Composée de fonctions : exercices corrigés Terminale

Exercice 1

Non commencéFacile

Soient

f(x) = x^2

et

g(x) = 3x - 1

.

1.

Calculer

(f \circ g)(x)

.

2.

Calculer

(g \circ f)(x)

.

3.

Vérifier que

f \circ g \neq g \circ f

.

Exercice 2

Non commencéFacile

Soient

f(x) = \sqrt{x}

et

g(x) = x + 4

.

1.

Déterminer

(f \circ g)(x)

et son domaine de définition.

2.

Déterminer

(g \circ f)(x)

et son domaine de définition.

3.

Comparer les domaines de

f \circ g

et

g \circ f

.

Exercice 3

Non commencéFacile

Pour chaque fonction

h

, trouver deux fonctions

f

et

g

telles que

h = f \circ g

.

1.

h(x) = (2x+5)^3

2.

h(x) = e^{3x-2}

3.

h(x) = \ln(x^2 + 3)

Exercice 4

Non commencéFacile

Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule

(f(ax+b))' = a \cdot f'(ax+b)

.

1.

h(x) = (5x + 1)^4

2.

h(x) = e^{-2x+3}

3.

h(x) = \ln(3x + 7)

Exercice 5

Non commencéFacile

Dériver les fonctions suivantes.

1.

f(x) = \sqrt{2x + 1}

2.

f(x) = (x^2 + 1)^3

3.

f(x) = e^{x^2}

Exercice 6

Non commencéFacile

Soient

f(x) = \dfrac{1}{x}

et

g(x) = x^2 + 1

.

1.

Calculer

(f \circ g)(x)

et préciser le domaine.

2.

Calculer

(g \circ f)(x)

et préciser le domaine.

3.

Dériver

(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x^2+1}

.

Exercice 7

Non commencéFacile

Déterminer le domaine de définition de chaque fonction composée.

1.

h(x) = \sqrt{4 - x^2}

2.

h(x) = \ln(1 - x)

3.

h(x) = e^{\frac{1}{x}}

Exercice 8

Non commencéFacile

Dériver les fonctions suivantes.

1.

f(x) = \cos(3x)

2.

f(x) = \sin(2x + \pi)

3.

f(x) = e^{\cos(x)}

Exercice 9

Non commencéFacile

On considère

h(x) = (4x - 3)^5

.

1.

Exprimer

h

comme composée

f \circ g

.

2.

Calculer

h'(x)

.

3.

Donner le signe de

h'(x)

et en déduire le sens de variation de

h

.

Exercice 10

Non commencéFacile

En utilisant la règle de composition des variations, déterminer les variations des fonctions suivantes (sans dériver).

1.

h(x) = (-x + 3)^2

sur

[3\, ; +\infty[

.

2.

h(x) = e^{-x}

sur

\mathbb{R}

.

3.

h(x) = \ln(x^2)

sur

]0\, ; +\infty[

.

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire

Dériver les fonctions suivantes.

1.

f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}

2.

f(x) = e^{2x^2 - x + 1}

3.

f(x) = \ln(x^2 + 2x + 3)

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire

Dériver les fonctions suivantes.

1.

f(x) = \dfrac{1}{(2x+1)^3}

2.

f(x) = \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}

pour

x > 1

.

On pose $u = \dfrac{x+1}{x-1}$. Pour $x > 1$, on a $u > 0$ et $f(x) = \sqrt{u}$. Calculons $u'$ : $u' = \dfrac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2}$. Formule : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$. $f'(x) = \dfrac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}} = \dfrac{-1}{(x-1)^2 \cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}$ En simplifiant : $\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}} = \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}$, donc : $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-1)^2} \cdot \dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} = \boxed{-\dfrac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}}$

3.

f(x) = \ln(\sin x)

sur

]0\, ; \pi[

.

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire

On considère la fonction

f(x) = e^{-x^2}

.

1.

Déterminer le domaine de définition de

f

.

2.

Calculer

f'(x)

.

3.

Étudier le signe de

f'(x)

et en déduire les variations de

f

.

