Bac Maths 2025 Métropole Septembre Jour 2

Rappels utiles : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, suites récurrentes linéaires du type $u_{n+1} = au_n + b$, point fixe et convergence.

On note $E_n$ l'évènement « El Niño se produit l'année $n$ ». On a :

• si El Niño se produit l'année $n$, la probabilité qu'il se produise l'année $n+1$ est $0{,}5$ ;
• si El Niño ne se produit pas l'année $n$, la probabilité qu'il se produise l'année $n+1$ est $0{,}3$.

L'arbre pondéré correspondant est :

$$\begin{cases} E_n \; (p_n) \begin{cases} E_{n+1} \; (0{,}5) \\ \overline{E_{n+1}} \; (0{,}5) \end{cases} \\ \overline{E_n} \; (1 - p_n) \begin{cases} E_{n+1} \; (0{,}3) \\ \overline{E_{n+1}} \; (0{,}7) \end{cases} \end{cases}$$

Les évènements $E_n$ et $\overline{E_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$$p_{n+1} = P(E_{n+1}) = P(E_n) \times P_{E_n}(E_{n+1}) + P(\overline{E_n}) \times P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})$$

$$p_{n+1} = p_n \times 0{,}5 + (1 - p_n) \times 0{,}3$$

$$p_{n+1} = 0{,}5\,p_n + 0{,}3 - 0{,}3\,p_n$$

$$\boxed{p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}3}$$

On applique la relation de récurrence avec $p_0 = 0{,}5$ :

$$p_1 = 0{,}2 \times 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}4$$

$$p_2 = 0{,}2 \times 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}08 + 0{,}3 = 0{,}38$$

$$\boxed{p_1 = 0{,}4 \quad \text{et} \quad p_2 = 0{,}38}$$

Méthode : on cherche le point fixe de $f(x) = 0{,}2x + 0{,}3$ en résolvant $\ell = 0{,}2\ell + 0{,}3$, soit $0{,}8\ell = 0{,}3$, d'où $\ell = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

Calculons $v_{n+1}$ :

$$v_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{3}{8} = 0{,}2\,p_n + 0{,}3 - \dfrac{3}{8}$$

$$v_{n+1} = 0{,}2\,p_n + \dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{8}$$

Calculons $\dfrac{3}{10} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{12}{40} - \dfrac{15}{40} = -\dfrac{3}{40}$ :

$$v_{n+1} = 0{,}2\,p_n - \dfrac{3}{40}$$

Or $p_n = v_n + \dfrac{3}{8}$, donc :

$$v_{n+1} = 0{,}2\left(v_n + \dfrac{3}{8}\right) - \dfrac{3}{40} = 0{,}2\,v_n + \dfrac{3}{40} - \dfrac{3}{40} = 0{,}2\,v_n$$

Ainsi $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0{,}2$ et de premier terme :

$$v_0 = p_0 - \dfrac{3}{8} = 0{,}5 - 0{,}375 = 0{,}125 = \dfrac{1}{8}$$

$$\boxed{(v_n) \text{ est géométrique de raison } 0{,}2 \text{ et de premier terme } v_0 = \dfrac{1}{8}}$$

Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$ et de premier terme $\dfrac{1}{8}$ :

$$v_n = \dfrac{1}{8} \times 0{,}2^n$$

Donc :

$$p_n = v_n + \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8} \times 0{,}2^n + \dfrac{3}{8}$$

$$\boxed{p_n = \dfrac{1}{8} \times 0{,}2^n + \dfrac{3}{8}}$$

Puisque $|0{,}2| < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} 0{,}2^n = 0$, donc :

$$\lim_{n \to +\infty} p_n = \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{8} \times 0{,}2^n + \dfrac{3}{8}\right) = 0 + \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}$$

Interprétation : à long terme, la probabilité qu'El Niño se produise une année donnée se stabilise autour de $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$, soit 37,5 %.

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{3}{8} = 0{,}375}$$

On cherche le plus petit $n$ tel que $v_n \leqslant 10^{-2}$, c'est-à-dire :

$$\dfrac{1}{8} \times 0{,}2^n \leqslant 0{,}01$$

$$0{,}2^n \leqslant 0{,}08$$

En passant au logarithme népérien (et en tenant compte que $\ln(0{,}2) < 0$) :

$$n \times \ln(0{,}2) \leqslant \ln(0{,}08)$$

$$n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}08)}{\ln(0{,}2)}$$

Calculons :

$$\dfrac{\ln(0{,}08)}{\ln(0{,}2)} = \dfrac{-2{,}5257\ldots}{-1{,}6094\ldots} \approx 1{,}569$$

Donc le plus petit entier $n$ est $n = 2$.

Vérification : $v_1 = \dfrac{1}{8} \times 0{,}2 = 0{,}025 > 0{,}01$ et $v_2 = \dfrac{1}{8} \times 0{,}04 = 0{,}005 \leqslant 0{,}01$ $\checkmark$

$$\boxed{n = 2}$$

Rappel : dans un exercice Vrai/Faux, chaque affirmation doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

VRAI.

On pose $X = \cos(x)$. L'équation devient :

$$2X^2 - X - 1 = 0$$

Calculons le discriminant :

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$$

Les solutions sont :

$$X_1 = \dfrac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{et} \quad X_2 = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$$

Cas 1 : $\cos(x) = 1$ donne $x = 0$ (ou $2\pi$). Sur $[0\,;\,2\pi]$, cela donne 1 solution : $x = 0$.

Cas 2 : $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ donne :

$$x = \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{4\pi}{3}$$

Cela donne 2 solutions.

