L'essentiel en 30 secondes
Les solides usuels se représentent en perspective cavalière (arêtes cachées en pointillés), en vues de face et de dessus, ou par un patron. La sphère de centre O et de rayon r réunit les points situés à la distance r de O ; la boule y ajoute tout l'intérieur. Couper un solide par un plan donne une section : rectangle pour un pavé, disque ou rectangle pour un cylindre, réduction de la base de coefficient k = SO′/SO pour une pyramide ou un cône coupé parallèlement à la base, cercle de rayon r′ tel que r′² = r² − d² pour une sphère. Un point se repère par trois coordonnées dans un pavé, et sur la Terre par sa latitude (0 à 90° N ou S) et sa longitude (0 à 180° E ou O).
1 I. Les solides usuels et leurs représentations
On distingue deux familles de solides : ceux dont toutes les faces sont planes — pavé droit, cube, prisme droit, pyramide — et ceux qui possèdent une surface courbe — cylindre, cône, boule. Avant tout calcul dans l'espace, il faut savoir nommer leurs éléments et passer d'une représentation à une autre : perspective, vues, patron.
| Solide | Base(s) | Surface latérale | Hauteur |
|---|---|---|---|
| Prisme droit | deux polygones superposables, dans des plans parallèles | des rectangles | la longueur commune des arêtes latérales |
| Pyramide | un polygone | des triangles qui ont un sommet commun , le sommet de la pyramide | le segment perpendiculaire à la base, appartenant au plan de la base |
| Cylindre de révolution | deux disques de même rayon | une surface courbe, qui se déroule en rectangle | la distance entre les centres des deux bases |
| Cône de révolution | un disque de centre | une surface courbe, qui se déroule en secteur de disque | le segment qui joint le sommet au centre de la base |
2 II. Sphère et boule
3 III. Sections planes du pavé et du cylindre
Couper un solide par un plan fait apparaître une section : la figure plane que l'on verrait sur la face coupée. Au brevet, on la reconnaît, on la nomme, puis on calcule ses dimensions. La planche ci-dessous rassemble les quatre situations du chapitre ; les deux dernières sont étudiées au paragraphe IV.
Pavé — plan parallèle à une face
Rectangle de mêmes dimensions que ABCD
Cylindre — plan parallèle aux bases
Disque de même rayon r que les bases
Pyramide — plan parallèle à la base
Réduction de la base : k = SO′ / SO
Sphère — plan à la distance d du centre
Cercle de rayon r′, avec r′² = r² − d²
4 IV. Sections de la pyramide, du cône et de la sphère
5 V. Se repérer dans un pavé et sur la sphère terrestre
Repérer un point M sur le globe
Longitude de M : 65° E — l'angle se lit le long de l'équateur, depuis le méridien de Greenwich (de 0° à 180°, Est ou Ouest).
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
La sphère de centre et de rayon ne contient que les points situés à la distance de : c'est une surface, comme l'enveloppe d'un ballon. La boule contient en plus tout l'intérieur, c'est-à-dire les points tels que . C'est donc la boule qui a un volume, ; le centre appartient à la boule, mais jamais à la sphère.
Comment calculer le rayon de la section d'une sphère par un plan ?
On note la distance du plan au centre. Si , la section est un cercle dont le rayon vérifie , par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le centre de la sphère, le centre du cercle et un point du cercle. Avec cm et cm, on trouve cm, et non cm. Si , la section est un grand cercle ; si , le plan est tangent à la sphère.
Que devient une pyramide coupée parallèlement à sa base ?
La section est une réduction de la base, de coefficient , où est le sommet, la hauteur et le point où le plan coupe cette hauteur. Les longueurs de la section sont multipliées par , son aire par , et le volume de la petite pyramide par . C'est pourquoi un cône rempli jusqu'à mi-hauteur ne contient qu'un huitième de sa contenance.
Comment ne pas confondre latitude et longitude ?
La latitude indique l'écart angulaire à l'équateur, vers le Nord ou le Sud : elle va de à et se lit le long d'un méridien. La longitude indique l'écart angulaire au méridien de Greenwich, vers l'Est ou l'Ouest : elle va de à et se lit le long de l'équateur. Même latitude signifie même parallèle ; même longitude, même méridien.
Comment calculer une distance le long d'un méridien ?
La longueur d'un arc de méridien est proportionnelle à l'angle au centre : . Pour deux points d'un même méridien, est l'écart de latitude : on soustrait les latitudes si les deux points sont dans le même hémisphère, on les additionne sinon. Avec km, un écart de correspond à environ km.