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IV Statistiques & probabilités · Chapitre 11 / 11

Probabilités

Loi de probabilité, réunion, intersection, échantillon.

8 min de lecture
6 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre entre 0 et 1, de somme totale 1 ; en situation d'équiprobabilité, P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles). Deux formules clés : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), et P(contraire de A) = 1 − P(A). En répétant une expérience, les fréquences observées se stabilisent vers la probabilité : c'est le lien avec l'échantillonnage.

1 I. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face.

2 II. Loi de probabilité

3 III. L'équiprobabilité

4 IV. Réunion, intersection, contraire

À partir d'événements, on en construit de nouveaux à l'aide de trois opérations, décrites par les mots « ou », « et » et « non ».

5 V. La formule de la réunion

6 VI. Échantillonnage

La probabilité est un modèle : elle prédit ce qui se passe « en théorie ». Quand on répète réellement l'expérience, on observe des fréquences qui s'en approchent, sans jamais coïncider exactement.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité ?
Quand toutes les issues ont la même chance, P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas possiblesP(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}. Par exemple, la probabilité d'obtenir un multiple de 3 avec un dé équilibré est 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3} (issues 3 et 6). Il faut d'abord vérifier — ou lire dans l'énoncé — que la situation est bien équiprobable.
Quelle est la formule reliant P(A ∪ B) et P(A ∩ B) ?
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). On soustrait P(A∩B)P(A \cap B) car les issues communes aux deux événements seraient comptées deux fois. Si AA et BB sont incompatibles (aucune issue commune), la formule devient simplement P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).
À quoi sert l'événement contraire ?
Il permet de calculer plus vite grâce à P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A). Dès qu'une question contient « au moins un », le réflexe est de passer par le contraire « aucun », presque toujours plus simple à dénombrer. C'est l'un des automatismes les plus rentables du chapitre.
Quelle est la différence entre fréquence et probabilité ?
La fréquence est observée : c'est la proportion obtenue en réalisant réellement l'expérience. La probabilité est théorique : c'est la valeur autour de laquelle les fréquences se stabilisent quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Une pièce équilibrée a une probabilité de 12\frac{1}{2} pour pile, même si 10 lancers donnent rarement exactement 5 piles.

