🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc
Accueil › Seconde › Statistiques descriptives
IV Statistiques & probabilités · Chapitre 10 / 11

Statistiques descriptives

Moyenne, médiane, quartiles, écart type.

8 min de lecture
6 sections, 6 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

La moyenne et la médiane mesurent la tendance centrale d'une série statistique — la médiane partage la série en deux moitiés et résiste aux valeurs extrêmes. Les quartiles Q1 et Q3 délimitent l'écart interquartile ; l'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne. On résume une série par le couple (médiane ; écart interquartile) ou (moyenne ; écart type) selon sa forme.

1 I. Vocabulaire

Les statistiques permettent de résumer une grande quantité de données par quelques nombres bien choisis. Encore faut-il savoir lequel utiliser — et connaître ses limites.

2 II. La moyenne

3 III. La médiane

4 IV. Moyenne ou médiane ?

Ces deux nombres résument la série « par le centre », mais ils ne réagissent pas de la même façon aux valeurs extrêmes. Savoir lequel choisir est un point clé du chapitre.

5 V. Quartiles et dispersion

Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : l'une resserrée, l'autre étalée. Les indicateurs de dispersion mesurent cet étalement.

6 VI. Variance et écart type

L'écart interquartile mesure la dispersion autour de la médiane. La variance et l'écart type mesurent, eux, la dispersion autour de la moyenne — c'est l'indicateur le plus utilisé en pratique.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?
La moyenne prend en compte toutes les valeurs, la médiane seulement leur position : la moitié de la série est en dessous, l'autre moitié au-dessus. La médiane résiste aux valeurs extrêmes : dans une série de salaires, un très haut salaire tire la moyenne vers le haut mais ne change presque pas la médiane.
Comment calculer la médiane d'une série ?
On ordonne d'abord les valeurs par ordre croissant. Si l'effectif NN est impair, la médiane est la valeur du milieu (la N+12\frac{N+1}{2}-ième) ; si NN est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales. Oublier de trier la série est l'erreur classique.
À quoi sert l'écart type ?
Il mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus la série est étalée. Deux classes peuvent avoir la même moyenne de 12, l'une avec des notes entre 10 et 14 (écart type faible), l'autre entre 2 et 20 (écart type élevé) — l'écart type fait la différence que la moyenne ne voit pas.
Comment calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs ?
On calcule la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout et on divise par l'effectif total : xˉ=n1x1+n2x2+⋯N\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{N}. Diviser par le nombre de valeurs distinctes au lieu de l'effectif total est le piège à éviter.

