Chapitre 11 Rotations et homothéties Troisième

Exercices corrigés sur les rotations et les homothéties en Troisième

Symétries, translations et rotations déplacent une figure sans la déformer. Avec ces exercices de Troisième, tu reprends d'abord les acquis de Cinquième et de Quatrième, puis tu apprends à faire tourner un point autour d'un centre, d'un angle donné et dans un sens précis. Tu places des images dans un repère par quarts de tour et demi-tours, tu justifies des longueurs et des angles grâce aux propriétés de conservation, et tu démontres des égalités de segments sans calcul, simplement en repérant une rotation cachée dans la figure.

L'homothétie, elle, change la taille de la figure. Tu détermines son rapport, tu places des images du même côté du centre ou de l'autre côté, et tu relies la figure obtenue au théorème de Thalès. Les exercices sur les aires et les volumes t'entraînent à choisir entre k, k² et k³, y compris avec un rapport négatif. Les frises, les pavages et les rosaces rassemblent enfin toutes les transformations du chapitre dans des figures à décrire et à calculer.

40 exercices : 16 faciles, 16 intermédiaires, 8 difficiles. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les rotations et les homothéties

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices · 5 séries progressives · 8 affichés0 réussis · 0 à revoir

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Série 1 sur 5 · Exercices 1 à 8

Série 1 — Symétries et translations : les acquis

0/8 réussis

Exercice 1 — Symétriques dans un repère

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : symétrie axiale · symétrie centrale · repérage dans le plan

Objectifs : construire le symétrique d'un point par rapport à un axe du repère · construire le symétrique d'un point par rapport à l'origine

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on place les points $A(3\ ;\ 2)$ , $B(-1\ ;\ 4)$ et $C(2\ ;\ -5)$ .

Donner les coordonnées des points $A_1$ , $B_1$ et $C_1$ , symétriques de $A$ , $B$ et $C$ par rapport à l'axe des ordonnées.
Donner les coordonnées des points $A_2$ , $B_2$ et $C_2$ , symétriques de $A$ , $B$ et $C$ par rapport au point $O$ .
Le point $D(0\ ;\ 6)$ a-t-il, par rapport à l'axe des ordonnées, un symétrique distinct de lui-même ? Justifier.

Exercice 2 — Ce que conserve une symétrie axiale

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : symétrie axiale · théorème de Pythagore

Objectifs : utiliser la conservation des longueurs, des angles et des aires par une symétrie axiale

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB=6$ cm, $BC=8$ cm et $AC=10$ cm. L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ $53^\circ$ .

On construit le triangle $A'B'C'$ , image du triangle $ABC$ par la symétrie d'axe une droite $(d)$ .

Donner les longueurs $A'B'$ , $B'C'$ et $A'C'$ .
Le triangle $A'B'C'$ est-il rectangle ? Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{B'A'C'}$ .
Calculer le périmètre et l'aire du triangle $A'B'C'$ .

Exercice 3 — Glisser sur un quadrillage

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : translation · repérage dans le plan

Objectifs : décrire une translation par un déplacement sur le quadrillage · construire l'image d'un point par une translation

Dans un repère, on place les points $A(1\ ;\ 1)$ et $B(5\ ;\ 3)$ . On note $t$ la translation qui transforme $A$ en $B$ .

Décrire le déplacement qui mène de $A$ à $B$ , en nombre d'unités vers la droite et vers le haut.
Déterminer les coordonnées des images par $t$ des points $M(0\ ;\ 2)$ , $N(-3\ ;\ 0)$ et $P(2\ ;\ -4)$ .
Déterminer les coordonnées du point $Q$ dont l'image par $t$ est le point $A$ .

Exercice 4 — Le parallélogramme et son centre

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : symétrie centrale · parallélogramme

Objectifs : reconnaître une symétrie centrale dans un parallélogramme · utiliser la conservation des longueurs et des aires

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ , avec $AB=7$ cm et $BC=4$ cm. L'aire du triangle $OAB$ vaut $6$ cm².

Quelle est l'image du point $A$ par la symétrie de centre $O$ ? Celle du point $B$ ? Justifier.
En déduire l'image du segment $[AB]$ et celle du segment $[BC]$ , puis les longueurs $CD$ et $DA$ .
Quelle est l'aire du triangle $OCD$ ?
Quelle est l'image de la droite $(AB)$ ? Que peut-on dire de ces deux droites ?

