Chapitre 03 Puissances et racines carrées Troisième

Exercices corrigés sur les puissances et les racines carrées en Troisième

Un exposant négatif ne rend pas automatiquement le résultat négatif, et une racine carrée ne se distribue pas sur une somme. Cette banque d’exercices de Troisième te fait travailler ces distinctions dans des calculs courts, puis dans des expressions plus longues. Tu simplifies des produits et des quotients de puissances, tu passes en notation scientifique et tu compares des ordres de grandeur à partir de situations comme les tailles de cellules ou les distances astronomiques.

La partie sur les racines carrées t’aide à conserver une valeur exacte : extraire un carré parfait, réduire des racines semblables et résoudre une équation après avoir isolé le carré. Les problèmes d’aire et de Pythagore demandent ensuite de choisir les solutions compatibles avec une longueur. Vérifie ce choix avant d’arrondir ton résultat.

40 exercices : 16 faciles, 16 intermédiaires, 8 difficiles. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les puissances et les racines carrées

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices · 5 séries progressives · 8 affichés0 réussis · 0 à revoir

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Série 1 sur 5 · Exercices 1 à 8

Série 1 — Puissances d'exposant entier relatif

0/8 réussis

Exercice 1 — Exposants négatifs

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : appliquer la définition $a^{-n}=1/a^n$ · distinguer exposant négatif et base négative

Écrire chaque nombre sans exposant négatif, puis donner sa valeur :

2^{-3}\qquad 5^{-2}\qquad 10^{-4}\qquad (-3)^{-2}

Exercice 2 — Une seule puissance

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : appliquer les trois règles de calcul avec des exposants relatifs · gérer la soustraction d'un exposant négatif

Écrire sous la forme d'une seule puissance :

3^{5}\times 3^{-2}\qquad 7^{-3}\times 7^{6}\qquad \left(2^{-4}\right)^{3}\qquad \frac{5^{2}}{5^{-3}}

Exercice 3 — Quatre valeurs à calculer

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : calculer une puissance de base négative ou fractionnaire · utiliser les conventions $a^0=1$ et $a^{-1}=1/a$

Calculer :

(-2)^{-3}\qquad 4^{0}\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\qquad 10^{-1}

Exercice 4 — Puissances de 10

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : calculer avec des puissances de 10 d'exposants relatifs · gérer une puissance de puissance négative

Écrire sous la forme d'une seule puissance de $10$ , puis donner la valeur décimale :

10^{-5}\times 10^{8}\qquad \frac{10^{3}}{10^{-2}}\qquad \left(10^{-2}\right)^{-3}

Exercice 5 — Deux expressions à simplifier

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : enchaîner plusieurs règles sur les puissances · réduire une expression à un entier

Simplifier et donner la valeur exacte :

A=\frac{2^{3}\times 2^{-5}}{2^{-4}}\qquad B=\left(3^{-2}\times 3^{4}\right)^{2}

Exercice 6 — Puissance d'un produit, puissance d'un quotient

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissance d'un produit et d'un quotient

Objectifs : appliquer $(ab)^n=a^n b^n$ · élever une fraction à une puissance

Calculer $(2\times 5)^{3}$ d'une part, $2^{3}\times 5^{3}$ d'autre part. Que constate-t-on ?
Développer $(3x)^{2}$ et $(2y)^{4}$ .
Calculer $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}$ et $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}$ .

Exercice 7 — Produits, quotients… et sommes

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif

Objectifs : réduire un quotient de puissances · constater qu'aucune règle ne s'applique à une somme de puissances

Simplifier $C=\dfrac{5^{-3}\times 5^{7}}{\left(5^{2}\right)^{2}}$ .
Calculer $D=2^{-1}+2^{-2}$ .
Un élève écrit : « $2^{-1}+2^{-2}=2^{-3}$ ». Expliquer pourquoi c'est faux.