Indicateurs de position

Moyenne vs médiane

Dispersion

Transformation affine

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Calculer la moyenne de la série 4 ;7 ;9 ;10 ;104\,;7\,;9\,;10\,;10.
Correction détaillée
$$\bar{x} = \frac{4+7+9+10+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$$ $$\boxed{\bar{x} = 8}$$
Exercice 2
Facile
Déterminer la médiane de la série ordonnée 3 ;5 ;8 ;11 ;143\,;5\,;8\,;11\,;14.
Correction détaillée
La série compte $5$ valeurs ($N$ impair) : la médiane est la valeur du **milieu**, au rang $3$. $$\boxed{\text{Me} = 8}$$
Exercice 3
Facile
Déterminer l'étendue de la série 6 ;9 ;4 ;15 ;76\,;9\,;4\,;15\,;7.
Correction détaillée
$$\text{étendue} = x_{\max} - x_{\min} = 15 - 4 = 11$$ $$\boxed{11}$$
Exercice 4
Facile
Déterminer la médiane de la série ordonnée 2 ;4 ;4 ;5 ;5 ;72\,;4\,;4\,;5\,;5\,;7.
Correction détaillée
La série compte $6$ valeurs ($N$ pair) : la médiane est la **moyenne des deux valeurs centrales** (rangs $3$ et $4$). $$\text{Me} = \frac{4+5}{2} = 4{,}5$$ $$\boxed{\text{Me} = 4{,}5}$$
Exercice 5
Facile
Un élève a 1212, 1515 et 99. Calculer sa moyenne.
Correction détaillée
$$\bar{x} = \frac{12+15+9}{3} = \frac{36}{3} = 12$$ $$\boxed{12}$$
Exercice 6
Facile
Dans une classe de 2020 élèves, 88 ont eu la note 1212. Quelle est la fréquence de cette note ?
Correction détaillée
$$f = \frac{n}{N} = \frac{8}{20} = 0{,}4$$ $$\boxed{f = 0{,}4 \ (40\,\%)}$$
Exercice 7
Facile
Calculer la moyenne pondérée : 1414 (coef 22) et 88 (coef 11).
Correction détaillée
$$\bar{x} = \frac{2\times14 + 1\times8}{2+1} = \frac{36}{3} = 12$$ $$\boxed{12}$$
Exercice 8
Facile
La variance d'une série vaut 99. Quel est son écart type ?
Correction détaillée
L'écart type est la racine carrée de la variance : $$\sigma = \sqrt{9} = 3$$ $$\boxed{\sigma = 3}$$
Exercice 9
Facile
Une série a pour moyenne 1010 et écart type 22. On ajoute 55 à toutes les valeurs. Quels sont les nouveaux indicateurs ?
Correction détaillée
**Moyenne :** décalée de $5$ : $\bar{y} = 10+5 = 15$. **Écart type :** ajouter une constante **ne change pas** la dispersion : $\sigma_y = 2$. $$\boxed{\bar{y} = 15, \quad \sigma_y = 2}$$
Exercice 10
Facile
Quelle est la somme des fréquences d'une série statistique ?
Correction détaillée
Chaque fréquence est une proportion, et l'ensemble couvre toute la population : $$\boxed{\text{La somme des fréquences vaut } 1 \ (100\,\%)}$$
Exercice 11
Facile
Déterminer la médiane de 10 ;8 ;6 ;12 ;910\,;8\,;6\,;12\,;9.
Correction détaillée
**On ordonne d'abord :** $6\,;8\,;9\,;10\,;12$. $N = 5$ (impair) : la médiane est la valeur de rang $3$. $$\boxed{\text{Me} = 9}$$ *Ne jamais oublier d'ordonner avant.*
Exercice 12
Facile
Une série a pour moyenne 66 et écart type 33. On multiplie toutes les valeurs par 22. Quels sont les nouveaux indicateurs ?
Correction détaillée
**Moyenne :** multipliée par $2$ : $\bar{y} = 12$. **Écart type :** multiplié par $|2| = 2$ : $\sigma_y = 6$. $$\boxed{\bar{y} = 12, \quad \sigma_y = 6}$$
Exercice 13
Facile
Quel indicateur, de la moyenne ou de la médiane, est le plus sensible à une valeur très élevée ?
Correction détaillée
La **moyenne** additionne toutes les valeurs : une valeur très élevée l'augmente fortement. La médiane ne dépend que du rang. $$\boxed{\text{La moyenne est la plus sensible}}$$
Exercice 14
Facile
Calculer l'écart interquartile si Q1=7Q_1 = 7 et Q3=15Q_3 = 15.
Correction détaillée
$$Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$$ $$\boxed{8}$$
Exercice 15
Facile
Dans un tableau, les valeurs 55, 66, 77 ont pour effectifs 33, 55, 22. Quel est l'effectif total ?
Correction détaillée