Vocabulaire

Équiprobabilité

Opérations sur les événements

Échantillonnage

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
On lance un dé équilibré à six faces. Donner l'univers Ω\Omega et le nombre d'issues.
Correction détaillée
$$\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$$ $$\boxed{6 \text{ issues}}$$
Exercice 2
Facile
Un dé équilibré est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un 55 ?
Correction détaillée
Les $6$ issues sont équiprobables : $$P(5) = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{P(5) = \dfrac{1}{6}}$$
Exercice 3
Facile
Un dé équilibré est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Correction détaillée
Les nombres pairs sont $\{2\,;4\,;6\}$, soit $3$ cas favorables sur $6$ : $$P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Exercice 4
Facile
La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à 0,30{,}3. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
Correction détaillée
On passe à l'événement contraire : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$$ $$\boxed{0{,}7}$$
Exercice 5
Facile
On tire une carte dans un jeu de 3232 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?
Correction détaillée
Il y a $8$ cœurs sur $32$ cartes équiprobables : $$P(\text{cœur}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{4}}$$
Exercice 6
Facile
Dans une classe, la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille est 35\frac{3}{5}. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
Correction détaillée
$$P(\text{garçon}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$ $$\boxed{\dfrac{2}{5}}$$
Exercice 7
Facile
On lance une pièce équilibrée. Donner la probabilité d'obtenir « pile ».
Correction détaillée
Deux issues équiprobables (pile, face) : $$P(\text{pile}) = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Exercice 8
Facile
Une urne contient 33 boules rouges, 22 vertes et 55 bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une rouge ?
Correction détaillée
Il y a $3+2+5 = 10$ boules équiprobables : $$P(\text{rouge}) = \frac{3}{10}$$ $$\boxed{\dfrac{3}{10}}$$
Exercice 9
Facile
Traduire en langage des événements : « obtenir un roi et un cœur ».
Correction détaillée
Le mot « et » correspond à l'**intersection**. Notons $R$ l'événement « obtenir un roi » et $C$ l'événement « obtenir un cœur » : $$\boxed{R \cap C}$$
Exercice 10
Facile
Deux événements AA et BB sont incompatibles avec P(A)=0,2P(A) = 0{,}2 et P(B)=0,5P(B) = 0{,}5. Calculer P(A∪B)P(A \cup B).
Correction détaillée
Incompatibles signifie $P(A \cap B) = 0$, donc $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}2 + 0{,}5 = 0{,}7$$ $$\boxed{0{,}7}$$
Exercice 11
Facile
Sur 5050 lancers d'une pièce, on a obtenu 2323 fois pile. Quelle est la fréquence de « pile » ?
Correction détaillée
$$f = \frac{23}{50} = 0{,}46$$ $$\boxed{f = 0{,}46}$$
Exercice 12
Facile
Une loi de probabilité donne P(A)=0,4P(A) = 0{,}4 et P(B)=0,3P(B) = 0{,}3 pour deux issues AA et BB. S'il n'y a qu'une troisième issue CC, que vaut P(C)P(C) ?
Correction détaillée
La somme des probabilités vaut $1$ : $$P(C) = 1 - (0{,}4 + 0{,}3) = 0{,}3$$ $$\boxed{P(C) = 0{,}3}$$
Exercice 13
Facile
On tire une carte dans un jeu de 3232. Quelle est la probabilité d'obtenir un as ?
Correction détaillée
Il y a $4$ as sur $32$ : $$P(\text{as}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{8}}$$
Exercice 14
Facile
Peut-on définir une loi de probabilité avec les valeurs 0,3 ; 0,5 ; 0,40{,}3\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0{,}4 pour trois issues ? Justifier.
Correction détaillée
On calcule la somme : $$0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}4 = 1{,}2 \neq 1$$ $$\boxed{\text{Non : la somme des probabilités doit valoir } 1}$$
Exercice 15
Facile
Un dé équilibré est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 33 ?
