Ensembles de nombres et intervalles

$|p-5| \geqslant 2$ : les pressions **éloignées** d'au moins $2$ de la valeur $5$. $$p - 5 \leqslant -2 \quad \text{ou} \quad p-5 \geqslant 2$$ $$p \leqslant 3 \quad \text{ou} \quad p \geqslant 7$$ $$\boxed{\mathcal{A} =\ ]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[}$$

On croise $\mathcal{A} =\ ]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[$ avec $\mathcal{B} =\ ]6\,;9]$. - $]-\infty\,;3]\ \cap\ ]6\,;9] = \varnothing$ (impossible d'être $\leqslant 3$ et $> 6$). - $[7\,;+\infty[\ \cap\ ]6\,;9] = [7\,;9]$ (il faut $p \geqslant 7$ et $p \leqslant 9$). $$\boxed{\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = [7\,;9]}$$

On réunit $]-\infty\,;3] \cup [7\,;+\infty[$ et $]6\,;9]$. L'intervalle $]6\,;9]$ recouvre la zone $]6\,;7[$ qui manquait à $\mathcal{A}$, puis se fond dans $[7\,;+\infty[$. Toute la partie $]6\,;+\infty[$ est donc couverte : $$\boxed{\mathcal{A} \cup \mathcal{B} =\ ]-\infty\,;3]\ \cup\ ]6\,;+\infty[}$$

**Capteur A :** $|6{,}5 - 5| = 1{,}5 < 2$ → **pas** d'alerte A. *(Cohérent : $6{,}5 \notin \mathcal{A}$.)* **Capteur B :** $6{,}5 \in\ ]6\,;9]$ → **alerte B**. $$\boxed{\text{Seul le capteur B se déclenche.}}$$ *C'est cohérent avec les questions précédentes : $6{,}5 \in \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ mais $6{,}5 \notin \mathcal{A} \cap \mathcal{B}$.*

**Par l'absurde.** Supposons $\sqrt2 - 1$ rationnel, et notons-le $r$. Alors $\sqrt2 = r + 1$ serait la somme de deux rationnels, donc **rationnel** (l'ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par addition). Cela contredit l'hypothèse admise. $$\boxed{\sqrt2 - 1 \text{ est irrationnel}}$$

**Par l'absurde.** Supposons $\dfrac{1}{\sqrt2} = r$ avec $r$ rationnel. Remarquons que $r \neq 0$. Alors $\sqrt2 = \dfrac1r$ serait l'inverse d'un rationnel non nul, donc **rationnel** (si $r = \frac ab$, alors $\frac 1r = \frac ba$). Contradiction. $$\boxed{\frac{1}{\sqrt2} \text{ est irrationnel}}$$ *On peut aussi écrire $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ et conclure : la moitié d'un irrationnel reste irrationnelle.*

Il suffit de prendre deux irrationnels **opposés** : $$a = \sqrt2 \qquad \text{et} \qquad b = -\sqrt2$$ Tous deux sont irrationnels (si $-\sqrt2$ était rationnel, son opposé $\sqrt2$ le serait aussi), et pourtant $$a + b = 0 \in \mathbb{Q}.$$ $$\boxed{\sqrt2 + (-\sqrt2) = 0}$$ *Autre exemple : $(1+\sqrt2) + (1-\sqrt2) = 2$.*

**Deux irrationnels :** la question 3 fournit un **contre-exemple** ($\sqrt2$ et $-\sqrt2$). La somme de deux irrationnels **n'est donc pas toujours irrationnelle** — elle peut l'être ($\sqrt2+\sqrt2 = 2\sqrt2$) ou non. **Un rationnel + un irrationnel :** la somme est **toujours irrationnelle** (démontré à l'exercice 35, et réutilisé en question 1). $$\boxed{\text{irrationnel} + \text{irrationnel} : \text{on ne peut rien conclure} \ ;\quad \text{rationnel} + \text{irrationnel} : \text{toujours irrationnel}}$$