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III Géométrie · Chapitre 08 / 10

Géométrie repérée

Vecteurs, équations de droites et de cercles.

8 min de lecture
5 sections, 7 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une droite se décrit par un vecteur directeur (qui la dirige) ou un vecteur normal (qui lui est perpendiculaire) : la droite d'équation ax + by + c = 0 admet n(a ; b) comme vecteur normal. Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Ces outils donnent projetés orthogonaux, tangentes et intersections.

1 I. Vecteurs et colinéarité dans un repère

Munis d'un repère, points et vecteurs deviennent des couples de nombres, et les objets géométriques (droites, cercles) se décrivent par des équations. La géométrie se fait alors « au calcul ».

2 II. Équations d'une droite

3 III. Vecteur normal et équation d'une droite

Le produit scalaire (chapitre précédent) fournit une façon très efficace d'obtenir l'équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal.

4 IV. Équation d'un cercle

5 V. Positions relatives et intersections

Questions fréquentes

Comment trouver l'équation cartésienne d'une droite ?
Une droite de vecteur directeur u→(a ;b)\vec{u}(a\,;b) a une équation de la forme bx−ay+c=0bx - ay + c = 0. On détermine cc en injectant les coordonnées d'un point connu de la droite.
Comment reconnaître l'équation d'un cercle ?
Le cercle de centre Ω(a ;b)\Omega(a\,;b) et de rayon RR a pour équation (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. Une équation développée du type x2+y2+αx+βy+γ=0x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 se ramène à cette forme en complétant les carrés.
Comment déterminer si deux droites sont parallèles ?
On compare leurs vecteurs directeurs : les droites sont parallèles si ces vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire si le déterminant xy′−yx′xy' - yx' est nul.