$$N = 3+5+2 = 10$$ $$\boxed{N = 10}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Calculer la moyenne de la série donnée par : valeurs 0,1,2,3,40,1,2,3,4 d'effectifs 2,4,8,4,22,4,8,4,2.
Correction détaillée
On applique la moyenne pondérée par les effectifs : $$\bar{x} = \frac{2\times0 + 4\times1 + 8\times2 + 4\times3 + 2\times4}{20} = \frac{0+4+16+12+8}{20} = \frac{40}{20}$$ $$\boxed{\bar{x} = 2}$$
Exercice 17
Intermédiaire
Pour la série précédente (effectifs 2,4,8,4,22,4,8,4,2 pour 0,1,2,3,40,1,2,3,4), déterminer la médiane.
Correction détaillée
L'effectif total est $N = 20$ (pair) : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $10$ et $11$. Effectifs cumulés : $0$ jusqu'au rang $2$, $1$ jusqu'au rang $6$, $2$ **jusqu'au rang $14$**. Les rangs $10$ et $11$ correspondent donc à la valeur $2$. $$\text{Me} = \frac{2+2}{2} = 2$$ $$\boxed{\text{Me} = 2}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Déterminer Q1Q_1 et Q3Q_3 de la série ordonnée 6 ;7 ;9 ;10 ;12 ;12 ;15 ;18 ;206\,;7\,;9\,;10\,;12\,;12\,;15\,;18\,;20.
Correction détaillée
$N = 9$. **$Q_1$ :** $\frac{N}{4} = 2{,}25$, plus petit entier $\geqslant 2{,}25$ est $3$ → valeur de rang $3$ : $Q_1 = 9$. **$Q_3$ :** $\frac{3N}{4} = 6{,}75$, plus petit entier $\geqslant 6{,}75$ est $7$ → valeur de rang $7$ : $Q_3 = 15$. $$\boxed{Q_1 = 9, \quad Q_3 = 15}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Calculer la variance et l'écart type de la série 2 ;4 ;4 ;4 ;5 ;5 ;7 ;92\,;4\,;4\,;4\,;5\,;5\,;7\,;9.
Correction détaillée
**Moyenne :** $\bar{x} = \dfrac{40}{8} = 5$. **Carrés des écarts à $5$ :** $$(2-5)^2=9,\ (4-5)^2=1 \ (\times3),\ (5-5)^2=0 \ (\times2),\ (7-5)^2=4,\ (9-5)^2=16$$ Somme : $9+3\times1+0+4+16 = 32$. **Variance :** $V = \dfrac{32}{8} = 4$. **Écart type :** $\sigma = \sqrt{4} = 2$. $$\boxed{V = 4, \quad \sigma = 2}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Calculer la moyenne globale de deux classes : 2020 élèves de moyenne 1212 et 3030 élèves de moyenne 1414.
Correction détaillée
On **pondère par les effectifs** (ce n'est pas la moyenne des deux moyennes) : $$\bar{x} = \frac{20\times12 + 30\times14}{20+30} = \frac{240+420}{50} = \frac{660}{50} = 13{,}2$$ $$\boxed{\bar{x} = 13{,}2}$$ *La moyenne des moyennes donnerait $13$, ce qui serait faux car les classes n'ont pas le même effectif.*
Exercice 21
Intermédiaire
Une série a pour moyenne 1010 et écart type 44. On applique la transformation y=3x−1y = 3x - 1. Déterminer yˉ\bar{y} et σy\sigma_y.
Correction détaillée
**Moyenne :** $\bar{y} = 3\bar{x} - 1 = 3\times10 - 1 = 29$. **Écart type :** seul le facteur multiplicatif agit, en valeur absolue : $\sigma_y = |3|\times4 = 12$. $$\boxed{\bar{y} = 29, \quad \sigma_y = 12}$$ *Le $-1$ décale la moyenne mais n'affecte pas la dispersion.*
Exercice 22
Intermédiaire
Comparer moyenne et médiane de la série 8 ;9 ;10 ;11 ;1208\,;9\,;10\,;11\,;120.
Correction détaillée
**Moyenne :** $\bar{x} = \dfrac{8+9+10+11+120}{5} = \dfrac{158}{5} = 31{,}6$. **Médiane :** $N=5$, valeur de rang $3$ : $\text{Me} = 10$. $$\boxed{\bar{x} = 31{,}6 \quad \text{mais} \quad \text{Me} = 10}$$ La valeur extrême $120$ tire la **moyenne** très haut, alors qu'aucune des quatre autres valeurs n'en approche. La **médiane** reste représentative.
Exercice 23
Intermédiaire
Déterminer la médiane, Q1Q_1 et Q3Q_3 de la série ordonnée 3 ;5 ;6 ;7 ;8 ;8 ;9 ;10 ;12 ;14 ;153\,;5\,;6\,;7\,;8\,;8\,;9\,;10\,;12\,;14\,;15.
Correction détaillée
$N = 11$ (impair). **Médiane :** rang $6$ → $\text{Me} = 8$. **$Q_1$ :** $\frac{11}{4} = 2{,}75 \to$ rang $3$ → $Q_1 = 6$. **$Q_3$ :** $\frac{33}{4} = 8{,}25 \to$ rang $9$ → $Q_3 = 12$. $$\boxed{Q_1 = 6, \quad \text{Me} = 8, \quad Q_3 = 12}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Pour la série de l'exercice 23, calculer l'écart interquartile et l'étendue. Que comparent-ils ?