On a $f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}$. Comme $e^{-x^2} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est l'opposé du signe de $2x$, c'est-à-dire l'opposé du signe de $x$. - Si $x < 0$ : $f'(x) > 0$ → $f$ est **croissante**. - Si $x = 0$ : $f'(x) = 0$. - Si $x > 0$ : $f'(x) < 0$ → $f$ est **décroissante**. $f$ admet un **maximum** en $x = 0$ : $f(0) = e^0 = 1$. $\boxed{f \text{ est croissante sur } ]-\infty\, ; 0] \text{ et décroissante sur } [0\, ; +\infty[, \text{ maximum } f(0) = 1.}$

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire

Étudier les variations de la fonction

f(x) = \ln(x^2 + 1)

sur

\mathbb{R}

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations.

Le dénominateur $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$. Donc le signe de $f'(x)$ est le signe de $2x$, c'est-à-dire le signe de $x$. - $f'(x) < 0$ si $x < 0$ : $f$ est **décroissante** sur $]-\infty\, ; 0]$. - $f'(0) = 0$. - $f'(x) > 0$ si $x > 0$ : $f$ est **croissante** sur $[0\, ; +\infty[$. $f$ admet un **minimum** en $x = 0$ : $f(0) = \ln(1) = 0$. $\boxed{f \text{ est décroissante sur } ]-\infty\, ; 0] \text{ et croissante sur } [0\, ; +\infty[, \text{ minimum } f(0) = 0.}$

3.

Retrouver ce résultat en utilisant la composition des variations (sans dérivée).

On écrit $f = \ln \circ g$ avec $g(x) = x^2 + 1$. $g(x) = x^2 + 1$ est **décroissante** sur $]-\infty\, ; 0]$ et **croissante** sur $[0\, ; +\infty[$. $\ln$ est **croissante** sur $]0\, ; +\infty[$. - Sur $]-\infty\, ; 0]$ : croissante $\circ$ décroissante = **décroissante** ✓ - Sur $[0\, ; +\infty[$ : croissante $\circ$ croissante = **croissante** ✓ $\boxed{\text{On retrouve bien les mêmes résultats.}}$

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire

On considère

f(x) = \cos(2x)

sur

[0\, ; \pi]

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Résoudre

f'(x) = 0

sur

[0\, ; \pi]

et dresser le tableau de signes de

f'

.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(2x) = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$. Soit $x = \dfrac{k\pi}{2}$. Sur $[0\, ; \pi]$ : $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{2}$, $x = \pi$. Signe de $\sin(2x)$ sur chaque intervalle : - $]0\, ; \dfrac{\pi}{2}[$ : $2x \in ]0\, ; \pi[$, donc $\sin(2x) > 0$, donc $f'(x) < 0$. - $]\dfrac{\pi}{2}\, ; \pi[$ : $2x \in ]\pi\, ; 2\pi[$, donc $\sin(2x) < 0$, donc $f'(x) > 0$. $\boxed{f'(x) < 0 \text{ sur } ]0; \tfrac{\pi}{2}[ \text{ et } f'(x) > 0 \text{ sur } ]\tfrac{\pi}{2}; \pi[}$

3.

Dresser le tableau de variations de

f

sur

[0\, ; \pi]

.

$f$ est **décroissante** sur $[0\, ; \dfrac{\pi}{2}]$ et **croissante** sur $[\dfrac{\pi}{2}\, ; \pi]$. Valeurs aux bornes et extremum : $f(0) = \cos(0) = 1$ $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$ (minimum) $f(\pi) = \cos(2\pi) = 1$ $\boxed{f \text{ décroît de } 1 \text{ à } -1 \text{ sur } [0; \tfrac{\pi}{2}] \text{ puis croît de } -1 \text{ à } 1 \text{ sur } [\tfrac{\pi}{2}; \pi].}$

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Pour chaque fonction

h

, déterminer deux fonctions

f

et

g

telles que

h = f \circ g

, puis calculer

h'(x)

.

1.

h(x) = (\ln x)^2

pour

x > 0

.

2.

h(x) = e^{\sqrt{x}}

pour

x > 0

.

3.

h(x) = \sin^3(x)

(c'est-à-dire

(\sin x)^3

).

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

On considère

f(x) = x - \ln(x)

sur

]0\, ; +\infty[

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Étudier les variations de

f

et donner son minimum.

