Volumes et grandeurs composées

L'essentiel en 30 secondes

Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre vaut aire de la base × hauteur (π × r² × h pour le cylindre) ; celui d'une pyramide ou d'un cône en est le tiers, et celui d'une boule de rayon r vaut 4/3 × π × r³. Un assemblage se calcule en additionnant ou en soustrayant ces volumes, en gardant π jusqu'à l'arrondi final. Entre deux unités de volume voisines, le facteur est 1 000, avec 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³. Les grandeurs composées — vitesse moyenne v = d / t, débit, masse volumique, consommation, énergie en kWh — sont des quotients ou des produits, et leurs unités se contrôlent comme les nombres.

1 I. Volumes des solides usuels

Le volume d'un solide mesure la place qu'il occupe dans l'espace. Il s'exprime en unités de volume : le centimètre cube (cm³) est le volume d'un cube de

1

cm d'arête, le mètre cube (m³) celui d'un cube de

1

m d'arête. Deux formules suffisent pour presque tous les solides du collège : l'une pour les solides « droits », l'autre pour les solides qui se terminent en pointe.

Les solides usuels et leur volume

Solides droits : V = aire de la base × hauteur

Pavé droit

V = L × ℓ × h

Cylindre

V = π × r² × h

Solides à sommet : V = (1/3) × aire de la base × hauteur

Pyramide

V = (1/3) × B × h

B : aire de la base

Cône

V = (1/3) × π × r² × h

h : hauteur ; g : génératrice, plus longue

La boule : tout dépend du rayon

Boule

V = (4/3) × π × r³

r : rayon, moitié du diamètre

Solide	Base	Volume
Pavé droit	rectangle de dimensions $L$ et $\ell$	$V=L\times\ell\times h$
Cube	carré d'arête $a$	$V=a^3$
Prisme droit	polygone d'aire $B$	$V=B\times h$
Cylindre	disque de rayon $r$	$V=\pi r^2 h$
Pyramide	polygone d'aire $B$	$V=\frac{1}{3}\times B\times h$
Cône	disque de rayon $r$	$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$

Vigilance — La hauteur n'est pas une arête

La hauteur d'une pyramide ou d'un cône est la distance entre le sommet et la base, mesurée perpendiculairement à la base. Ce n'est ni une arête latérale, ni la génératrice d'un cône, segment qui joint le sommet à un point du cercle de base.

Un cône de rayon

5

cm dont la génératrice mesure

13

cm n'a donc pas une hauteur de

13

cm. Le sommet, le centre de la base et un point du cercle forment un triangle rectangle au centre ; d'après le théorème de Pythagore :

h^2=13^2-5^2=169-25=144\quad\text{donc}\quad h=12\ \text{cm}

D'où

V=\dfrac{1}{3}\pi\times 5^2\times 12=100\pi\approx 314{,}2

cm³.

2 II. La boule et les assemblages

Exemple — Le volume restant autour de trois balles

Une boîte cylindrique de rayon $5$ cm et de hauteur $30$ cm contient trois balles identiques de rayon $5$ cm, empilées. Quel volume reste-t-il autour des balles ?

La hauteur

30

cm vaut exactement trois diamètres : les balles touchent le fond, le couvercle et la paroi.

Boîte.

V_{1}=\pi\times 5^2\times 30=750\pi\ \text{cm}^3

Trois balles.

V_{2}=3\times\frac{4}{3}\pi\times 5^3=4\times 125\pi=500\pi\ \text{cm}^3

Volume restant.

V_{1}-V_{2}=750\pi-500\pi=250\pi\approx 785{,}4\ \text{cm}^3

Les balles occupent donc exactement les deux tiers de la boîte :

\dfrac{500\pi}{750\pi}=\dfrac{2}{3}

3 III. Unités de volume et de capacité

Volume	Capacité	Ordre de grandeur
$1\ \text{m}^3$	$1\,000$ L	une grande cuve à eau
$1\ \text{dm}^3$	$1$ L	une brique de lait
$1\ \text{cm}^3$	$1$ mL	un petit dé à jouer de $1$ cm d'arête

4 IV. Vitesse, distance et durée

5 V. Débit, masse volumique et autres grandeurs composées

Grandeur	Calcul	Unité usuelle	Exemple
Consommation de carburant	volume ÷ distance	L/100 km	$6$ L/100 km sur $250$ km : $6\times 2{,}5=15$ L
Énergie électrique	puissance × durée	kWh	$2$ kW pendant $1{,}5$ h : $2\times 1{,}5=3$ kWh
Densité de population	habitants ÷ aire	hab/km²	$9\,000$ habitants sur $4{,}5$ km² : $2\,000$ hab/km²

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Comment calculer le volume d'une boule ?