Correction détaillée
**Écart interquartile :** $Q_3 - Q_1 = 12 - 6 = 6$. **Étendue :** $15 - 3 = 12$. $$\boxed{Q_3-Q_1 = 6 \ ;\quad \text{étendue} = 12}$$ **Comparaison.** L'étendue mesure la dispersion **totale** (toutes les valeurs). L'écart interquartile mesure la dispersion de la **moitié centrale**, en ignorant les $25\,\%$ extrêmes de chaque côté : il est donc plus **robuste** aux valeurs aberrantes.
Exercice 25
Intermédiaire
Une entreprise annonce un salaire moyen de 3 0003\,000 € mais un salaire médian de 2 2002\,200 €. Qu'en déduire sur la répartition des salaires ?
Correction détaillée
La moyenne ($3\,000$) est **nettement supérieure** à la médiane ($2\,200$). Cela signifie qu'une **minorité de salaires très élevés** tire la moyenne vers le haut, alors que la majorité des employés gagne autour de $2\,200$ €. $$\boxed{\text{Les salaires sont étalés vers le haut : quelques hauts salaires gonflent la moyenne}}$$ *C'est pourquoi la médiane décrit mieux « le salarié typique ».*
Exercice 26
Intermédiaire
Toutes les notes d'une classe sont augmentées de 22 points. La moyenne était 99, l'écart type 33. Que deviennent-ils ?
Correction détaillée
C'est la transformation $y = x+2$ (avec $a=1$, $b=2$). **Moyenne :** $\bar{y} = 9+2 = 11$. **Écart type :** ajouter une constante **ne modifie pas** la dispersion : $\sigma_y = 3$. $$\boxed{\bar{y} = 11, \quad \sigma_y = 3}$$ *Tout le monde monte de $2$, donc les écarts entre élèves sont inchangés.*
Exercice 27
Intermédiaire
Dans une série de 88 valeurs, la somme des valeurs est 5656 et la somme de leurs carrés est 428428. Calculer la moyenne, puis la variance.
Correction détaillée
**Moyenne :** $\bar{x} = \dfrac{56}{8} = 7$. **Variance** — on utilise la formule $V = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$ (moyenne des carrés moins carré de la moyenne) : $$V = \frac{428}{8} - 7^2 = 53{,}5 - 49 = 4{,}5$$ $$\boxed{\bar{x} = 7, \quad V = 4{,}5}$$ *Cette formule évite de calculer chaque écart individuellement.*
Exercice 28
Intermédiaire
La médiane d'une série de 1212 nombres est 1515. Que peut-on dire du nombre de valeurs inférieures ou égales à 1515 ?
Correction détaillée
$N = 12$ (pair) : la médiane est la moyenne des $6^\text{e}$ et $7^\text{e}$ valeurs ordonnées. Les six premières valeurs sont donc **inférieures ou égales** à la médiane. $$\boxed{\text{Au moins } 6 \text{ valeurs (la moitié) sont} \leqslant 15}$$ *C'est la propriété fondamentale de la médiane : elle partage la série en deux moitiés.*
Exercice 29
Difficile
Deux séries ont la même moyenne xˉ=10\bar{x} = 10. Série A : 8 ;9 ;10 ;11 ;128\,;9\,;10\,;11\,;12. Série B : 2 ;6 ;10 ;14 ;182\,;6\,;10\,;14\,;18. Comparer leur dispersion par l'écart type.
Correction détaillée
**Série A.** Écarts à $10$ : $-2,-1,0,1,2$ ; carrés : $4,1,0,1,4$ de somme $10$. $$V_A = \frac{10}{5} = 2, \qquad \sigma_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41$$ **Série B.** Écarts : $-8,-4,0,4,8$ ; carrés : $64,16,0,16,64$ de somme $160$. $$V_B = \frac{160}{5} = 32, \qquad \sigma_B = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$$ $$\boxed{\sigma_A \approx 1{,}41 < \sigma_B \approx 5{,}66}$$ **Conclusion.** Même moyenne, mais la série B est **beaucoup plus dispersée** : c'est tout l'intérêt de l'écart type, qui distingue deux séries que la moyenne seule confond.
Exercice 30
Difficile
Une série de 1010 valeurs a pour moyenne 66. On ajoute une 11e11^\text{e} valeur égale à 1717. Quelle est la nouvelle moyenne ?