Correction détaillée
Les multiples de $3$ dans $\{1,\dots,6\}$ sont $\{3\,;6\}$, soit $2$ cas : $$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{3}}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Une roue est partagée en secteurs numérotés 1,2,3,41,2,3,4 de probabilités 0,15 ; 0,25 ; x ; 2x0{,}15\ ;\ 0{,}25\ ;\ x\ ;\ 2x. Déterminer xx, puis P(4)P(4).
Correction détaillée
La somme vaut $1$ : $$0{,}15 + 0{,}25 + x + 2x = 1 \iff 0{,}4 + 3x = 1 \iff 3x = 0{,}6$$ $$x = 0{,}2$$ Donc $P(3) = x = 0{,}2$ et $P(4) = 2x = 0{,}4$. $$\boxed{x = 0{,}2, \quad P(4) = 0{,}4}$$
Exercice 17
Intermédiaire
On tire une carte dans un jeu de 3232. Calculer la probabilité d'obtenir une figure (valet, dame ou roi).
Correction détaillée
Il y a $3$ figures par couleur et $4$ couleurs, soit $3\times4 = 12$ figures : $$P(\text{figure}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$$ $$\boxed{\dfrac{3}{8}}$$
Exercice 18
Intermédiaire
AA et BB vérifient P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4 et P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2. Calculer P(A∪B)P(A \cup B).
Correction détaillée
On applique la formule de la réunion : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$$ $$\boxed{0{,}7}$$
Exercice 19
Intermédiaire
On lance une pièce équilibrée deux fois. Décrire l'univers, puis calculer la probabilité d'obtenir deux résultats identiques.
Correction détaillée
**Univers** ($4$ issues équiprobables) : $$\Omega = \{PP,\ PF,\ FP,\ FF\}$$ **Deux résultats identiques** $= \{PP\,;FF\}$, soit $2$ cas : $$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Une urne contient des boules numérotées 1,2,3,41,2,3,4 d'effectifs 5,3,2,25,3,2,2. On tire une boule au hasard. Déterminer la loi de probabilité.
Correction détaillée
L'effectif total est $5+3+2+2 = 12$, et chaque boule est équiprobable : | Numéro | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |---|---|---|---|---| | Probabilité | $\frac{5}{12}$ | $\frac{3}{12}$ | $\frac{2}{12}$ | $\frac{2}{12}$ | Soit, simplifiées : $\frac{5}{12}\,;\ \frac14\,;\ \frac16\,;\ \frac16$. **Contrôle :** $\frac{5+3+2+2}{12} = \frac{12}{12} = 1$ ✔
Exercice 21
Intermédiaire
Pour l'urne de l'exercice 20, calculer la probabilité de tirer un numéro supérieur ou égal à 33.
Correction détaillée
L'événement $\{3\,;4\}$ a pour probabilité $$P = \frac{2}{12} + \frac{2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{3}}$$
Exercice 22
Intermédiaire
On lance une pièce équilibrée trois fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux piles.
Correction détaillée
L'univers compte $2^3 = 8$ issues équiprobables. « Exactement deux piles » : $$\{PPF,\ PFP,\ FPP\} \quad \text{soit } 3 \text{ cas}.$$ $$P = \frac{3}{8}$$ $$\boxed{\dfrac{3}{8}}$$
Exercice 23
Intermédiaire
On lance une pièce équilibrée trois fois. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un pile.
Correction détaillée
On passe par le **contraire** « aucun pile » $= \{FFF\}$ : $$P(\text{au moins un pile}) = 1 - P(FFF) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$ $$\boxed{\dfrac{7}{8}}$$ *Passer par le contraire évite d'énumérer les $7$ cas favorables.*
Exercice 24
Intermédiaire
On tire une carte dans un jeu de 3232. Les événements « obtenir un cœur » et « obtenir un pique » sont-ils incompatibles ? En déduire P(cœur ou pique)P(\text{cœur ou pique}).
Correction détaillée
Une carte ne peut pas être à la fois cœur et pique : les événements sont **incompatibles**. Donc, sans terme d'intersection : $$P(\text{cœur ou pique}) = \frac{8}{32} + \frac{8}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Exercice 25
Intermédiaire
Sur un échantillon de 200200 lancers d'un dé, la face 66 est sortie 2828 fois. Comparer la fréquence observée à la probabilité théorique.
Correction détaillée
