Chapitre 08 Fonction logarithme népérien Terminale Spé

Exercices corrigés sur la fonction logarithme népérien en Terminale spécialité

Avec le logarithme népérien, le premier réflexe consiste à vérifier que chaque argument est strictement positif. Ces exercices corrigés de Terminale te font simplifier des expressions, résoudre des équations et utiliser la croissance de ln dans des inéquations. Une transformation algébrique peut produire des solutions interdites : conserve donc le domaine de définition jusqu’à la réponse finale, notamment lorsqu’un produit apparaît à l’intérieur du logarithme.

Tu peux ensuite travailler les dérivées de ln(u), la croissance comparée et les études de fonctions comme ln(x) divisé par x. D’autres problèmes donnent un sens aux calculs : déterminer un temps de doublement, une demi-vie ou la somme d’une expression télescopique. Pour une limite indéterminée, cherche l’écriture qui fait apparaître une limite de référence avant de conclure.

40 exercices : 10 faciles, 10 intermédiaires, 10 difficiles, 10 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la fonction logarithme népérien

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Calculer

\ln(1)

\ln(e)

\ln(e^3)

Exercice 2

Non commencéFacile

Simplifier

e^{\ln 5}

Exercice 3

Non commencéFacile

Simplifier

\ln(2) + \ln(3)

Exercice 4

Non commencéFacile

Simplifier

\ln(10) - \ln(5)

Exercice 5

Non commencéFacile

Simplifier

\ln(8)

en utilisant

8 = 2^3

Exercice 6

Non commencéFacile

Calculer la dérivée de

f(x) = 3\ln x

pour

x > 0

Exercice 7

Non commencéFacile

Résoudre

\ln(x) = 2

Exercice 8

Non commencéFacile

Pour quelles valeurs de

x

a-t-on

\ln(x) < 0

Exercice 9

Non commencéFacile

Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)

\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)

Exercice 10

Non commencéFacile

Résoudre

e^x = 5

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire

Dérivées de la forme

\ln(u)

. On rappelle que

\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}

f(x) = \ln(2x+1)

sur

\left]-\tfrac{1}{2}\,;+\infty\right[

g(x) = \ln(x^2+1)

sur

\mathbb{R}

h(x) = \ln(\sqrt{x})

sur

]0\,;+\infty[

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire

Résoudre les équations suivantes. On commencera systématiquement par déterminer l'ensemble de définition.

\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(6)

**Domaine :** il faut $x > 0$ **et** $x - 1 > 0$, donc $x > 1$. **Équation :** on regroupe à gauche avec $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ : $$\ln\big(x(x-1)\big) = \ln 6 \iff x(x-1) = 6 \iff x^2 - x - 6 = 0$$ $\Delta = 1 + 24 = 25$ : $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, soit $x = 3$ ou $x = -2$. **Retour au domaine :** $-2 \notin\, ]1\,;+\infty[$ : cette solution est **rejetée**. $$\boxed{\mathcal{S} = \{3\}}$$ *C'est exactement pour cela qu'on pose le domaine d'abord :* l'équation transformée $x^2-x-6=0$ « fabrique » une solution parasite.

2\ln(x) = \ln(9)

\ln(x^2-3) = 0

**Domaine :** $x^2 - 3 > 0$, soit $x < -\sqrt{3}$ ou $x > \sqrt{3}$. **Équation :** $\ln(x^2-3) = 0 = \ln 1$, donc $x^2 - 3 = 1$, soit $x^2 = 4$ : $$x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2$$ **Retour au domaine :** $|2| > \sqrt{3} \approx 1{,}73$ : les **deux** solutions conviennent. $$\boxed{\mathcal{S} = \{-2\,;2\}}$$ *Ici, contrairement aux deux questions précédentes, aucune solution n'est à rejeter — le domaine n'impose pas $x > 0$.*

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire

Résoudre les inéquations suivantes. On rappelle que

\ln

est strictement croissante : le sens de l'inégalité est conservé.

\ln(x) \geqslant 3

\ln(2x-1) < 0

\ln(x) + \ln(x+2) \leqslant \ln(3)

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire

Étude de la fonction

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

sur

]0\,;+\infty[

Déterminer les limites de

f

aux bornes.

**En $0^+$ :** $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to +\infty$, donc le produit $\ln x \times \dfrac{1}{x} \to -\infty$ (pas d'indétermination). $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ **En $+\infty$ :** c'est la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, levée par la **croissance comparée** ($x$ l'emporte sur $\ln x$) : $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0}$$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.

