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I Nombres et calculs · Chapitre 01 / 11

Ensembles de nombres et intervalles

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, intervalles, valeur absolue.

10 min de lecture
6 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés : ℕ (entiers naturels) ⊂ ℤ (entiers relatifs) ⊂ ℚ (rationnels) ⊂ ℝ (réels). Un intervalle regroupe tous les réels compris entre deux bornes : [a ; b] inclut les bornes, ]a ; b[ les exclut. La valeur absolue |x − a| mesure la distance entre x et a sur la droite des réels.

1 I. Les ensembles de nombres

Depuis le collège, tu utilises des nombres de natures très différentes : des entiers pour compter, des fractions pour partager, des racines carrées en géométrie. On les range dans des ensembles emboîtés les uns dans les autres.

NombreN\mathbb{N}Z\mathbb{Z}D\mathbb{D}Q\mathbb{Q}R\mathbb{R}
77ouiouiouiouioui
−3-3nonouiouiouioui
2,752{,}75nonnonouiouioui
13\dfrac{1}{3}nonnonnonouioui
2\sqrt{2}nonnonnonnonoui
π\pinonnonnonnonoui

2 II. Rationnels et irrationnels

Démonstration par l'absurde
Supposons le contraire, c'est-à-dire que 2\sqrt{2} est rationnel. On peut alors écrire
2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}
avec pp et qq entiers, q≠0q \neq 0, et la fraction irréductible (on a simplifié au maximum : pp et qq ne sont pas tous les deux pairs).

En élevant au carré : 2=p2q22 = \dfrac{p^2}{q^2}, donc
p2=2q2.p^2 = 2q^2.

Ainsi p2p^2 est pair. Or le carré d'un nombre impair est impair — donc pp est pair. Écrivons p=2kp = 2k :
(2k)2=2q2  ⟺  4k2=2q2  ⟺  q2=2k2.(2k)^2 = 2q^2 \iff 4k^2 = 2q^2 \iff q^2 = 2k^2.

Donc q2q^2 est pair, et par le même argument qq est pair.

Contradiction : pp et qq sont tous les deux pairs, alors que la fraction était irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse :

2 est irrationnel\boxed{\sqrt{2} \text{ est irrationnel}}

3 III. Les intervalles de R\mathbb{R}

Un intervalle est un « morceau » de la droite des réels, sans trou. C'est la façon standard de décrire un ensemble de solutions.

IntervalleCondition sur xxBornes
[a ;b][a\,;b]a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant bfermé
]a ;b[]a\,;b[a<x<ba < x < bouvert
[a ;b[[a\,;b[a⩽x<ba \leqslant x < bsemi-ouvert
[a ;+∞[[a\,;+\infty[x⩾ax \geqslant anon borné
]a ;+∞[]a\,;+\infty[x>ax > anon borné
]−∞ ;b]]-\infty\,;b]x⩽bx \leqslant bnon borné
]−∞ ;+∞[]-\infty\,;+\infty[tout réel (=R=\mathbb{R})non borné

4 IV. Réunion et intersection

5 V. Valeur absolue et distance

6 VI. Encadrer, arrondir, notation scientifique

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre ℕ, ℤ, ℚ et ℝ ?
Ce sont des ensembles emboîtés : N\mathbb{N} contient les entiers naturels (0,1,2,…0, 1, 2, \dots), Z\mathbb{Z} ajoute les entiers négatifs, Q\mathbb{Q} ajoute les fractions, et R\mathbb{R} ajoute les nombres comme 2\sqrt{2} ou π\pi qui ne peuvent pas s'écrire en fraction. Chaque ensemble contient le précédent : −3-3 est dans Z\mathbb{Z} mais pas dans N\mathbb{N}, 13\frac{1}{3} est dans Q\mathbb{Q} mais pas dans Z\mathbb{Z}.
Quand le crochet d'un intervalle est-il ouvert ou fermé ?
Le crochet est fermé (tourné vers l'intérieur) quand la borne appartient à l'intervalle, ouvert sinon : x∈[2 ;5[x \in [2\,;5[ signifie 2⩽x<52 \leqslant x < 5. Du côté de −∞-\infty ou +∞+\infty, le crochet est toujours ouvert, car l'infini n'est pas un nombre.
Comment traduire une inégalité en intervalle ?
On lit l'inégalité comme une zone sur la droite des réels : x⩾3x \geqslant 3 donne [3 ;+∞[[3\,;+\infty[, −1<x⩽4-1 < x \leqslant 4 donne ]−1 ;4]]-1\,;4]. Le sens du crochet suit le symbole : ⩽\leqslant ou ⩾\geqslant ferment le crochet, << ou >> l'ouvrent.
À quoi sert la valeur absolue ?
La valeur absolue ∣x−a∣|x - a| mesure la distance entre xx et aa sur la droite des réels, toujours positive. Elle permet d'écrire des conditions de proximité : ∣x−5∣⩽2|x - 5| \leqslant 2 signifie « xx est à une distance d'au plus 2 de 5 », c'est-à-dire x∈[3 ;7]x \in [3\,;7].

