Puissances et racines carrées

L'essentiel en 30 secondes

Un exposant négatif donne un inverse : a⁻ⁿ = 1/aⁿ, si bien que 2⁻³ vaut 0,125 — un résultat positif. Les trois règles de calcul (ajouter les exposants pour un produit, les soustraire pour un quotient, les multiplier pour une puissance de puissance) restent valables avec des exposants relatifs, mais ne s'appliquent jamais à une somme. La racine carrée √a, définie pour a ≥ 0, est l'unique nombre positif dont le carré vaut a : elle traverse les produits et les quotients, jamais les sommes. Enfin l'équation x² = a possède deux solutions opposées si a > 0, une seule si a = 0, aucune si a < 0.

1 I. Puissances d'exposant entier relatif

On sait déjà ce que signifie

a^5

: un produit de cinq facteurs égaux. Reste à donner un sens à

a^{-5}

, ce qu'aucun comptage de facteurs ne permet de faire. La définition retenue est la seule qui préserve les règles de calcul déjà connues.

2 II. Notation scientifique et ordres de grandeur

La notation scientifique n'est pas seulement une écriture : c'est l'outil qui rend comparables des nombres que l'on ne saurait pas lire autrement. Comparer

0{,}000\,000\,12

0{,}000\,05

à l'œil nu est un exercice d'attention ; comparer

1{,}2\times 10^{-7}

5\times 10^{-5}

est immédiat.

3 III. Racine carrée : définition

$n$	$n^2$	$n$	$n^2$
$1$	$1$	$11$	$121$
$2$	$4$	$12$	$144$
$3$	$9$	$13$	$169$
$4$	$16$	$14$	$196$
$5$	$25$	$15$	$225$
$6$	$36$	$16$	$256$
$7$	$49$	$17$	$289$
$8$	$64$	$18$	$324$
$9$	$81$	$19$	$361$
$10$	$100$	$20$	$400$

Ces carrés parfaits sont à connaître par cœur : ce sont eux que l'on reconnaît pour simplifier une racine, encadrer un nombre irrationnel ou conclure un calcul de Pythagore sans calculatrice.

4 IV. Propriétés des racines carrées

5 V. Équations du type x² = a

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Un exposant négatif rend-il le résultat négatif ?

Non. Un exposant négatif produit un inverse, pas un opposé :

2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125

, qui est positif. Le signe du résultat dépend uniquement du signe de la base et de la parité de l'exposant :

(-2)^{3}=-8

est négatif à cause de la base, pas de l'exposant.

Pourquoi

\sqrt{16}

vaut-il 4 et non

\pm 4

Parce que la racine carrée est par définition l'unique nombre positif dont le carré vaut

16

. Il est vrai que

(-4)^{2}=16

, mais

-4

n'est pas la racine carrée de

16

. L'écriture

\pm 4

décrit les solutions de l'équation

x^{2}=16

, ce qui est une question différente.

Peut-on écrire

\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

Jamais. Un contre-exemple règle la question :

\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

, alors que

\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7

. La racine carrée traverse un produit (

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}

) et un quotient, mais aucune formule ne permet de développer

\sqrt{a+b}

Comment simplifier une racine carrée ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine, puis on l'extrait :

\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}

. Pour contrôler, on élève le résultat au carré :

6^{2}\times 2=72

. Une racine est complètement simplifiée quand le nombre restant n'a plus aucun carré parfait pour diviseur.

Combien de solutions a l'équation

x^2=a

Deux si

a>0

(les nombres

\sqrt{a}

-\sqrt{a}

), une seule si

a=0

, aucune si

a<0

puisqu'un carré n'est jamais négatif. Attention : si

x

désigne une longueur, seule la solution positive convient — et la rédaction doit le dire explicitement.

Règle	Formule	Exemple
Exposant négatif	$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$	$2^{-3}=\frac{1}{8}$
Produit	$a^m\times a^n=a^{m+n}$	$3^{5}\times 3^{-2}=3^{3}$
Quotient	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$\frac{5^{2}}{5^{-3}}=5^{5}$
Puissance de puissance	$(a^m)^n=a^{mn}$	$(2^{-4})^{3}=2^{-12}$
Produit élevé à une puissance	$(ab)^n=a^n b^n$	$(3x)^{2}=9x^{2}$
Exposants 0 et 1	$a^{0}=1$ , $a^{1}=a$	$4^{0}=1$

Propriété	Formule	Condition
Définition	$\sqrt{a}\geqslant 0$ et $(\sqrt{a})^{2}=a$	$a\geqslant 0$
Carré d'une racine	$(\sqrt{a})^{2}=a$	$a\geqslant 0$
Racine d'un carré	$\sqrt{a^{2}}=a$	$a\geqslant 0$
Produit	$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$	$a,b\geqslant 0$
Quotient	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$a\geqslant 0$ , $b>0$
Somme	$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$	aucune formule

Cas	Solutions	Exemple
$a>0$	deux : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$	$x^{2}=16\Rightarrow x=4$ ou $x=-4$
$a=0$	une : $x=0$	$x^{2}=0\Rightarrow x=0$
$a<0$	aucune	$x^{2}=-25$ : impossible

1 I. Puissances d'exposant entier relatif

2 II. Notation scientifique et ordres de grandeur

3 III. Racine carrée : définition

4 IV. Propriétés des racines carrées

5 V. Équations du type x² = a

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Puissances

Notation scientifique

Racines carrées

Équations $x^2=a$

Exercices corrigés sur les puissances et les racines carrées

Puissances, écriture scientifique et racines

Consignes

Exercice 1 — Puissances et écriture scientifique

Exercice 2 — Racines carrées

Exercice 3 — Un carré et un rectangle

Puissances et racines carrées

1 I. Puissances d'exposant entier relatif

2 II. Notation scientifique et ordres de grandeur

3 III. Racine carrée : définition

4 IV. Propriétés des racines carrées

5 V. Équations du type x² = a

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Puissances

Notation scientifique

Racines carrées

Équations x2=ax^2=ax2=a

Exercices corrigés sur les puissances et les racines carrées

Consignes

Équations $x^2=a$