Statistiques descriptives

**Effectif total :** $2+4+8+4+2 = 20$ matchs ✔ **Moyenne :** $$\bar{x} = \frac{2\times0 + 4\times1 + 8\times2 + 4\times3 + 2\times4}{20} = \frac{0+4+16+12+8}{20} = \frac{40}{20} = 2$$ $$\boxed{2 \text{ buts par match en moyenne}}$$

**Médiane.** $N = 20$ (pair) : moyenne des rangs $10$ et $11$. Effectifs cumulés : $0$ jusqu'au rang $2$, $1$ jusqu'au rang $6$, $2$ jusqu'au rang $14$. Les rangs $10$ et $11$ valent $2$. $$\text{Me} = 2$$ **Étendue :** $4 - 0 = 4$. $$\boxed{\text{Me} = 2, \quad \text{étendue} = 4}$$

$N = 20$. **$Q_1$ :** $\frac{20}{4} = 5 \to$ rang $5$. Effectifs cumulés : la valeur $1$ occupe les rangs $3$ à $6$, donc le rang $5$ vaut $1$. $Q_1 = 1$. **$Q_3$ :** $\frac{60}{4} = 15 \to$ rang $15$. La valeur $3$ occupe les rangs $15$ à $18$, donc le rang $15$ vaut $3$. $Q_3 = 3$. $$\boxed{Q_1 = 1, \quad Q_3 = 3}$$

On utilise la moyenne $\bar{x} = 2$, et on pondère les carrés des écarts par les effectifs : $$V = \frac{2(0-2)^2 + 4(1-2)^2 + 8(2-2)^2 + 4(3-2)^2 + 2(4-2)^2}{20}$$ $$= \frac{2\times4 + 4\times1 + 8\times0 + 4\times1 + 2\times4}{20} = \frac{8+4+0+4+8}{20} = \frac{24}{20} = 1{,}2$$ $$\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$$ $$\boxed{V = 1{,}2, \quad \sigma \approx 1{,}10 \text{ but}}$$

La moyenne est la somme divisée par l'effectif : $$\bar{x} = \frac{S}{6} = 5 \iff S = 30$$ $$\boxed{S = 30}$$

$N = 6$ (pair) : la médiane est la **moyenne des $3^\text{e}$ et $4^\text{e}$ valeurs** ordonnées. Comme elle vaut $4$ : $$\frac{x_3 + x_4}{2} = 4 \iff x_3 + x_4 = 8$$ $$\boxed{x_3 + x_4 = 8}$$

On cherche $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant x_4 \leqslant x_5 \leqslant x_6 = 12$, avec $x_3+x_4 = 8$ et somme $30$. **Choix des valeurs centrales :** prenons $x_3 = 4$ et $x_4 = 4$ (somme $8$ ✔). **Reste à placer :** $x_1+x_2+x_5 = 30 - 8 - 12 = 10$, avec $x_1 \leqslant x_2 \leqslant 4$ et $4 \leqslant x_5 \leqslant 12$. Par exemple $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_5 = 5$. $$\boxed{2\,;\ 3\,;\ 4\,;\ 4\,;\ 5\,;\ 12}$$ **Vérification :** somme $= 30$ ✔, médiane $= \frac{4+4}{2} = 4$ ✔, maximum $= 12$ ✔

**Non.** À la question 3, plusieurs choix étaient possibles. Par exemple $x_3 = 3$, $x_4 = 5$ (somme $8$), puis $x_1+x_2+x_5 = 10$ avec d'autres valeurs, comme $1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,12$. $$\boxed{\text{Non unique : les contraintes ne déterminent pas une seule série}}$$ *Moyenne, médiane et maximum imposent trois conditions, insuffisantes pour fixer six inconnues. C'est pourquoi deux séries très différentes peuvent partager les mêmes indicateurs.*