**Fréquence observée :** $f = \dfrac{28}{200} = 0{,}14$. **Probabilité théorique** (dé équilibré) : $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. $$\boxed{f = 0{,}14 \text{ proche de } \tfrac16 \approx 0{,}167}$$ L'écart est faible : il s'explique par la **fluctuation d'échantillonnage** et ne permet pas de conclure que le dé est truqué.
Exercice 26
Intermédiaire
AA et BB vérifient P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(A∪B)=0,8P(A \cup B) = 0{,}8 et P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Déterminer P(B)P(B).
Correction détaillée
On part de la formule de la réunion et on isole $P(B)$ : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$0{,}8 = 0{,}6 + P(B) - 0{,}1 \iff 0{,}8 = 0{,}5 + P(B)$$ $$P(B) = 0{,}3$$ $$\boxed{P(B) = 0{,}3}$$
Exercice 27
Intermédiaire
On lance deux dés équilibrés et on note la somme. Pourquoi ne peut-on pas écrire P(somme=7)=111P(\text{somme} = 7) = \frac{1}{11} ?
Correction détaillée
Les sommes possibles vont de $2$ à $12$, soit $11$ valeurs — mais elles **ne sont pas équiprobables** : il y a une seule façon d'obtenir $2$ et six façons d'obtenir $7$. La formule $\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ ne s'applique qu'aux **$36$ couples** de dés, eux équiprobables : $$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$$ $$\boxed{\dfrac{1}{6} \text{ et non } \dfrac{1}{11}}$$
Exercice 28
Intermédiaire
Une loi de probabilité sur {a ;b ;c ;d}\{a\,;b\,;c\,;d\} vérifie P(a)=P(b)P(a) = P(b), P(c)=2P(a)P(c) = 2P(a) et P(d)=0,3P(d) = 0{,}3. Déterminer les quatre probabilités.
Correction détaillée
Posons $P(a) = P(b) = t$, donc $P(c) = 2t$. La somme vaut $1$ : $$t + t + 2t + 0{,}3 = 1 \iff 4t = 0{,}7 \iff t = 0{,}175$$ D'où : $$P(a) = P(b) = 0{,}175, \quad P(c) = 0{,}35, \quad P(d) = 0{,}3.$$ $$\boxed{0{,}175\ ;\ 0{,}175\ ;\ 0{,}35\ ;\ 0{,}3}$$ **Contrôle :** $0{,}175\times2 + 0{,}35 + 0{,}3 = 1$ ✔
Exercice 29
Difficile
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que la somme soit égale à 88.
Correction détaillée
L'univers compte $6 \times 6 = 36$ couples équiprobables. Les couples de somme $8$ sont : $$(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2) \quad \text{soit } 5 \text{ cas}.$$ $$P(\text{somme} = 8) = \frac{5}{36}$$ $$\boxed{\dfrac{5}{36}}$$
Exercice 30
Difficile
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un 66.
Correction détaillée
**Par le contraire** « aucun $6$ ». Chaque dé a $5$ faces sans $6$, soit $5\times5 = 25$ couples sans aucun $6$ : $$P(\text{aucun } 6) = \frac{25}{36}.$$ Donc $$P(\text{au moins un } 6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}.$$ $$\boxed{\dfrac{11}{36}}$$ *Le contraire évite de compter les cas $(6,\cdot)$, $(\cdot,6)$ sans oublier ni compter deux fois $(6,6)$.*
Exercice 31
Difficile
On tire une carte dans un jeu de 3232. Calculer la probabilité d'obtenir une figure ou une carte rouge.
Correction détaillée
**Comptages.** Figures $= 12$ ; cartes rouges (cœur + carreau) $= 16$. **Intersection** (figures rouges) : $3$ figures $\times 2$ couleurs rouges $= 6$. **Formule de la réunion :** $$P = \frac{12}{32} + \frac{16}{32} - \frac{6}{32} = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$$ $$\boxed{\dfrac{11}{16}}$$
Exercice 32
Difficile
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que le produit des deux résultats soit pair.
Correction détaillée
**Par le contraire** « produit impair » : un produit est impair **uniquement** si les deux dés sont impairs. Chaque dé a $3$ faces impaires $\{1,3,5\}$ : $$P(\text{produit impair}) = \frac{3\times3}{36} = \frac{9}{36} = \frac14.$$ Donc $$P(\text{produit pair}) = 1 - \frac14 = \frac34.$$ $$\boxed{\dfrac{3}{4}}$$
Exercice 33
Difficile
Dans un lycée, 60 %60\,\% des élèves étudient l'anglais, 30 %30\,\% l'espagnol et 20 %20\,\% les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il étudie au moins une de ces deux langues ?
