Chapitre 12 Primitives et équations différentielles Terminale Spé

Exercices corrigés sur les primitives et les équations différentielles en Terminale spécialité

Trouver une primitive demande de reconnaître une dérivée connue et d’ajuster son coefficient. Cette banque de Terminale commence par les polynômes et les fonctions usuelles, puis propose des puissances et des expressions à transformer. Tu peux contrôler chaque primitive en la dérivant. Pense également à la constante : elle décrit une famille de primitives et se détermine lorsqu’une valeur particulière est imposée.

Les équations différentielles prolongent ce travail avec des relations entre une fonction et sa dérivée. Tu résous des équations de la forme y′ = ay ou y′ = ay + b, puis utilises une condition initiale. Les modèles de refroidissement et d’épargne demandent ensuite d’interpréter la solution et de calculer un temps de seuil. Vérifie la relation différentielle et la valeur initiale avant l’application numérique.

40 exercices : 10 faciles, 10 intermédiaires, 10 difficiles, 10 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les primitives et les équations différentielles

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Déterminer une primitive de

f(x) = 3x^2 + 2x - 1

Exercice 2

Non commencéFacile

Déterminer une primitive de

f(x) = x^5

Exercice 3

Non commencéFacile

Primitive de

1/x

sur

]0;+\infty[

Exercice 4

Non commencéFacile

Primitive de

e^x

Exercice 5

Non commencéFacile

Primitive de

\cos x

Exercice 6

Non commencéFacile

Primitive de

\sin x

Exercice 7

Non commencéFacile

Résoudre

y' = 0

Exercice 8

Non commencéFacile

Résoudre

y' = 2x

Exercice 9

Non commencéFacile

Résoudre

y' = 3y

Exercice 10

Non commencéFacile

Résoudre

y' = -2y

avec

y(0) = 5

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire

Primitives de fonctions composées avec une fonction affine.

f(x) = e^{2x}

f(x) = \cos(3x)

f(x) = (2x+1)^4

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire

Primitives de la forme

\dfrac{u'}{u}

f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}

f(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x}

sur

]0\,;\pi[

f(x) = \dfrac{1}{x+3}

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire

Primitives de la forme

u'\,u^n

f(x) = 2x(x^2+1)^3

f(x) = \cos x \,\sin^2 x

f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire

Primitives de la forme

u'\,e^{u}

f(x) = 2x\,e^{x^2}

f(x) = \cos(x)\,e^{\sin x}

f(x) = e^{3x+1}

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire

Résoudre

y' = ky

avec une condition initiale.

y' = 5y

y(0) = 2

y' = -y

y(0) = 10

y' = \dfrac{y}{2}

y(0) = 6

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Déterminer LA primitive vérifiant une condition initiale.

f(x) = 3x^2

F(1) = 0

f(x) = e^x

F(0) = 3

f(x) = \dfrac{1}{x}

sur

]0\,;+\infty[

F(1) = 5

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Résoudre les équations du type

y' + ay = 0

y' + 4y = 0

2y' + 6y = 0

y' - y = 0

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

On admet que

\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}

est dérivable là où

\cos x \neq 0

Montrer que

(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}

En déduire

\displaystyle\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x}

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Une population de bactéries croît selon

P'(t) = 0{,}5\,P(t)

, avec

P(0) = 1000

(

t

en heures).

Résoudre l'équation.

Déterminer le temps de doublement.

Calculer la population au bout de 10 heures.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Primitives de puissances non entières (sur

]0\,;+\infty[

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}

f(x) = x^{3/2}

f(x) = x^{-3}

Exercice 21

Non commencéDifficile

On considère l'équation

(E) : y' = 2y + 6

Déterminer la solution constante de

(E)

Résoudre l'équation homogène associée

y' = 2y

En déduire la solution générale de

(E)

Déterminer la solution vérifiant

y(0) = 1

Exercice 22

Non commencéDifficile

La désintégration d'un noyau radioactif suit

N'(t) = -\lambda\,N(t)

, où

\lambda > 0

N(0) = N_0

Résoudre l'équation.

Déterminer la demi-vie

T

(temps au bout duquel la moitié s'est désintégrée).

Pour le carbone 14,

T = 5730

ans. Calculer

\lambda

Un échantillon contient 30 % du carbone 14 initial. Déterminer son âge.

Exercice 23

Non commencéDifficile

Primitives par reconnaissance de forme.

f(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1}

f(x) = \dfrac{\sin x}{1+\cos x}

(là où

1 + \cos x > 0

)

f(x) = x\,e^{x^2}

Exercice 24

Non commencéDifficile

Une cuve contient

1000

L d'eau pure. On y déverse une solution polluée : la masse

m(t)

de polluant (en kg,

t

en heures) vérifie

m'(t) = -0{,}2\,m(t) + 10

, avec

m(0) = 0

Déterminer la masse d'équilibre (solution constante).