Calculer

f'(x)

et en déduire le maximum de

f

On dérive le quotient avec $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v = x$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Le dénominateur est positif : $f'$ a le **signe de $1 - \ln x$**, qui est positif ssi $\ln x < 1$, c'est-à-dire $x < e$. Donc $f$ croît sur $]0\,;e]$ puis décroît : elle admet un **maximum** en $x = e$ : $$\boxed{f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368}$$

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire

Le logarithme sert à faire « descendre » une inconnue placée en exposant.

Résoudre

2^x = 7

Résoudre

3 \times 5^x = 60

Résoudre

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Croissances comparées : « la puissance l'emporte sur le logarithme ».

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}

\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

On admet la limite de référence

\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\ln(1+u)}{u} = 1

(c'est le nombre dérivé de

\ln

1

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x}

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{2x}

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^2)}{x^2}

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Concavité du logarithme et inégalité de référence.

Montrer que

\ln x \leqslant x - 1

pour tout

x > 0

**Méthode par la concavité.** $\ln$ est deux fois dérivable et $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : la fonction $\ln$ est **concave** sur $]0\,;+\infty[$. Une fonction concave a sa courbe **en dessous de toutes ses tangentes**. Écrivons la tangente au point d'abscisse $1$ : $$y = (\ln)'(1)\,(x - 1) + \ln 1 = 1 \times (x-1) + 0 = x - 1$$ La courbe étant sous cette tangente : $$\boxed{\ln x \leqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0}$$ avec **égalité si et seulement si $x = 1$** (le point de contact).

En déduire que

e^t \geqslant 1 + t

pour tout réel

t

Appliquons l'inégalité précédente à $x = e^t$ (qui est bien $> 0$ pour tout réel $t$) : $$\ln(e^t) \leqslant e^t - 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad t \leqslant e^t - 1$$ En ajoutant $1$ des deux côtés : $$\boxed{e^t \geqslant 1 + t \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R}}$$ *Élégant :* les deux inégalités de référence du programme sont en fait **la même**, lue de deux façons — l'une par la concavité de $\ln$, l'autre par la convexité de $\exp$.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Dérivées composées faisant intervenir

\ln

f(x) = \ln(x^2-4)

sur

]2\,;+\infty[

g(x) = (\ln x)^3

sur

]0\,;+\infty[

h(x) = x\ln x - x

sur

]0\,;+\infty[

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Le logarithme permet de calculer des temps de doublement et des demi-vies.

Un capital est placé à

3\,\%

par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?

Le capital est multiplié chaque année par $1{,}03$ : au bout de $n$ années il vaut $C_0 \times 1{,}03^{\,n}$. On cherche $n$ tel que $$1{,}03^{\,n} \geqslant 2$$ On compose par $\ln$ (croissante) : $n\ln(1{,}03) \geqslant \ln 2$, d'où (car $\ln(1{,}03) > 0$) $$n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln(1{,}03)} \approx \frac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4$$ $$\boxed{n = 24 \text{ ans}}$$ *Remarque :* ce temps ne dépend **pas** du capital initial $C_0$, qui se simplifie.

Une substance radioactive vérifie

N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}

. Montrer que sa demi-vie vaut

T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}

La demi-vie $T$ est l'instant où il reste la moitié de la quantité initiale : $$N_0\,e^{-\lambda T} = \frac{N_0}{2} \iff e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$$ On compose par $\ln$ : $$-\lambda T = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$$ $$\boxed{T = \frac{\ln 2}{\lambda}}$$ *Le $N_0$ s'est simplifié :* la demi-vie ne dépend que de $\lambda$ — c'est une **constante caractéristique** de la substance.

Exercice 21

Non commencéDifficile

Étude complète de

f(x) = x - \ln x

sur

]0\,;+\infty[

Déterminer les limites aux bornes.

**En $0^+$ :** $x \to 0$ et $-\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$ (somme, pas d'indétermination). **En $+\infty$ :** forme indéterminée $\infty - \infty$. On **factorise par le terme dominant** $x$ : $$f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)$$ Par croissance comparée, $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et $f(x) \to +\infty$. $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f = +\infty}$$

Étudier les variations de

f

et déterminer son minimum.