Correction détaillée
Soit $A$ « étudie l'anglais » et $E$ « étudie l'espagnol » : $P(A) = 0{,}6$, $P(E) = 0{,}3$, $P(A \cap E) = 0{,}2$. **Au moins une des deux** $= A \cup E$ : $$P(A \cup E) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}7$$ $$\boxed{0{,}7}$$ *On retranche les $20\,\%$ bilingues, sinon ils seraient comptés dans $A$ **et** dans $E$.*
Exercice 34
Difficile
Pour la situation de l'exercice 33, quelle est la probabilité qu'un élève n'étudie aucune de ces deux langues ?
Correction détaillée
« Aucune des deux » est le **contraire** de « au moins une » $= A \cup E$ : $$P(\overline{A \cup E}) = 1 - P(A \cup E) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$$ $$\boxed{0{,}3}$$ *$30\,\%$ des élèves n'étudient ni l'anglais ni l'espagnol.*
Exercice 35
Difficile
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 1010.
Correction détaillée
On compte les couples (sur $36$) dont la somme vaut $10$, $11$ ou $12$ : - somme $10$ : $(4,6),(5,5),(6,4)$ → $3$ cas ; - somme $11$ : $(5,6),(6,5)$ → $2$ cas ; - somme $12$ : $(6,6)$ → $1$ cas. Total : $3+2+1 = 6$ cas. $$P(\text{somme} \geqslant 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{6}}$$
Exercice 36
Avancé
Une urne contient nn boules rouges et 44 boules noires. On tire une boule au hasard et la probabilité d'obtenir une rouge est 35\frac{3}{5}. Déterminer nn.
Correction détaillée
Le total de boules est $n + 4$, et $$P(\text{rouge}) = \frac{n}{n+4} = \frac{3}{5}.$$ **Produit en croix :** $$5n = 3(n+4) \iff 5n = 3n + 12 \iff 2n = 12 \iff n = 6$$ $$\boxed{n = 6}$$ **Vérification :** $\dfrac{6}{6+4} = \dfrac{6}{10} = \dfrac35$ ✔
Exercice 37
Avancé
AA et BB vérifient P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4. Encadrer P(A∩B)P(A \cap B), c'est-à-dire donner sa plus petite et sa plus grande valeur possible.
Correction détaillée
**Valeur maximale.** L'intersection est incluse dans chaque événement, donc $P(A \cap B) \leqslant P(A)$ et $\leqslant P(B)$ : au plus $\min(0{,}5\,;0{,}4) = 0{,}4$ (cas où $B \subset A$). **Valeur minimale.** Comme $P(A \cup B) \leqslant 1$, la formule de la réunion donne $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \geqslant 0{,}5 + 0{,}4 - 1 = -0{,}1.$$ Mais une probabilité est $\geqslant 0$ : le minimum réel est donc $0$ (cas incompatibles, possible ici car $0{,}5 + 0{,}4 \leqslant 1$). $$\boxed{0 \leqslant P(A \cap B) \leqslant 0{,}4}$$
Exercice 38
Avancé
On lance trois pièces équilibrées. Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux piles.
Correction détaillée
L'univers compte $2^3 = 8$ issues équiprobables. « Au moins deux piles » réunit « exactement $2$ » et « exactement $3$ » : - exactement $2$ piles : $\{PPF,\ PFP,\ FPP\}$ → $3$ cas ; - exactement $3$ piles : $\{PPP\}$ → $1$ cas. Total : $3 + 1 = 4$ cas. $$P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Exercice 39
Avancé
Un sac contient 1010 jetons : 66 gagnants et 44 perdants. On tire successivement deux jetons sans remettre le premier. Calculer la probabilité de tirer deux jetons gagnants (on pourra dénombrer les tirages).
Correction détaillée
**Nombre de tirages ordonnés de deux jetons** parmi $10$ (sans remise) : $10 \times 9 = 90$, tous équiprobables. **Tirages « deux gagnants »** : $6$ choix pour le premier, puis $5$ pour le second : $6 \times 5 = 30$. $$P(\text{deux gagnants}) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{3}}$$ *La probabilité du second tirage dépend du premier (il ne reste que $9$ jetons) : c'est pourquoi on dénombre les tirages ordonnés.*
Exercice 40
Avancé
Un jeu propose de gagner avec probabilité pp à chaque partie, indépendamment. Alice joue 22 parties. On admet que P(perdre les deux)=(1−p)2P(\text{perdre les deux}) = (1-p)^2. Sachant que la probabilité de gagner au moins une partie vaut 0,840{,}84, déterminer pp.
