Exercices corrigés sur la géométrie dans l'espace en Troisième

Une boule de rayon $6$ cm est rangée dans une boîte cylindrique dans laquelle elle tient exactement : la boule touche le fond, le couvercle et la paroi latérale.

1. Quels sont le rayon et la hauteur de la boîte ? Justifier.

2. Calculer les volumes exacts de la boîte et de la boule.

3. Quelle fraction du volume de la boîte la boule occupe-t-elle ?

4. Calculer le volume d'air restant dans la boîte, arrondi au cm³.

Une boule est placée dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête $10$ cm, de sorte qu'elle touche chacune des six faces en son centre. Son centre $O$ est le centre du cube.

1. Quel est le rayon de la boule ? Justifier.

2. On note $I$ le centre de la face $ABCD$ et $M$ le milieu de l'arête $[AB]$. Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. Calculer $OM$, arrondi au millimètre. Le point $M$ appartient-il à la boule ?

3. Le triangle $OIA$ est rectangle en $I$. Calculer $IA^{2}$, puis $OA$, arrondi au millimètre.

4. Quel pourcentage du volume du cube la boule occupe-t-elle ? Arrondir au dixième.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier.

1. « Deux points d'une sphère de rayon $4$ cm peuvent être distants de $9$ cm. »

2. « Si l'on double le rayon d'une boule, son volume double. »

3. « Un grand cercle d'une sphère de rayon $r$ a pour longueur $2\pi r$. »

4. « Le centre d'une sphère appartient à cette sphère. »

5. « Tous les cercles tracés sur une sphère ont le même rayon que la sphère. »

Un pavé droit $ABCDEFGH$ a pour dimensions $AB=8$ cm, $AD=6$ cm et $AE=10$ cm. La face $ABCD$ est la face du dessous, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On le coupe par le plan qui contient les arêtes $[AE]$ et $[CG]$.

1. Justifier que la section $ACGE$ est un rectangle.

2. Calculer $AC$.

3. Quelle est la nature précise de la section ? Calculer son aire.

4. La coupe partage le pavé en deux solides superposables. Quelle est leur nature ? Calculer le volume de chacun.

Un cylindre de révolution a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $12$ cm. On note $O$ le centre de sa base inférieure. On le coupe par un plan parallèle à son axe, situé à $3$ cm de celui-ci : ce plan coupe le cercle de base en deux points $A$ et $B$.

1. Quelle est la nature de la section ?

2. On note $H$ le milieu de $[AB]$, de sorte que $OH=3$ cm et que le triangle $OHA$ est rectangle en $H$. Calculer $AH$, puis $AB$.

3. Calculer l'aire de la section.

4. Existe-t-il une position du plan, toujours parallèle à l'axe, pour laquelle la section est un carré ? Justifier.

Un pavé droit $ABCDEFGH$ a pour dimensions $AB=10$ cm, $BC=8$ cm et $BF=7$ cm. La face $ABCD$ est la face du dessous, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On place le point $I$ sur $[AB]$ tel que $BI=3$ cm et le point $J$ sur $[BC]$ tel que $BJ=4$ cm.

On coupe le pavé par le plan qui passe par $I$ et $J$ et qui est parallèle à l'arête $[BF]$. Ce plan coupe $[EF]$ en $I'$ et $[FG]$ en $J'$.

1. Quelle est la nature de la section $IJJ'I'$ ?

2. Calculer $IJ$.

3. Calculer l'aire de la section.

4. La coupe détache le coin $B$ du pavé. Quelle est la nature du morceau détaché ? Calculer son volume, puis celui du morceau restant.

Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas : sa profondeur est de $9$ cm et son ouverture est un disque de rayon $4{,}5$ cm. On le remplit jusqu'à $6$ cm de hauteur, mesurés depuis la pointe.