En déduire que

\ln x \leqslant x - 1

pour tout

x > 0

D'après la question 2, le minimum de $f$ vaut $1$, donc pour tout $x > 0$ : $$f(x) = x - \ln x \geqslant 1$$ En réarrangeant : $$\boxed{\ln x \leqslant x - 1}$$ avec égalité **si et seulement si $x = 1$** (le point où le minimum est atteint). *C'est la même inégalité qu'à l'exercice 18, obtenue ici par une étude de fonction plutôt que par la concavité — les deux démonstrations sont au programme.*

Exercice 22

Non commencéDifficile

Étude de

f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}

sur

]0\,;+\infty[

Déterminer les limites aux bornes.

Calculer

f'(x)

et déterminer le maximum de

f

Quotient avec $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v = x^2$ ($v' = 2x$) : $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x^2 - \ln x \times 2x}{x^4} = \frac{x - 2x\ln x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x^3 > 0$ : $f'$ a le signe de $1 - 2\ln x$, positif ssi $\ln x < \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $x < \sqrt{e}$. Donc $f$ admet un **maximum** en $x = \sqrt{e}$ : $$\boxed{f(\sqrt{e}) = \frac{\ln\sqrt{e}}{e} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}184}$$

Exercice 23

Non commencéDifficile

Étude de

f(x) = x^x

sur

]0\,;+\infty[

. On utilisera l'écriture

x^x = e^{x\ln x}

Déterminer

\lim\limits_{x \to 0^+} x^x

Calculer

f'(x)

En déduire le minimum de

f

Exercice 24

Non commencéDifficile

Équations et inéquations du second degré en

\ln x

(changement de variable

X = \ln x

Résoudre

(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0

Résoudre

(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 < 0

Résoudre

(\ln x)^2 = \ln(x^4)

Exercice 25

Non commencéDifficile

On admet que

\ln x = \displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t}

pour

x > 0

Interpréter géométriquement

\ln 2

Encadrer

\ln 2

par la méthode des rectangles (4 subdivisions).

On découpe $[1\,;2]$ en $4$ intervalles de longueur $h = \dfrac{1}{4}$, aux bornes $1\,;1{,}25\,;1{,}5\,;1{,}75\,;2$. La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ est **décroissante** : sur chaque sous-intervalle, elle est majorée par sa valeur à gauche et minorée par sa valeur à droite. **Minorant** (rectangles à droite) : $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1{,}25} + \frac{1}{1{,}5} + \frac{1}{1{,}75} + \frac{1}{2}\right) \approx 0{,}6345$$ **Majorant** (rectangles à gauche) : $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{1{,}25} + \frac{1}{1{,}5} + \frac{1}{1{,}75}\right) \approx 0{,}7595$$ $$\boxed{0{,}6345 \leqslant \ln 2 \leqslant 0{,}7595}$$ *Contrôle :* $\ln 2 \approx 0{,}693$ est bien dans l'encadrement ✓ (l'encadrement se resserre si l'on augmente le nombre de subdivisions).

Exercice 26

Non commencéDifficile

Étude de

f(x) = x\ln x

sur

]0\,;+\infty[

Limite en

0^+

, dérivée, et minimum de

f

**Limite :** par croissance comparée, $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ (la fonction se **prolonge par continuité** en $0$ en posant $f(0) = 0$). **Dérivée :** produit de $x$ et $\ln x$ : $$f'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ **Signe :** $f'(x) > 0 \iff \ln x > -1 \iff x > \dfrac{1}{e}$. Donc $f$ décroît puis croît, avec un **minimum** en $x = \dfrac{1}{e}$ : $$\boxed{f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \times (-1) = -\frac{1}{e} \approx -0{,}368}$$

Étudier la convexité de

f

Exercice 27

Non commencéDifficile

Le logarithme décimal est défini par

\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}

Calculer

\log(10)

\log(100)

\log(1000)

Combien de chiffres comporte

2^{100}

en écriture décimale ?

**Principe :** un entier $N$ s'écrit avec $p$ chiffres si et seulement si $10^{p-1} \leqslant N < 10^{p}$, c'est-à-dire $p - 1 \leqslant \log N < p$. Le nombre de chiffres est donc $$p = \lfloor \log N \rfloor + 1$$ **Application :** $\log\left(2^{100}\right) = 100\log 2 \approx 100 \times 0{,}30103 \approx 30{,}103$. $$p = \lfloor 30{,}103 \rfloor + 1 = 30 + 1$$ $$\boxed{2^{100} \text{ comporte } 31 \text{ chiffres}}$$ *Remarquable :* on connaît le nombre de chiffres sans jamais calculer $2^{100}$.