Correction détaillée
« Gagner au moins une » est le contraire de « perdre les deux » : $$P(\text{au moins une}) = 1 - (1-p)^2 = 0{,}84.$$ Donc $$(1-p)^2 = 0{,}16 \implies 1-p = 0{,}4 \quad (\text{racine positive, car } 0 \leqslant 1-p \leqslant 1)$$ $$p = 0{,}6$$ $$\boxed{p = 0{,}6}$$ **Vérification :** $(1-0{,}6)^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16$, et $1 - 0{,}16 = 0{,}84$ ✔
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — La somme de deux dés
Intermédiaire
On lance deux dés équilibres à six faces (l'un rouge, l'autre bleu) et on s'intéresse à la somme des deux résultats. On rappelle qu'il y a 3636 couples équiprobables.
1.
Quelles sont les valeurs possibles de la somme ? Sont-elles équiprobables ?
La somme peut valoir tout entier de $2$ (couple $(1,1)$) à $12$ (couple $(6,6)$). Elles ne sont **pas équiprobables** : il n'y a qu'une façon d'obtenir $2$, mais plusieurs d'obtenir $7$. $$\boxed{\text{Sommes de } 2 \text{ à } 12, \text{ non équiprobables}}$$
2.
Calculer P(somme=7)P(\text{somme} = 7).
Les couples de somme $7$ sont $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, soit $6$ cas sur $36$ : $$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{6}}$$ *C'est la somme la plus probable.*
3.
Calculer P(somme=2)P(\text{somme} = 2) puis P(somme⩽3)P(\text{somme} \leqslant 3).
**Somme $2$ :** seul $(1,1)$, donc $P = \dfrac{1}{36}$. **Somme $\leqslant 3$ :** on ajoute la somme $3$, obtenue par $(1,2)$ et $(2,1)$ ($2$ cas). Au total $1 + 2 = 3$ cas : $$P(\text{somme} \leqslant 3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$$ $$\boxed{P(=2) = \tfrac{1}{36}, \quad P(\leqslant 3) = \tfrac{1}{12}}$$
4.
Montrer que P(somme paire)=12P(\text{somme paire}) = \frac{1}{2}.
La somme est **paire** lorsque les deux dés ont la **même parité** (pair+pair ou impair+impair). - Deux pairs : $3 \times 3 = 9$ couples ; - Deux impairs : $3 \times 3 = 9$ couples. Total : $9 + 9 = 18$ cas sur $36$ : $$P(\text{somme paire}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
Problème 2 — Un jeu de 32 cartes
Intermédiaire
On tire une carte au hasard dans un jeu de 3232 cartes (couleurs : cœur ♥, carreau ♦, trèfle ♣, pique ♠ ; valeurs : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As). Toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées.
1.
Calculer la probabilité d'obtenir un roi, puis celle d'obtenir un pique.
**Roi :** $4$ rois sur $32$ : $P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac18$. **Pique :** $8$ piques sur $32$ : $P(\text{pique}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac14$. $$\boxed{P(\text{roi}) = \tfrac18, \quad P(\text{pique}) = \tfrac14}$$
2.
Calculer la probabilité d'obtenir « le roi de pique ».
Il n'y a qu'**une seule** carte roi de pique : $$P(\text{roi de pique}) = \frac{1}{32}$$ $$\boxed{\dfrac{1}{32}}$$ *C'est l'intersection des événements « roi » et « pique ».*
3.
En déduire la probabilité d'obtenir « un roi ou un pique ».
On applique la formule de la réunion avec l'intersection de la question 2 : $$P(\text{roi ou pique}) = P(\text{roi}) + P(\text{pique}) - P(\text{roi de pique})$$ $$= \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$$ $$\boxed{\dfrac{11}{32}}$$
4.
Calculer la probabilité de ne pas obtenir de figure (valet, dame, roi).
Il y a $3 \times 4 = 12$ figures, donc $P(\text{figure}) = \dfrac{12}{32} = \dfrac38$. **Par le contraire :** $$P(\text{pas de figure}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$ $$\boxed{\dfrac{5}{8}}$$
Problème 3 — Une roue de loterie
Difficile
Une roue de loterie est partagée en secteurs de trois couleurs : rouge (gain de 1010 €), vert (gain de 55 €) et blanc (aucun gain). On donne la loi de probabilité partielle :