Vecteurs et droites

Vecteur normal et cercle

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Coordonnées d'un vecteur. Soit A(1 ;2)A(1\,;2) et B(4 ;7)B(4\,;7). Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(4 - 1\,;7 - 2) = (3\,;5)$.
Exercice 2
Facile
Milieu. Déterminer les coordonnées du milieu II de [AB][AB] pour A(1 ;3)A(1\,;3) et B(5 ;7)B(5\,;7).
Correction détaillée
$I\left(\dfrac{1 + 5}{2}\,;\dfrac{3 + 7}{2}\right) = (3\,;5)$.
Exercice 3
Facile
Colinéarité (1). Les vecteurs u→(2 ;3)\vec{u}(2\,;3) et v→(4 ;6)\vec{v}(4\,;6) sont-ils colinéaires ?
Correction détaillée
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$ : oui, ils sont colinéaires.
Exercice 4
Facile
Colinéarité (2). Les vecteurs u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(3 ;5)\vec{v}(3\,;5) sont-ils colinéaires ?
Correction détaillée
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \times 5 - 3 \times 2 = 5 - 6 = -1 \neq 0$ : non, ils ne sont pas colinéaires.
Exercice 5
Facile
Vecteur directeur. Donner un vecteur directeur de la droite d'équation 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0.
Correction détaillée
Pour $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a)$ : ici $\vec{u}(-3\,;2)$.
Exercice 6
Facile
Vecteur normal. Donner un vecteur normal de la droite d'équation 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0.
Correction détaillée
Un vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b) = (2\,;3)$.
Exercice 7
Facile
Coefficient directeur. Donner le coefficient directeur de la droite y=3x−2y = 3x - 2.
Correction détaillée
Le coefficient directeur est $m = 3$.
Exercice 8
Facile
Équation réduite. Mettre l'équation 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 sous forme réduite.
Correction détaillée
$2x - y + 4 = 0 \iff y = 2x + 4$.
Exercice 9
Facile
Pente à partir de deux points. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par A(0 ;1)A(0\,;1) et B(2 ;5)B(2\,;5).
Correction détaillée
$m = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$.
Exercice 10
Facile
Centre et rayon. Donner le centre et le rayon du cercle d'équation (x−2)2+(y+3)2=25(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25.
Correction détaillée
Centre $\Omega(2\,;-3)$ et rayon $R = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 11
Facile
Équation d'un cercle. Donner l'équation du cercle de centre Ω(1 ;2)\Omega(1\,;2) et de rayon 33.
Correction détaillée
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$.
Exercice 12
Facile
Appartenance à un cercle. Le point M(3 ;4)M(3\,;4) appartient-il au cercle d'équation x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 ?
Correction détaillée
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ : oui, $M$ appartient au cercle.
Exercice 13
Facile
Vecteur directeur (réduite). Donner un vecteur directeur de la droite y=−2x+1y = -2x + 1.
Correction détaillée
Pour $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}(1\,;m) = (1\,;-2)$.
Exercice 14
Facile
Droites parallèles. Les droites y=2x+1y = 2x + 1 et y=2x−3y = 2x - 3 sont-elles parallèles ?
Correction détaillée
Elles ont le même coefficient directeur $m = 2$ : oui, elles sont parallèles.
Exercice 15
Facile
Distance. Calculer ABAB pour A(1 ;1)A(1\,;1) et B(4 ;5)B(4\,;5).
Correction détaillée
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 16
Intermédiaire
Droite par point et direction. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(1 ;2)A(1\,;2) et de vecteur directeur u→(3 ;1)\vec{u}(3\,;1).
Correction détaillée
$M(x\,;y)$ est sur la droite ssi $\overrightarrow{AM}(x - 1\,;y - 2)$ est colinéaire à $\vec{u}(3\,;1)$ : $\det = (x - 1) \times 1 - 3 \times (y - 2) = 0$, soit $x - 1 - 3y + 6 = 0$, d'où $x - 3y + 5 = 0$.
Exercice 17
Intermédiaire
Droite par deux points. Déterminer l'équation réduite de la droite passant par A(2 ;−1)A(2\,;-1) et B(4 ;3)B(4\,;3).
Correction détaillée
$m = \dfrac{3 - (-1)}{4 - 2} = 2$. Puis $-1 = 2 \times 2 + p$ donne $p = -5$. Équation : $y = 2x - 5$.
Exercice 18
Intermédiaire
Points alignés. Les points A(1 ;1)A(1\,;1), B(3 ;4)B(3\,;4) et C(5 ;7)C(5\,;7) sont-ils alignés ?
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(2\,;3)$ et $\overrightarrow{AC}(4\,;6)$ : $\det = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$. Oui, les points sont alignés.
Exercice 19
Intermédiaire
Pente d'une cartésienne. Déterminer le coefficient directeur de la droite 3x−2y+6=03x - 2y + 6 = 0.
Correction détaillée
$3x - 2y + 6 = 0 \iff y = \dfrac{3}{2}x + 3$ : le coefficient directeur est $m = \dfrac{3}{2}$.