3.

En déduire que

\ln(x) \leq x - 1

pour tout

x > 0

.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

On considère la fonction

f(x) = x \, e^{-x}

sur

\mathbb{R}

.

1.

Calculer

f'(x)

et la mettre sous forme factorisée.

2.

Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations.

3.

Déterminer les limites de

f

en

-\infty

et

+\infty

.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables et calculer leur dérivée.

1.

f(x) = \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2

pour

x \neq -1

.

2.

f(x) = e^{\frac{1}{x}}

pour

x \neq 0

.

3.

f(x) = \ln(e^x + 1)

sur

\mathbb{R}

.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

On considère

f

et

g

deux fonctions dérivables telles que

f(2) = 5

,

f'(2) = 3

,

g(1) = 2

,

g'(1) = -1

.

1.

Calculer

(f \circ g)'(1)

.

2.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de

f \circ g

au point d'abscisse

1

.

3.

Si de plus

f'(5) = 2

et

g'(5) = 4

, calculer

(g \circ f)'(2)

.

Exercice 21

Non commencéDifficile

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = e^{-x^2 + 2x}

.

1.

Déterminer les limites de

f

en

+\infty

et

-\infty

.

2.

Calculer

f'(x)

et la factoriser.

3.

Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations complet.

Comme $e^{-x^2+2x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est l'opposé du signe de $(x - 1)$. - Si $x < 1$ : $x - 1 < 0$ donc $f'(x) > 0$ → $f$ **croissante**. - Si $x = 1$ : $f'(1) = 0$. - Si $x > 1$ : $x - 1 > 0$ donc $f'(x) < 0$ → $f$ **décroissante**. $f(1) = e^{-1+2} = e^1 = e$ est le **maximum** de $f$. Tableau de variations : $x$ : $-\infty$ ........... $1$ ........... $+\infty$ $f'(x)$ : ........ $+$ ..... $0$ ..... $-$ ........ $f(x)$ : $0$ ↗ $e$ ↘ $0$ $\boxed{f \text{ est croissante sur } ]-\infty; 1] \text{ et décroissante sur } [1; +\infty[, \text{ max } f(1) = e.}$

4.

Montrer que l'axe des abscisses est asymptote horizontale en

+\infty

et

-\infty

.

Exercice 22

Non commencéDifficile

Soit

f

la fonction définie sur

]0\, ; +\infty[

par

f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Résoudre

f'(x) = 0

et étudier le signe de

f'(x)

.

3.

Dresser le tableau de variations de

f

et donner son minimum.

4.

Résoudre

f(x) = 0

.

Exercice 23

Non commencéDifficile

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}

(fonction sigmoïde).

1.

Montrer que

f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}

.

2.

Calculer

f'(x)

et montrer que

f'(x) > 0

pour tout

x

.

Avec $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$, on utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. $u = e^x$, $u' = e^x$, $v = e^x + 1$, $v' = e^x$. $f'(x) = \dfrac{e^x(e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \dfrac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x+1)^2} = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}$. Comme $e^x > 0$ et $(e^x+1)^2 > 0$, on a bien $f'(x) > 0$ pour tout $x$. $\boxed{f'(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}}$

3.

Déterminer les limites de

f

en

-\infty

et

+\infty

et donner les asymptotes.

4.

Montrer que

f(x) + f(-x) = 1

pour tout

x

.

Exercice 24

Non commencéDifficile

On considère la fonction

f

définie sur

]0\, ; +\infty[

par

f(x) = x - \ln(x^2 + 1)

.

1.

Calculer

f'(x)

et la mettre sous la forme d'une fraction.

2.

En déduire le signe de

f'(x)

et les variations de

f

sur

]0\, ; +\infty[

.

3.

Calculer

f(1)

et déterminer la limite de

f

en

+\infty

.

Exercice 25

Non commencéDifficile

On considère

f(x) = \sin(x) \cdot e^{\cos(x)}

sur

[0\, ; 2\pi]

.

1.

Calculer

f'(x)

.