Correction détaillée
**Somme initiale.** Si la moyenne de $10$ valeurs est $6$, leur somme vaut $10\times6 = 60$. **Nouvelle somme.** On ajoute $17$ : $60+17 = 77$. **Nouvelle moyenne** (sur $11$ valeurs) : $$\bar{x}' = \frac{77}{11} = 7$$ $$\boxed{\bar{x}' = 7}$$ *Retenir : moyenne × effectif = somme totale. C'est la clé de ce type de problème.*
Exercice 31
Difficile
La moyenne de 55 nombres est 1212. En retirant l'un d'eux, la moyenne des 44 restants devient 1313. Quel nombre a été retiré ?
Correction détaillée
**Somme des $5$ nombres :** $5\times12 = 60$. **Somme des $4$ restants :** $4\times13 = 52$. **Nombre retiré :** c'est la différence des deux sommes : $$60 - 52 = 8$$ $$\boxed{\text{Le nombre retiré est } 8}$$ *Retirer une valeur **inférieure** à la moyenne fait monter la moyenne — cohérent, $8 < 12$.*
Exercice 32
Difficile
Un professeur a 1818 élèves de moyenne 1111. Deux nouveaux élèves arrivent, faisant passer la moyenne de la classe à 11,511{,}5. Quelle est la moyenne des deux nouveaux élèves ?
Correction détaillée
**Somme des $18$ premiers :** $18\times11 = 198$. **Somme des $20$ élèves :** $20\times11{,}5 = 230$. **Somme des deux nouveaux :** $230 - 198 = 32$. **Leur moyenne :** $$\frac{32}{2} = 16$$ $$\boxed{16}$$ **Vérification :** $\dfrac{198+32}{20} = \dfrac{230}{20} = 11{,}5$ ✔
Exercice 33
Difficile
Le tableau donne les notes d'une classe : 88 (effectif 33), 1010 (effectif 66), 1212 (effectif 88), 1414 (effectif 33). Déterminer la moyenne et la médiane.
Correction détaillée
**Effectif total :** $N = 3+6+8+3 = 20$. **Moyenne :** $$\bar{x} = \frac{3\times8 + 6\times10 + 8\times12 + 3\times14}{20} = \frac{24+60+96+42}{20} = \frac{222}{20} = 11{,}1$$ **Médiane :** $N=20$, moyenne des rangs $10$ et $11$. Effectifs cumulés : $8$ jusqu'au rang $3$, $10$ jusqu'au rang $9$, $12$ **jusqu'au rang $17$**. Les rangs $10$ et $11$ valent donc $12$. $$\text{Me} = 12$$ $$\boxed{\bar{x} = 11{,}1, \quad \text{Me} = 12}$$
Exercice 34
Difficile
Une série a pour moyenne xˉ\bar{x}. Démontrer que la somme des écarts à la moyenne, ∑(xi−xˉ)\sum (x_i - \bar{x}), est toujours nulle.
Correction détaillée
On développe la somme en la séparant en deux : $$\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{N} x_i - \sum_{i=1}^{N} \bar{x}$$ **Premier terme :** $\sum x_i = N\bar{x}$ (car $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$, donc $\sum x_i = N\bar x$). **Second terme :** $\bar{x}$ est une constante additionnée $N$ fois : $\sum \bar{x} = N\bar{x}$. Donc : $$\sum (x_i-\bar{x}) = N\bar{x} - N\bar{x} = 0$$ $$\boxed{\sum (x_i - \bar{x}) = 0}$$ *C'est précisément pour cela qu'on **élève les écarts au carré** dans la variance : sinon les écarts positifs et négatifs se compensent exactement, et l'indicateur serait toujours nul.*
Exercice 35
Difficile
On considère la série x1,…,xNx_1, \dots, x_N de moyenne xˉ=5\bar{x} = 5 et d'écart type σ=2\sigma = 2. On construit la série centrée réduite zi=xi−52z_i = \dfrac{x_i - 5}{2}. Déterminer la moyenne et l'écart type de la série (zi)(z_i).
Correction détaillée
La transformation s'écrit $z = \dfrac{x-5}{2} = \dfrac12 x - \dfrac52$, soit $a = \frac12$ et $b = -\frac52$. **Moyenne :** $$\bar{z} = \frac12\bar{x} - \frac52 = \frac12\times5 - \frac52 = 0$$ **Écart type :** $$\sigma_z = \left|\tfrac12\right|\times\sigma = \frac12\times2 = 1$$ $$\boxed{\bar{z} = 0, \quad \sigma_z = 1}$$ *Cette série « centrée réduite » a toujours une moyenne nulle et un écart type de $1$ : c'est un outil fondamental pour comparer des séries d'unités différentes.*
Exercice 36
Avancé
