L'essentiel en 30 secondes
Une rotation de centre O et d'angle α fait tourner une figure autour de O, dans un sens donné : chaque point reste à la même distance de O. Comme les symétries et les translations, elle conserve les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. Une homothétie de centre O et de rapport k place l'image de M sur la droite (OM), du même côté que M si k > 0, de l'autre côté si k < 0 : les longueurs sont multipliées par k (par −k si k est négatif), les aires par k² et les volumes par k³ (par (−k)³ si k est négatif). Les frises se construisent par translation, et une rosace de n motifs par des rotations d'angle 360° ÷ n.
1 I. Les transformations déjà connues
Une transformation associe à chaque point du plan un point , appelé son image. Transformer une figure, c'est transformer chacun de ses points. Trois transformations sont connues depuis la 5ᵉ et la 4ᵉ : on les rappelle ici, car la rotation partage avec elles les mêmes propriétés de conservation.
2 II. La rotation
Une rotation fait tourner une figure autour d'un point fixe, d'un angle donné, dans un sens donné. C'est le mouvement d'une aiguille d'horloge, d'une grande roue ou d'une porte qui pivote sur ses gonds.
Rotation de centre O, d’angle 90°, sens inverse des aiguilles d’une montre
OA′ = OA · OB′ = OB · OC′ = OC angle AOA′ = 90°
3 III. Ce que conservent symétries, translations et rotations
4 IV. L'homothétie
Les transformations précédentes déplacent une figure sans changer ses dimensions. L'homothétie, elle, l'agrandit ou la réduit à partir d'un point fixe, comme un zoom centré sur ce point.
Homothéties de centre O, de rapports 2 et −0,5
- ABC : figure de départ
- A′B′C′ : rapport 2, même côté de O, longueurs × 2
- A″B″C″ : rapport −0,5, autre côté de O, longueurs × 0,5
Sur la figure, chaque sommet du triangle rouge est deux fois plus loin de que le sommet correspondant du triangle bleu, du même côté : c'est le rapport . Chaque sommet du triangle vert est deux fois plus près de , de l'autre côté : c'est le rapport .
| Rapport | Position de l'image | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|---|
| même côté de | ||||
| même côté de | ||||
| autre côté de | ||||
| autre côté de | ||||
| autre côté de |
5 V. Frises, pavages et rosaces
Beaucoup de décors — carrelages, frises de papier peint, vitraux, logos — sont construits en répétant un même motif par une transformation. Savoir la reconnaître permet de décrire la construction, puis de calculer des grandeurs sur toute la figure à partir d'un seul motif.
| On observe… | Transformation |
|---|---|
| même taille, même orientation, motif déplacé | translation |
| même taille, motif retourné comme dans un miroir | symétrie axiale |
| même taille, motif tourné autour d'un point | rotation (le demi-tour est la symétrie centrale) |
| taille modifiée, points alignés avec un centre | homothétie |
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une rotation et une symétrie centrale ?
La symétrie centrale est une rotation particulière : le demi-tour, d'angle . Pour ce seul angle, le sens n'a pas d'importance, et le centre est le milieu de chaque segment . Pour tout autre angle, une rotation se définit par son centre, son angle et son sens.
Comment trouver les coordonnées de l'image d'un point par un quart de tour ?
Au collège, on raisonne sur la figure, avec un centre à l'origine . Pour aller de à , on fait unités vers la droite puis vers le haut ; un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre fait tourner ce trajet, qui devient vers le haut puis vers la gauche. D'où , et l'on contrôle que .
Une homothétie de rapport négatif donne-t-elle des longueurs négatives ?
Non. Un rapport indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre. Les longueurs sont multipliées par , qui est positif : avec , un segment de cm devient un segment de cm, et une aire est multipliée par .
Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et non par k ?
Parce qu'une aire fait intervenir deux longueurs : si la longueur et la largeur d'un rectangle sont toutes deux multipliées par , son aire est multipliée par . Un volume fait intervenir trois longueurs, d'où : doubler les dimensions d'un pavé multiplie son volume par .
Comment reconnaître la transformation utilisée dans une frise ou une rosace ?
Dans une frise, les motifs sont alignés, régulièrement espacés et orientés de la même façon : c'est une translation. Dans une rosace, ils tournent autour d'un centre : c'est une rotation, d'angle pour motifs. Si la taille change, c'est une homothétie ; si le motif est retourné comme dans un miroir, c'est une symétrie axiale.