Ensembles de nombres

Intervalles

Valeur absolue

Approximations

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Parmi les nombres −4-4 ; 25\dfrac{2}{5} ; 9\sqrt{9} ; π\pi ; 00, lesquels appartiennent à N\mathbb{N} ?
Correction détaillée
On simplifie d'abord chaque nombre : - $-4$ : entier **négatif** → pas dans $\mathbb{N}$. - $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ → pas un entier. - $\sqrt{9} = 3$ → **entier naturel**. - $\pi$ : irrationnel → non. - $0$ : **entier naturel**. $$\boxed{\sqrt{9} \text{ et } 0 \text{ appartiennent à } \mathbb{N}}$$
Exercice 2
Facile
Compléter par ∈\in ou ∉\notin : −7 … N-7 \ \dots\ \mathbb{N} ; −7 … Z-7 \ \dots\ \mathbb{Z} ; 14 … D\dfrac{1}{4} \ \dots\ \mathbb{D}.
Correction détaillée
- $-7 \notin \mathbb{N}$ : $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers **positifs ou nuls**. - $-7 \in \mathbb{Z}$ : c'est un entier relatif. - $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 \in \mathbb{D}$ : écriture décimale finie. $$\boxed{-7 \notin \mathbb{N} \ ;\quad -7 \in \mathbb{Z} \ ;\quad \tfrac14 \in \mathbb{D}}$$
Exercice 3
Facile
Écrire l'intervalle correspondant à la condition : x>5x > 5.
Correction détaillée
L'inégalité est **stricte**, donc la borne $5$ est exclue, et il n'y a pas de majorant. $$\boxed{x \in\ ]5\,;+\infty[}$$ *Le crochet à côté de $+\infty$ est toujours ouvert.*
Exercice 4
Facile
Traduire l'intervalle [−2 ;7[[-2\,;7[ par une double inégalité.
Correction détaillée
Le crochet est tourné **vers** $-2$ (inclus) et **vers l'extérieur** en $7$ (exclu) : $$\boxed{-2 \leqslant x < 7}$$
Exercice 5
Facile
Calculer ∣−7∣|-7|, ∣3∣|3| et ∣0∣|0|.
Correction détaillée
La valeur absolue supprime le signe : $$|-7| = 7 \qquad |3| = 3 \qquad |0| = 0$$ $$\boxed{7,\ 3,\ 0}$$
Exercice 6
Facile
Calculer la distance entre 33 et 88 sur la droite graduée.
Correction détaillée
La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence : $$d = |3 - 8| = |-5| = 5$$ $$\boxed{d = 5}$$ *On aurait aussi pu calculer $|8-3| = 5$ : l'ordre n'a pas d'importance.*
Exercice 7
Facile
Déterminer [1 ;4]∩[3 ;7][1\,;4] \cap [3\,;7].
Correction détaillée
On cherche les réels qui sont **dans les deux** intervalles : il faut $x \geqslant 3$ (deuxième) et $x \leqslant 4$ (premier). $$\boxed{[1\,;4] \cap [3\,;7] = [3\,;4]}$$
Exercice 8
Facile
Déterminer [1 ;4]∪[4 ;7][1\,;4] \cup [4\,;7].
Correction détaillée
Les deux intervalles se **touchent** en $4$, qui appartient aux deux. Il n'y a donc pas de trou : $$\boxed{[1\,;4] \cup [4\,;7] = [1\,;7]}$$
Exercice 9
Facile
Écrire 356 000356\,000 en notation scientifique.
Correction détaillée
On place la virgule pour obtenir une mantisse entre $1$ et $10$ : $3{,}56$. On a déplacé la virgule de **5 rangs vers la gauche**, donc l'exposant est $+5$ : $$\boxed{356\,000 = 3{,}56 \times 10^{5}}$$
Exercice 10
Facile
Écrire 0,000420{,}00042 en notation scientifique.
Correction détaillée
La mantisse doit être entre $1$ et $10$ : c'est $4{,}2$. La virgule est déplacée de **4 rangs vers la droite**, donc l'exposant est **négatif** : $$\boxed{0{,}00042 = 4{,}2 \times 10^{-4}}$$
Exercice 11
Facile
Donner l'arrondi et la troncature au centième de 23\dfrac{2}{3}.
Correction détaillée
$\dfrac{2}{3} = 0{,}6666\dots$ - **Troncature** au centième : on coupe après deux décimales → $0{,}66$. - **Arrondi** au centième : le chiffre suivant est $6 \geqslant 5$, on arrondit au-dessus → $0{,}67$. $$\boxed{\text{arrondi } 0{,}67 \quad ; \quad \text{troncature } 0{,}66}$$
Exercice 12
Facile
Simplifier 50\sqrt{50} et préciser si le résultat est rationnel.
Correction détaillée
