire pour

t > α

3.a. Par integration par parties, montrer que $\int_{0}^{6} f (t) d t = - 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75$

Methode : On pose

\int_{0}^{6} (t + 1) e^{- 0, 4 t} d t

et on effectue une integration par parties.

On pose :

$u (t) = t + 1$ donc $u^{'} (t) = 1$
$v^{'} (t) = e^{- 0, 4 t}$ donc $v (t) = \frac{1}{- 0 , 4} e^{- 0, 4 t} = - 2, 5 e^{- 0, 4 t}$

Par integration par parties :

\int_{0}^{6} (t + 1) e^{- 0, 4 t} d t = [- (t + 1) \times 2, 5 e^{- 0, 4 t}]_{0}^{6} - \int_{0}^{6} 1 \times (- 2, 5 e^{- 0, 4 t}) d t

= [- 2, 5 (t + 1) e^{- 0, 4 t}]_{0}^{6} + 2, 5 \int_{0}^{6} e^{- 0, 4 t} d t

Calculons chaque terme :

[- 2, 5 (t + 1) e^{- 0, 4 t}]_{0}^{6} = - 2, 5 \times 7 \times e^{- 2, 4} - (- 2, 5 \times 1 \times e^{0}) = - 17, 5 e^{- 2, 4} + 2, 5

2, 5 \int_{0}^{6} e^{- 0, 4 t} d t = 2, 5 [- 2, 5 e^{- 0, 4 t}]_{0}^{6} = 2, 5 (- 2, 5 e^{- 2, 4} + 2, 5) = - 6, 25 e^{- 2, 4} + 6, 25

En additionnant :

\int_{0}^{6} f (t) d t = - 17, 5 e^{- 2, 4} + 2, 5 - 6, 25 e^{- 2, 4} + 6, 25

= - (17, 5 + 6, 25) e^{- 2, 4} + (2, 5 + 6, 25)

\int_{0}^{6} f (t) d t = - 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75

3.b. Glycemie moyenne sur les six heures

La glycemie moyenne est :

μ = \frac{1}{6 - 0} \int_{0}^{6} f (t) d t = \frac{1}{6} (- 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75)

Or $e^{- 2, 4} \approx 0, 0907$ :

μ \approx \frac{1}{6} (- 23, 75 \times 0, 0907 + 8, 75) = \frac{1}{6} (- 2, 154 + 8, 75) = \frac{6 , 596}{6} \approx 1, 099

μ = \frac{- 23 , 75 e ^{- 2, 4} + 8 , 75}{6} \approx 1, 10 g.L^{- 1}

Reviser les equations differentielles →
Reviser le calcul integral →

Exercice 2 — Geometrie dans l'espace (5 points)

Rappels utiles : Produit scalaire dans l'espace, vecteur normal, coplanarite, projete orthogonal, volume de tetraedre.

On considere le cube $A B C D E F G H$ et le point $M$ tel que $B M = A B$ .

On se place dans le repere orthonorme $(A; A B, A D, A E)$ . Les coordonnees des sommets sont :

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0)

E (0; 0; 1), F (1; 0; 1), G (1; 1; 1), H (0; 1; 1)

Puisque $B M = A B = (1; 0; 0)$ , on a $M = B + (1; 0; 0) = (2; 0; 0)$ .

Partie A

1. Montrer que les droites $(F G)$ et $(F M)$ sont perpendiculaires

Calculons les vecteurs directeurs :

F G = G - F = (1 - 1; 1 - 0; 1 - 1) = (0; 1; 0)

F M = M - F = (2 - 1; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; - 1)

Calculons le produit scalaire :

F G \cdot F M = 0 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times (- 1) = 0

Le produit scalaire est nul, donc les droites $(F G)$ et $(F M)$ sont perpendiculaires.

F G \cdot F M = 0 : les droites sont perpendiculaires

2. Montrer que les points $A$ , $M$ , $G$ et $H$ sont coplanaires

Methode : Quatre points sont coplanaires si et seulement si le determinant de trois vecteurs formes a partir de ces points est nul.

