Droites du plan

Les deux droites ont pour coefficients directeurs $2$ et $m$, et pour ordonnées à l'origine $3$ et $1$. **Cas 1 : $m \neq 2$.** Coefficients directeurs différents → droites **sécantes** → **une** solution. On peut la calculer : $2x+3 = mx+1 \iff (2-m)x = -2 \iff x = \dfrac{-2}{2-m}$. **Cas 2 : $m = 2$.** Même coefficient directeur, mais ordonnées à l'origine $3 \neq 1$ → droites **strictement parallèles** → **aucune** solution. $$\boxed{m \neq 2 : \text{une solution} \ ;\quad m = 2 : \text{aucune}}$$ *Le système n'a jamais une infinité de solutions ici, car les ordonnées à l'origine ne peuvent pas coïncider.*

**Système sur $a$ et $b$.** Les deux points donnent : $$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a + b = 11 \end{cases}$$ On **soustrait** la première de la seconde : $$2a = 6 \iff a = 3, \quad b = 5-3 = 2$$ La droite est $y = 3x+2$. **Test de $C(10\,;32)$ :** $$3\times10 + 2 = 32 = y_C$$ $$\boxed{y = 3x+2 \ ;\quad C \text{ appartient à la droite}}$$

**Tentative de combinaison.** On multiplie la première par $3$ : $$3x + 6y = 12$$ Or la seconde équation dit $3x+6y = 5$. On aurait donc à la fois $3x+6y = 12$ **et** $3x+6y = 5$, soit $12 = 5$ : **impossible**. $$\boxed{\text{Aucune solution}}$$ **Interprétation.** Les deux droites ont le même vecteur directeur (coefficients $(1;2)$ et $(3;6)$ proportionnels) mais ne sont pas confondues : elles sont **strictement parallèles**, donc sans point commun.

Le système n'a **aucune solution** lorsque les droites sont **strictement parallèles**. **Condition de parallélisme** ($ab'-a'b = 0$) avec $a=2$, $b=m$, $a'=6$, $b'=9$ : $$2\times9 - 6\times m = 0 \iff 18 = 6m \iff m = 3$$ **Vérifier qu'elles ne sont pas confondues** pour $m=3$. Le système devient : $$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 6x + 9y = 4 \end{cases}$$ En multipliant la première par $3$ : $6x+9y = 3 \neq 4$. Les droites sont bien **strictement** parallèles. $$\boxed{m = 3}$$ *Pour $m \neq 3$, le système a exactement une solution.*

**Médiane issue de $A$.** Elle joint $A$ au milieu de $[BC]$ : $$M_{BC}\left(\frac{6+2}{2}\,;\frac{0+6}{2}\right) = (4\,;3)$$ Son équation : $a = \frac{3-0}{4-0} = \frac34$, et elle passe par l'origine, donc $y = \frac34 x$. **Médiane issue de $B$.** Elle joint $B(6\,;0)$ au milieu de $[AC]$ : $$M_{AC}\left(\frac{0+2}{2}\,;\frac{0+6}{2}\right) = (1\,;3)$$ Son coefficient directeur : $a = \frac{3-0}{1-6} = -\frac35$. Avec $B(6\,;0)$ : $0 = -\frac35\times6+b$, donc $b = \frac{18}{5}$, d'où $y = -\frac35 x + \frac{18}{5}$. **Intersection.** On résout $\frac34 x = -\frac35 x + \frac{18}{5}$. On multiplie tout par $20$ : $$15x = -12x + 72 \iff 27x = 72 \iff x = \frac{72}{27} = \frac83$$ Puis $y = \frac34\times\frac83 = 2$. $$\boxed{G\left(\tfrac83\,;2\right)}$$ *C'est le **centre de gravité** du triangle. On vérifie qu'il a pour coordonnées la moyenne des trois sommets : $\left(\frac{0+6+2}{3}\,;\frac{0+0+6}{3}\right) = \left(\frac83\,;2\right)$ ✔*