Exercice 5 — Une translation qui fabrique un parallélogramme

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : translation · parallélogramme · angles

Objectifs : reconnaître le parallélogramme associé à une translation · calculer des longueurs et des angles dans un parallélogramme

Le triangle $ABC$ vérifie $AB=5$ cm, $AC=3$ cm et $\widehat{BAC}=70^\circ$ . La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en un point $D$ .

Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier.
Calculer les longueurs $CD$ et $BD$ .
Calculer les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{BDC}$ .
Quelle est l'image du segment $[AC]$ par cette translation ?

Exercice 6 — Une symétrie axiale dans un triangle rectangle

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : symétrie axiale · médiatrice · théorème de Pythagore

Objectifs : justifier une propriété par la définition de la symétrie axiale · calculer une longueur par conservation

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=3$ cm et $AC=4$ cm. On note $D$ le symétrique du point $B$ par rapport à la droite $(AC)$ .

Justifier que les points $B$ , $A$ , $D$ sont alignés et que $A$ est le milieu du segment $[BD]$ .
Calculer $BC$ , puis en déduire $CD$ sans nouveau calcul.
Quelle est la nature du triangle $BCD$ ? Calculer son périmètre et son aire.

Exercice 7 — Quatre images d'un même triangle

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : symétrie axiale · symétrie centrale · translation · repérage dans le plan

Objectifs : reconnaître une transformation à partir des coordonnées de points · associer chaque sommet à son image

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , le triangle $T$ a pour sommets $A(1\ ;\ 1)$ , $B(4\ ;\ 1)$ et $C(1\ ;\ 3)$ . On considère aussi quatre triangles :

$T_1$ , de sommets $(-1\ ;\ 1)$ , $(-4\ ;\ 1)$ et $(-1\ ;\ 3)$ ;
$T_2$ , de sommets $(-1\ ;\ -1)$ , $(-4\ ;\ -1)$ et $(-1\ ;\ -3)$ ;
$T_3$ , de sommets $(1\ ;\ -1)$ , $(4\ ;\ -1)$ et $(1\ ;\ -3)$ ;
$T_4$ , de sommets $(3\ ;\ 3)$ , $(6\ ;\ 3)$ et $(3\ ;\ 5)$ .

Pour chacun des triangles $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ et $T_4$ , nommer une transformation qui transforme $T$ en ce triangle, en précisant l'image de chaque sommet de $T$ .
Calculer l'aire du triangle $T$ . En déduire, sans calcul, l'aire des quatre autres triangles.

Exercice 8 — Symétries, translation et aire d'un quadrilatère

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : symétrie centrale · symétrie axiale · translation · théorème de Pythagore

Objectifs : reconnaître une même image sous deux transformations · calculer une aire de deux façons

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB=6$ cm et $BC=8$ cm.

On note $E$ le symétrique de $C$ par rapport au point $B$ , et $F$ l'image de $A$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ .

Calculer $AC$ .
Justifier que $E$ est aussi le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AB)$ . En déduire la longueur $AE$ sans calcul.
Justifier que $ABCF$ est un rectangle et donner ses dimensions.
Calculer l'aire du quadrilatère $AECF$ de deux façons différentes.

Série 2 sur 5 · Exercices 9 à 16

Série 2 — Rotations

0/8 réussis

Exercice 9 — Lire une rotation

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : rotation · triangle isocèle

Objectifs : traduire la définition d'une rotation · calculer les angles d'un triangle isocèle

Le point $A'$ est l'image du point $A$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $70^\circ$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On sait que $OA=5$ cm.

Que vaut la longueur $OA'$ ? Justifier.
Que vaut l'angle $\widehat{AOA'}$ ?
Quelle est l'image du point $O$ par cette rotation ?
Calculer les angles $\widehat{OAA'}$ et $\widehat{OA'A}$ du triangle $OAA'$ .

Exercice 10 — Quarts de tour dans un repère

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : rotation · repérage dans le plan · théorème de Pythagore

Objectifs : construire l'image d'un point par un quart de tour de centre l'origine · justifier des coordonnées sur une figure

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on place les points $A(4\ ;\ 0)$ , $B(0\ ;\ 3)$ et $C(2\ ;\ 1)$ . On note $r$ la rotation de centre $O$ , d'angle $90^\circ$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Déterminer les coordonnées de $A'$ , image de $A$ par $r$ . Justifier à l'aide d'une figure.
Déterminer les coordonnées de $B'$ , image de $B$ par $r$ .
On note $H(2\ ;\ 0)$ . Déterminer l'image $H'$ de $H$ , puis l'image $C'$ de $C$ , en observant comment tourne le trajet qui mène de $O$ à $H$ , puis de $H$ à $C$ .