Calculons les vecteurs :

A M = (2; 0; 0)

A G = (1; 1; 1)

A H = (0; 1; 1)

Calculons le determinant :

det (A M, A G, A H) = 200111011

= 2 (1 \times 1 - 1 \times 1) - 1 (0 \times 1 - 0 \times 1) + 0 = 2 \times 0 - 0 + 0 = 0

Le determinant est nul, donc les points $A$ , $M$ , $G$ et $H$ sont coplanaires.

det (A M, A G, A H) = 0 : les quatre points sont coplanaires

Partie B

1. Coordonnees de $GM$ et $A H$ , non-colinearite

GM = M - G = (2 - 1; 0 - 1; 0 - 1) = (1; - 1; - 1)

A H = H - A = (0; 1; 1)

Si ces vecteurs etaient colineaires, il existerait $k \in R$ tel que $(1; - 1; - 1) = k (0; 1; 1)$ .

Or la premiere coordonnee donne $1 = 0 \times k = 0$ , ce qui est impossible.

GM et A H ne sont pas colineaires

2.a. Representation parametrique de la droite $(GM)$

La droite $(GM)$ passe par $G (1; 1; 1)$ et a pour vecteur directeur $GM (1; - 1; - 1)$ :

(GM) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 1 - t z = 1 - t, t \in R

2.b. Montrer que le point d'intersection $N$ de $(GM)$ et $(A H)$ a pour coordonnees $(0; 2; 2)$

La droite $(A H)$ a pour representation parametrique :

(A H) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = k z = k, k \in R

On cherche $t$ et $k$ tels que les coordonnees coincident :

⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 0 1 - t = k 1 - t = k

De la premiere equation : $t = - 1$ .

On en deduit : $k = 1 - (- 1) = 2$ .

Verification avec la troisieme equation : $1 - (- 1) = 2 = k ✓$

N (0; 2; 2)

3.a. Montrer que le triangle $A M N$ est rectangle en $A$

Calculons les vecteurs $A M$ et $A N$ :

A M = (2; 0; 0)

A N = (0; 2; 2)

Produit scalaire :

A M \cdot A N = 2 \times 0 + 0 \times 2 + 0 \times 2 = 0

Le produit scalaire est nul, donc $A M ⊥ A N$ : le triangle $A M N$ est rectangle en $A$ .

A M \cdot A N = 0 : triangle A M N rectangle en A

3.b. Calculer l'aire du triangle $A M N$

Le triangle est rectangle en $A$ , donc son aire est :

A = \frac{1}{2} \times A M \times A N

Calculons les longueurs :

A M = 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 2

A N = 0^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 8 = 22

A = \frac{1}{2} \times 2 \times 22 = 22

A_{A M N} = 22

4.a. Coordonnees du point $J$ , centre de la face $B C GF$

Le centre de la face $B C GF$ est le milieu des diagonales :

J = \frac{1}{4} (B + C + G + F) = \frac{1}{4} ((1; 0; 0) + (1; 1; 0) + (1; 1; 1) + (1; 0; 1))

J = \frac{1}{4} (4; 2; 2) = (1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

J (1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

4.b. Montrer que $F J$ est un vecteur normal au plan $(A M N)$

Calculons $F J$ :

F J = J - F = (1 - 1; \frac{1}{2} - 0; \frac{1}{2} - 1) = (0; \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})

Verifions que $F J$ est orthogonal a $A M$ et $A N$ :

F J \cdot A M = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 0 + (- \frac{1}{2}) \times 0 = 0 ✓

F J \cdot A N = 0 \times 0 + \frac{1}{2} \times 2 + (- \frac{1}{2}) \times 2 = 1 - 1 = 0 ✓

Le vecteur $F J$ est orthogonal a deux vecteurs non colineaires du plan $(A M N)$ , donc il est normal au plan $(A M N)$ .

F J est normal au plan (A M N)

4.c. Montrer que $J$ appartient au plan $(A M N)$ et en deduire qu'il est le projete orthogonal de $F$

Le plan $(A M N)$ passe par $A (0; 0; 0)$ et a pour vecteur normal $F J (0; \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$ , soit $n (0; 1; - 1)$ .

L'equation du plan est : $0 x + 1 y - 1 z = 0$ , soit $y - z = 0$ .

Verifions que $J$ appartient au plan :

y_{J} - z_{J} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 ✓

Donc $J \in (A M N)$ . Puisque $F J$ est normal au plan $(A M N)$ et que $J$ appartient a ce plan, $J$ est le projete orthogonal de $F$ sur le plan $(A M N)$ .