On utilise $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = \sin x$ et $v = e^{\cos x}$. $u' = \cos x$. Pour $v' = (e^{\cos x})'$ : on pose $w = \cos x$, $w' = -\sin x$, donc $v' = -\sin x \cdot e^{\cos x}$. $f'(x) = \cos x \cdot e^{\cos x} + \sin x \cdot (-\sin x \cdot e^{\cos x})$ $= e^{\cos x}(\cos x - \sin^2 x)$ En utilisant $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $f'(x) = e^{\cos x}(\cos x - 1 + \cos^2 x) = e^{\cos x}(\cos^2 x + \cos x - 1)$. $\boxed{f'(x) = e^{\cos x}(\cos^2 x + \cos x - 1)}$

2.

Résoudre

\cos^2 t + \cos t - 1 = 0

en posant

X = \cos t

.

3.

En déduire les valeurs de

x

dans

[0\, ; 2\pi]

où

f'(x) = 0

et donner le signe de

f'

.

Comme $e^{\cos x} > 0$ toujours, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. D'après la question 2, cela revient à $\cos x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618$. Soit $\alpha = \arccos\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) \approx 0{,}905$ rad. Sur $[0\, ; 2\pi]$ : $x = \alpha$ ou $x = 2\pi - \alpha$. Étude de signe de $P(X) = X^2 + X - 1$ : $P(X) > 0$ pour $X > X_1$, $P(X) < 0$ pour $X_2 < X < X_1$. Comme $\cos x \leq 1$, on a $f'(x) > 0$ quand $\cos x > \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (soit $x \in [0; \alpha[ \cup ]2\pi-\alpha; 2\pi]$) et $f'(x) < 0$ quand $\cos x < \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (soit $x \in ]\alpha; 2\pi - \alpha[$). $\boxed{f'(x) = 0 \text{ pour } x = \alpha \approx 0{,}905 \text{ et } x = 2\pi - \alpha \approx 5{,}378}$

Exercice 26

Non commencéDifficile

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3

.

1.

En posant

X = e^x

, factoriser

f(x)

.

2.

Résoudre

f(x) = 0

.

3.

Calculer

f'(x)

, étudier son signe et dresser le tableau de variations.

$f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2)$. Comme $2e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $(e^x - 2)$. $e^x - 2 = 0 \Leftrightarrow e^x = 2 \Leftrightarrow x = \ln 2$. - $x < \ln 2$ : $e^x < 2$ donc $f'(x) < 0$ → $f$ **décroissante**. - $x > \ln 2$ : $e^x > 2$ donc $f'(x) > 0$ → $f$ **croissante**. $f(\ln 2) = e^{2\ln 2} - 4e^{\ln 2} + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ (minimum). Limites : $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et $f(x) \to 3$ en $-\infty$ (car $e^x \to 0$ et $e^{2x} \to 0$). $\boxed{f \text{ décroît sur } ]-\infty; \ln 2] \text{ de } 3 \text{ à } -1, \text{ puis croît sur } [\ln 2; +\infty[ \text{ de } -1 \text{ à } +\infty.}$

4.

En déduire le signe de

f(x)

sur

\mathbb{R}

.

D'après le tableau de variations et les racines $x = 0$ et $x = \ln 3$ : - Sur $]-\infty\, ; 0[$ : $f$ décroît de $3$ à $f(0) = 0$, mais en passant par des valeurs positives. En effet, $f$ passe de $3$ à $0$ en décroissant sur $]-\infty; 0]$ (vérifions : $f$ décroît de $3$ vers $-1$ minimum en $\ln 2$, or $\ln 2 > 0$). Reprenons : $f$ décroît de $3$ à $-1$ sur $]-\infty; \ln 2]$. Comme $f(0) = 0$ et $0 < \ln 2$ : - Sur $]-\infty\, ; 0]$ : $f$ décroît de $3$ à $0$, donc $f(x) \geq 0$. - Sur $[0\, ; \ln 3]$ : $f$ passe de $0$ au minimum $-1$ puis remonte à $0$, donc $f(x) \leq 0$. - Sur $[\ln 3\, ; +\infty[$ : $f$ croît de $0$ à $+\infty$, donc $f(x) \geq 0$. $\boxed{f(x) \geq 0 \text{ sur } ]-\infty; 0] \cup [\ln 3; +\infty[ \text{ et } f(x) \leq 0 \text{ sur } [0; \ln 3]}$

Exercice 27

Non commencéDifficile

On veut construire une boîte (parallélépipède rectangle sans couvercle) de volume

V = 32

cm

^3

, à base carrée de côté

x > 0

.