Exercice 11 — Le demi-tour

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : rotation · symétrie centrale · repérage dans le plan

Objectifs : reconnaître une rotation d'angle 180° comme une symétrie centrale

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on place les points $A(3\ ;\ -2)$ et $B(-1\ ;\ 5)$ .

On fait tourner le point $A$ de $180^\circ$ autour de $O$ , dans le sens des aiguilles d'une montre. Quelles sont les coordonnées de son image $A'$ ?
Le résultat change-t-il si l'on tourne dans le sens inverse ?
Quelle transformation déjà connue est la rotation de centre $O$ et d'angle $180^\circ$ ? En déduire les coordonnées de l'image $B'$ de $B$ .
Quel est le milieu du segment $[BB']$ ?

Exercice 12 — Ce que conserve une rotation

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : rotation · réciproque du théorème de Pythagore

Objectifs : utiliser les propriétés de conservation d'une rotation · déterminer l'image d'un cercle

Le triangle $ABC$ vérifie $AB=5$ cm, $AC=12$ cm et $BC=13$ cm. On construit son image $A'B'C'$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $120^\circ$ , dans le sens des aiguilles d'une montre.

Donner les longueurs des côtés du triangle $A'B'C'$ .
Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. Le triangle $A'B'C'$ l'est-il aussi ? Si oui, en quel sommet ?
Calculer le périmètre et l'aire du triangle $A'B'C'$ .
Le cercle de centre $B$ et de rayon $2$ cm a pour image un cercle. Préciser son centre et son rayon.

Exercice 13 — Tourner autour du centre d'un carré

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : rotation · propriétés du carré

Objectifs : justifier l'image d'un point par une rotation · reconnaître une figure qui se superpose à elle-même par rotation

$ABCD$ est un carré de centre $O$ et de côté $6$ cm, dont les sommets sont nommés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On note $r$ la rotation de centre $O$ , d'angle $90^\circ$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Justifier que l'image de $A$ par $r$ est $B$ .
En déduire les images de $B$ , $C$ et $D$ par $r$ , puis l'image du carré $ABCD$ .
Quelle est l'image du triangle $OAB$ par $r$ ? Calculer l'aire de ces deux triangles.
Quelle rotation de centre $O$ transforme $A$ en $C$ ? Donner deux rotations de centre $O$ qui transforment $A$ en $D$ .

Exercice 14 — Le triangle formé par un point et son image

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rotation · triangle isocèle · théorème de Pythagore · racine carrée

Objectifs : reconnaître un triangle isocèle rectangle · calculer la distance entre un point et son image

Le point $A'$ est l'image du point $A$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $90^\circ$ , dans le sens des aiguilles d'une montre. On donne $OA=5$ cm.

Quelle est la nature du triangle $OAA'$ ? Justifier.
Calculer la longueur $AA'$ , en valeur exacte puis arrondie au millimètre.
Calculer les angles $\widehat{OAA'}$ et $\widehat{OA'A}$ .
On remplace la rotation par celle de même centre et de même sens, d'angle $40^\circ$ . Calculer les angles du nouveau triangle $OAA'$ .

Exercice 15 — Deux triangles équilatéraux accolés

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rotation · triangle équilatéral · losange · théorème de Pythagore

Objectifs : justifier la nature d'un triangle obtenu par rotation · calculer une diagonale de losange

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4$ cm. On note $r$ la rotation de centre $A$ , d'angle $60^\circ$ , qui transforme $B$ en $C$ , et $D$ l'image de $C$ par $r$ .

Justifier que le triangle $ACD$ est équilatéral.
Calculer l'angle $\widehat{BAD}$ .
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier.
On note $I$ le milieu de $[AC]$ . Calculer $BI$ , puis la longueur $BD$ arrondie au millimètre.