Exercice 8 — Tout ramener à la même base

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : puissances d'exposant entier relatif · décomposition en produit de facteurs premiers

Objectifs : exprimer plusieurs bases comme puissances d'une même base · simplifier une expression après changement de base

Simplifier et donner la valeur exacte :

E=\frac{4^{3}\times 8^{-2}}{2^{-5}}

Série 2 sur 5 · Exercices 9 à 16

Série 2 — Notation scientifique et ordres de grandeur

0/8 réussis

Exercice 9 — Quatre écritures scientifiques

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : notation scientifique

Objectifs : écrire un nombre en notation scientifique · traiter un nombre compris entre 0 et 1

Écrire en notation scientifique :

0{,}00058\qquad 123\,400\qquad 0{,}7\qquad 96\,000\,000

Exercice 10 — Deux produits

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : notation scientifique

Objectifs : multiplier deux écritures scientifiques · réajuster le facteur décimal

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :

A=(3\times 10^{-5})\times(4\times 10^{9})\qquad B=(2{,}5\times 10^{6})\times(8\times 10^{-2})

Exercice 11 — Deux quotients

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : notation scientifique

Objectifs : diviser deux écritures scientifiques · réajuster un facteur inférieur à 1

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :

C=\frac{9\times 10^{7}}{3\times 10^{-2}}\qquad D=\frac{1{,}2\times 10^{-3}}{4\times 10^{5}}

Exercice 12 — Comparer sans calculer

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : notation scientifique · ordre de grandeur

Objectifs : comparer deux nombres en écriture scientifique · hiérarchiser exposant et facteur décimal

Comparer, en justifiant :

$3{,}2\times 10^{5}$ et $4{,}1\times 10^{4}$
$6\times 10^{-3}$ et $5\times 10^{-2}$
$7{,}4\times 10^{3}$ et $7{,}9\times 10^{3}$

Exercice 13 — Bactérie et cellule

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : notation scientifique · ordre de grandeur

Objectifs : interpréter un quotient de deux mesures · conclure par une phrase dans un contexte concret

Une bactérie mesure environ $2\times 10^{-6}$ m de long ; une cellule humaine environ $3\times 10^{-5}$ m.

Laquelle est la plus grande ? Justifier sans calculer de quotient.
Combien de fois la cellule est-elle plus longue que la bactérie ?
Combien de bactéries faudrait-il aligner pour couvrir $1$ mm, soit $10^{-3}$ m ?

Exercice 14 — Un calcul à trois étages

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : notation scientifique · puissance d'un produit et d'un quotient

Objectifs : élever une écriture scientifique au carré · enchaîner puissance, produit et quotient

Calculer et donner le résultat sous forme décimale :

A=\frac{\left(6\times 10^{-4}\right)^{2}\times\left(5\times 10^{11}\right)}{3\times 10^{2}}

Exercice 15 — Additionner deux écritures scientifiques

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : notation scientifique

Objectifs : ramener deux nombres à la même puissance de 10 · additionner et soustraire en écriture scientifique

Calculer et donner le résultat en notation scientifique :

A=4{,}2\times 10^{6}+3{,}5\times 10^{5}\qquad B=8\times 10^{-4}-2{,}5\times 10^{-5}

Exercice 16 — La lumière du Soleil

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : notation scientifique · vitesse moyenne

Objectifs : appliquer la relation distance-vitesse-durée en écriture scientifique · convertir une durée en unités usuelles

La lumière se propage dans le vide à la vitesse de $3{,}0\times 10^{8}$ m/s.

Le Soleil est situé à environ $1{,}5\times 10^{11}$ m de la Terre. Calculer la durée mise par sa lumière pour nous parvenir, en secondes, puis convertir en minutes et secondes.
L'étoile Proxima Centauri est à environ $4{,}0\times 10^{16}$ m. Calculer la durée du trajet de sa lumière, en secondes.
Sachant qu'une année représente environ $3{,}15\times 10^{7}$ secondes, exprimer cette durée en années. Arrondir au dixième.

Série 3 sur 5 · Exercices 17 à 24

Série 3 — Racines carrées : définition et calculs

0/8 réussis

Exercice 17 — Quatre racines à calculer

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : racine carrée · carrés parfaits

Objectifs : reconnaître un carré parfait · calculer la racine carrée d'un décimal ou d'une fraction

Calculer :

\sqrt{49}\qquad \sqrt{144}\qquad \sqrt{0{,}25}\qquad \sqrt{\frac{9}{16}}

Exercice 18 — Racines et carrés

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : racine carrée

Objectifs : appliquer $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$ · calculer une expression contenant des racines

Calculer :

\left(\sqrt{7}\right)^{2}\qquad \sqrt{5^{2}}\qquad \sqrt{100}-\sqrt{36}\qquad \sqrt{16\times 9}

Exercice 19 — Vrai ou faux sur les racines

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : racine carrée

Objectifs : appliquer la condition d'existence d'une racine carrée · distinguer racine carrée et solutions de $x^2=a$

Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

$\sqrt{-4}$ vaut $-2$ .
$\sqrt{16}=\pm 4$ .
$\sqrt{0}=0$ .
Le carré de $\sqrt{11}$ vaut $11$ .