Une classe de 2525 élèves a une moyenne de 1010 au premier devoir. Au second devoir, chaque note augmente de 10 %10\,\% puis on ajoute 11 point. Exprimer la nouvelle moyenne, et la calculer.
Correction détaillée
Augmenter de $10\,\%$ revient à multiplier par $1{,}1$, puis on ajoute $1$ : la transformation est $$y = 1{,}1\,x + 1.$$ D'après la propriété de la transformation affine : $$\bar{y} = 1{,}1\,\bar{x} + 1 = 1{,}1\times10 + 1 = 12$$ $$\boxed{\bar{y} = 12}$$ *On n'a pas eu besoin des $25$ notes individuelles : la linéarité de la moyenne suffit.*
Exercice 37
Avancé
Deux groupes forment une série totale. Le groupe 1 (3030 personnes) a une moyenne de 88, le groupe 2 (2020 personnes) a une moyenne de mm. La moyenne globale vaut 9,29{,}2. Déterminer mm.
Correction détaillée
**Moyenne globale = somme totale / effectif total.** On écrit l'équation : $$\frac{30\times8 + 20\times m}{50} = 9{,}2$$ On multiplie par $50$ : $$240 + 20m = 460$$ On isole $m$ : $$20m = 220 \iff m = 11$$ $$\boxed{m = 11}$$ **Vérification :** $\dfrac{240 + 220}{50} = \dfrac{460}{50} = 9{,}2$ ✔
Exercice 38
Avancé
Une série de NN valeurs vérifie ∑xi=200\sum x_i = 200 et ∑xi2=2 120\sum x_i^2 = 2\,120. Sachant que la variance vaut 66, déterminer NN.
Correction détaillée
On utilise la formule $V = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$, avec $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N} = \dfrac{200}{N}$ : $$6 = \frac{2120}{N} - \left(\frac{200}{N}\right)^2 = \frac{2120}{N} - \frac{40000}{N^2}$$ On multiplie tout par $N^2$ : $$6N^2 = 2120\,N - 40000$$ On ramène à zéro et on divise par $2$ : $$3N^2 - 1060\,N + 20000 = 0$$ Cette équation admet pour solutions entières $N = 20$ (et une solution non entière que l'on écarte). *Contrôle :* $3\times400 - 1060\times20 + 20000 = 1200 - 21200 + 20000 = 0$ ✔ $$\boxed{N = 20}$$ **Vérification :** $\bar{x} = 10$, $V = \frac{2120}{20} - 100 = 106 - 100 = 6$ ✔
Exercice 39
Avancé
Montrer que si toutes les valeurs d'une série sont égales à une même constante cc, alors la variance est nulle. La réciproque est-elle vraie ?
Correction détaillée
**Sens direct.** Si $x_i = c$ pour tout $i$, alors la moyenne vaut $\bar{x} = c$ (moyenne de valeurs toutes égales à $c$). Chaque écart à la moyenne est donc $$x_i - \bar{x} = c - c = 0.$$ La variance, moyenne de carrés tous nuls, vaut $0$. **Réciproque.** Supposons $V = 0$. La variance est une **moyenne de carrés**, donc de termes tous positifs ou nuls. Une telle moyenne ne peut être nulle que si **chaque** terme l'est : $$(x_i - \bar{x})^2 = 0 \implies x_i = \bar{x} \quad \text{pour tout } i.$$ Toutes les valeurs sont donc égales (à $\bar{x}$). $$\boxed{V = 0 \iff \text{toutes les valeurs sont égales}}$$ *Interprétation : un écart type nul signifie « aucune dispersion » — toutes les données sont identiques.*
Exercice 40
Avancé
Une série de NN valeurs a pour moyenne xˉ\bar{x}. On ajoute une valeur supplémentaire égale à xˉ\bar{x}. Démontrer que la moyenne ne change pas.
Correction détaillée
**Somme initiale.** Les $N$ valeurs ont pour somme $S = N\bar{x}$. **Après ajout** de la valeur $\bar{x}$, on a $N+1$ valeurs de somme $$S' = N\bar{x} + \bar{x} = (N+1)\bar{x}.$$ **Nouvelle moyenne :** $$\bar{x}' = \frac{S'}{N+1} = \frac{(N+1)\bar{x}}{N+1} = \bar{x}.$$ $$\boxed{\bar{x}' = \bar{x} : \text{la moyenne est inchangée}}$$ *Ajouter une valeur égale à la moyenne ne déplace pas le « centre » de la série. En revanche, cela **diminue** l'écart type, car on ajoute une donnée d'écart nul qui « dilue » la dispersion.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Deux classes, deux profils
Intermédiaire
Un professeur compare les notes de deux groupes à un même contrôle.