Exercice 20
Intermédiaire
Droite parallèle. Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à y=3x−1y = 3x - 1 passant par A(2 ;4)A(2\,;4).
Correction détaillée
Même pente $m = 3$ : $y = 3x + p$. Le passage par $A(2\,;4)$ donne $4 = 6 + p$, soit $p = -2$. Équation : $y = 3x - 2$.
Exercice 21
Intermédiaire
Droite perpendiculaire (pente). Déterminer la valeur de mm pour que la droite y=mxy = mx soit perpendiculaire à y=2x+1y = 2x + 1.
Correction détaillée
Perpendicularité : $m \times 2 = -1$, donc $m = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 22
Intermédiaire
Cercle par centre et point. Déterminer l'équation du cercle de centre Ω(1 ;2)\Omega(1\,;2) passant par A(4 ;6)A(4\,;6).
Correction détaillée
$R = \Omega A = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. Équation : $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
Exercice 23
Intermédiaire
Cercle de diamètre. Déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB][AB] pour A(0 ;0)A(0\,;0) et B(6 ;8)B(6\,;8).
Correction détaillée
Centre = milieu de $[AB]$ : $\Omega(3\,;4)$. Rayon $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$. Équation : $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$.
Exercice 24
Intermédiaire
Intersection de deux droites. Déterminer le point d'intersection des droites y=2x+1y = 2x + 1 et y=−x+4y = -x + 4.
Correction détaillée
$2x + 1 = -x + 4 \iff 3x = 3 \iff x = 1$, puis $y = 3$. Intersection : $(1\,;3)$.
Exercice 25
Intermédiaire
Cartésienne vers réduite. Mettre x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0 sous forme réduite et donner sa pente.
Correction détaillée
$x + 2y - 4 = 0 \iff y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ : pente $m = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 26
Intermédiaire
Perpendiculaire par un point. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à d:2x+3y−1=0d : 2x + 3y - 1 = 0 passant par A(1 ;1)A(1\,;1).
Correction détaillée
Un vecteur directeur de $d$ est $(-3\,;2)$ ; la perpendiculaire admet ce vecteur comme **normal**, ou plus simplement admet le normal de $d$, $\vec{n}(2\,;3)$, comme **directeur**. On prend la perpendiculaire de vecteur normal $(-3\,;2)$ passant par $A$ : $-3(x - 1) + 2(y - 1) = 0$, soit $-3x + 2y + 1 = 0$, c'est-à-dire $3x - 2y - 1 = 0$.
Exercice 27
Intermédiaire
Cercle développé. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0.
Correction détaillée
En complétant les carrés : $(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0$, soit $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. Centre $\Omega(2\,;-3)$, rayon $R = 4$.
Exercice 28
Intermédiaire
Point sur une droite. Le point A(2 ;1)A(2\,;1) appartient-il à la droite 3x−2y−4=03x - 2y - 4 = 0 ?
Correction détaillée
$3 \times 2 - 2 \times 1 - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$ : oui, $A$ appartient à la droite.
Exercice 29
Difficile
Droite perpendiculaire à (BC). Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(3 ;1)A(3\,;1) et perpendiculaire à (BC)(BC), où B(1 ;2)B(1\,;2) et C(5 ;4)C(5\,;4).
Correction détaillée
$\overrightarrow{BC}(4\,;2)$ dirige $(BC)$ ; la perpendiculaire cherchée admet donc $\overrightarrow{BC}(4\,;2)$ comme **vecteur normal**. D'où $4(x - 3) + 2(y - 1) = 0$, soit $4x + 2y - 14 = 0$, c'est-à-dire $2x + y - 7 = 0$.
Exercice 30
Difficile
Hauteur d'un triangle. Soit A(1 ;5)A(1\,;5), B(0 ;0)B(0\,;0), C(4 ;2)C(4\,;2). Déterminer une équation de la hauteur issue de AA (perpendiculaire à (BC)(BC)).
Correction détaillée
$\overrightarrow{BC}(4\,;2)$ est normal à la hauteur issue de $A$ : $4(x - 1) + 2(y - 5) = 0$, soit $4x + 2y - 14 = 0$, c'est-à-dire $2x + y - 7 = 0$.
Exercice 31
Difficile
Cercle passant par trois points. Déterminer l'équation du cercle passant par A(1 ;0)A(1\,;0), B(−1 ;0)B(-1\,;0) et C(0 ;1)C(0\,;1).
Correction détaillée
Par symétrie de $A$ et $B$ par rapport à l'axe des ordonnées, le centre est sur cet axe : $\Omega(0\,;k)$. On écrit $\Omega A^2 = \Omega C^2$ : $1 + k^2 = (k - 1)^2 = k^2 - 2k + 1$, d'où $2k = 0$, soit $k = 0$. Le centre est $O(0\,;0)$ et $R = \Omega A = 1$. Équation : $x^2 + y^2 = 1$.
Exercice 32
Difficile
Intersection droite–cercle. Déterminer les points d'intersection de la droite y=xy = x et du cercle x2+y2=8x^2 + y^2 = 8.
Correction détaillée
En substituant $y = x$ : $x^2 + x^2 = 8 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$. Les points sont $(2\,;2)$ et $(-2\,;-2)$.
Exercice 33
Difficile
Tangence. Montrer que la droite 3x+4y−25=03x + 4y - 25 = 0 est tangente au cercle x2+y2=25x^2 + y^2 = 25, et donner le point de contact.
