Chapitre 11 Calcul intégral Terminale Spé

Exercices corrigés sur le calcul intégral en Terminale spécialité

Pour calculer une intégrale en Terminale, cherche d’abord une primitive adaptée puis évalue sa différence aux bornes. Les exercices commencent par des polynômes, l’exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques. Ils permettent aussi de revoir la relation de Chasles et l’inversion des bornes. Une intégrale peut être négative ou nulle : son résultat ne représente une aire géométrique directement que sous des conditions de signe.

Tu peux ensuite travailler l’intégration par parties, avec un choix de fonctions qui simplifie le calcul restant. Les problèmes d’aire entre deux courbes nécessitent de déterminer laquelle est au-dessus de l’autre. La banque aborde également la valeur moyenne et les encadrements d’intégrales. Avant d’ouvrir la correction, vérifie que le signe et l’ordre de grandeur du résultat correspondent à la situation.

40 exercices : 15 faciles, 13 intermédiaires, 7 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur le calcul intégral

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Calculer les intégrales suivantes :

a)

\int_0^2 3\,dx

\int_1^4 2x\,dx

\int_0^1 x^2\,dx

Exercice 2

Non commencéFacile

Calculer

\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx

Exercice 3

Non commencéFacile

Calculer

\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx

Exercice 4

Non commencéFacile

Calculer

\int_0^1 e^x\,dx

Exercice 5

Non commencéFacile

Calculer

\int_1^e \frac{1}{x}\,dx

Exercice 6

Non commencéFacile

Calculer

\int_0^3 (2x + 1)\,dx

Exercice 7

Non commencéFacile

Calculer

\int_{-1}^1 x^3\,dx

. Interpréter géométriquement le résultat.

Exercice 8

Non commencéFacile

Calculer

\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx

Exercice 9

Non commencéFacile

Soit

f(x) = 3x^2 - 2x + 5

. Calculer

\int_0^2 f(x)\,dx

Exercice 10

Non commencéFacile

Calculer

\int_2^5 3\,dx

puis vérifier géométriquement.

Exercice 11

Non commencéFacile

Calculer la valeur moyenne de

f(x) = 6x

sur

[0\,;4]

Exercice 12

Non commencéFacile

Vérifier que

\int_0^3 x\,dx = \int_0^1 x\,dx + \int_1^3 x\,dx

(relation de Chasles).

Exercice 13

Non commencéFacile

Calculer

\int_3^1 x^2\,dx

Exercice 14

Non commencéFacile

Calculer

\int_0^1 (e^x + 1)\,dx

Exercice 15

Non commencéFacile

Encadrer

\int_0^1 e^x\,dx

sachant que

1 \leqslant e^x \leqslant e

pour

x \in [0\,;1]

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^1 x\,e^x\,dx

à l'aide d'une intégration par parties.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_1^e \ln(x)\,dx

à l'aide d'une intégration par parties.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^2 (x-1)^2\,dx

de deux manières : en développant, et en utilisant une primitive directe.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Calculer l'aire entre la courbe de

f(x) = x^2

et la droite

g(x) = x

sur

[0\,;1]

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^{\pi} \cos^2(x)\,dx

.

(On utilisera la formule $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ .)

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

Calculer la valeur moyenne de

f(x) = e^x

sur

[0\,;2]

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^1 x^2\,e^x\,dx

.

(On fera deux IPP successives.)

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^1 (2x+3)e^x\,dx

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_1^e x\ln(x)\,dx

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Montrer que

\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(2)

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Calculer

\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

Montrer que

0 \leqslant \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx \leqslant \frac{1}{2}

Exercice 29

Non commencéDifficile

Calculer

I = \int_0^1 (1-x)e^x\,dx

J = \int_0^1 x\,e^{1-x}\,dx

. Montrer que

I = J

Exercice 30

Non commencéDifficile

Calculer

\int_0^1 x^2(1-x)^2\,dx

Exercice 31

Non commencéDifficile

On pose

I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx

pour

n \in \mathbb{N}

.

1) Calculer

I_0

I_1

.

2) Montrer par IPP que

I_n = e - nI_{n-1}

pour

n \geqslant 1

.

3) En déduire

I_2

I_3

Calculer

I_0

I_1

Montrer

I_n = e - nI_{n-1}

Calculer

I_2

I_3

Exercice 32

Non commencéDifficile

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de

f(x) = x^2 - 4

et l'axe des abscisses sur

[-2\,;3]

Exercice 33

Non commencéDifficile

Montrer que pour tout

n \geqslant 0

\int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}

. En déduire

\int_0^1 (1 + x + x^2 + \cdots + x^n)\,dx

Exercice 34

Non commencéDifficile

Calculer

\int_0^{\pi} x\sin(x)\,dx

Exercice 35

Non commencéDifficile

Soit

f(x) = \frac{1}{x}

sur

[1\,;n]

(

n \geqslant 2

entier). Montrer que :

\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \leqslant \int_1^n \frac{1}{x}\,dx \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}

Exercice 36

Non commencéAvancé

Soit

f

continue sur

[a\,;b]

telle que

f \geqslant 0

\int_a^b f(x)\,dx = 0

.

Montrer que

f = 0

sur

[a\,;b]

.

(On raisonnera par l'absurde.)

Exercice 37

Non commencéAvancé

Soit

f(x) = e^{-x}\sin(x)

. Calculer

I = \int_0^{\pi} e^{-x}\sin(x)\,dx

.

(On fera deux IPP et on retrouvera $I$ dans le résultat.)

Exercice 38

Non commencéAvancé

Calculer

\int_0^1 \ln(1+x)\,dx

Exercice 39

Non commencéAvancé

Soit

I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\,dx

pour

n \geqslant 0

.

1) Calculer

I_0

I_1

.

2) Montrer par IPP que pour

n \geqslant 2

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

.

3) En déduire

I_2

I_3

Calculer

I_0

I_1

Montrer

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

Pour $n \geqslant 2$, on écrit $\sin^n(x) = \sin^{n-1}(x) \cdot \sin(x)$. IPP avec $v = \sin^{n-1}(x)$ ($v' = (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)$) et $u' = \sin(x)$ ($u = -\cos(x)$). $I_n = \Big[-\cos(x)\sin^{n-1}(x)\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2(x)\sin^{n-2}(x)\,dx$ Le crochet vaut $0$ aux deux bornes. Et $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$, donc : $I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2} (1-\sin^2(x))\sin^{n-2}(x)\,dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$ $I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$, soit $nI_n = (n-1)I_{n-2}$. $\boxed{I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}}$

Calculer

I_2

I_3

Exercice 40

Non commencéAvancé

Montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale : pour

f

g

continues sur

[a\,;b]

\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leqslant \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right)

(On pourra considérer $P(t) = \int_a^b (f(x) + tg(x))^2\,dx$ pour $t \in \mathbb{R}$ .)

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur le calcul intégral