On extrait le plus grand carré parfait : $50 = 25 \times 2$. $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$ La racine **ne disparaît pas** : comme $\sqrt{2}$ est irrationnel, $5\sqrt2$ l'est aussi. $$\boxed{\sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \text{ irrationnel}}$$
Exercice 13
Facile
La fraction 78\dfrac{7}{8} est-elle un nombre décimal ?
Correction détaillée
La fraction est déjà irréductible. Son dénominateur est $8 = 2^3$ : il ne contient **que des facteurs 2**. $$\boxed{\text{Oui : } \tfrac78 = 0{,}875 \in \mathbb{D}}$$
Exercice 14
Facile
Résoudre ∣x∣=6|x| = 6.
Correction détaillée
On cherche les réels situés à distance $6$ de $0$ : il y en a un de chaque côté. $$\boxed{x = 6 \quad \text{ou} \quad x = -6}$$
Exercice 15
Facile
Donner un encadrement de π\pi d'amplitude 0,010{,}01.
Correction détaillée
On sait que $\pi = 3{,}14159\dots$, donc $$3{,}14 < \pi < 3{,}15$$ L'amplitude vaut $3{,}15 - 3{,}14 = 0{,}01$. $$\boxed{3{,}14 < \pi < 3{,}15}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Déterminer [−3 ;5]∩ ]2 ;+∞[[-3\,;5] \cap\ ]2\,;+\infty[.
Correction détaillée
On cherche les réels vérifiant **à la fois** $-3 \leqslant x \leqslant 5$ et $x > 2$. La condition $x > 2$ est plus restrictive que $x \geqslant -3$ ; il reste donc $2 < x \leqslant 5$. $$\boxed{[-3\,;5] \cap\ ]2\,;+\infty[\ =\ ]2\,;5]}$$ *La borne $2$ est **exclue** (crochet ouvert du second intervalle), la borne $5$ est **incluse**.*
Exercice 17
Intermédiaire
Déterminer ]−∞ ;4]∪[1 ;+∞[]-\infty\,;4] \cup [1\,;+\infty[.
Correction détaillée
Le premier intervalle contient tous les réels $\leqslant 4$, le second tous les réels $\geqslant 1$. Ils se **chevauchent** sur $[1\,;4]$. Tout réel est soit $\leqslant 4$, soit $\geqslant 1$ (et souvent les deux) : aucun réel n'échappe à la réunion. $$\boxed{]-\infty\,;4] \cup [1\,;+\infty[\ =\ \mathbb{R}}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Déterminer ]0 ;2[ ∩ [2 ;5]]0\,;2[\ \cap\ [2\,;5].
Correction détaillée
Le seul candidat commun serait $2$. Or : - dans $]0\,;2[$, la borne $2$ est **exclue** ; - dans $[2\,;5]$, tous les éléments sont $\geqslant 2$. Aucun réel ne peut être à la fois $< 2$ et $\geqslant 2$. $$\boxed{]0\,;2[\ \cap\ [2\,;5] = \varnothing}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Résoudre ∣x−3∣⩽2|x - 3| \leqslant 2 et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Correction détaillée
**Lecture en distance :** on cherche les réels situés à distance **au plus** $2$ de $3$. C'est l'intervalle de centre $3$ et de rayon $2$. On peut aussi encadrer : $$-2 \leqslant x - 3 \leqslant 2 \iff 1 \leqslant x \leqslant 5$$ $$\boxed{S = [1\,;5]}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Résoudre ∣2x−5∣<3|2x - 5| < 3.
Correction détaillée
On supprime la valeur absolue par **encadrement** (l'inégalité est stricte) : $$-3 < 2x - 5 < 3$$ On ajoute $5$ à chaque membre : $$2 < 2x < 8$$ On divise par $2$ (positif, le sens ne change pas) : $$1 < x < 4$$ $$\boxed{S =\ ]1\,;4[}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre ∣x+1∣=4|x + 1| = 4.
Correction détaillée
On écrit $x + 1 = x - (-1)$ : on cherche les réels à distance $4$ de $-1$. $$x = -1 - 4 = -5 \qquad \text{ou} \qquad x = -1 + 4 = 3$$ **Vérification :** $|-5+1| = |-4| = 4$ et $|3+1| = 4$. $$\boxed{S = \{-5\ ;\ 3\}}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Montrer que 124\dfrac{12}{4} appartient à N\mathbb{N} mais que 13\dfrac{1}{3} n'appartient pas à D\mathbb{D}.
Correction détaillée
