Exercices corrigés sur les triangles semblables en Troisième

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=10$ cm, $AC=8$ cm et $BC=9$ cm. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$, le point $E$ au segment $[AC]$, et $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$.

1. Justifier que les triangles $ADE$ et $ACB$ sont semblables.

2. Préciser les sommets homologues. Le sommet $D$ est-il l'homologue de $B$ ?

3. On donne $AD=4$ cm. Calculer $AE$ et $DE$.

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, avec $\widehat{A}=\widehat{D}$, $\widehat{B}=\widehat{F}$ et $\widehat{C}=\widehat{E}$. Un élève écrit :

1. Expliquer son erreur.

2. Écrire l'égalité correcte.

3. On donne $AB=5$ cm, $BC=10$ cm, $AC=8$ cm et $DF=7{,}5$ cm. Calculer le rapport qui fait passer de $ABC$ à $DEF$, puis $DE$ et $EF$.

$ABCD$ est un parallélogramme, avec $AB=7$ cm et $BC=5$ cm. On trace la diagonale $[AC]$.

1. Justifier que $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ et que $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$.

2. En déduire que les triangles $ABC$ et $CDA$ sont semblables, et préciser les sommets homologues.

3. Calculer le rapport qui fait passer de $ABC$ à $CDA$. Que peut-on dire de ces deux triangles ?

Un bâton vertical $[AB]$ de $1{,}2$ m, planté en $B$, et un lampadaire vertical $[DE]$, de pied $E$, se dressent sur un même sol horizontal. À un instant donné, l'ombre du bâton est le segment $[BC]$, de $1{,}8$ m, et celle du lampadaire est le segment $[EF]$, de $9$ m. Les points $B$, $C$, $E$ et $F$ sont sur la droite du sol, les deux ombres sont dirigées dans le même sens, et les rayons du soleil sont parallèles : $(AC)\parallel(DF)$.

1. Justifier que les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

2. Calculer la hauteur $DE$ du lampadaire.

3. Au même instant, l'ombre d'un immeuble vertical mesure $27$ m. Quelle est sa hauteur ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=9$ cm et $AC=12$ cm. Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ : il appartient à $[BC]$ et $(AH)\perp(BC)$.

1. Calculer $BC$.

2. Démontrer que les triangles $HBA$ et $ABC$ sont semblables, et préciser les sommets homologues.

3. En déduire $BH$ et $AH$.

4. Vérifier ces résultats à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$.

La voile triangulaire d'un voilier a pour côtés $3$ m, $4{,}5$ m et $5$ m. Sur une maquette, la voile est un triangle semblable dont le plus grand côté mesure $20$ cm.

1. Convertir les longueurs de la vraie voile en centimètres.

2. Calculer le rapport qui fait passer de la vraie voile à celle de la maquette.

3. Calculer les deux autres côtés de la voile de la maquette.

Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$. Le point $O$ est situé entre $A$ et $D$, et entre $B$ et $C$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA=3$ cm, $OB=2{,}8$ cm, $AB=4$ cm et $OD=4{,}5$ cm.

1. Démontrer que les triangles $OAB$ et $ODC$ sont semblables.

2. Préciser les sommets homologues.

3. Calculer $OC$ et $CD$.

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=10$ cm et $AC=8$ cm. Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $B$ : il appartient à $[AC]$ et $(BH)\perp(AC)$. Le point $K$ est le pied de la hauteur issue de $C$ : il appartient à $[AB]$ et $(CK)\perp(AB)$. On mesure $AH=6$ cm.

1. Démontrer que les triangles $ABH$ et $ACK$ sont semblables, et préciser les sommets homologues.

2. Calculer $AK$.

3. Calculer $BH$, puis en déduire $CK$.

Un menuisier doit fabriquer un triangle de bois qui soit un agrandissement de rapport $1{,}5$ d'un modèle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Il livre un triangle de côtés $7{,}5$ cm, $10{,}5$ cm et $13{,}4$ cm. À l'œil, les deux triangles ont exactement la même forme.

1. Les deux triangles sont-ils semblables ? Justifier.

2. Quelle erreur, en millimètres, le menuisier a-t-il commise ?

3. Un rapporteur de précision indique que le plus grand angle du modèle mesure environ $95{,}7^\circ$, et celui du triangle livré environ $94{,}8^\circ$. Est-ce cohérent avec la question 1 ?

Les segments $[AD]$ et $[BE]$ se coupent en $C$. On donne $CA=4$ cm, $CB=7$ cm, $AB=5$ cm et $CE=6$ cm, et l'on sait que $\widehat{CAB}=\widehat{CED}$.

1. Démontrer que les triangles $CAB$ et $CED$ sont semblables, et préciser les sommets homologues.

2. Calculer $CD$ et $DE$.

3. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Deux triangles semblables ont pour aires $18$ cm² et $50$ cm². Le plus petit a un côté de $6$ cm.

1. Par quel nombre faut-il multiplier l'aire du petit triangle pour obtenir celle du grand ? Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.

2. En déduire le rapport $k$ qui fait passer du petit triangle au grand.

3. Calculer la longueur du côté du grand triangle homologue du côté de $6$ cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=5$ cm et $AC=12$ cm.

1. Calculer $BC$, puis le périmètre et l'aire du triangle $ABC$.

2. Le triangle $DEF$, rectangle en $D$, est semblable à $ABC$, et son hypoténuse $[EF]$ mesure $32{,}5$ cm. Calculer le rapport qui fait passer de $ABC$ à $DEF$.

3. En déduire le périmètre et l'aire de $DEF$ sans calculer ses autres côtés.

4. Contrôler l'aire en calculant les longueurs des côtés de l'angle droit de $DEF$.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier.

1. « Si l'on multiplie par $2$ les longueurs des côtés d'un triangle, son aire est multipliée par $2$. »

2. « Si l'aire d'un triangle semblable à un autre est $9$ fois plus grande, ses côtés sont $3$ fois plus longs. »

3. « Dans un agrandissement de rapport $2$, les angles sont doublés. »

4. « Deux triangles semblables qui ont la même aire ont aussi le même périmètre. »