Résoudre l'équation avec la condition initiale.

Au bout de combien de temps la masse atteint-elle 40 kg ?

Exercice 25

Non commencéDifficile

Primitive de

\ln x

par intégration par parties.

Déterminer une primitive de

\ln x

sur

]0\,;+\infty[

En déduire

\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx

Exercice 26

Non commencéDifficile

Intégration par parties avec l'exponentielle.

Déterminer une primitive de

x\,e^x

En déduire

\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx

Déterminer une primitive de

x^2 e^x

(double IPP).

Exercice 27

Non commencéDifficile

Intégration par parties avec le cosinus.

Déterminer une primitive de

x\cos x

En déduire

\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx

Exercice 28

Non commencéDifficile

Charge d'un condensateur (circuit RC) : la tension

u(t)

vérifie

u'(t) = -\dfrac{1}{\tau}u(t) + \dfrac{E}{\tau}

, avec

u(0) = 0

(

E

\tau > 0

constants).

Déterminer la solution constante.

Résoudre l'équation avec

u(0) = 0

Quelle est la limite de

u

+\infty

? Interpréter.

Exercice 29

Non commencéDifficile

Primitives de fonctions rationnelles simples.

f(x) = \dfrac{1}{x-2}

f(x) = \dfrac{3}{2x+1}

f(x) = \dfrac{x+1}{x}

sur

]0\,;+\infty[

Exercice 30

Non commencéDifficile

Loi de refroidissement de Newton : la température

T(t)

d'un corps vérifie

T'(t) = -k\big(T(t) - 20\big)

, avec

T(0) = 90

(°C) et

k > 0

En posant

\theta(t) = T(t) - 20

, montrer que

\theta' = -k\theta

, puis exprimer

T(t)

**Le changement de fonction.** $\theta = T - 20$ donne $\theta' = T'$ (la constante disparaît en dérivant). Donc : $$\theta'(t) = T'(t) = -k\big(T(t) - 20\big) = -k\,\theta(t)$$ On est ramené à $y' = ay$ ! Donc $\theta(t) = C\,e^{-kt}$, avec $\theta(0) = T(0) - 20 = 70$, soit $C = 70$. $$\boxed{T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}}$$ **Vérification :** $T(0) = 90$ ✓ et $T'(t) = -70k\,e^{-kt} = -k(T - 20)$ ✓

Sachant que

T(10) = 60

, déterminer

k

Au bout de combien de temps la température atteint-elle 25 °C ?

Exercice 31

Non commencéAvancé

Le changement de fonction qui ramène

y' = ay + b

y' = ay

Soit

(E) : y' = ay + b

avec

a \neq 0

. Montrer que la fonction constante

y_0 = -\dfrac{b}{a}

est solution de

(E)

Soit

y

une solution de

(E)

. On pose

z = y - y_0

. Montrer que

z' = az

En déduire toutes les solutions de

(E)

Exercice 32

Non commencéAvancé

Étude du comportement des solutions de

y' = 3y - 6

selon la condition initiale.

Déterminer la solution d'équilibre, puis la solution générale.

Exprimer

C

en fonction de

y(0)

Discuter le comportement de

y

+\infty

selon la valeur de

y(0)

Comme $a = 3 > 0$, le terme $e^{3x} \to +\infty$. Tout dépend donc du **signe de $C = y(0) - 2$** : - **$y(0) > 2$** ($C > 0$) : $y(x) \to +\infty$ — la solution s'**éloigne** de l'équilibre par le haut ; - **$y(0) = 2$** ($C = 0$) : $y$ reste **constante** égale à $2$ ; - **$y(0) < 2$** ($C < 0$) : $y(x) \to -\infty$ — la solution s'éloigne par le bas. L'équilibre $y = 2$ est **instable** : la moindre perturbation en éloigne la solution. C'est l'inverse du cas $a < 0$ (comme le refroidissement), où toutes les solutions **convergent** vers l'équilibre.

Exercice 33

Non commencéAvancé

Primitive de

f(x) = \dfrac{x}{(x^2+1)^2}

Reconnaître la forme et déterminer une primitive.

On écrit $f$ sous la forme $u'u^n$ : avec $u = x^2+1$, on a $u' = 2x$, et $$f(x) = \frac{x}{u^2} = \frac{1}{2} \times 2x \times u^{-2} = \frac{1}{2}\,u'\,u^{-2}$$ Une primitive de $u'u^{-2}$ est $\dfrac{u^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{u}$. D'où : $$\boxed{F(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = -\dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ ✓

En déduire

\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx

Exercice 34

Non commencéAvancé

Chute d'un corps avec frottement : la vitesse

v(t)

(en m·s⁻¹) vérifie

v'(t) = -0{,}5\,v(t) + 10

, avec

v(0) = 0

Déterminer la vitesse limite.

Résoudre l'équation avec

v(0) = 0

Au bout de combien de temps atteint-on 90 % de la vitesse limite ?