**Premier nombre.** $\dfrac{12}{4} = 3$. C'est un entier positif : $$\frac{12}{4} = 3 \in \mathbb{N}$$ L'écriture fractionnaire ne dit rien : il faut simplifier. **Second nombre.** $\dfrac13$ est déjà irréductible et son dénominateur est $3$, qui n'est **ni $2$ ni $5$**. Son écriture décimale est infinie périodique : $0{,}333\dots$ $$\boxed{\tfrac{12}{4} \in \mathbb{N} \quad \text{et} \quad \tfrac13 \notin \mathbb{D}}$$
Exercice 23
Intermédiaire
Écrire 12−3\dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} sans racine au dénominateur.
Correction détaillée
On multiplie par la **quantité conjuguée** $2 + \sqrt3$ : $$\frac{1}{2-\sqrt3} = \frac{2+\sqrt3}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}$$ Au dénominateur, on reconnaît $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ : $$(2-\sqrt3)(2+\sqrt3) = 4 - 3 = 1$$ $$\boxed{\frac{1}{2-\sqrt3} = 2 + \sqrt3}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Déterminer [−2 ;3[ ∩ [0 ;5][-2\,;3[\ \cap\ [0\,;5] puis [−2 ;3[ ∪ [0 ;5][-2\,;3[\ \cup\ [0\,;5].
1.
L'intersection.
Il faut $x \geqslant 0$ (second) et $x < 3$ (premier) : $$\boxed{[-2\,;3[\ \cap\ [0\,;5] = [0\,;3[}$$
2.
La réunion.
Les deux intervalles se chevauchent sur $[0\,;3[$, il n'y a donc pas de trou. On prend la plus petite borne à gauche ($-2$, incluse) et la plus grande à droite ($5$, incluse) : $$\boxed{[-2\,;3[\ \cup\ [0\,;5] = [-2\,;5]}$$
Exercice 25
Intermédiaire
Résoudre ∣x−2∣⩾3|x - 2| \geqslant 3.
Correction détaillée
On cherche les réels situés à distance **au moins** $3$ de $2$ : ce sont ceux qui sont **loin** de $2$, donc de part et d'autre. $$x - 2 \leqslant -3 \quad \text{ou} \quad x - 2 \geqslant 3$$ $$x \leqslant -1 \quad \text{ou} \quad x \geqslant 5$$ $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-1] \cup [5\,;+\infty[}$$ *Le « ou » se traduit par une **réunion** — jamais par une intersection.*
Exercice 26
Intermédiaire
Simplifier 12+75\sqrt{12} + \sqrt{75}.
Correction détaillée
On extrait les carrés parfaits pour faire apparaître la même racine : $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3 \qquad \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt3$$ On peut alors additionner comme des termes semblables : $$2\sqrt3 + 5\sqrt3 = 7\sqrt3$$ $$\boxed{\sqrt{12} + \sqrt{75} = 7\sqrt{3}}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Développer (1+2)2(1 + \sqrt{2})^2 et préciser la nature du résultat.
Correction détaillée
On applique $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : $$(1+\sqrt2)^2 = 1 + 2\sqrt2 + (\sqrt2)^2 = 1 + 2\sqrt2 + 2 = 3 + 2\sqrt2$$ Comme $\sqrt2$ est irrationnel, $3 + 2\sqrt2$ l'est aussi (une somme d'un rationnel et d'un irrationnel non nul est irrationnelle). $$\boxed{(1+\sqrt2)^2 = 3 + 2\sqrt2, \text{ irrationnel}}$$
Exercice 28
Intermédiaire
On sait que 2⩽x⩽52 \leqslant x \leqslant 5. Encadrer 3x−13x - 1.
Correction détaillée
On transforme l'encadrement **étape par étape**, en gardant le même sens (on multiplie par un nombre positif) : $$2 \leqslant x \leqslant 5$$ $$6 \leqslant 3x \leqslant 15 \quad (\times 3)$$ $$5 \leqslant 3x - 1 \leqslant 14 \quad (-1)$$ $$\boxed{5 \leqslant 3x - 1 \leqslant 14}$$
Exercice 29
Difficile
On sait que 2⩽x⩽52 \leqslant x \leqslant 5. Encadrer −2x+3-2x + 3.
Correction détaillée
**Attention au signe.** Multiplier par un nombre **négatif** inverse le sens des inégalités. $$2 \leqslant x \leqslant 5$$ On multiplie par $-2$ (négatif) — on **retourne** les inégalités : $$-10 \leqslant -2x \leqslant -4$$ On ajoute $3$ (le sens ne change pas) : $$-7 \leqslant -2x + 3 \leqslant -1$$ $$\boxed{-7 \leqslant -2x+3 \leqslant -1}$$ *Vérification avec $x=2$ : $-2(2)+3 = -1$ (borne haute) ; avec $x=5$ : $-7$ (borne basse).*
Exercice 30
Difficile