Groupe A : 6 ;8 ;10 ;12 ;146\,;8\,;10\,;12\,;14
Groupe B : 9 ;10 ;10 ;10 ;119\,;10\,;10\,;10\,;11
1.
Calculer la moyenne de chaque groupe.
**Groupe A :** $\bar{x}_A = \dfrac{6+8+10+12+14}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$. **Groupe B :** $\bar{x}_B = \dfrac{9+10+10+10+11}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$. $$\boxed{\bar{x}_A = \bar{x}_B = 10}$$ *Même moyenne : impossible de les distinguer avec ce seul indicateur.*
2.
Calculer l'écart type de chaque groupe.
**Groupe A.** Écarts à $10$ : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés : $16,4,0,4,16$, somme $40$. $$V_A = \frac{40}{5} = 8, \qquad \sigma_A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$ **Groupe B.** Écarts à $10$ : $-1,0,0,0,1$ ; carrés : $1,0,0,0,1$, somme $2$. $$V_B = \frac{2}{5} = 0{,}4, \qquad \sigma_B = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63$$ $$\boxed{\sigma_A \approx 2{,}83 \ ;\quad \sigma_B \approx 0{,}63}$$
3.
Que peut-on conclure sur les deux groupes ?
Les deux groupes ont la **même moyenne** ($10$), mais des dispersions très différentes. Le **groupe B** est **homogène** (écart type faible : les notes sont resserrées autour de $10$). Le **groupe A** est **hétérogène** (écart type élevé : notes très étalées, de $6$ à $14$). $$\boxed{\text{Même niveau moyen, mais le groupe B est bien plus homogène}}$$ *C'est l'écart type qui révèle cette différence, invisible sur la seule moyenne.*
4.
Le professeur ajoute 22 points à toutes les notes du groupe A. Que deviennent sa moyenne et son écart type ?
C'est la transformation $y = x+2$. **Moyenne :** $\bar{y}_A = 10+2 = 12$. **Écart type :** ajouter une constante ne change pas la dispersion : $\sigma_A$ reste $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. $$\boxed{\bar{y}_A = 12, \quad \sigma_A \approx 2{,}83 \text{ (inchangé)}}$$
Problème 2 — Le salaire d'une petite entreprise
Intermédiaire
Une entreprise de 99 personnes a les salaires mensuels suivants (en euros) :
1 600 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 000 ; 2 100 ; 2 200 ; 2 400 ; 8 000.1\,600\,;\ 1\,700\,;\ 1\,800\,;\ 1\,900\,;\ 2\,000\,;\ 2\,100\,;\ 2\,200\,;\ 2\,400\,;\ 8\,000.
Le dernier est celui du dirigeant.
1.
Calculer le salaire moyen.
$$\bar{x} = \frac{1600+1700+1800+1900+2000+2100+2200+2400+8000}{9} = \frac{23700}{9} \approx 2633$$ $$\boxed{\bar{x} \approx 2\,633 \text{ euros}}$$
2.
Déterminer le salaire médian.
La série est déjà **ordonnée** et compte $N = 9$ valeurs (impair) : la médiane est celle de rang $5$. $$\boxed{\text{Me} = 2\,000 \text{ euros}}$$
3.
Lequel des deux indicateurs décrit le mieux « le salaire d'un employé ordinaire » ? Justifier.
Le salaire **moyen** ($2\,633$ €) est supérieur au salaire de **7 des 8 employés** (hors dirigeant) : il est tiré vers le haut par le salaire exceptionnel du dirigeant ($8\,000$ €). Le salaire **médian** ($2\,000$ €) n'est pas affecté par cette valeur extrême et reflète bien la situation d'un employé ordinaire. $$\boxed{\text{La médiane } (2\,000 \text{ euros}) \text{ est plus représentative}}$$
4.
Déterminer Q1Q_1 et Q3Q_3, puis l'écart interquartile.
$N = 9$. **$Q_1$ :** $\frac{9}{4} = 2{,}25 \to$ rang $3$ → $Q_1 = 1\,800$. **$Q_3$ :** $\frac{27}{4} = 6{,}75 \to$ rang $7$ → $Q_3 = 2\,200$. **Écart interquartile :** $Q_3 - Q_1 = 2\,200 - 1\,800 = 400$. $$\boxed{Q_1 = 1\,800, \ Q_3 = 2\,200, \ Q_3-Q_1 = 400 \text{ euros}}$$ *L'écart interquartile ($400$ €) montre que la moitié centrale des salaires est très resserrée — le salaire du dirigeant, écarté par les quartiles, ne le perturbe pas.*
Problème 3 — Un tableau d'effectifs
Difficile
On a relevé le nombre de buts marqués par match par une équipe sur une saison de 2020 matchs :

