L'essentiel en 30 secondes
Une fonction f associe à chaque nombre x un unique nombre f(x), appelé son image ; réciproquement, x est un antécédent de f(x). Une image se calcule en remplaçant x dans la formule, un antécédent se cherche en résolvant l'équation f(x) = k — et un nombre peut en avoir plusieurs, alors que son image est toujours unique. Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : sa droite passe par l'origine et elle traduit une proportionnalité, ce qui en fait l'outil des pourcentages. Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine, et le cas b = 0 redonne une fonction linéaire.
1 I. La notion de fonction
Une fonction est une machine à transformer les nombres : on lui donne un nombre, elle en renvoie un seul. Tout le vocabulaire du chapitre sert à nommer précisément ce qui entre et ce qui sort.
2 II. Les trois façons de présenter une fonction
Une même fonction peut être donnée par une formule, par un tableau de valeurs ou par une courbe. Savoir passer de l'une à l'autre est le geste central du chapitre : un même énoncé mêle souvent les trois.
| Présentation | Lire une image | Lire un antécédent |
|---|---|---|
| Formule | remplacer par le nombre | résoudre |
| Tableau de valeurs | lire la case sous le nombre | chercher dans la ligne du bas |
| Courbe | monter à la courbe, puis lire à gauche | partir de gauche, puis descendre |
• L'image de est : on lit la case sous .
• Les antécédents de sont et : on cherche dans la ligne du bas, puis on remonte.
• Le tableau ne dit rien des nombres qui n'y figurent pas : il ne permet pas de connaître .
• Les antécédents de sont et : on cherche dans la ligne du bas, puis on remonte.
• Le tableau ne dit rien des nombres qui n'y figurent pas : il ne permet pas de connaître .
Lire une image
f(2) = 3
Lire les antécédents
f(1) = 2 et f(3) = 2
3 III. Fonctions linéaires
4 IV. Fonctions affines
Fonction linéaire
a = 2 · b = 0
Fonction affine
a = −1 · b = 2
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?
L'image est ce que la fonction renvoie, l'antécédent est ce qu'elle reçoit. Dans , le nombre est l'image de , et est un antécédent de . Une image se calcule en remplaçant dans la formule ; un antécédent se cherche en résolvant l'équation .
Un nombre peut-il avoir plusieurs images ? plusieurs antécédents ?
Plusieurs images, jamais : c'est la définition même d'une fonction. Plusieurs antécédents, oui. Avec , on a et : le nombre a donc au moins deux antécédents. C'est pourquoi on dit « un antécédent » tant qu'on n'a pas vérifié qu'il n'y en a qu'un.
signifie-t-il multiplié par ?
Non. n'est pas un nombre, c'est le nom de la fonction ; les parenthèses signalent une image et rien d'autre. Avec , on a , et l'écriture n'a aucun sens.
Comment distinguer une fonction linéaire d'une fonction affine ?
Une fonction linéaire s'écrit , une fonction affine . Le test le plus rapide est l'image de zéro : une fonction linéaire vérifie toujours , alors qu'une affine donne . Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, celui où — et c'est la seule qui traduise une proportionnalité.
Pourquoi deux hausses de 10 % ne font-elles pas 20 % ?
Parce qu'appliquer un pourcentage revient à appliquer une fonction linéaire, et que deux fonctions linéaires appliquées l'une après l'autre voient leurs coefficients se multiplier : , soit . La seconde hausse porte sur un prix déjà augmenté, jamais sur le prix de départ.