Montrer que 3\sqrt{3} est irrationnel (on adaptera la démonstration du cours).
Correction détaillée
**Raisonnement par l'absurde.** Supposons $\sqrt3 = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$, fraction **irréductible**. En élevant au carré : $$3 = \frac{p^2}{q^2} \iff p^2 = 3q^2$$ Donc $p^2$ est un **multiple de 3**. Or, si $p$ n'était pas multiple de 3, $p^2$ ne le serait pas non plus (3 est premier). Donc $p$ est multiple de 3 : posons $p = 3k$. $$(3k)^2 = 3q^2 \iff 9k^2 = 3q^2 \iff q^2 = 3k^2$$ Par le même argument, $q$ est multiple de 3. **Contradiction :** $p$ et $q$ sont tous deux multiples de 3, alors que la fraction était irréductible. $$\boxed{\sqrt3 \text{ est irrationnel}}$$
Exercice 31
Difficile
Résoudre ∣x−1∣=∣x+3∣|x - 1| = |x + 3|.
Correction détaillée
**Lecture en distance :** on cherche les réels **équidistants** de $1$ et de $-3$. C'est le **milieu** du segment : $$x = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$$ **Vérification par le calcul.** $|x-1| = |x+3|$ équivaut à $x - 1 = x + 3$ (impossible : $-1 = 3$) ou $x - 1 = -(x+3)$ : $$x - 1 = -x - 3 \iff 2x = -2 \iff x = -1$$ **Contrôle :** $|-1-1| = 2$ et $|-1+3| = 2$. $$\boxed{S = \{-1\}}$$
Exercice 32
Difficile
Déterminer l'ensemble des réels xx tels que ∣x−4∣<1|x - 4| < 1 et x⩾3,5x \geqslant 3{,}5.
Correction détaillée
**Première condition.** $|x-4| < 1$ : les réels à distance $< 1$ de $4$ : $$3 < x < 5, \quad \text{soit } x \in\ ]3\,;5[$$ **Seconde condition.** $x \in [3{,}5\,;+\infty[$. **Le « et » impose l'intersection :** $$]3\,;5[\ \cap\ [3{,}5\,;+\infty[$$ Il faut $x \geqslant 3{,}5$ (plus restrictif que $x>3$) et $x < 5$ : $$\boxed{S = [3{,}5\,;5[}$$
Exercice 33
Difficile
Un capteur mesure une longueur LL avec une précision de 0,20{,}2 mm autour de la valeur 45,045{,}0 mm. Écrire cette information avec une valeur absolue, puis sous forme d'intervalle.
Correction détaillée
« À $0{,}2$ mm près de $45{,}0$ » signifie que la **distance** entre $L$ et $45{,}0$ est au plus $0{,}2$ : $$|L - 45{,}0| \leqslant 0{,}2$$ On applique le théorème du cours (centre $45{,}0$, rayon $0{,}2$) : $$45{,}0 - 0{,}2 \leqslant L \leqslant 45{,}0 + 0{,}2$$ $$\boxed{|L - 45{,}0| \leqslant 0{,}2 \iff L \in [44{,}8\,;45{,}2]}$$ *C'est exactement ainsi qu'on exprime une **tolérance** en physique ou en industrie.*
Exercice 34
Difficile
Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.
Correction détaillée
Soient $r$ un rationnel et $i$ un irrationnel. Montrons que $s = r + i$ est irrationnel. **Raisonnement par l'absurde.** Supposons $s$ **rationnel**. Alors $i = s - r$ serait une **différence de deux rationnels**. Or l'ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par soustraction : si $s = \dfrac{a}{b}$ et $r = \dfrac{c}{d}$, alors $$s - r = \frac{ad - bc}{bd}$$ est bien un quotient d'entiers (avec $bd \neq 0$), donc rationnel. Donc $i$ serait rationnel — **contradiction** avec l'hypothèse. $$\boxed{r + i \text{ est irrationnel}}$$ *Application : $3 + 2\sqrt2$ est irrationnel (exercice 27).*
Exercice 35
Difficile
Résoudre ∣x−2∣⩽3|x - 2| \leqslant 3 et ∣x+1∣⩾1|x + 1| \geqslant 1 simultanément.
Correction détaillée
**Première inéquation.** Distance au plus $3$ de $2$ : $$|x-2| \leqslant 3 \iff -1 \leqslant x \leqslant 5 \iff x \in [-1\,;5]$$ **Seconde inéquation.** Distance au moins $1$ de $-1$ : $$x + 1 \leqslant -1 \ \text{ou}\ x+1 \geqslant 1 \iff x \leqslant -2 \ \text{ou}\ x \geqslant 0$$ $$x \in\ ]-\infty\,;-2] \cup [0\,;+\infty[$$ **Intersection.** On croise $[-1\,;5]$ avec la réunion précédente : - avec $]-\infty\,;-2]$ : $[-1\,;5] \cap\ ]-\infty\,;-2] = \varnothing$ (car $-1 > -2$) ; - avec $[0\,;+\infty[$ : $[-1\,;5] \cap [0\,;+\infty[\ = [0\,;5]$. $$\boxed{S = [0\,;5]}$$
Exercice 36