CouleurRougeVertBlanc
Probabilité0,10{,}1xx0,60{,}6
1.
Déterminer la valeur de xx.
La somme des probabilités vaut $1$ : $$0{,}1 + x + 0{,}6 = 1 \iff x = 0{,}3$$ $$\boxed{x = 0{,}3}$$
2.
Quelle est la probabilité de gagner de l'argent (rouge ou vert) ?
Rouge et vert sont **incompatibles** (une case a une seule couleur) : $$P(\text{gagner}) = P(\text{rouge}) + P(\text{vert}) = 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}4$$ $$\boxed{0{,}4}$$ *On retrouve aussi ce résultat par le contraire : $1 - P(\text{blanc}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.*
3.
On joue et la roue tombe sur une couleur donnant un gain. Sachant cela, la couleur a autant de chances d'être rouge que verte ? Comparer les deux.
Parmi les issues « gagnantes », il faut comparer $P(\text{rouge}) = 0{,}1$ et $P(\text{vert}) = 0{,}3$. Le vert est **trois fois plus probable** que le rouge ($0{,}3 = 3 \times 0{,}1$). $$\boxed{\text{Non : le vert est trois fois plus probable que le rouge}}$$
4.
On effectue 500500 parties. Combien de gains rouges peut-on raisonnablement s'attendre à observer ?
La probabilité d'un gain rouge est $0{,}1$. Sur un grand nombre de parties, la **fréquence** observée s'approche de cette probabilité (loi des grands nombres) : $$500 \times 0{,}1 = 50.$$ $$\boxed{\text{Environ } 50 \text{ gains rouges}}$$ *C'est une estimation : à cause de la **fluctuation d'échantillonnage**, le nombre réel sera proche de $50$ sans forcément l'égaler.*
Problème 4 — Anglais, espagnol et sondage
Difficile
Dans un lycée, on interroge les élèves sur les langues étudiées. On sait que 70 %70\,\% étudient l'anglais, 40 %40\,\% l'espagnol, et 25 %25\,\% étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard ; on note AA « étudie l'anglais » et EE « étudie l'espagnol ».
1.
Donner P(A)P(A), P(E)P(E) et P(A∩E)P(A \cap E).
En traduisant les pourcentages en probabilités : $$P(A) = 0{,}7, \qquad P(E) = 0{,}4, \qquad P(A \cap E) = 0{,}25$$ $$\boxed{P(A) = 0{,}7,\ P(E) = 0{,}4,\ P(A \cap E) = 0{,}25}$$
2.
Calculer la probabilité qu'un élève étudie au moins une des deux langues.
« Au moins une » $= A \cup E$ : $$P(A \cup E) = P(A) + P(E) - P(A \cap E) = 0{,}7 + 0{,}4 - 0{,}25 = 0{,}85$$ $$\boxed{0{,}85}$$
3.
En déduire la probabilité qu'un élève n'étudie aucune de ces deux langues.
C'est le **contraire** de « au moins une » : $$P(\overline{A \cup E}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$$ $$\boxed{0{,}15}$$ *$15\,\%$ des élèves n'étudient ni anglais ni espagnol.*
4.
Quelle est la probabilité qu'un élève étudie l'anglais mais pas l'espagnol ?
Les élèves qui étudient l'anglais ($70\,\%$) se répartissent entre ceux qui font aussi l'espagnol ($A \cap E = 25\,\%$) et les autres. On retire l'intersection : $$P(A \text{ mais pas } E) = P(A) - P(A \cap E) = 0{,}7 - 0{,}25 = 0{,}45$$ $$\boxed{0{,}45}$$ *Sur $100$ élèves : $45$ font anglais seul, $25$ les deux, $15$ espagnol seul, $15$ aucune — total $100$ ✔.*