Exercice 20 — Encadrer une racine

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : racine carrée · carrés parfaits

Objectifs : encadrer une racine entre deux entiers consécutifs · utiliser les carrés parfaits comme repères

Encadrer chacun des nombres suivants entre deux entiers consécutifs, sans calculatrice :

\sqrt{50}\qquad \sqrt{170}\qquad \sqrt{300}

Exercice 21 — Produits et quotients de racines

Non commencéIntermédiaire

10 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : produit et quotient de racines carrées

Objectifs : appliquer $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ · reconnaître un carré parfait après regroupement

Calculer, sans calculatrice :

\sqrt{8}\times\sqrt{2}\qquad \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\qquad \sqrt{5}\times\sqrt{20}

Exercice 22 — Produit oui, somme non

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : produit et quotient de racines carrées

Objectifs : vérifier une propriété sur un exemple · réfuter une propriété fausse par un contre-exemple

Calculer $A=\sqrt{36\times 49}$ et $B=\sqrt{36}\times\sqrt{49}$ . Comparer.
Calculer $C=\sqrt{9+16}$ et $D=\sqrt{9}+\sqrt{16}$ . Comparer.
Quelle conclusion tirer de ces deux comparaisons ?

Exercice 23 — Carrés d'expressions à racines

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : racine carrée · puissance d'un produit et d'un quotient

Objectifs : élever au carré un produit contenant une racine · combiner les règles des puissances et des racines

Calculer :

\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\qquad \left(3\sqrt{5}\right)^{2}\qquad \sqrt{2}\times\sqrt{8}\qquad \left(\sqrt{6}\right)^{2}\times\left(\sqrt{2}\right)^{2}

Exercice 24 — Trois expressions à évaluer

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : produit et quotient de racines carrées · racine carrée

Objectifs : enchaîner produits, quotients et carrés de racines · obtenir une valeur entière exacte

Calculer, sans calculatrice, et donner la valeur exacte :

E=\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\qquad F=\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\qquad G=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}

Série 4 sur 5 · Exercices 25 à 32

Série 4 — Simplifier et additionner des racines

0/8 réussis

Exercice 25 — Trois racines en √2

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée

Objectifs : extraire un carré parfait d'une racine · écrire une racine sous la forme $k\sqrt{m}$

Écrire chaque racine sous la forme $k\sqrt{2}$ , où $k$ est un entier :

\sqrt{8}\qquad \sqrt{18}\qquad \sqrt{50}

Exercice 26 — Racines en √3 et en √5

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée

Objectifs : identifier le carré parfait extrayable · simplifier des racines de radicandes variés

Simplifier :

\sqrt{12}\qquad \sqrt{20}\qquad \sqrt{45}

Exercice 27 — Des nombres plus grands

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée · décomposition en produit de facteurs premiers

Objectifs : trouver le plus grand carré parfait diviseur d'un grand nombre · simplifier en plusieurs étapes si nécessaire

Simplifier :

\sqrt{72}\qquad \sqrt{98}\qquad \sqrt{180}

Exercice 28 — Additionner des racines semblables

Non commencéIntermédiaire

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : somme de racines de même radicande · simplification d'une racine carrée

Objectifs : regrouper des racines de même radicande · simplifier avant d'additionner

Réduire :

A=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\qquad B=2\sqrt{3}+\sqrt{12}

Exercice 29 — Simplifier puis réduire

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée · somme de racines de même radicande

Objectifs : simplifier trois racines avant de les réduire · gérer les signes dans une somme de racines

Réduire, en donnant la valeur exacte :

A=\sqrt{50}+\sqrt{8}-\sqrt{18}

Exercice 30 — Un coefficient devant la racine

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée · somme de racines de même radicande

Objectifs : multiplier un coefficient par celui issu de la simplification · réduire une somme de trois racines

Réduire, en donnant la valeur exacte :

A=\sqrt{27}+2\sqrt{48}-\sqrt{75}

Exercice 31 — Deux réductions complètes

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée · somme de racines de même radicande

Objectifs : mener plusieurs simplifications avec coefficients · obtenir une valeur exacte réduite

Réduire, en donnant la valeur exacte :

A=\sqrt{45}-2\sqrt{20}+3\sqrt{5}\qquad B=\sqrt{200}+\sqrt{32}-2\sqrt{50}

Exercice 32 — Quatre termes, et un cas irréductible

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : simplification d'une racine carrée · somme de racines de même radicande

Objectifs : réduire une somme de quatre racines · reconnaître une expression qui ne se réduit pas davantage

Réduire $C=5\sqrt{12}-3\sqrt{27}+\sqrt{108}-\sqrt{3}$ .
Réduire, si c'est possible, $D=\left(2\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{80}$ . Commenter le résultat.