Avancé
Montrer que 0,999…0{,}999\dots (avec une infinité de 9) est égal à 11.
Correction détaillée
Notons $x = 0{,}999\dots$ **Astuce :** on multiplie par $10$ pour décaler les décimales, qui sont identiques à l'infini. $$10x = 9{,}999\dots$$ On soustrait $x$ membre à membre. Les parties décimales, **rigoureusement identiques**, s'annulent : $$10x - x = 9{,}999\dots - 0{,}999\dots = 9$$ $$9x = 9 \iff x = 1$$ $$\boxed{0{,}999\dots = 1}$$ *Ce n'est pas une approximation : les deux écritures désignent **le même réel**. Un nombre décimal admet donc parfois deux écritures décimales.*
Exercice 37
Avancé
Écrire le rationnel x=0,272727…x = 0{,}272727\dots (motif « 27 » répété) sous forme de fraction irréductible.
Correction détaillée
La période comporte **2 chiffres** : on multiplie par $10^2 = 100$ pour décaler d'une période entière. $$x = 0{,}272727\dots \qquad 100x = 27{,}272727\dots$$ On soustrait : les parties décimales sont identiques et s'annulent. $$100x - x = 27 \iff 99x = 27$$ $$x = \frac{27}{99}$$ On simplifie par $9$ : $$\boxed{x = \frac{3}{11}}$$ **Vérification :** $3 \div 11 = 0{,}2727\dots$ Le dénominateur $11$ n'est ni $2$ ni $5$ : ce rationnel n'est bien **pas décimal**.
Exercice 38
Avancé
Soit nn un entier. Montrer que si n2n^2 est pair, alors nn est pair.
Correction détaillée
C'est le lemme utilisé dans la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$. On démontre la **contraposée**, plus simple : « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ». **Supposons $n$ impair.** Il s'écrit $n = 2k+1$ avec $k$ entier. Alors : $$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$ Le nombre $2k^2+2k$ étant entier, $n^2$ est de la forme $2m+1$ : il est **impair**. **Conclusion.** On a montré : $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair. La contraposée de cette implication est exactement : $$\boxed{n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}}$$ *Démontrer la contraposée est une technique standard quand l'énoncé direct est difficile à attaquer.*
Exercice 39
Avancé
Déterminer tous les réels xx tels que ∣x−1∣+∣x−4∣=3|x - 1| + |x - 4| = 3.
Correction détaillée
**Lecture en distance :** on cherche les points dont la somme des distances à $1$ et à $4$ vaut $3$. Or la distance entre $1$ et $4$ vaut précisément $3$. **Discussion selon la position de $x$.** **Cas 1 : $x < 1$.** Alors $|x-1| = 1-x$ et $|x-4| = 4-x$ : $$(1-x)+(4-x) = 5-2x = 3 \iff x = 1$$ Or on a supposé $x < 1$ : **aucune solution** dans ce cas. **Cas 2 : $1 \leqslant x \leqslant 4$.** Alors $|x-1| = x-1$ et $|x-4| = 4-x$ : $$(x-1)+(4-x) = 3$$ L'égalité est vraie **pour tout $x$** de cet intervalle. **Cas 3 : $x > 4$.** Alors $|x-1| = x-1$ et $|x-4| = x-4$ : $$(x-1)+(x-4) = 2x-5 = 3 \iff x = 4$$ Or on a supposé $x > 4$ : **aucune solution**. $$\boxed{S = [1\,;4]}$$ *Interprétation : entre $1$ et $4$, la somme des distances vaut toujours la longueur du segment. À l'extérieur, elle est strictement plus grande.*
Exercice 40
Avancé
Soient aa et bb deux réels. Démontrer l'inégalité triangulaire ∣a+b∣⩽∣a∣+∣b∣|a + b| \leqslant |a| + |b|.
Correction détaillée