Exercice 16 — Deux segments de même longueur grâce à une rotation

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : rotation · triangle équilatéral · théorème de Pythagore

Objectifs : démontrer une égalité de longueurs à l'aide d'une rotation · enchaîner rotation et théorème de Pythagore

$ABC$ est un triangle tel que $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $\widehat{BAC}=30^\circ$ . À l'extérieur de ce triangle, on construit les triangles équilatéraux $ABD$ et $ACE$ . On note $r$ la rotation de centre $A$ , d'angle $60^\circ$ , dans le sens qui va de $D$ vers $B$ . On pourra faire une figure à main levée.

Justifier que $r$ transforme $D$ en $B$ , puis expliquer, à l'aide de la figure, pourquoi elle transforme $C$ en $E$ .
En déduire que $DC=BE$ .
Calculer l'angle $\widehat{DAC}$ , puis la longueur $DC$ .
Calculer l'angle $\widehat{BAE}$ , puis retrouver la longueur $BE$ par un second calcul.

Série 3 sur 5 · Exercices 17 à 24

Série 3 — Homothéties

0/8 réussis

Exercice 17 — Placer l'image d'un point

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : homothétie

Objectifs : construire l'image d'un point par une homothétie · interpréter le signe du rapport

Sur une droite, on place deux points $O$ et $A$ tels que $OA=4$ cm. Pour chacune des homothéties de centre $O$ ci-dessous, calculer la distance $OA'$ entre $O$ et l'image $A'$ de $A$ , et préciser si $A'$ est du même côté de $O$ que $A$ ou de l'autre côté.

Rapport $k=3$ .
Rapport $k=0{,}5$ .
Rapport $k=-2$ .
Rapport $k=-0{,}75$ .
Rapport $k=-1$ . Quelle transformation connue retrouve-t-on ?
Dans les cas 1 et 3, calculer la distance $AA'$ .

Exercice 18 — Retrouver le rapport

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis2 repères

Prérequis : homothétie

Objectifs : déterminer le rapport d'une homothétie à partir d'un point et de son image

Dans chaque cas, $M'$ est l'image du point $M$ par une homothétie de centre $O$ . Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.

$OM=5$ cm, $OM'=15$ cm, et $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ .
$OM=6$ cm, $OM'=4{,}5$ cm, et $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ .
$OM=2$ cm, $OM'=7$ cm, et $O$ est entre $M$ et $M'$ .
$OM=8$ cm, $OM'=2$ cm, et $O$ est entre $M$ et $M'$ .

Exercice 19 — Les côtés d'un triangle transformé

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · réciproque du théorème de Pythagore

Objectifs : calculer les longueurs d'une figure image · utiliser la conservation des angles par une homothétie

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB=3$ cm, $BC=4$ cm et $AC=5$ cm.

Calculer les longueurs des côtés de son image $A_1B_1C_1$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $1{,}5$ .
Calculer les longueurs des côtés de son image $A_2B_2C_2$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ .
Justifier que le triangle $ABC$ est rectangle. Ses deux images le sont-elles aussi ?
Calculer le périmètre de chacun des trois triangles.

Exercice 20 — Agrandissement ou réduction ?

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · agrandissement et réduction

Objectifs : interpréter le rapport d'une homothétie · distinguer la position et les dimensions de l'image

Pour chacune des homothéties de centre $O$ et de rapport $k$ ci-dessous, préciser :

par quel nombre les longueurs sont multipliées ;
si l'image d'une figure est un agrandissement, une réduction ou une figure de mêmes dimensions ;
si l'image est du même côté de $O$ que la figure, ou de l'autre côté.

k=4\qquad k=0{,}3\qquad k=-1\qquad k=-2{,}5\qquad k=-0{,}6\qquad k=1

Exercice 21 — Homothétie et théorème de Thalès

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · réciproque du théorème de Thalès

Objectifs : déterminer un rapport et calculer des longueurs images · relier une homothétie à une configuration de Thalès

Les points $A'$ et $B'$ sont les images des points $A$ et $B$ par une homothétie de centre $O$ ; les points $O$ , $A$ , $B$ ne sont pas alignés. Le point $A'$ est sur la demi-droite $[OA)$ , et l'on donne $OA=4$ cm, $OA'=10$ cm, $OB=6$ cm et $AB=5$ cm.

Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
Calculer $OB'$ et $A'B'$ .
Justifier de deux façons que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles : par une propriété de l'homothétie, puis par la réciproque du théorème de Thalès.