J est le projete orthogonal de F sur le plan (A M N)

5. Montrer que le volume du tetraedre $A M N F$ est le double de celui de la pyramide $B C GF M$

Volume du tetraedre $A M N F$ :

On prend le triangle $A M N$ comme base (aire $A = 22$ ) et $F J$ comme hauteur, puisque $J$ est le projete orthogonal de $F$ sur le plan $(A M N)$ .

F J = 0^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

V_{A M N F} = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{2}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{2 \times 2}{2} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}

Volume de la pyramide $B C GF M$ :

La base est la face carree $B C GF$ (d'aire $1$ , car c'est une face du cube de cote 1). Le sommet est $M (2; 0; 0)$ .

La face $B C GF$ est dans le plan $x = 1$ . La hauteur est la distance de $M$ a ce plan :

h = ∣ x_{M} - 1∣ = ∣2 - 1∣ = 1

V_{B C GF M} = \frac{1}{3} \times 1 \times 1 = \frac{1}{3}

Comparaison :

V_{A M N F} = \frac{2}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = 2 \times V_{B C GF M}

V_{A M N F} = \frac{2}{3} = 2 \times V_{B C GF M}

Reviser les droites et plans de l'espace →
Reviser l'orthogonalite et les distances →

Exercice 3 — Suites et convergence (6 points)

Rappels utiles : Suites monotones bornees, theoreme de convergence monotone, suites geometriques, algorithme Python.

Partie A — Etude de la suite $(u_{n})$

On considere $f (x) = 3 x - 2$ definie sur $[2; + \infty [$ et la suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 6$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

1. Justifier le tableau de variations de $f$

La fonction $f$ est definie sur $[2; + \infty [$ car $3 x - 2 ⩾ 4 > 0$ pour $x ⩾ 2$ .

Derivons :

f^{'} (x) = \frac{3}{2 3 x - 2}

Pour tout $x ⩾ 2$ , $f^{'} (x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $[2; + \infty [$ .

Valeurs : $f (2) = 4 = 2$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

f^{'} (x) > 0 sur [2; + \infty [: f est strictement croissante, f (2) = 2

2.a. Demontrer par recurrence que $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$

Initialisation (n = 0) : $u_{0} = 6$ et $u_{1} = 3 \times 6 - 2 = 16 = 4$ .

On a $2 ⩽ 4 ⩽ 6$ et $u_{1} = 4 ⩽ 6 = u_{0}$ . La propriete est vraie au rang 0.

Heredite : Supposons que $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ pour un entier $n ⩾ 0$ .

Montrons que $u_{n + 2} ⩾ 2$ :

On a $u_{n + 1} ⩾ 2$ , donc $3 u_{n + 1} - 2 ⩾ 4$ , d'ou $u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 ⩾ 4 = 2$ .

Montrons que $u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1}$ :

u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⟺ 3 u_{n + 1} - 2 ⩽ u_{n + 1} ⟺ 3 u_{n + 1} - 2 ⩽ u_{n + 1}^{2}

(les deux membres etant positifs puisque $u_{n + 1} ⩾ 2$ )

⟺ u_{n + 1}^{2} - 3 u_{n + 1} + 2 ⩾ 0 ⟺ (u_{n + 1} - 1) (u_{n + 1} - 2) ⩾ 0

Comme $u_{n + 1} ⩾ 2$ , on a $u_{n + 1} - 1 ⩾ 1 > 0$ et $u_{n + 1} - 2 ⩾ 0$ , donc le produit est positif. $✓$

De plus $u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 6$ .

Conclusion : Par recurrence, pour tout $n \in N$ , $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

\forall n \in N, 2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6

2.b. En deduire que $(u_{n})$ converge

La suite $(u_{n})$ est decroissante (car $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ ) et minoree par 2.

D'apres le theoreme de convergence monotone, la suite $(u_{n})$ converge.

(u_{n}) est decroissante et minoree : elle converge

3. Determiner la limite $ℓ$

La limite $ℓ$ verifie $f (ℓ) = ℓ$ , soit $3 ℓ - 2 = ℓ$ .

