Calcul littéral

**Mise en équation.** Trois entiers consécutifs s'écrivent $n$, $n+1$ et $n+2$, avec $n$ entier quelconque. **Calcul.** $$n + (n+1) + (n+2) = 3n+3$$ **Factorisation** — l'étape décisive : $$3n+3 = 3(n+1)$$ Comme $n+1$ est un entier, la somme est bien de la forme $3 \times (\text{entier})$. $$\boxed{n+(n+1)+(n+2) = 3(n+1), \text{ multiple de } 3}$$ *Remarque : la somme vaut $3$ fois le terme du **milieu**.*

**Forme canonique.** On repère que $x^2+6x$ est le début de $(x+3)^2 = x^2+6x+9$, donc $x^2+6x = (x+3)^2-9$ : $$A = (x+3)^2 - 9 + 10 = (x+3)^2 + 1$$ **Positivité.** $(x+3)^2 \geqslant 0$, donc $A \geqslant 1 > 0$ pour tout réel $x$. **Minimum.** $A$ est minimal quand le carré est **nul**, c'est-à-dire pour $x+3 = 0$, soit $x = -3$. On a alors $A = 1$. $$\boxed{A = (x+3)^2+1 \ ;\ \text{minimum } A = 1 \text{ atteint en } x = -3}$$

**Astuce : regrouper malin.** On associe les termes **extrêmes** entre eux et ceux du **milieu** entre eux : $$n(n+3) = n^2+3n \qquad (n+1)(n+2) = n^2+3n+2$$ Les deux produits ne diffèrent que de $2$. Posons $X = n^2+3n$. L'expression devient : $$X(X+2) + 1 = X^2 + 2X + 1$$ On reconnaît la première identité remarquable : $$X^2+2X+1 = (X+1)^2$$ En revenant à $n$ : $$\boxed{n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2}$$ **Vérification** avec $n=2$ : $2\times3\times4\times5+1 = 121 = 11^2$, et $n^2+3n+1 = 4+6+1 = 11$.

On étudie le **signe de la différence** $A - B$. **Développement de chaque expression :** $$A = x^2+7x+10 \qquad B = x^2+7x+12$$ **Différence :** $$A - B = (x^2+7x+10) - (x^2+7x+12) = -2$$ La différence est **constante** et strictement négative, quel que soit $x$. $$\boxed{A - B = -2, \text{ donc } A < B \text{ pour tout réel } x}$$ *Remarquable : les deux produits ont la même somme de facteurs ($2+5 = 3+4 = 7$), mais celui dont les facteurs sont les plus « rapprochés » est toujours le plus grand.*

**Mise en équation.** $n$ impair s'écrit $n = 2k+1$ avec $k$ entier. **Factorisation d'abord** — c'est plus efficace que de développer : $$n^2-1 = (n-1)(n+1)$$ En remplaçant $n = 2k+1$ : $$n-1 = 2k \qquad n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$$ Donc : $$n^2-1 = 2k \times 2(k+1) = 4k(k+1)$$ **L'argument décisif.** $k(k+1)$ est le produit de deux entiers **consécutifs**, donc il est **pair** (exercice 33) : $k(k+1) = 2m$ avec $m$ entier. $$n^2-1 = 4 \times 2m = 8m$$ $$\boxed{n^2-1 \text{ est un multiple de } 8}$$ **Vérification** avec $n=7$ : $49-1 = 48 = 8\times 6$.