Exercice 22 — Un rapport négatif : la configuration papillon

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · théorème de Thalès

Objectifs : construire l'image d'un triangle par une homothétie de rapport négatif · reconnaître une configuration papillon

Le triangle $OAB$ vérifie $OA=5$ cm, $OB=8$ cm et $AB=7$ cm. On note $A'$ et $B'$ les images de $A$ et $B$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}6$ .

Où se trouvent les points $A'$ et $B'$ ? Calculer $OA'$ et $OB'$ .
Calculer $A'B'$ .
Retrouver $A'B'$ grâce au théorème de Thalès, en précisant la configuration.
Calculer la longueur $AA'$ .

Exercice 23 — Remonter à la figure de départ

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · propriétés du rectangle

Objectifs : déterminer le rapport d'une réduction · calculer des longueurs de la figure de départ à partir de l'image

Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par une homothétie de centre $O$ . On sait que $OA=6$ cm, $OA'=4{,}5$ cm, et que $A'$ appartient au segment $[OA]$ . Par ailleurs, $A'B'=6$ cm et $B'C'=3{,}6$ cm.

Déterminer le rapport de l'homothétie. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ? Justifier.
Calculer les dimensions $AB$ et $BC$ du rectangle $ABCD$ .
On donne $OC'=7{,}2$ cm. Calculer $OC$ .

Exercice 24 — Deux homothéties, trois carrés

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · propriétés du carré

Objectifs : justifier la nature d'une figure image · observer le lien entre deux images d'une même figure

$ABCD$ est un carré de côté $2$ cm, et $O$ est un point extérieur au carré tel que $OA=3$ cm. On construit :

le quadrilatère $A_1B_1C_1D_1$ , image de $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ ;
le quadrilatère $A_2B_2C_2D_2$ , image de $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}5$ .

Justifier que $A_1B_1C_1D_1$ et $A_2B_2C_2D_2$ sont des carrés, et donner leurs côtés.
Calculer $OA_1$ et $OA_2$ , puis la distance $A_1A_2$ .
Montrer que $A_2$ est l'image de $A_1$ par une homothétie de centre $O$ dont on précisera le rapport.
Calculer les aires des trois carrés. Par quel nombre faut-il multiplier l'aire du plus grand carré pour obtenir celle du plus petit ?

Série 4 sur 5 · Exercices 25 à 32

Série 4 — Longueurs, aires et volumes transformés

0/8 réussis

Exercice 25 — Le tableau des aires

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : homothétie · aires

Objectifs : calculer l'aire d'une image par une homothétie

Une figure a une aire de $12$ cm². Calculer l'aire de son image par l'homothétie de rapport $k$ , dans chacun des cas suivants :

k=2\qquad k=3\qquad k=0{,}5\qquad k=-1\qquad k=-2\qquad k=-0{,}5

Parmi ces homothéties, lesquelles conservent l'aire ?

Exercice 26 — Un disque qui tourne, puis qui grandit

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : rotation · homothétie · aire du disque

Objectifs : distinguer une transformation qui conserve les aires d'une transformation qui les modifie · calculer une aire image de deux façons

Un disque a pour rayon $2$ cm.

Calculer son aire, en valeur exacte puis arrondie au dixième de cm².
On lui applique une rotation de centre $O$ et d'angle $50^\circ$ . Quelle est l'aire du disque obtenu ?
On applique au disque de départ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ . Quel est le rayon du disque image ? Calculer son aire de deux façons, en valeur exacte puis arrondie au dixième de cm².

Exercice 27 — Du rapport des aires au rapport de l'homothétie

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · racine carrée

Objectifs : déterminer le rapport d'une homothétie à partir d'un rapport d'aires · utiliser la position de l'image pour trancher le signe

Par une homothétie de centre $O$ , un triangle d'aire $12$ cm² a pour image un triangle d'aire $75$ cm².

Par quel nombre l'aire a-t-elle été multipliée ?
En déduire les deux valeurs possibles du rapport $k$ de l'homothétie.
On sait de plus que l'image est de l'autre côté de $O$ par rapport au triangle de départ. Quel est le rapport $k$ ?
Un côté du triangle de départ mesure $4$ cm. Combien mesure le côté correspondant de l'image ?

Exercice 28 — Un pavé agrandi

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : homothétie · volume du pavé droit · aire d'un pavé droit

Objectifs : calculer un volume image de deux façons · calculer une aire totale image

Un pavé droit a pour dimensions $2$ cm, $3$ cm et $4$ cm. On l'agrandit par une homothétie de rapport $1{,}5$ .