Série 5 sur 5 · Exercices 33 à 40

Série 5 — Équations x² = a et synthèse

0/8 réussis

Exercice 33 — Combien de solutions ?

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : équation x² = a

Objectifs : discuter le nombre de solutions selon le signe du second membre · écrire les deux solutions quand elles existent

Résoudre chaque équation, en précisant le nombre de solutions :

x^{2}=49\qquad x^{2}=0\qquad x^{2}=-9

Exercice 34 — Solutions exactes

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équation x² = a · racine carrée

Objectifs : résoudre $x^2=a$ avec $a$ décimal ou non carré parfait · donner une solution exacte sous forme de racine

Résoudre, en donnant les solutions exactes :

x^{2}=100\qquad x^{2}=0{,}25\qquad x^{2}=5

Exercice 35 — Isoler le carré d'abord

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équation x² = a · équation du premier degré

Objectifs : isoler $x^2$ avant de résoudre · conclure sur deux solutions opposées

Résoudre :

3x^{2}=48\qquad x^{2}-121=0\qquad 2x^{2}+50=0

Exercice 36 — L'aire d'un carré

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équation x² = a · racine carrée

Objectifs : modéliser une aire par une équation du type $x^2=a$ · écarter la solution négative dans un contexte géométrique

Un carré a une aire de $169$ cm².

Écrire une équation permettant de déterminer la longueur $c$ de son côté.
Résoudre cette équation.
En déduire la longueur du côté, puis le périmètre du carré.

Exercice 37 — Pythagore et valeur exacte

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · racine carrée · équation x² = a

Objectifs : appliquer Pythagore et conclure par une racine non entière · encadrer un résultat pour le contrôler

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=5$ cm et $AC=7$ cm.

Calculer $BC^{2}$ .
En déduire la valeur exacte de $BC$ , puis une valeur approchée au dixième de centimètre.
Contrôler ce résultat par un encadrement entre deux entiers consécutifs.

Exercice 38 — Un carré de 50 cm²

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équation x² = a · simplification d'une racine carrée

Objectifs : donner une longueur exacte sous forme simplifiée · calculer un périmètre exact contenant une racine

Un carré a une aire de $50$ cm².

Donner la valeur exacte de la longueur de son côté, sous forme simplifiée $k\sqrt{m}$ .
En donner une valeur approchée au millimètre.
Donner la valeur exacte de son périmètre, sous forme simplifiée, puis une valeur approchée au millimètre.

Exercice 39 — Quatre équations à isoler

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équation x² = a · équation du premier degré

Objectifs : isoler $x^2$ dans des équations variées · discuter systématiquement le nombre de solutions

Résoudre, en précisant à chaque fois le nombre de solutions :

2x^{2}-3=47\qquad \frac{x^{2}}{5}=20\qquad x^{2}+9=9\qquad 5-x^{2}=9

Exercice 40 — Le terrain carré

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : notation scientifique · équation x² = a · racine carrée · pourcentages

Objectifs : convertir une écriture scientifique en écriture décimale · déterminer un côté à partir d'une aire · enchaîner périmètre, prix proportionnel et augmentation

Un terrain a la forme d'un carré, d'aire $2{,}25\times 10^{4}$ m².

Écrire cette aire sous forme décimale.
Déterminer la longueur du côté du terrain.
Le propriétaire veut clôturer le terrain. La clôture coûte $18{,}50$ € le mètre. Calculer le coût total.
Le prix de la clôture augmente de $6\,\%$ . Quel serait alors le coût total ?

Aller plus loin sur ce chapitre

Le devoir type brevet reste sur la page du chapitre : il mobilise plusieurs notions à la fois et s'aborde une fois ces exercices maîtrisés.

Voir le devoir type brevet sur les puissances et les racines carrées