**Point de départ.** Pour tout réel $x$, on a l'encadrement $$-|x| \leqslant x \leqslant |x|$$ (si $x \geqslant 0$, c'est $-x \leqslant x \leqslant x$ ; si $x<0$, c'est $x \leqslant x \leqslant -x$). **On applique cet encadrement à $a$ et à $b$ :** $$-|a| \leqslant a \leqslant |a| \qquad \text{et} \qquad -|b| \leqslant b \leqslant |b|$$ **On additionne membre à membre** (autorisé pour des inégalités de même sens) : $$-(|a|+|b|) \leqslant a + b \leqslant |a|+|b|$$ **Conclusion.** Un encadrement de la forme $-r \leqslant y \leqslant r$ (avec $r = |a|+|b| \geqslant 0$) signifie exactement $|y| \leqslant r$. Donc $$\boxed{|a+b| \leqslant |a| + |b|}$$ *L'égalité a lieu lorsque $a$ et $b$ sont de même signe. Exemple d'inégalité stricte : $|3 + (-5)| = 2$ alors que $|3|+|-5| = 8$.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Tolérance de fabrication
Intermédiaire
Une usine produit des axes métalliques de diamètre nominal 12,012{,}0 mm. Une pièce est acceptée si son diamètre dd (en mm) vérifie
∣d−12,0∣⩽0,05.|d - 12{,}0| \leqslant 0{,}05.
1.
Traduire cette condition par un encadrement de dd.
La condition signifie que $d$ est à distance au plus $0{,}05$ de $12{,}0$ (centre $12{,}0$, rayon $0{,}05$) : $$12{,}0 - 0{,}05 \leqslant d \leqslant 12{,}0 + 0{,}05$$ $$\boxed{11{,}95 \leqslant d \leqslant 12{,}05, \text{ soit } d \in [11{,}95\,;12{,}05]}$$
2.
Les pièces mesurées à 11,9711{,}97 mm et 12,0612{,}06 mm sont-elles acceptées ?
**Pièce à $11{,}97$ mm :** $|11{,}97 - 12{,}0| = |-0{,}03| = 0{,}03 \leqslant 0{,}05$ → **acceptée** (elle est bien dans $[11{,}95\,;12{,}05]$). **Pièce à $12{,}06$ mm :** $|12{,}06 - 12{,}0| = 0{,}06 > 0{,}05$ → **refusée** (elle dépasse la borne $12{,}05$). $$\boxed{11{,}97 \text{ acceptée} \ ;\ 12{,}06 \text{ refusée}}$$
3.
L'usine resserre la tolérance : l'amplitude de l'intervalle d'acceptation doit maintenant valoir 0,060{,}06 mm, toujours centrée en 12,012{,}0. Écrire la nouvelle condition avec une valeur absolue.
L'intervalle est centré en $12{,}0$ et son **amplitude** (largeur totale) vaut $0{,}06$. Le rayon est donc la moitié : $$r = \frac{0{,}06}{2} = 0{,}03$$ La nouvelle condition s'écrit : $$\boxed{|d - 12{,}0| \leqslant 0{,}03, \text{ soit } d \in [11{,}97\,;12{,}03]}$$ *Piège à éviter : l'amplitude n'est pas le rayon — il faut diviser par 2.*
Problème 2 — Nature de nombres construits
Intermédiaire
On considère les nombres
A=18−8,B=(3+5)(3−5),C=123.A = \sqrt{18} - \sqrt{8}, \qquad B = (3+\sqrt5)(3-\sqrt5), \qquad C = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}.
1.
Simplifier AA et préciser sa nature.
On extrait les carrés parfaits : $$\sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = 3\sqrt2 \qquad \sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = 2\sqrt2$$ $$A = 3\sqrt2 - 2\sqrt2 = \sqrt2$$ La racine subsiste : $$\boxed{A = \sqrt2, \text{ irrationnel}}$$
2.
Calculer BB et préciser sa nature.
On reconnaît l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ : $$B = 3^2 - (\sqrt5)^2 = 9 - 5 = 4$$ $$\boxed{B = 4 \in \mathbb{N}}$$ *Deux irrationnels peuvent parfaitement donner un entier : ici les racines se compensent.*
3.
Calculer CC et préciser sa nature.
On utilise $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\dfrac ab}$ : $$C = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt4 = 2$$ $$\boxed{C = 2 \in \mathbb{N}}$$
4.
Que peut-on conclure sur la méthode à adopter face à une écriture contenant des racines ?
Les trois exemples montrent qu'une écriture avec des radicaux **ne permet aucune conclusion immédiate** : $A$ reste irrationnel, mais $B$ et $C$ sont des entiers. $$\boxed{\text{Il faut toujours SIMPLIFIER avant de conclure sur la nature d'un nombre.}}$$
Problème 3 — Deux capteurs et une zone commune
Difficile
Deux capteurs surveillent une même canalisation. Le capteur A déclenche une alerte si la pression pp (en bar) vérifie ∣p−5∣⩾2|p - 5| \geqslant 2. Le capteur B déclenche une alerte si p∈ ]6 ;9]p \in\ ]6\,;9].