1. Justifier que la surface du liquide est une réduction de l'ouverture, et calculer le coefficient $k$.

2. Calculer le rayon de la surface du liquide.

3. Calculer le volume du verre, puis celui du liquide, arrondis au dixième de cm³.

4. Le verre est-il rempli aux deux tiers de sa contenance ? Justifier.

Une pyramide $SABCD$ a pour base le rectangle $ABCD$ de dimensions $AB=12$ cm et $BC=9$ cm, et pour hauteur $SO=15$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la hauteur en $O'$, avec $SO'=10$ cm. Il partage la pyramide en une petite pyramide de sommet $S$ et un tronc de pyramide.

1. Calculer le coefficient de réduction $k$.

2. Calculer les dimensions et l'aire de la section.

3. Calculer le volume de la grande pyramide, puis celui de la petite en utilisant $k$.

4. En déduire le volume du tronc de pyramide.

Un aquarium a la forme d'une sphère de centre $O$ et de rayon intérieur $15$ cm. On le remplit d'eau jusqu'à une hauteur de $24$ cm, mesurée depuis le point le plus bas de la sphère. La surface de l'eau est horizontale.

1. À quelle distance du centre $O$ se trouve la surface de l'eau ?

2. La surface de l'eau est un disque. Calculer son rayon, puis son aire arrondie au cm².

3. L'ouverture de l'aquarium est un cercle de rayon $9$ cm, situé dans un plan horizontal au-dessus de $O$. À quelle hauteur au-dessus du point le plus bas se trouve cette ouverture ?

Une orange est assimilée à une boule de centre $O$ et de rayon $5$ cm.

1. On la coupe par un plan situé à $3$ cm du centre. Calculer le rayon de la face coupée, puis son aire arrondie au dixième de cm².

2. À quelle distance du centre faut-il couper pour que la face coupée ait un rayon de $2{,}5$ cm, la moitié du rayon de l'orange ? Arrondir au millimètre.

3. Où faut-il couper pour obtenir la plus grande face possible ? Calculer alors son aire, arrondie au dixième de cm².

Un pavé droit $ABCDEFGH$ est repéré avec l'origine $A$, l'abscisse le long de $[AB]$, l'ordonnée le long de $[AD]$ et l'altitude le long de $[AE]$ ; $E$, $F$, $G$, $H$ sont respectivement au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On donne $B(6\ ;\ 0\ ;\ 0)$, $D(0\ ;\ 4\ ;\ 0)$ et $E(0\ ;\ 0\ ;\ 5)$.

1. Donner les dimensions du pavé, puis les coordonnées de $C$ et de $G$.

2. Donner les coordonnées du point $S$, centre de la face du dessus $EFGH$.

3. Donner les coordonnées du point $\Omega$, centre du pavé, sachant qu'il est le milieu de $[AG]$.

4. À quels points particuliers du pavé correspondent les points $K(0\ ;\ 4\ ;\ 2{,}5)$ et $L(6\ ;\ 2\ ;\ 0)$ ?

On assimile la Terre à une sphère de rayon $R=6\,371$ km. Paris a pour coordonnées $49^\circ$ N et $2^\circ$ E ; Barcelone, $41^\circ$ N et $2^\circ$ E (valeurs arrondies au degré).

1. Justifier que les deux villes sont sur un même méridien.

2. Calculer la longueur d'un méridien, arrondie au km.

3. Quel est l'angle au centre qui intercepte l'arc de méridien reliant les deux villes ?

4. Calculer la longueur de cet arc, arrondie au km.

5. Calculer la longueur d'un arc de méridien de $1^\circ$, arrondie au km.

On assimile la Terre à une sphère de rayon $R=6\,371$ km. Les villes de Quito, Macapá et Libreville sont toutes trois très proches de l'équateur ; on les considère situées sur l'équateur, aux longitudes suivantes, arrondies au degré :

• Quito : $78^\circ$ O ;
• Macapá : $51^\circ$ O ;
• Libreville : $9^\circ$ E.

1. Calculer la longueur de l'équateur, arrondie au km.

2. Calculer la longueur de l'arc d'équateur qui relie Quito à Macapá, arrondie au km.

3. Calculer la longueur de l'arc d'équateur qui relie Quito à Libreville, arrondie au km.

4. Un avion parcourt $1\,000$ km vers l'est le long de l'équateur à partir de Macapá. Franchit-il le méridien de Greenwich ?