En elevant au carre (valide car $ℓ ⩾ 2 > 0$ ) :

3 ℓ - 2 = ℓ^{2} ⟺ ℓ^{2} - 3 ℓ + 2 = 0 ⟺ (ℓ - 1) (ℓ - 2) = 0

Donc $ℓ = 1$ ou $ℓ = 2$ . Comme $u_{n} ⩾ 2$ pour tout $n$ , on a $ℓ ⩾ 2$ , donc :

ℓ = 2

4.a. Pourquoi $rang(2.000001)$ renvoie-t-il une valeur ?

La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ = 2$ et $u_{n} > 2$ pour tout $n$ (car $u_{n} ⩾ 2$ avec decroissance stricte depuis $u_{0} = 6$ ).

Puisque $lim u_{n} = 2$ , il existe un rang $N$ tel que $u_{N} < 2, 000001$ .

La condition $u >= a$ avec $a = 2, 000001$ finira donc par etre fausse, et la boucle $while$ se terminera.

(u_{n}) \to 2 donc u_{n} < 2, 000001 a partir d’un certain rang : la boucle se termine

4.b. Pour quelles valeurs de $a$ l'instruction $rang(a)$ renvoie-t-elle un resultat ?

La boucle $while u >= a$ se termine si et seulement si on atteint $u_{n} < a$ pour un certain $n$ .

Comme $u_{n} > 2$ pour tout $n$ et $lim u_{n} = 2$ , la condition $u_{n} < a$ sera verifiee si et seulement si $a > 2$ .

Si $a > 2$ : la boucle se termine car $u_{n} \to 2 < a$ .
Si $a ⩽ 2$ : la condition $u_{n} ⩾ a$ est toujours vraie (car $u_{n} > 2 ⩾ a$ ), donc boucle infinie.

rang(a) renvoie un resultat si et seulement si a > 2

Partie B — Etude de la suite $(v_{n})$

La suite $(v_{n})$ verifie $v_{0} = 6$ et $v_{n + 1} = 3 - \frac{2}{v _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1. Calculer $v_{1}$

v_{1} = 3 - \frac{2}{v _{0}} = 3 - \frac{2}{6} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}

v_{1} = \frac{8}{3}

2.a. Demontrer que $(w_{n})$ est geometrique, preciser premier terme et raison

On pose $w_{n} = \frac{v _{n} - 1}{v _{n} - 2}$ pour tout $n$ (on admet $v_{n} \neq = 2$ ).

Calculons $w_{n + 1}$ :

w_{n + 1} = \frac{v _{n + 1} - 1}{v _{n + 1} - 2} = \frac{3 - \frac{2}{v _{n}} - 1}{3 - \frac{2}{v _{n}} - 2} = \frac{2 - \frac{2}{v _{n}}}{1 - \frac{2}{v _{n}}}

Multiplions numerateur et denominateur par $v_{n}$ :

w_{n + 1} = \frac{2 v _{n} - 2}{v _{n} - 2} = \frac{2 ( v _{n} - 1 )}{v _{n} - 2} = 2 \times \frac{v _{n} - 1}{v _{n} - 2} = 2 w_{n}

Calculons $w_{0}$ :

w_{0} = \frac{v _{0} - 1}{v _{0} - 2} = \frac{6 - 1}{6 - 2} = \frac{5}{4}

(w_{n}) est geometrique de raison 2 et de premier terme w_{0} = \frac{5}{4}

2.b. En deduire l'expression de $v_{n}$

Puisque $(w_{n})$ est geometrique : $w_{n} = w_{0} \times 2^{n} = \frac{5}{4} \times 2^{n}$ .

Or $w_{n} - 1 = \frac{v _{n} - 1}{v _{n} - 2} - 1 = \frac{1}{v _{n} - 2}$ , donc :

\frac{1}{v _{n} - 2} = \frac{5}{4} \times 2^{n} - 1 = \frac{5 \times 2 ^{n} - 4}{4}

v_{n} - 2 = \frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4}

v_{n} = 2 + \frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4}

2.c. Calculer la limite de $(v_{n})$

Quand $n \to + \infty$ , $5 \times 2^{n} - 4 \to + \infty$ , donc $\frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4} \to 0$ .

n \to + \infty lim v_{n} = 2

3. Plus petit entier $n$ tel que $v_{n} < 2, 01$

On cherche le plus petit $n$ tel que :

v_{n} < 2, 01 ⟺ 2 + \frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4} < 2, 01