Correction détaillée
De la droite, $y = \dfrac{25 - 3x}{4}$. En substituant : $x^2 + \left(\dfrac{25 - 3x}{4}\right)^2 = 25$, soit $16x^2 + (25 - 3x)^2 = 400$, c'est-à-dire $25x^2 - 150x + 225 = 0$, ou $x^2 - 6x + 9 = 0$, soit $(x - 3)^2 = 0$. Le discriminant est nul (racine double $x = 3$) : la droite est **tangente** au cercle, au point $(3\,;4)$.
Exercice 34
Difficile
Médiatrice. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB][AB] pour A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
La médiatrice passe par le milieu $I(3\,;3)$ et admet $\overrightarrow{AB}(4\,;2)$ comme vecteur normal : $4(x - 3) + 2(y - 3) = 0$, soit $4x + 2y - 18 = 0$, c'est-à-dire $2x + y - 9 = 0$.
Exercice 35
Difficile
Alignement avec paramètre. Déterminer xx pour que les points A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3) et C(x ;5)C(x\,;5) soient alignés.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(3\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}(x - 1\,;3)$ colinéaires : $\det = 3 \times 3 - (x - 1) \times 1 = 9 - x + 1 = 10 - x = 0$, donc $x = 10$.
Exercice 36
Avancé
Cercle de diamètre et angle droit. Soit A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(3 ;4)B(3\,;4).
1.
Déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB][AB].
Centre = milieu $I(1\,;3)$ ; $AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20$, donc $R^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 = \dfrac{AB^2}{4} = 5$. Équation : $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$.
2.
Le point C(3 ;2)C(3\,;2) appartient-il à ce cercle ? Que peut-on en déduire pour l'angle ACB^\widehat{ACB} ?
$(3 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 4 + 1 = 5$ : $C$ appartient au cercle. Comme $C$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$, l'angle $\widehat{ACB}$ est **droit**.
Exercice 37
Avancé
Tangentes de direction donnée. Déterminer les valeurs du réel mm pour lesquelles la droite y=x+my = x + m est tangente au cercle x2+y2=2x^2 + y^2 = 2.
Correction détaillée
En substituant : $x^2 + (x + m)^2 = 2$, soit $2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$. La droite est tangente lorsque cette équation a une racine double, c'est-à-dire $\Delta = 0$ : $$\Delta = (2m)^2 - 4 \times 2 \times (m^2 - 2) = 4m^2 - 8m^2 + 16 = -4m^2 + 16 = 0 \iff m^2 = 4$$ Donc $m = 2$ ou $m = -2$ : les tangentes sont $y = x + 2$ et $y = x - 2$.
Exercice 38
Avancé
Cercle circonscrit. Déterminer l'équation du cercle circonscrit au triangle A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(0 ;6)C(0\,;6).
Correction détaillée
Le centre est équidistant des trois sommets ; c'est l'intersection des médiatrices. La médiatrice de $[AB]$ (horizontal) est $x = 2$ ; celle de $[AC]$ (vertical) est $y = 3$. Le centre est donc $\Omega(2\,;3)$. $R^2 = \Omega A^2 = 2^2 + 3^2 = 13$. Équation : $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$. *Vérification :* pour $B(4\,;0)$, $(4 - 2)^2 + (0 - 3)^2 = 4 + 9 = 13$ ✓.
Exercice 39
Avancé
Perpendiculaire et intersection. Soit d:2x−3y+1=0d : 2x - 3y + 1 = 0. Déterminer une équation de la droite d′d' perpendiculaire à dd passant par le point d'intersection de dd avec l'axe des abscisses.
Correction détaillée
**Intersection de $d$ avec l'axe des abscisses** ($y = 0$) : $2x + 1 = 0$, soit $x = -\dfrac{1}{2}$. Point $P\left(-\dfrac{1}{2}\,;0\right)$. **Perpendiculaire :** un vecteur directeur de $d$ est $(3\,;2)$ ; $d'$ l'admet comme vecteur **normal**. D'où $3\left(x + \dfrac{1}{2}\right) + 2(y - 0) = 0$, soit $3x + 2y + \dfrac{3}{2} = 0$, c'est-à-dire $6x + 4y + 3 = 0$.
Exercice 40
Avancé
Ensemble des points équidistants. Déterminer l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) équidistants de A(1 ;0)A(1\,;0) et B(0 ;2)B(0\,;2), et vérifier que c'est une droite perpendiculaire à (AB)(AB).
Correction détaillée
$MA = MB \iff MA^2 = MB^2$ : $$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 2)^2 \iff x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$$ soit $-2x + 1 = -4y + 4$, d'où $2x - 4y + 3 = 0$ : c'est une droite (la **médiatrice** de $[AB]$). Un vecteur directeur de cette droite est $(4\,;2)$ et $\overrightarrow{AB}(-1\,;2)$ : leur produit scalaire vaut $4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0$. La droite est donc bien perpendiculaire à $(AB)$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Vecteurs, milieu et droite
Facile
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ;2)A(1\,;2), B(5 ;4)B(5\,;4) et C(3 ;−2)C(3\,;-2).