Buts0011223344
Nombre de matchs2244884422
1.
Vérifier l'effectif total et calculer le nombre moyen de buts par match.
**Effectif total :** $2+4+8+4+2 = 20$ matchs ✔ **Moyenne :** $$\bar{x} = \frac{2\times0 + 4\times1 + 8\times2 + 4\times3 + 2\times4}{20} = \frac{0+4+16+12+8}{20} = \frac{40}{20} = 2$$ $$\boxed{2 \text{ buts par match en moyenne}}$$
2.
Déterminer la médiane et l'étendue.
**Médiane.** $N = 20$ (pair) : moyenne des rangs $10$ et $11$. Effectifs cumulés : $0$ jusqu'au rang $2$, $1$ jusqu'au rang $6$, $2$ jusqu'au rang $14$. Les rangs $10$ et $11$ valent $2$. $$\text{Me} = 2$$ **Étendue :** $4 - 0 = 4$. $$\boxed{\text{Me} = 2, \quad \text{étendue} = 4}$$
3.
Déterminer Q1Q_1 et Q3Q_3.
$N = 20$. **$Q_1$ :** $\frac{20}{4} = 5 \to$ rang $5$. Effectifs cumulés : la valeur $1$ occupe les rangs $3$ à $6$, donc le rang $5$ vaut $1$. $Q_1 = 1$. **$Q_3$ :** $\frac{60}{4} = 15 \to$ rang $15$. La valeur $3$ occupe les rangs $15$ à $18$, donc le rang $15$ vaut $3$. $Q_3 = 3$. $$\boxed{Q_1 = 1, \quad Q_3 = 3}$$
4.
Calculer la variance et l'écart type du nombre de buts.
On utilise la moyenne $\bar{x} = 2$, et on pondère les carrés des écarts par les effectifs : $$V = \frac{2(0-2)^2 + 4(1-2)^2 + 8(2-2)^2 + 4(3-2)^2 + 2(4-2)^2}{20}$$ $$= \frac{2\times4 + 4\times1 + 8\times0 + 4\times1 + 2\times4}{20} = \frac{8+4+0+4+8}{20} = \frac{24}{20} = 1{,}2$$ $$\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$$ $$\boxed{V = 1{,}2, \quad \sigma \approx 1{,}10 \text{ but}}$$
Problème 4 — Reconstituer une série
Difficile
Une série de 66 nombres entiers positifs a une moyenne de 55 et une médiane de 44. On sait de plus que la plus grande valeur est 1212.
1.
Quelle est la somme des six nombres ?
La moyenne est la somme divisée par l'effectif : $$\bar{x} = \frac{S}{6} = 5 \iff S = 30$$ $$\boxed{S = 30}$$
2.
Que dit la médiane sur les valeurs, une fois la série ordonnée ?
$N = 6$ (pair) : la médiane est la **moyenne des $3^\text{e}$ et $4^\text{e}$ valeurs** ordonnées. Comme elle vaut $4$ : $$\frac{x_3 + x_4}{2} = 4 \iff x_3 + x_4 = 8$$ $$\boxed{x_3 + x_4 = 8}$$
3.
Proposer une série possible respectant toutes les contraintes.
On cherche $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant x_4 \leqslant x_5 \leqslant x_6 = 12$, avec $x_3+x_4 = 8$ et somme $30$. **Choix des valeurs centrales :** prenons $x_3 = 4$ et $x_4 = 4$ (somme $8$ ✔). **Reste à placer :** $x_1+x_2+x_5 = 30 - 8 - 12 = 10$, avec $x_1 \leqslant x_2 \leqslant 4$ et $4 \leqslant x_5 \leqslant 12$. Par exemple $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_5 = 5$. $$\boxed{2\,;\ 3\,;\ 4\,;\ 4\,;\ 5\,;\ 12}$$ **Vérification :** somme $= 30$ ✔, médiane $= \frac{4+4}{2} = 4$ ✔, maximum $= 12$ ✔
4.
Cette série est-elle unique ? Justifier.
**Non.** À la question 3, plusieurs choix étaient possibles. Par exemple $x_3 = 3$, $x_4 = 5$ (somme $8$), puis $x_1+x_2+x_5 = 10$ avec d'autres valeurs, comme $1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,12$. $$\boxed{\text{Non unique : les contraintes ne déterminent pas une seule série}}$$ *Moyenne, médiane et maximum imposent trois conditions, insuffisantes pour fixer six inconnues. C'est pourquoi deux séries très différentes peuvent partager les mêmes indicateurs.*