⟺ \frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4} < 0, 01

⟺ 5 \times 2^{n} - 4 > 400

⟺ 5 \times 2^{n} > 404 ⟺ 2^{n} > 80, 8

Or $2^{6} = 64 < 80, 8$ et $2^{7} = 128 > 80, 8$ .

n = 7 est le plus petit entier tel que v_{n} < 2, 01

Partie C — Determination de $N$

Determiner le plus petit $N$ tel que pour tout $n ⩾ N$ , $v_{n}$ et $u_{n}$ appartiennent a $] 1, 99; 2, 01 [$

Pour $(v_{n})$ :

On a $v_{n} > 2$ pour tout $n$ (car $\frac{4}{5 \times 2 ^{n} - 4} > 0$ pour $n ⩾ 1$ ), donc $v_{n} > 1, 99$ est automatiquement verifiee. D'apres la question B.3, $v_{n} < 2, 01$ pour $n ⩾ 7$ .

Pour $(u_{n})$ :

On a $u_{n} > 2$ pour tout $n$ (car la suite est decroissante minoree par 2, avec $u_{n} > 2$ strictement), donc $u_{n} > 1, 99$ est automatiquement verifiee.

Il reste a trouver le plus petit $n$ tel que $u_{n} < 2, 01$ . On calcule les termes successifs :

u_{0} = 6, u_{1} = 4, u_{2} \approx 3, 162, u_{3} \approx 2, 736

u_{4} \approx 2, 492, u_{5} \approx 2, 340, u_{6} \approx 2, 241

u_{7} \approx 2, 173, u_{8} \approx 2, 126, u_{9} \approx 2, 092

u_{10} \approx 2, 068, u_{11} \approx 2, 050, u_{12} \approx 2, 037

u_{13} \approx 2, 028, u_{14} \approx 2, 021, u_{15} \approx 2, 016

u_{16} \approx 2, 012, u_{17} \approx 2, 009 < 2, 01

On a $u_{16} \approx 2, 012 > 2, 01$ et $u_{17} \approx 2, 009 < 2, 01$ , donc $u_{n} < 2, 01$ pour $n ⩾ 17$ .

Conclusion : La condition la plus contraignante est celle sur $(u_{n})$ , qui necessite $n ⩾ 17$ .

N = 17

Reviser les suites →
Reviser les suites geometriques →

Exercice 4 — Vrai/Faux (4 points)

Rappel : Dans un exercice Vrai/Faux, chaque affirmation doit etre justifiee. Une reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Un musee propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent etre achetes en ligne ou au guichet.

Affirmation 1

Un code de validation est constitue de 4 chiffres deux a deux distincts, le premier chiffre etant different de 0. Le nombre de codes differents est 5 040.

FAUX.

Methode : On denombre les codes en choisissant les chiffres un par un, en tenant compte des contraintes.

Les 4 chiffres sont deux a deux distincts et le premier est different de 0.

1er chiffre : 9 choix possibles (de 1 a 9)
2e chiffre : 9 choix possibles (de 0 a 9 sauf le 1er chiffre)
3e chiffre : 8 choix possibles
4e chiffre : 7 choix possibles

Nombre de codes = 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536

Attention : Le resultat

5040 = 10 \times 9 \times 8 \times 7

correspond au cas ou le premier chiffre pourrait etre 0, ce qui n'est pas le cas ici.

FAUX : le nombre de codes est 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \neq = 5040

Affirmation 2

La probabilite qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a achete son billet au guichet est superieure a $\frac{2}{3}$ .

FAUX.