Calculer le volume du pavé de départ.
Calculer les dimensions du pavé image, puis son volume.
Retrouver ce volume à l'aide du nombre $1{,}5^{3}$ .
Calculer l'aire totale des six faces du pavé de départ, puis celle du pavé image. Par quel nombre a-t-elle été multipliée ?

Exercice 29 — Un cône de l'autre côté de son sommet

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : homothétie · volume du cône

Objectifs : calculer le volume d'un solide image par une homothétie de rapport négatif

Un cône de révolution a pour sommet $S$ , pour rayon de base $3$ cm et pour hauteur $4$ cm. On rappelle que le volume d'un cône vaut $\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ .

Calculer le volume de ce cône, en valeur exacte puis arrondie au dixième de cm³.
On lui applique l'homothétie de centre $S$ et de rapport $-0{,}5$ : on obtient un cône placé pointe contre pointe avec le premier, comme dans un sablier. Donner le rayon de base et la hauteur du cône image.
Calculer le volume du cône image de deux façons, en valeur exacte puis arrondie au dixième de cm³.
Quelle fraction du volume de départ le volume du cône image représente-t-il ?

Exercice 30 — Photocopies agrandies

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : agrandissement et réduction · aires · racine carrée · pourcentages

Objectifs : relier un pourcentage d'agrandissement au coefficient des longueurs · déterminer le coefficient qui double une aire

Une photocopieuse agrandit un document : réglée sur $150\,\%$ , elle multiplie toutes les longueurs par $1{,}5$ . La copie est alors un agrandissement de l'original, comme l'image par une homothétie de rapport $1{,}5$ .

Un dessin rectangulaire de $8$ cm sur $6$ cm est photocopié à $150\,\%$ . Donner les dimensions et l'aire de la copie. Par quel nombre l'aire a-t-elle été multipliée ?
Un élève affirme : « à $150\,\%$ , l'aire augmente de $50\,\%$ ». A-t-il raison ?
On veut une copie dont l'aire soit exactement le double de celle de l'original. Par quel nombre $k$ faut-il multiplier les longueurs ? Quel pourcentage faut-il afficher sur la photocopieuse, arrondi à l'unité ?

Exercice 31 — Le verre rempli aux deux tiers

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : homothétie · volume du cône · pourcentages

Objectifs : modéliser un remplissage par une réduction · interpréter un rapport de volumes

Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas : son bord est un cercle de rayon $4$ cm, et sa hauteur vaut $12$ cm. On le remplit d'eau jusqu'aux deux tiers de sa hauteur. On admet que le cône d'eau est l'image du cône formé par le verre par l'homothétie de centre la pointe du verre et de rapport $\dfrac{2}{3}$ .

Calculer le volume du verre, en valeur exacte puis arrondie au cm³.
Donner la hauteur du cône d'eau et le rayon de sa surface.
Calculer le volume d'eau de deux façons, en valeur exacte puis arrondie au cm³.
Quelle fraction du verre est remplie ? Exprimer ce résultat en pourcentage arrondi à l'unité.
Une personne affirme : « pour remplir le verre à moitié, il suffit de verser de l'eau jusqu'à mi-hauteur ». Est-ce vrai ? Justifier.

Exercice 32 — Retrouver le rapport à partir des volumes

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : homothétie · volume du pavé droit · puissances

Objectifs : déterminer un coefficient de longueurs à partir d'un coefficient de volumes · discuter le signe du rapport

Un pavé droit $P$ a pour dimensions $2$ cm, $4$ cm et $5$ cm. Son image $P'$ par une homothétie de centre $O$ a un volume de $1\,080$ cm³.

Calculer le volume de $P$ , puis le nombre par lequel le volume a été multiplié.
En calculant les cubes des premiers entiers, déterminer le nombre par lequel les longueurs ont été multipliées.
Le rapport de l'homothétie peut-il être négatif ? Donner les deux valeurs possibles de $k$ .
Donner les dimensions de $P'$ et vérifier son volume.
Calculer l'aire totale des faces de $P$ , puis en déduire celle de $P'$ sans calculer ses faces. Vérifier ensuite par un calcul direct.