1.

Exprimer la hauteur

h

en fonction de

x

.

2.

Montrer que la surface totale (base + 4 côtés) est

S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}

.

3.

Étudier les variations de

S

et déterminer la valeur de

x

qui minimise la surface.

$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 128}{x^2}$. $S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 128 \Leftrightarrow x^3 = 64 \Leftrightarrow x = 4$. Signe de $S'(x)$ : $S'(x)$ a le signe de $2x^3 - 128 = 2(x^3 - 64)$. - Pour $0 < x < 4$ : $x^3 < 64$ donc $S'(x) < 0$ → $S$ **décroissante**. - Pour $x > 4$ : $x^3 > 64$ donc $S'(x) > 0$ → $S$ **croissante**. La surface est minimale pour $\boxed{x = 4}$ cm. $S(4) = 16 + \dfrac{128}{4} = 16 + 32 = 48$ cm$^2$, et $h = \dfrac{32}{16} = 2$ cm.

Exercice 28

Non commencéDifficile

Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = \ln(e^x + e^{-x})

.

1.

Montrer que

f

est une fonction paire.

2.

Calculer

f'(x)

et simplifier.

3.

Montrer que

f

est croissante sur

[0\, ; +\infty[

.

4.

Montrer que

f(x) = x + \ln(1 + e^{-2x})

pour

x > 0

et en déduire que

f(x) \sim x

quand

x \to +\infty

.

$e^x + e^{-x} = e^x(1 + e^{-2x})$. Donc $f(x) = \ln\big(e^x(1 + e^{-2x})\big) = \ln(e^x) + \ln(1 + e^{-2x}) = x + \ln(1 + e^{-2x})$. Quand $x \to +\infty$ : $e^{-2x} \to 0$ donc $\ln(1 + e^{-2x}) \to \ln(1) = 0$. Ainsi $f(x) - x \to 0$, ce qui signifie que la droite $y = x$ est **asymptote oblique** en $+\infty$. $\boxed{f(x) \underset{+\infty}{\sim} x \quad \text{et } y = x \text{ est asymptote oblique en } +\infty.}$

Exercice 29

Non commencéDifficile

On considère

f(x) = \sqrt{e^x + 1}

définie sur

\mathbb{R}

.

1.

Montrer que

f

est bien définie et calculer

f'(x)

.

2.

Montrer que

f

est strictement croissante sur

\mathbb{R}

.

3.

Déterminer les limites de

f

en

-\infty

et

+\infty

.

4.

Montrer que

f(x) \sim e^{x/2}

quand

x \to +\infty

.

Exercice 30

Non commencéDifficile

On considère

f(x) = x^2 e^{1/x}

définie sur

]0\, ; +\infty[

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Étudier les variations de

f

.

Comme $e^{1/x} > 0$ pour tout $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 1$. $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$. - $0 < x < \dfrac{1}{2}$ : $f'(x) < 0$ → $f$ **décroissante**. - $x > \dfrac{1}{2}$ : $f'(x) > 0$ → $f$ **croissante**. $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} e^2$. $\boxed{f \text{ décroît sur } ]0; \tfrac{1}{2}] \text{ et croît sur } [\tfrac{1}{2}; +\infty[, \text{ minimum } f(\tfrac{1}{2}) = \dfrac{e^2}{4}.}$

3.

Déterminer

\lim_{x \to 0^+} f(x)

.

Exercice 31

Non commencéAvancé

Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = e^{e^x}

.

1.

Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.

**Calcul de $f'(x)$ :** On pose $u = e^x$, donc $f(x) = e^u$ et $u' = e^x$. $f'(x) = u' \cdot e^u = e^x \cdot e^{e^x} = \boxed{e^x \cdot e^{e^x}}$. **Calcul de $f''(x)$ :** $f'(x) = e^x \cdot e^{e^x}$. On utilise $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = e^x$ et $v = e^{e^x}$. $u' = e^x$ et $v' = e^x \cdot e^{e^x}$ (calculé ci-dessus). $f''(x) = e^x \cdot e^{e^x} + e^x \cdot e^x \cdot e^{e^x} = e^{e^x} \cdot e^x(1 + e^x)$. $\boxed{f''(x) = e^x(1 + e^x) \cdot e^{e^x}}$

2.

Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.

3.

Déterminer les limites de

f

en

-\infty

et

+\infty

.

Exercice 32

Non commencéAvancé

On considère les fonctions

f_n(x) = (\cos x)^n

pour

n \geq 1

et

x \in [0\, ; \pi]

.

1.

Exprimer

f_n

comme composée et calculer

f_n'(x)

.

2.

Étudier les variations de

f_2(x) = \cos^2(x)

sur

[0\, ; \pi]

.

$f_2'(x) = -2\sin(x)\cos(x) = -\sin(2x)$. Sur $[0\, ; \pi]$ : $2x \in [0\, ; 2\pi]$. $\sin(2x) = 0$ pour $2x = 0, \pi, 2\pi$, soit $x = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi$. - Sur $]0\, ; \dfrac{\pi}{2}[$ : $\sin(2x) > 0$ donc $f_2'(x) < 0$ → **décroissante**. - Sur $]\dfrac{\pi}{2}\, ; \pi[$ : $\sin(2x) < 0$ donc $f_2'(x) > 0$ → **croissante**. $f_2(0) = 1$, $f_2(\pi/2) = 0$ (minimum), $f_2(\pi) = 1$. $\boxed{f_2 \text{ décroît de } 1 \text{ à } 0 \text{ sur } [0; \pi/2] \text{ puis croît de } 0 \text{ à } 1 \text{ sur } [\pi/2; \pi].}$

3.

Montrer que pour tout

n \geq 1

,

f_n

a un minimum en

x = \dfrac{\pi}{2}

sur

[0\, ; \pi]

.

Sur $[0\, ; \pi]$ : $\sin(x) \geq 0$. Si $n$ est pair : $f_n'(x) = -n\sin(x)(\cos x)^{n-1}$. - Sur $]0; \pi/2[$ : $\cos x > 0$ donc $(\cos x)^{n-1} > 0$ et $\sin x > 0$, d'où $f_n'(x) < 0$ → décroissante. - Sur $]\pi/2; \pi[$ : $\cos x < 0$ et $n-1$ impair (car $n$ pair), donc $(\cos x)^{n-1} < 0$, et $\sin x > 0$, d'où $f_n'(x) = -n(+)(-) > 0$ → croissante. $f_n(\pi/2) = 0^n = 0$ (minimum). Si $n$ est impair : $f_n(\pi/2) = 0$ également, et l'analyse des signes donne le même résultat. $\boxed{\text{Pour tout } n \geq 1, f_n \text{ admet un minimum } f_n(\pi/2) = 0 \text{ sur } [0; \pi].}$

Exercice 33

Non commencéAvancé

On définit la fonction

f

sur

\mathbb{R}

par

f(x) = x - \ln(1 + e^x)

.

1.

Montrer que

f(x) = -\ln(1 + e^{-x})

pour tout

x

.

2.

Calculer

f'(x)

et montrer que

0 < f'(x) < 1

pour tout

x

.

3.

Déterminer les limites de

f

en

-\infty

et

+\infty

et les asymptotes.

En $+\infty$ : d'après Q1, $f(x) = -\ln(1 + e^{-x}) \to -\ln(1) = 0$. Donc $y = 0$ est AH en $+\infty$. En $-\infty$ : $e^x \to 0$ donc $f(x) = x - \ln(1 + e^x) \to x - \ln(1) = x$. Plus précisément $f(x) - x = -\ln(1 + e^x) \to -\ln(1) = 0$. Donc $y = x$ est asymptote oblique en $-\infty$. $\boxed{\text{AH } y = 0 \text{ en } +\infty \text{ ; asymptote oblique } y = x \text{ en } -\infty.}$

4.

Montrer que

f

est strictement croissante et que

f

réalise une bijection de

\mathbb{R}

sur

]-\infty\, ; 0[

.