On note $L$ : « achat en ligne » et $A$ : « choisir l'audioguide ». Les donnees sont :

$P (L) = 0, 7$ donc $P (\overset{ˉ}{L}) = 0, 3$
$P_{L} (A) = 0, 8$
$P (\overset{ˉ}{A}) = 0, 32$ donc $P (A) = 0, 68$

Calculons $P (A \cap L)$ :

P (A \cap L) = P (L) \times P_{L} (A) = 0, 7 \times 0, 8 = 0, 56

Par la formule des probabilites totales :

P (A) = P (A \cap L) + P (A \cap \overset{ˉ}{L})

P (A \cap \overset{ˉ}{L}) = P (A) - P (A \cap L) = 0, 68 - 0, 56 = 0, 12

Donc :

P (\overset{ˉ}{A} \cap \overset{ˉ}{L}) = P (\overset{ˉ}{L}) - P (A \cap \overset{ˉ}{L}) = 0, 3 - 0, 12 = 0, 18

La probabilite cherchee est :

P_{\overset{ˉ}{L}} (\overset{ˉ}{A}) = \frac{P ( A ˉ \cap L ˉ )}{P ( L ˉ )} = \frac{0 , 18}{0 , 3} = 0, 6 = \frac{3}{5}

Or $\frac{3}{5} = 0, 6 < \frac{2}{3} \approx 0, 667$ , donc la probabilite n'est pas superieure a $\frac{2}{3}$ .

FAUX : P_{\overset{ˉ}{L}} (\overset{ˉ}{A}) = \frac{3}{5} = 0, 6 < \frac{2}{3}

Affirmation 3

On choisit 12 visiteurs. La probabilite qu'exactement la moitie opte pour l'audioguide est egale a $924 \times 0, 217 6^{6}$ .

VRAI.

Le choix de l'audioguide est independant d'un visiteur a l'autre, avec $P (A) = 0, 68$ .

Soit $X$ le nombre de visiteurs optant pour l'audioguide parmi 12. Alors $X \sim B (12; 0, 68)$ .

La moitie de 12 est 6, donc on cherche $P (X = 6)$ :

P (X = 6) = (6 12) \times 0, 6 8^{6} \times 0, 3 2^{6}

Or $(6 12) = 924$ et :

0, 6 8^{6} \times 0, 3 2^{6} = (0, 68 \times 0, 32)^{6} = 0, 217 6^{6}

Donc :

P (X = 6) = 924 \times 0, 217 6^{6} \approx 924 \times 1, 062 \times 1 0^{- 4} \approx 0, 098

VRAI : P (X = 6) = 924 \times 0, 217 6^{6} \approx 0, 098

Affirmation 4

L'esperance de $X$ est 77 minutes.

FAUX.

Les durees sont : 50 min, 80 min et 100 min.

Calculons l'esperance :

E (X) = 50 \times 0, 1 + 80 \times 0, 6 + 100 \times 0, 3

E (X) = 5 + 48 + 30 = 83

FAUX : E (X) = 83 minutes \neq = 77 minutes

Reviser les probabilites →
Reviser le denombrement →

Bac Maths 2025 — Metropole Septembre Jour 1

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Partie A — Resolution de l'equation differentielle

Partie B — Application a la glycemie

Exercice 2 — (5 points)

Partie A

Partie B

Exercice 3 — (6 points)

Partie A — Etude de la suite (un​)

Partie B — Etude de la suite (vn​)

Partie C

Exercice 4 — (4 points)

Exercice 1 — Equation differentielle et glycemie (5 points)

Partie A — Resolution de l'equation differentielle

1. Verifier que u(t)=te−0,4t est solution de (E)

2.a. Demontrer que si g est solution de (H) alors f=g+u est solution de (E)

2.b. Resoudre l'equation differentielle (H):y′+0,4y=0

2.c. En deduire les solutions de (E)

2.d. Determiner la solution f de (E) telle que f(0)=1

Partie B — Application a la glycemie

1.a. Montrer que f′(t)=(−0,4t+0,6)e−0,4t

1.b. Variations de f sur [0;6]

2.a. Demontrer que f(t)=0,7 admet une unique solution α sur [0;6]

2.b. Encadrement de α et temps d'hypoglycemie

3.a. Par integration par parties, montrer que ∫06​f(t)dt=−23,75e−2,4+8,75

3.b. Glycemie moyenne sur les six heures

Exercice 2 — Geometrie dans l'espace (5 points)

Partie A

1. Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires

2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires

Partie B

1. Coordonnees de GM et AH, non-colinearite

2.a. Representation parametrique de la droite (GM)

2.b. Montrer que le point d'intersection N de (GM) et (AH) a pour coordonnees (0;2;2)

3.a. Montrer que le triangle AMN est rectangle en A

3.b. Calculer l'aire du triangle AMN

4.a. Coordonnees du point J, centre de la face BCGF

4.b. Montrer que FJ est un vecteur normal au plan (AMN)

4.c. Montrer que J appartient au plan (AMN) et en deduire qu'il est le projete orthogonal de F

5. Montrer que le volume du tetraedre AMNF est le double de celui de la pyramide BCGFM

Exercice 3 — Suites et convergence (6 points)

Partie A — Etude de la suite (un​)

1. Justifier le tableau de variations de f

2.a. Demontrer par recurrence que 2⩽un+1​⩽un​⩽6

2.b. En deduire que (un​) converge

3. Determiner la limite ℓ

4.a. Pourquoi rang(2.000001) renvoie-t-il une valeur ?