Exercice 35

Non commencéAvancé

Primitive de

x\ln x

par intégration par parties.

Déterminer une primitive de

x\ln x

sur

]0\,;+\infty[

On pose $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v' = x$ ($v = \frac{x^2}{2}$). On choisit $u = \ln x$ car **le logarithme se simplifie en dérivant**. $$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \times \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx$$ $$= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{4}\big(2\ln x - 1\big) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{x}{2}(2\ln x - 1) + \dfrac{x^2}{4} \times \dfrac{2}{x} = x\ln x - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x\ln x$ ✓

En déduire

\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx

Exercice 36

Non commencéAvancé

Un médicament est injecté puis éliminé : la quantité

q(t)

(en mg) vérifie

q'(t) = -0{,}4\,q(t) + 6

(perfusion continue), avec

q(0) = 0

Résoudre l'équation.

Quelle quantité de médicament l'organisme contient-il à long terme ?

La dose est efficace au-delà de 12 mg. À partir de quel instant ?

Exercice 37

Non commencéAvancé

Lien entre primitive et intégrale : on pose

F(x) = \displaystyle\int_0^x t\,e^{-t}\,dt

Sans calculer

F

, déterminer

F'(x)

F(0)

Calculer explicitement

F(x)

par une IPP.

Exercice 38

Non commencéAvancé

Deux populations évoluent selon

y' = 0{,}1\,y

(espèce A) et

z' = -0{,}05\,z + 30

(espèce B), avec

y(0) = 100

z(0) = 100

(

t

en années).

Résoudre chacune des deux équations.

Décrire le comportement à long terme de chaque population.

**A :** $e^{0{,}1t} \to +\infty$, donc $y(t) \to +\infty$ : croissance **exponentielle sans limite** (modèle irréaliste à long terme). **B :** $e^{-0{,}05t} \to 0$, donc $z(t) \to 600$ : la population se **stabilise** à sa capacité d'accueil de $600$ individus. C'est toute la différence entre $y' = ay$ (croissance illimitée si $a > 0$) et $y' = ay + b$ avec $a < 0$ (convergence vers l'équilibre $-\frac{b}{a}$).

Au bout de combien d'années l'espèce B atteint-elle 400 individus ?

Exercice 39

Non commencéAvancé

Unicité de la solution d'un problème de Cauchy : on veut montrer que

y' = ay

avec

y(0) = y_0

admet une unique solution.

Soit

y

une solution. On pose

g(x) = y(x)\,e^{-ax}

. Calculer

g'(x)

En déduire l'expression de

y

, puis conclure à l'unicité.

$g' = 0$ sur $\mathbb{R}$ (un intervalle), donc $g$ est **constante** : $g(x) = g(0) = y(0)\,e^{0} = y_0$. Ainsi $y(x)\,e^{-ax} = y_0$, et comme $e^{-ax} \neq 0$ : $$\boxed{y(x) = y_0\,e^{ax}}$$ **Conclusion :** toute solution est **nécessairement** de cette forme — il y en a donc au plus une. Et cette fonction est bien solution (vérification immédiate). Le problème admet donc **une unique solution**. $\square$

Exercice 40

Non commencéAvancé

Un compte épargne rapporte des intérêts continus au taux annuel

r = 0{,}04

, et l'on y verse en continu

2000

€ par an. Le capital

K(t)

(en €) vérifie

K'(t) = 0{,}04\,K(t) + 2000

, avec

K(0) = 10\,000

Résoudre l'équation.

Forme $y' = ay + b$ avec $a = 0{,}04$ et $b = 2000$. La solution d'équilibre est $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2000}{0{,}04} = -50\,000$. $$K(t) = C\,e^{0{,}04t} - 50\,000$$ La condition $K(0) = 10\,000$ donne $C - 50\,000 = 10\,000$, soit $C = 60\,000$ : $$\boxed{K(t) = 60\,000\,e^{0{,}04t} - 50\,000}$$ **Vérification :** $K(0) = 10\,000$ ✓ et $K'(t) = 2400\,e^{0{,}04t} = 0{,}04\,K(t) + 2000$ ✓

Calculer le capital au bout de 10 ans.

Au bout de combien d'années le capital atteint-il 100 000 € ?

$$60\,000\,e^{0{,}04t} - 50\,000 = 100\,000 \iff e^{0{,}04t} = \frac{150\,000}{60\,000} = 2{,}5$$ En composant par $\ln$ : $0{,}04\,t = \ln(2{,}5)$, d'où $$t = \frac{\ln(2{,}5)}{0{,}04} = 25\ln(2{,}5) \approx \boxed{22{,}9 \text{ ans}}$$ *Remarque :* ici $a > 0$, l'équilibre $-50\,000$ est **négatif** et n'a aucun sens financier — il ne sert que d'intermédiaire de calcul. Le capital croît sans limite.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur les primitives et les équations différentielles