Série 5 sur 5 · Exercices 33 à 40

Série 5 — Frises, pavages, rosaces et synthèse

0/8 réussis

Exercice 33 — Une frise de motifs

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : translation · frises

Objectifs : reconnaître une translation dans une frise · calculer la longueur d'un déplacement

Une frise décorative est obtenue en reproduisant un motif de $2{,}5$ cm de large, sans espace entre deux motifs. On passe d'un motif au suivant par la translation qui transforme un point $A$ du premier motif en le point correspondant $B$ du deuxième motif, avec $AB=2{,}5$ cm.

Par quelle transformation passe-t-on du premier motif au quatrième ? Préciser la longueur du déplacement.
Combien de motifs complets peut-on placer sur une bande de $1$ m de long ?
Tous les motifs de la frise ont-ils la même aire ? Justifier.
Le quatrième motif est-il retourné ou tourné par rapport au premier ? Justifier.

Exercice 34 — L'angle d'une rosace

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : rotation · rosaces

Objectifs : calculer l'angle de rotation d'une rosace régulière · déterminer le nombre de motifs d'une rosace

Une rosace est formée de motifs identiques, régulièrement répartis autour d'un centre $O$ : on passe d'un motif au suivant par une rotation de centre $O$ , toujours du même angle et dans le même sens.

Une rosace compte $5$ pétales. Quel est l'angle de la rotation qui fait passer d'un pétale au suivant ?
Même question pour une rosace de $8$ pétales, puis de $12$ pétales.
On construit une rosace en tournant un motif de $40^\circ$ à chaque fois, jusqu'à revenir au motif de départ. Combien la rosace compte-t-elle de motifs ?
Peut-on construire de cette façon une rosace régulière en tournant de $50^\circ$ à chaque fois ? Justifier.

Exercice 35 — Pourquoi les hexagones pavent le plan

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rotation · triangle équilatéral · pavages · translation

Objectifs : utiliser une rotation pour établir des égalités de longueurs et d'aires · justifier qu'une figure pave le plan

Un hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$ est découpé en six triangles $OAB$ , $OBC$ , $OCD$ , $ODE$ , $OEF$ et $OFA$ . La rotation $r$ de centre $O$ , d'angle $60^\circ$ , dans le sens qui va de $A$ vers $B$ , transforme $A$ en $B$ , $B$ en $C$ , $C$ en $D$ , et ainsi de suite.

Quelle est l'image du triangle $OAB$ par $r$ ? En déduire que les six triangles ont la même aire.
Justifier que le triangle $OAB$ est équilatéral.
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ de l'hexagone.
Expliquer pourquoi trois hexagones réguliers identiques peuvent se placer autour d'un même sommet, sans trou ni chevauchement.
Quelle transformation de centre $O$ transforme $A$ en $D$ ?

Exercice 36 — Des carrés emboîtés

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homothétie · aire du carré

Objectifs : calculer des longueurs et des aires dans une suite d'homothéties · reconnaître le rapport entre deux images non consécutives

Un motif est formé de quatre carrés $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ et $C_4$ ayant un sommet commun $O$ : chaque carré est l'image du précédent par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $1{,}5$ . Le carré $C_1$ a pour côté $2$ cm.

Calculer le côté de chacun des carrés $C_2$ , $C_3$ et $C_4$ .
Calculer l'aire de chacun des quatre carrés.
Par quel nombre passe-t-on de l'aire de $C_1$ à celle de $C_4$ ?
Le carré $C_4$ est-il l'image de $C_1$ par une homothétie de centre $O$ ? Si oui, préciser son rapport.

Exercice 37 — Cinq affirmations à trancher

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rotation · homothétie · symétrie centrale · translation

Objectifs : justifier ou réfuter une affirmation sur les transformations · produire un contre-exemple

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier.

La rotation de centre $O$ et d'angle $180^\circ$ est la symétrie de centre $O$ .
Une homothétie de rapport $-2$ transforme un segment de $3$ cm en un segment de $-6$ cm.
Par une rotation d'angle $90^\circ$ , l'image d'une droite est toujours parallèle à cette droite.
Une homothétie de rapport $3$ multiplie les aires par $6$ .
Par une translation, par une rotation ou par une symétrie axiale, l'image d'un carré de côté $4$ cm est un carré de côté $4$ cm.