On utilise

V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

, où

r

est le rayon. Pour une boule de rayon

3

cm :

V=\dfrac{4}{3}\pi\times 27=36\pi\approx 113{,}1

cm³. Si l'énoncé donne le diamètre, on le divise d'abord par

2

: prendre le diamètre comme rayon donne un volume

8

fois trop grand.

Pourquoi 1 m³ fait-il 1 000 L et non 100 L ?

Un cube de

1

m d'arête se découpe en

10\times 10\times 10=1\,000

cubes de

1

dm d'arête, et chacun contient exactement

1

L. Entre deux unités de volume voisines, le facteur est donc toujours

1\,000

1

m³

=1\,000

dm³

=1\,000

L, et

1

dm³

=1\,000

cm³.

Comment convertir des km/h en m/s ?

1

km/h, c'est

1\,000

m parcourus en

3\,600

s, soit

\dfrac{1}{3{,}6}

m/s. On divise donc par

3{,}6

pour passer des km/h aux m/s —

90

km/h

=25

m/s — et l'on multiplie par

3{,}6

dans l'autre sens :

10

m/s

=36

km/h.

Pourquoi 1 h 30 min ne s'écrit-il pas 1,30 h ?

Parce qu'une heure compte

60

minutes, et non

100

. Pour convertir, on divise les minutes par

60

30

min

=\dfrac{30}{60}=0{,}5

h, donc

1

30

min

=1{,}5

h. Écrire

1{,}30

h fausse toute vitesse calculée ensuite.

Comment calculer le volume d'un solide formé de plusieurs morceaux ?

On le découpe en solides usuels, on calcule le volume de chacun, puis on additionne les morceaux juxtaposés et l'on soustrait ceux qui sont retirés. Pour un cylindre de rayon

3

m et de hauteur

8

m surmonté d'une demi-boule de même rayon :

72\pi+18\pi=90\pi\approx 282{,}7

m³. On garde

\pi

jusqu'au bout et l'on n'arrondit qu'une fois.

Conversion	Facteur	Exemple
m³ → dm³ → cm³ → mm³	$\times 1\,000$ à chaque rang	$0{,}06$ m³ $=60$ dm³ $=60\,000$ cm³
dm³ ↔ L	$1$ dm³ $=1$ L	$2{,}5$ dm³ $=2{,}5$ L
cm³ ↔ mL	$1$ cm³ $=1$ mL	$750$ cm³ $=75$ cL
m³ ↔ L	$1$ m³ $=1\,000$ L	$1{,}2$ m³ $=1\,200$ L

Grandeur	Formule	Unités usuelles
Vitesse moyenne	$v=\frac{d}{t}$	km/h, m/s
Débit	$D=\frac{V}{t}$	m³/s, L/min, L/h
Masse volumique	$\rho=\frac{m}{V}$	kg/m³, g/cm³
Énergie	$E=P\times t$	kWh
Consommation	litres pour $100$ km	L/100 km
Densité de population	habitants ÷ aire	hab/km²

1 I. Volumes des solides usuels

2 II. La boule et les assemblages

3 III. Unités de volume et de capacité

4 IV. Vitesse, distance et durée

5 V. Débit, masse volumique et autres grandeurs composées

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Formules de volume

Boule et assemblages

Unités de volume et de capacité

Grandeurs composées

Exercices corrigés sur les volumes et les grandeurs composées

Un silo, des camions et des unités

Consignes

Exercice 1 — Le silo à grains

Exercice 2 — Le transport du blé

Exercice 3 — Quatre affirmations

Solide	Volume	Rappel
Pavé droit, cube	$V=L\times\ell\times h$ , $V=a^3$	cas particuliers du prisme droit
Prisme droit	$V=B\times h$	$B$ : aire de la base
Cylindre	$V=\pi r^2 h$	la base est un disque
Pyramide	$V=\frac{1}{3}\times B\times h$	le tiers du prisme
Cône	$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$	le tiers du cylindre
Boule	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	rayon au cube