On note A\mathcal{A} et B\mathcal{B} les ensembles de pressions déclenchant respectivement chaque capteur.
1.
Déterminer l'ensemble A\mathcal{A}.
$|p-5| \geqslant 2$ : les pressions **éloignées** d'au moins $2$ de la valeur $5$. $$p - 5 \leqslant -2 \quad \text{ou} \quad p-5 \geqslant 2$$ $$p \leqslant 3 \quad \text{ou} \quad p \geqslant 7$$ $$\boxed{\mathcal{A} =\ ]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[}$$
2.
Déterminer A∩B\mathcal{A} \cap \mathcal{B} : les pressions déclenchant les DEUX capteurs.
On croise $\mathcal{A} =\ ]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[$ avec $\mathcal{B} =\ ]6\,;9]$. - $]-\infty\,;3]\ \cap\ ]6\,;9] = \varnothing$ (impossible d'être $\leqslant 3$ et $> 6$). - $[7\,;+\infty[\ \cap\ ]6\,;9] = [7\,;9]$ (il faut $p \geqslant 7$ et $p \leqslant 9$). $$\boxed{\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = [7\,;9]}$$
3.
Déterminer A∪B\mathcal{A} \cup \mathcal{B} : les pressions déclenchant AU MOINS un capteur.
On réunit $]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[$ et $]6\,;9]$. L'intervalle $]6\,;9]$ recouvre la zone $]6\,;7[$ qui manquait à $\mathcal{A}$, puis se fond dans $[7\,;+\infty[$. Toute la partie $]6\,;+\infty[$ est donc couverte : $$\boxed{\mathcal{A} \cup \mathcal{B} =\ ]-\infty\,;3]\ \cup\ ]6\,;+\infty[}$$
4.
Une pression de 6,56{,}5 bar déclenche-t-elle une alerte ? Laquelle ?
**Capteur A :** $|6{,}5 - 5| = 1{,}5 < 2$ → **pas** d'alerte A. *(Cohérent : $6{,}5 \notin \mathcal{A}$.)* **Capteur B :** $6{,}5 \in\ ]6\,;9]$ → **alerte B**. $$\boxed{\text{Seul le capteur B se déclenche.}}$$ *C'est cohérent avec les questions précédentes : $6{,}5 \in \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ mais $6{,}5 \notin \mathcal{A} \cap \mathcal{B}$.*
Problème 4 — Autour de l'irrationalité
Difficile
On admet que 2\sqrt2 est irrationnel. On étudie la nature de nombres construits à partir de lui.
1.
Montrer que 2−1\sqrt2 - 1 est irrationnel.
**Par l'absurde.** Supposons $\sqrt2 - 1$ rationnel, et notons-le $r$. Alors $\sqrt2 = r + 1$ serait la somme de deux rationnels, donc **rationnel** (l'ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par addition). Cela contredit l'hypothèse admise. $$\boxed{\sqrt2 - 1 \text{ est irrationnel}}$$
2.
Montrer que 12\dfrac{1}{\sqrt2} est irrationnel.
**Par l'absurde.** Supposons $\dfrac{1}{\sqrt2} = r$ avec $r$ rationnel. Remarquons que $r \neq 0$. Alors $\sqrt2 = \dfrac1r$ serait l'inverse d'un rationnel non nul, donc **rationnel** (si $r = \frac ab$, alors $\frac 1r = \frac ba$). Contradiction. $$\boxed{\frac{1}{\sqrt2} \text{ est irrationnel}}$$ *On peut aussi écrire $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ et conclure : la moitié d'un irrationnel reste irrationnelle.*
3.
Donner un exemple de deux nombres irrationnels dont la somme est rationnelle.
Il suffit de prendre deux irrationnels **opposés** : $$a = \sqrt2 \qquad \text{et} \qquad b = -\sqrt2$$ Tous deux sont irrationnels (si $-\sqrt2$ était rationnel, son opposé $\sqrt2$ le serait aussi), et pourtant $$a + b = 0 \in \mathbb{Q}.$$ $$\boxed{\sqrt2 + (-\sqrt2) = 0}$$ *Autre exemple : $(1+\sqrt2) + (1-\sqrt2) = 2$.*
4.
La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ? Et la somme d'un rationnel et d'un irrationnel ?
**Deux irrationnels :** la question 3 fournit un **contre-exemple** ($\sqrt2$ et $-\sqrt2$). La somme de deux irrationnels **n'est donc pas toujours irrationnelle** — elle peut l'être ($\sqrt2+\sqrt2 = 2\sqrt2$) ou non. **Un rationnel + un irrationnel :** la somme est **toujours irrationnelle** (démontré à l'exercice 35, et réutilisé en question 1). $$\boxed{\text{irrationnel} + \text{irrationnel} : \text{on ne peut rien conclure} \ ;\quad \text{rationnel} + \text{irrationnel} : \text{toujours irrationnel}}$$