Exercice 28

Non commencéDifficile

La fonction sigmoïde est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}

Montrer que

f'(x) = f(x)\big(1 - f(x)\big)

On dérive $\dfrac{1}{v}$ avec $v = 1 + e^{-x}$ et $v' = -e^{-x}$ : $$f'(x) = -\frac{v'}{v^2} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$ Pour retrouver la forme voulue, on remarque que $$1 - f(x) = 1 - \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$$ D'où : $$f(x)\big(1-f(x)\big) = \frac{1}{1+e^{-x}} \times \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = f'(x)$$ $$\boxed{f' = f(1-f)}$$ *Conséquence :* comme $0 < f < 1$, on a $f' > 0$ : la sigmoïde est **strictement croissante**.

Déterminer la réciproque de

f

(fonction « logit »).

Exercice 29

Non commencéDifficile

Somme harmonique :

H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}

En comparant

\frac{1}{k}

à des intégrales, montrer que

\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln n

Sur $[k\,;k+1]$, la fonction décroissante $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ vérifie $\dfrac{1}{k+1} \leqslant \dfrac{1}{t} \leqslant \dfrac{1}{k}$. En intégrant sur cet intervalle de longueur $1$ : $$\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{dt}{t} = \ln(k+1) - \ln k \leqslant \frac{1}{k}$$ **Minorant :** en sommant $\ln(k+1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$ pour $k = 1$ à $n$, la somme de gauche se **télescope** : $$\ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1) \leqslant H_n$$ **Majorant :** en sommant $\dfrac{1}{k+1} \leqslant \ln(k+1) - \ln k$ pour $k = 1$ à $n-1$, on obtient $H_n - 1 \leqslant \ln n$. $$\boxed{\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln n}$$

En déduire la limite de

H_n

Montrer que la suite

u_n = H_n - \ln n

est bornée.

Exercice 30

Non commencéDifficile

La dérivée logarithmique d'une fonction

f

strictement positive est

\dfrac{f'}{f} = \big(\ln f\big)'

Justifier cette égalité.

Soit

f(x) = x^2(x+1)^3(x-2)^4

sur

]2\,;+\infty[

. Calculer

\dfrac{f'}{f}

**Étape 1 — on prend le logarithme** (tous les facteurs sont $> 0$ sur $]2\,;+\infty[$) : $$\ln f(x) = 2\ln x + 3\ln(x+1) + 4\ln(x-2)$$ Le produit est devenu une **somme** ! **Étape 2 — on dérive** terme à terme : $$\boxed{\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-2}}$$ *Comparer avec la dérivation directe :* il aurait fallu appliquer deux fois la règle du produit sur un polynôme de degré 9. Le logarithme réduit le calcul à trois dérivées immédiates.

Exercice 31

Non commencéAvancé

Étude complète de

f(x) = x^2\ln x

sur

]0\,;+\infty[

Limites aux bornes et sens de variation.

**En $0^+$ :** $x^2\ln x = x \times (x\ln x) \to 0 \times 0 = 0$ (croissance comparée). **En $+\infty$ :** $x^2 \to +\infty$ et $\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. **Dérivée :** produit de $x^2$ et $\ln x$ : $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x\,(2\ln x + 1)$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x > 0$ : $f'$ a le **signe de $2\ln x + 1$**, positif ssi $\ln x > -\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $x > e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.

En déduire le minimum de

f

Déterminer le point d'inflexion de la courbe.

On dérive une seconde fois $f'(x) = 2x\ln x + x$ : $$f''(x) = 2\ln x + 2x \times \frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3$$ $$f''(x) = 0 \iff \ln x = -\frac{3}{2} \iff x = e^{-3/2}$$ Et $f''$ **change de signe** en ce point (elle est croissante) : c'est donc bien un **point d'inflexion**. $$\boxed{\text{Point d'inflexion en } x = e^{-3/2} \approx 0{,}223}$$ *La courbe est concave avant, convexe après.*

Exercice 32

Non commencéAvancé

Intégrales et logarithme : on rappelle qu'une primitive de

\dfrac{1}{x}

sur

]0\,;+\infty[

est

\ln x

\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x}

\displaystyle\int_1^{e^2} \frac{dx}{x}

\displaystyle\int_2^6 \frac{dx}{x}

Exercice 33

Non commencéAvancé

Limites faisant intervenir des composées avec

\ln

\lim\limits_{x \to +\infty} x\big[\ln(x+1) - \ln x\big]