Exercice 38 — La rosace des six triangles rectangles

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : rotation · rosaces · triangle équilatéral · théorème de Pythagore · racine carrée

Objectifs : justifier une construction par rotations successives · calculer une aire en s'appuyant sur les propriétés de conservation

On part d'un triangle $ABC$ rectangle en $B$ , tel que $AB=3$ cm, $AC=6$ cm et $\widehat{BAC}=60^\circ$ . On construit ses images successives par la rotation $r$ de centre $A$ , d'angle $60^\circ$ , dans le sens qui va de $B$ vers $C$ : le triangle $AB_1C_1$ est l'image de $ABC$ , le triangle $AB_2C_2$ est l'image de $AB_1C_1$ , et ainsi de suite. On obtient une rosace.

Combien de triangles distincts la rosace compte-t-elle, en comptant $ABC$ ? Justifier.
Justifier que tous ces triangles sont rectangles et ont la même aire.
Justifier que $B_1$ est le milieu du segment $[AC]$ .
Calculer $BC$ en valeur exacte, puis l'aire du triangle $ABC$ arrondie au dixième de cm².
Justifier que le triangle $ACC_1$ est équilatéral, puis que l'aire du triangle $AB_1C_1$ est la moitié de celle du triangle $ACC_1$ .
On admet que les six triangles équilatéraux $ACC_1$ , $AC_1C_2$ , … forment un hexagone régulier, et que chacun d'eux contient l'un des six triangles rectangles, comme $ACC_1$ contient $AB_1C_1$ . Quelle fraction de l'aire de cet hexagone la rosace occupe-t-elle ? Calculer l'aire de la rosace et celle de l'hexagone, arrondies au dixième de cm².

Exercice 39 — Le théorème de Pythagore en quatre rotations

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rotation · propriétés du carré · théorème de Pythagore · aires

Objectifs : démontrer la nature d'un quadrilatère à l'aide d'une rotation · comparer deux calculs d'une même aire

$PQRS$ est un carré de côté $7$ cm et de centre $O$ , dont les sommets sont nommés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On place les points $M$ sur $[PQ]$ , $N$ sur $[QR]$ , $K$ sur $[RS]$ et $L$ sur $[SP]$ tels que

PM=QN=RK=SL=3\ \text{cm}

On note $r$ la rotation de centre $O$ , d'angle $90^\circ$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Justifier que $r$ transforme $P$ en $Q$ , $Q$ en $R$ et $S$ en $P$ . En déduire que $r$ transforme $M$ en $N$ et $L$ en $M$ .
En déduire que le triangle $QNM$ est l'image du triangle $PML$ par $r$ , et que $NM=ML$ . On admet que, de même, $r$ transforme $N$ en $K$ et $K$ en $L$ : que peut-on dire des quatre côtés du quadrilatère $MNKL$ ?
Justifier que $\widehat{QMN}=\widehat{PLM}$ , puis que $\widehat{LMN}=90^\circ$ .
En déduire la nature du quadrilatère $MNKL$ .
Calculer l'aire du carré $PQRS$ et celle du triangle $PML$ . En déduire l'aire de $MNKL$ , puis la longueur $ML$ .
Retrouver $ML$ grâce au théorème de Pythagore.

Exercice 40 — Un logo en plusieurs formats

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : homothétie · agrandissement et réduction · fractions

Objectifs : déterminer un coefficient de longueurs à partir d'un coefficient d'aires · comparer deux images d'une même figure

Le logo d'une association est un triangle $ABC$ dont le côté $[AB]$ mesure $6$ cm et dont l'aire vaut $18$ cm². On l'imprime en plusieurs formats, chacun étant l'image du logo par une homothétie.

Sur une affiche, le logo doit avoir une aire de $50$ cm². Par quel nombre l'aire est-elle multipliée ? En déduire le nombre $k>0$ par lequel les longueurs sont multipliées, sous forme de fraction, puis la longueur du côté correspondant à $[AB]$ .
Sur un autocollant, le côté correspondant à $[AB]$ mesure $2$ cm. Calculer l'aire du logo de l'autocollant.
Un graphiste affirme : « pour passer du logo de l'autocollant à celui de l'affiche, les longueurs sont multipliées par $5$ et les aires par $25$ ». A-t-il raison ?
Pour une version « tête en bas », on applique au logo de départ une homothétie de rapport $-\dfrac{1}{2}$ . Quelle est l'aire de cette version ?

Aller plus loin sur ce chapitre

Le devoir type brevet reste sur la page du chapitre : il mobilise plusieurs notions à la fois et s'aborde une fois ces exercices maîtrisés.

Voir le devoir type brevet sur les rotations et les homothéties