D'après Q2, $f'(x) > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$. D'après Q3 : - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $f(x) \approx x$) - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ (en restant $< 0$, car $f(x) = -\ln(1 + e^{-x}) < 0$). Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\lim_{-\infty} f\, ; \lim_{+\infty} f\, [ = ]-\infty\, ; 0[$. $\boxed{f \text{ est une bijection de } \mathbb{R} \text{ sur } ]-\infty\, ; 0[.}$

Exercice 34

Non commencéAvancé

Soit

f

une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle

I

, et soit

g = f^{-1}

sa bijection réciproque.

1.

Montrer que

(g \circ f)(x) = x

pour tout

x \in I

et en déduire par dérivation que

g'(f(x)) = \dfrac{1}{f'(x)}

.

2.

Application : retrouver la dérivée de

\ln(x)

sachant que

\ln = \exp^{-1}

.

3.

Application : retrouver la dérivée de

\arctan(x)

sachant que

\arctan = \tan^{-1}

et que

\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)

.

Exercice 35

Non commencéAvancé

Soient

f(x) = e^{2x}

et

g(x) = \ln(x + 1)

.

1.

Calculer

(f \circ g)(x)

et simplifier.

2.

Calculer

(g \circ f)(x)

et simplifier.

3.

Calculer

(f \circ g)'(x)

de deux façons : directement et par la formule de la composée.

**Méthode 1 (directe) :** $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$, donc $(f \circ g)'(x) = 2(x+1)$. **Méthode 2 (composée) :** $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$. $g'(x) = \dfrac{1}{x+1}$ et $f'(t) = 2e^{2t}$, donc $f'(g(x)) = 2e^{2\ln(x+1)} = 2(x+1)^2$. $(f \circ g)'(x) = \dfrac{1}{x+1} \times 2(x+1)^2 = 2(x+1)$. $\boxed{(f \circ g)'(x) = 2(x+1)}$ Les deux méthodes donnent le même résultat ✓.

Exercice 36

Non commencéAvancé

On considère la fonction

f

définie par

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

pour

x > 0

.

1.

Calculer

f'(x)

.

2.

Étudier les variations de

f

et déterminer son maximum.

3.

En déduire que

\ln x \leq \dfrac{x}{e}

pour tout

x > 0

.

4.

En composant avec l'exponentielle, montrer que

x \leq e^{x/e}

pour tout

x > 0

, puis que

e^\pi > \pi^e

.

Exercice 37

Non commencéAvancé

Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = e^x - x - 1

.

1.

Étudier les variations de

f

et montrer que

f(x) \geq 0

pour tout

x

.

2.

En déduire que

e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2}

pour tout

x \geq 0

.

3.

Par le même raisonnement, montrer que

e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}

pour tout

x \geq 0

.

Soit $h(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6}$ sur $[0\, ; +\infty[$. $h'(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2} = g(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$ (d'après Q2). Donc $h$ est croissante sur $[0\, ; +\infty[$ et $h(0) = 0$. Ainsi $h(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$. $\boxed{\forall x \geq 0, \quad e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}}$ On reconnaît les premiers termes du développement en série de Taylor de $e^x$.

Exercice 38

Non commencéAvancé

Soit

n \in \mathbb{N}^*

. On considère

f_n(x) = x^n e^{-x}

sur

[0\, ; +\infty[

.

1.

Calculer

f_n'(x)

et la factoriser.

2.

Étudier les variations de

f_n

sur

[0\, ; +\infty[

et donner son maximum.

Pour $x > 0$ : $x^{n-1} > 0$ et $e^{-x} > 0$. Le signe de $f_n'(x)$ est celui de $(n - x)$. $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow x = n$ (pour $x > 0$). - $0 < x < n$ : $f_n'(x) > 0$ → **croissante**. - $x > n$ : $f_n'(x) < 0$ → **décroissante**. Maximum : $f_n(n) = n^n e^{-n} = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$. Limites : $f_n(0) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0$ (croissance comparée). $\boxed{\text{Maximum de } f_n \text{ en } x = n : f_n(n) = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n}$

3.

En déduire que

n! \geq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n

pour tout

n \geq 1

.