Forme indéterminée $\infty \times 0$. On **regroupe d'abord les logarithmes** : $$\ln(x+1) - \ln x = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$ L'expression devient $x\ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. On pose $u = \dfrac{1}{x}$, qui tend vers $0$ : $$x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1+u)}{u} \xrightarrow[u \to 0]{} 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x\big[\ln(x+1) - \ln x\big] = 1}$$

\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1}

Exercice 34

Non commencéAvancé

Étude de

f(x) = x^{1/x}

sur

]0\,;+\infty[

, et comparaison de

e^\pi

\pi^e

Montrer que

f

admet un maximum en

x = e

En déduire que

e^{\pi} > \pi^{e}

D'après la question 1, $g(e) > g(\pi)$ (car $\pi \neq e$ et le maximum est **strict**) : $$\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} \iff \frac{1}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi}$$ On multiplie par $e\pi > 0$ : $$\pi > e\ln\pi = \ln\left(\pi^{e}\right)$$ Or $\pi = \ln(e^{\pi})$. L'inégalité devient donc $\ln(e^{\pi}) > \ln(\pi^{e})$, et par stricte croissance de $\ln$ : $$\boxed{e^{\pi} > \pi^{e}}$$ *Contrôle numérique :* $e^{\pi} \approx 23{,}14$ et $\pi^{e} \approx 22{,}46$ ✓ — un écart de 3 % seulement, qu'aucune intuition ne permettait de deviner.

Exercice 35

Non commencéAvancé

Soit

u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n

pour

n \geqslant 1

. On veut montrer que

u_n \leqslant e

Exprimer

\ln(u_n)

, puis majorer cette quantité à l'aide de l'inégalité

\ln(1+t) \leqslant t

On prend le logarithme (licite : $u_n > 0$) : $$\ln(u_n) = \ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) = n\,\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ L'inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ (exercice 18), appliquée à $x = 1 + t$, donne $\ln(1+t) \leqslant t$. Avec $t = \dfrac{1}{n} > 0$ : $$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{1}{n}$$ En multipliant par $n > 0$ : $$\boxed{\ln(u_n) \leqslant 1}$$

En déduire que

u_n \leqslant e

pour tout

n \geqslant 1

On compose par $\exp$, qui est **strictement croissante** (le sens de l'inégalité est conservé) : $$\ln(u_n) \leqslant 1 \ \Longrightarrow \ e^{\ln(u_n)} \leqslant e^{1}$$ Or $e^{\ln(u_n)} = u_n$ : $$\boxed{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \quad \text{pour tout } n \geqslant 1}$$ *Contrôle :* pour $n = 5$, $\left(\frac{6}{5}\right)^5 \approx 2{,}49 \leqslant e \approx 2{,}718$ ✓ ; pour $n = 100$, $u_{100} \approx 2{,}705$ — la suite s'approche de $e$ **par en dessous**.

Exercice 36

Non commencéAvancé

Étude de

f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}

sur

]0\,;+\infty[

Déterminer les limites aux bornes.

Calculer

f'(x)

et déterminer le maximum de

f

On écrit $f(x) = \ln x \times x^{-1/2}$ et on dérive le produit : $$f'(x) = \frac{1}{x} \times x^{-1/2} + \ln x \times \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = x^{-3/2}\left(1 - \frac{\ln x}{2}\right)$$ $$f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2\,x^{3/2}}$$ Le dénominateur est positif : $f'$ a le **signe de $2 - \ln x$**, positif ssi $\ln x < 2$, c'est-à-dire $x < e^2$. $f$ croît puis décroît : elle admet un **maximum** en $x = e^2$ : $$\boxed{f(e^2) = \frac{2}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736}$$

Exercice 37

Non commencéAvancé

Étude de

f(x) = \ln(1+e^x)

sur

\mathbb{R}

(fonction « softplus »).

Justifier que

f

est définie sur

\mathbb{R}

, et calculer

f'(x)

Pour tout réel $x$, $e^x > 0$, donc $1 + e^x > 1 > 0$ : le logarithme est bien défini. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Forme $\ln(u)$ avec $u = 1 + e^x$ et $u' = e^x$ : $$f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$$ En divisant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}}$$ C'est exactement la **sigmoïde** de l'exercice 28 ! En particulier $0 < f' < 1$ : $f$ est strictement croissante.