Partie A — Vecteurs et milieu

1.
Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
$\overrightarrow{AB}(4\,;2)$ et $\overrightarrow{AC}(2\,;-4)$.
2.
Déterminer les coordonnées du milieu II de [AB][AB].
$I\left(\dfrac{1 + 5}{2}\,;\dfrac{2 + 4}{2}\right) = (3\,;3)$.

Partie B — Alignement et droite

3.
Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ?
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 4 \times (-4) - 2 \times 2 = -16 - 4 = -20 \neq 0$ : les points ne sont pas alignés.
4.
Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)(AB).
$m = \dfrac{4 - 2}{5 - 1} = \dfrac{1}{2}$. Puis $2 = \dfrac{1}{2} \times 1 + p$ donne $p = \dfrac{3}{2}$. Équation : $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$.
Problème 2 — Droites parallèles, perpendiculaires et cercle
Intermédiaire
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2 ;1)A(2\,;1) et B(4 ;5)B(4\,;5).

Partie A — La droite (AB)

1.
Déterminer l'équation réduite de la droite d=(AB)d = (AB).
$m = \dfrac{5 - 1}{4 - 2} = 2$. Puis $1 = 2 \times 2 + p$ donne $p = -3$. Équation : $y = 2x - 3$.
2.
Déterminer l'équation de la parallèle à dd passant par l'origine OO.
Même pente $m = 2$, et $p = 0$ (passage par $O$) : $y = 2x$.

Partie B — Perpendiculaire et cercle

3.
Déterminer l'équation de la perpendiculaire à dd passant par AA.
La pente $m'$ vérifie $2m' = -1$, soit $m' = -\dfrac{1}{2}$. Puis $1 = -\dfrac{1}{2} \times 2 + p$ donne $p = 2$. Équation : $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$.
4.
Déterminer l'équation du cercle de centre AA passant par BB.
$R^2 = AB^2 = (4 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = 4 + 16 = 20$. Équation : $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 20$.
Problème 3 — Cercle circonscrit à un triangle
Difficile
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle de sommets A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0) et C(0 ;6)C(0\,;6).

Partie A — Médiatrices

1.
Déterminer une équation de la médiatrice de [AB][AB].
$[AB]$ est horizontal, de milieu $(2\,;0)$ ; sa médiatrice est la droite verticale $x = 2$.
2.
Déterminer une équation de la médiatrice de [AC][AC].
$[AC]$ est vertical, de milieu $(0\,;3)$ ; sa médiatrice est la droite horizontale $y = 3$.

Partie B — Le cercle

3.
En déduire les coordonnées du centre Ω\Omega du cercle circonscrit.
$\Omega$ est l'intersection des médiatrices : $\Omega(2\,;3)$.
4.
Déterminer le rayon et l'équation du cercle circonscrit, puis vérifier qu'il passe par CC.
$R^2 = \Omega A^2 = 2^2 + 3^2 = 13$. Équation : $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$. Pour $C(0\,;6)$ : $(0 - 2)^2 + (6 - 3)^2 = 4 + 9 = 13$ ✓.
Problème 4 — Étude complète d'un cercle
Avancé
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle (C)(\mathcal{C}) d'équation x2+y2−2x−4y+1=0x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0.

Partie A — Centre et rayon

1.
Montrer que (C)(\mathcal{C}) a pour centre Ω(1 ;2)\Omega(1\,;2) et pour rayon R=2R = 2.
En complétant les carrés : $(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 1 = 0$, soit $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Donc $\Omega(1\,;2)$ et $R = 2$.
2.
Le point A(3 ;2)A(3\,;2) appartient-il à (C)(\mathcal{C}) ?
$(3 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = 4 = R^2$ : oui, $A$ appartient à $(\mathcal{C})$.

Partie B — Intersections et tangentes

3.
Déterminer les points d'intersection de (C)(\mathcal{C}) avec la droite y=2y = 2.
Pour $y = 2$ : $(x - 1)^2 + 0 = 4 \iff (x - 1)^2 = 4 \iff x - 1 = \pm 2$, soit $x = 3$ ou $x = -1$. Points $(3\,;2)$ et $(-1\,;2)$ (la droite passe par le centre : c'est un diamètre).
4.
Déterminer les équations des tangentes à (C)(\mathcal{C}) parallèles à l'axe des abscisses.
Les tangentes horizontales sont à distance $R = 2$ du centre, au-dessus et en dessous : $y = 2 + 2 = 4$ et $y = 2 - 2 = 0$. (On vérifie : pour $y = 0$, $(x - 1)^2 + 4 = 4 \iff x = 1$, contact unique en $(1\,;0)$.)