D'après Q2, pour tout $x \geq 0$ : $f_n(x) \leq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$. En particulier, pour $x = k$ ($k$ entier, $1 \leq k \leq n$) : $k^n e^{-k} \leq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$. Mais utilisons plutôt la majoration $f_n(x) \leq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ avec $x$ entier. On peut montrer par récurrence que $n! \geq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ en utilisant le fait que $f_{n+1}(n+1) / f_n(n) = (1 + 1/n)^n \cdot e^{-1} \cdot (n+1)$. Plus directement, on sait que $e^x \geq \dfrac{x^n}{n!}$ pour $x \geq 0$ (d'après les majorations de l'exponentielle). Pour $x = n$ : $e^n \geq \dfrac{n^n}{n!}$, donc $n! \geq \dfrac{n^n}{e^n} = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$. $\boxed{\forall n \geq 1, \quad n! \geq \left(\dfrac{n}{e}\right)^n}$

Exercice 39

Non commencéAvancé

On pose

f(x) = \ln(1 + e^x) - \dfrac{x}{2} - \ln 2

pour

x \in \mathbb{R}

.

1.

Montrer que

f

est paire.

2.

Calculer

f'(x)

et montrer que

f'(x) = \dfrac{e^x - 1}{2(e^x + 1)}

.

3.

Montrer que

f(x) \geq 0

pour tout

x

et que

f(0) = 0

.

$f(0) = \ln(1 + 1) - 0 - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = 0$ ✓. Signe de $f'(x)$ : $e^x + 1 > 0$ toujours. $e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0$. Donc $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$. $f$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ puis croissante sur $[0; +\infty[$. Minimum en $x = 0$ : $f(0) = 0$. Donc $f(x) \geq 0$ pour tout $x$. $\boxed{f(x) \geq 0 \text{ pour tout } x, \text{ c'est-à-dire } \ln(1+e^x) \geq \dfrac{x}{2} + \ln 2.}$

Exercice 40

Non commencéAvancé

On considère, pour

a > 0

fixé, la fonction

f_a

définie sur

\mathbb{R}

par

f_a(x) = \dfrac{a^x - 1}{a^x + 1}

où

a^x = e^{x \ln a}

.

1.

Exprimer

f_a

en fonction de l'exponentielle et montrer que

f_a

est une composée de fonctions usuelles.

2.

Calculer

f_a'(x)

et étudier le signe de

f_a'

selon les valeurs de

a

.

Posons $X = e^{x\ln a}$. Alors : $f_a(x) = \dfrac{X - 1}{X + 1}$ avec $X' = \ln a \cdot e^{x\ln a}$. $f_a'(x) = \dfrac{X'(X+1) - X' \cdot (X-1)}{(X+1)^2} = \dfrac{X'(X+1-X+1)}{(X+1)^2} = \dfrac{2X'}{(X+1)^2}$ $= \dfrac{2\ln a \cdot e^{x\ln a}}{(e^{x\ln a} + 1)^2}$. Comme $e^{x\ln a} > 0$ et $(e^{x\ln a} + 1)^2 > 0$, le signe de $f_a'(x)$ est celui de $\ln a$. - Si $a > 1$ : $\ln a > 0$ donc $f_a'(x) > 0$ → $f_a$ **strictement croissante**. - Si $a = 1$ : $f_1(x) = 0$ (fonction nulle). - Si $0 < a < 1$ : $\ln a < 0$ donc $f_a'(x) < 0$ → $f_a$ **strictement décroissante**. $\boxed{f_a'(x) = \dfrac{2\ln a \cdot e^{x\ln a}}{(e^{x\ln a}+1)^2} ; \; f_a \text{ croissante si } a > 1, \text{ décroissante si } 0 < a < 1.}$

3.

Déterminer les limites de

f_a

en

-\infty

et

+\infty

pour

a > 1

.

Pour $a > 1$ : $\ln a > 0$. En $+\infty$ : $x\ln a \to +\infty$ donc $e^{x\ln a} \to +\infty$ : $f_a(x) = \dfrac{e^{x\ln a} - 1}{e^{x\ln a} + 1} = \dfrac{1 - e^{-x\ln a}}{1 + e^{-x\ln a}} \to \dfrac{1}{1} = 1$. En $-\infty$ : $e^{x\ln a} \to 0$ : $f_a(x) \to \dfrac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = -1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f_a(x) = 1}$ Les droites $y = -1$ et $y = 1$ sont asymptotes horizontales.

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

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