Montrer que

f(x) - x \to 0

quand

x \to +\infty

. Interpréter.

On factorise par $e^x$ **à l'intérieur du logarithme** (le terme dominant en $+\infty$) : $$f(x) = \ln\left(e^x\left(e^{-x} + 1\right)\right) = \underbrace{\ln(e^x)}_{= \,x} + \ln\left(1 + e^{-x}\right)$$ Donc $f(x) - x = \ln(1 + e^{-x})$. Or $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $\ln(1+e^{-x}) \to \ln 1 = 0$ : $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - x\big) = 0}$$ **Interprétation :** la droite $y = x$ est **asymptote oblique** à la courbe en $+\infty$.

Déterminer

\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)

Exercice 38

Non commencéAvancé

Dérivées successives de

\ln

Calculer les trois premières dérivées de

\ln x

sur

]0\,;+\infty[

Conjecturer l'expression de la dérivée

n

-ième, puis la démontrer par récurrence.

**Conjecture :** pour tout $n \geqslant 1$, $$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}\,(n-1)!}{x^n}$$ *(Contrôle : $n=1 \to \frac{1}{x}$ ✓ ; $n=2 \to \frac{-1}{x^2}$ ✓ ; $n=3 \to \frac{2}{x^3}$ ✓)* **Récurrence.** *Initialisation :* vraie au rang $1$. *Hérédité :* supposons la formule vraie au rang $n$. On dérive : $$(\ln x)^{(n+1)} = \left(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\right)' = (-1)^{n-1}(n-1)! \times \left(-n\,x^{-n-1}\right)$$ $$= \frac{(-1)^{n}\,n\,(n-1)!}{x^{n+1}} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{x^{n+1}}$$ C'est bien la formule au rang $n+1$. $\square$ $$\boxed{(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}}$$

Exercice 39

Non commencéAvancé

Étude de

f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)

Déterminer l'ensemble de définition de

f

Calculer

f'(x)

et en déduire le sens de variation de

f

sur

]1\,;+\infty[

Forme $\ln(u)$ avec $u = \dfrac{x+1}{x-1}$. On dérive d'abord $u$ (quotient) : $$u'(x) = \frac{1 \times (x-1) - (x+1) \times 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$$ Puis $f' = \dfrac{u'}{u}$ : $$f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} \times \frac{x-1}{x+1} = \frac{-2}{(x-1)(x+1)}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{-2}{x^2-1}}$$ Sur $]1\,;+\infty[$, $x^2 - 1 > 0$, donc $f'(x) < 0$ : $f$ est **strictement décroissante**.

Montrer que

f

est impaire.

L'ensemble de définition est **symétrique** par rapport à $0$ ✓ (c'est $]-\infty;-1[\,\cup\,]1;+\infty[$). Pour $x \in \mathcal{D}_f$ : $$f(-x) = \ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) = \ln\left(\frac{-(x-1)}{-(x+1)}\right) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$$ Or $\dfrac{x-1}{x+1}$ est l'**inverse** de $\dfrac{x+1}{x-1}$, et $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a$ : $$f(-x) = -\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = -f(x)$$ $$\boxed{f \text{ est impaire}}$$ Sa courbe est donc **symétrique par rapport à l'origine** — il suffit de l'étudier sur $]1\,;+\infty[$.

Exercice 40

Non commencéAvancé

Une somme télescopique : on pose

S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)

Montrer que

\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln(k)

En déduire une expression simple de

S_n

La somme se **télescope** : chaque terme s'annule avec le suivant. $$S_n = \sum_{k=1}^{n}\big(\ln(k+1) - \ln k\big)$$ $$= \big(\cancel{\ln 2} - \ln 1\big) + \big(\cancel{\ln 3} - \cancel{\ln 2}\big) + \cdots + \big(\ln(n+1) - \cancel{\ln n}\big)$$ Il ne reste que le **dernier** terme positif et le **premier** terme négatif : $$S_n = \ln(n+1) - \ln 1$$ $$\boxed{S_n = \ln(n+1)}$$ *Vérification pour $n = 3$ :* $\ln 2 + \ln\frac{3}{2} + \ln\frac{4}{3} = \ln\left(2 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3}\right) = \ln 4 = \ln(3+1)$ ✓

En déduire la limite de

S_n

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur la fonction logarithme népérien