4.b. Pour quelles valeurs de a l'instruction rang(a) renvoie-t-elle un resultat ?

Partie B — Etude de la suite (vn​)

1. Calculer v1​

2.a. Demontrer que (wn​) est geometrique, preciser premier terme et raison

2.b. En deduire l'expression de vn​

2.c. Calculer la limite de (vn​)

3. Plus petit entier n tel que vn​<2,01

Partie C — Determination de N

Determiner le plus petit N tel que pour tout n⩾N, vn​ et un​ appartiennent a ]1,99;2,01[

Exercice 4 — Vrai/Faux (4 points)

Affirmation 1

Affirmation 2

Affirmation 3

Affirmation 4

Partie A — Etude de la suite $(u_{n})$

Partie B — Etude de la suite $(v_{n})$

1. Verifier que $u (t) = t e^{- 0, 4 t}$ est solution de $(E)$

2.a. Demontrer que si $g$ est solution de $(H)$ alors $f = g + u$ est solution de $(E)$

2.b. Resoudre l'equation differentielle $(H) : y^{'} + 0, 4 y = 0$

2.c. En deduire les solutions de $(E)$

2.d. Determiner la solution $f$ de $(E)$ telle que $f (0) = 1$

1.a. Montrer que $f^{'} (t) = (- 0, 4 t + 0, 6) e^{- 0, 4 t}$

1.b. Variations de $f$ sur $[0; 6]$

2.a. Demontrer que $f (t) = 0, 7$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 6]$

2.b. Encadrement de $α$ et temps d'hypoglycemie

3.a. Par integration par parties, montrer que $\int_{0}^{6} f (t) d t = - 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75$

1. Montrer que les droites $(F G)$ et $(F M)$ sont perpendiculaires

2. Montrer que les points $A$ , $M$ , $G$ et $H$ sont coplanaires

1. Coordonnees de $GM$ et $A H$ , non-colinearite

2.a. Representation parametrique de la droite $(GM)$

2.b. Montrer que le point d'intersection $N$ de $(GM)$ et $(A H)$ a pour coordonnees $(0; 2; 2)$

3.a. Montrer que le triangle $A M N$ est rectangle en $A$

3.b. Calculer l'aire du triangle $A M N$

4.a. Coordonnees du point $J$ , centre de la face $B C GF$

4.b. Montrer que $F J$ est un vecteur normal au plan $(A M N)$

4.c. Montrer que $J$ appartient au plan $(A M N)$ et en deduire qu'il est le projete orthogonal de $F$

5. Montrer que le volume du tetraedre $A M N F$ est le double de celui de la pyramide $B C GF M$

Partie A — Etude de la suite $(u_{n})$

1. Justifier le tableau de variations de $f$

2.a. Demontrer par recurrence que $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$

2.b. En deduire que $(u_{n})$ converge

3. Determiner la limite $ℓ$

4.a. Pourquoi $rang(2.000001)$ renvoie-t-il une valeur ?

4.b. Pour quelles valeurs de $a$ l'instruction $rang(a)$ renvoie-t-elle un resultat ?

Partie B — Etude de la suite $(v_{n})$

1. Calculer $v_{1}$

2.a. Demontrer que $(w_{n})$ est geometrique, preciser premier terme et raison

2.b. En deduire l'expression de $v_{n}$

2.c. Calculer la limite de $(v_{n})$

3. Plus petit entier $n$ tel que $v_{n} < 2, 01$

Partie C — Determination de $N$

Determiner le plus petit $N$ tel que pour tout $n ⩾ N$ , $v_{n}$ et $u_{n}$ appartiennent a $] 1, 99; 2, 01 [$