Au total, l'équation admet 3 solutions dans $[0\,;\,2\pi]$ : $x = 0$, $x = \dfrac{2\pi}{3}$ et $x = \dfrac{4\pi}{3}$.

$$\boxed{\text{VRAI : 3 solutions : } x = 0, \; x = \dfrac{2\pi}{3}, \; x = \dfrac{4\pi}{3}}$$

VRAI.

Méthode : si $u(x) = x^2$, alors $u'(x) = 2x$ et $f(x) = x\,e^{x^2} = \dfrac{1}{2} \times 2x \times e^{x^2}$. Une primitive de $u'\,e^{u}$ est $e^u$.

Vérifions en dérivant $F(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{x^2}$ :

$$F'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x \times e^{x^2} = x\,e^{x^2} = f(x) \quad \checkmark$$

$$\boxed{\text{VRAI : } F(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{x^2} \text{ est bien une primitive de } f(x) = x\,e^{x^2}}$$

VRAI.

Calculons $g'(x)$ :

$$g'(x) = 2\,e^{-2x} + (2x+1) \times (-2)\,e^{-2x} = e^{-2x}\left[2 - 2(2x+1)\right] = e^{-2x}(2 - 4x - 2) = -4x\,e^{-2x}$$

Vérifions $g'(x) + 2g(x)$ :

$$g'(x) + 2g(x) = -4x\,e^{-2x} + 2(2x+1)\,e^{-2x}$$

$$= e^{-2x}(-4x + 4x + 2) = 2\,e^{-2x}$$

On obtient bien $g'(x) + 2g(x) = 2\,e^{-2x}$. Donc $g$ est solution de l'équation différentielle.

$$\boxed{\text{VRAI : } g'(x) + 2g(x) = 2\,e^{-2x} \quad \checkmark}$$

VRAI.

On sait que $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Montrons que le membre de droite est identique.

$$\dfrac{2\tan(x)}{1 + \tan^2(x)} = \dfrac{2\,\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1 + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = \dfrac{\dfrac{2\sin(x)}{\cos(x)}}{\dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}}$$

$$= \dfrac{2\sin(x)}{\cos(x)} \times \dfrac{\cos^2(x)}{1} = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \quad \checkmark$$

$$\boxed{\text{VRAI : } \sin(2x) = \dfrac{2\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}}$$

Rappels utiles : étude de fonctions avec logarithme, calcul intégral, aires, algorithme Python.

En $0^+$ :

$$\lim_{x \to 0^+} x = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$$

Donc :

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$$

En $+\infty$ :

$$f(x) = x - \ln(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right)$$

Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$, donc :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

$$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

Dérivons $f$ :

$$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$$

Pour $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 1$ :

• si $0 < x < 1$ : $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante ;
• si $x > 1$ : $f'(x) > 0$, $f$ est croissante.

La fonction $f$ admet un minimum en $x = 1$ :

$$f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$

$$\boxed{f \text{ est décroissante sur } ]0\,;\,1] \text{ et croissante sur } [1\,;\,+\infty[ \text{ avec } f(1) = 1}$$

D'après l'étude des variations, la fonction $f$ admet un minimum global en $x = 1$, et $f(1) = 1$.

Donc pour tout $x > 0$ :

$$f(x) \geqslant f(1) = 1$$

Autrement dit : $x - \ln(x) \geqslant 1$, soit $\ln(x) \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$.

$$\boxed{\forall x > 0, \quad f(x) = x - \ln(x) \geqslant 1}$$

La tangente $T$ en $x = 1$ a pour équation :

$$y = f'(1)(x - 1) + f(1)$$

On a $f'(1) = 1 - 1 = 0$ et $f(1) = 1$, donc :

$$y = 0 \times (x-1) + 1 = 1$$

La tangente est la droite horizontale d'équation $y = 1$.

$$\boxed{T : y = 1}$$

Puisque $f(x) \geqslant 1$ pour tout $x > 0$, l'aire est :

$$\mathcal{A} = \int_1^e \left[f(x) - 1\right]\,\mathrm{d}x = \int_1^e \left(x - \ln(x) - 1\right)\,\mathrm{d}x$$

Calculons chaque terme :

$$\int_1^e x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^e = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2}$$

Rappel : une primitive de $\ln(x)$ est $x\ln(x) - x$.

$$\int_1^e \ln(x)\,\mathrm{d}x = \left[x\ln(x) - x\right]_1^e = (e \times 1 - e) - (1 \times 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

$$\int_1^e 1\,\mathrm{d}x = e - 1$$

Donc :

$$\mathcal{A} = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} - 1 - (e - 1) = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} - 1 - e + 1$$

$$\mathcal{A} = \dfrac{e^2}{2} - e - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^2 - 2e - 1}{2}$$

Numériquement :

$$\mathcal{A} = \dfrac{e^2 - 2e - 1}{2} \approx \dfrac{7{,}389 - 5{,}436 - 1}{2} \approx \dfrac{0{,}953}{2} \approx 0{,}477 \text{ u.a.}$$

$$\boxed{\mathcal{A} = \dfrac{e^2 - 2e - 1}{2} \approx 0{,}48 \text{ u.a.}}$$

On considère un algorithme qui calcule une valeur approchée de l'aire par la méthode des rectangles. L'algorithme utilise une subdivision régulière de $[1\,;\,e]$ en $n$ rectangles.

L'algorithme Python est :

from math import log, e

def aire_approchee(n):
h = (e - 1) / n
S = 0
for k in range(n):
x = 1 + k * h
S = S + (x - log(x) - 1) * h
return S

Explications :

• $h = \dfrac{e - 1}{n}$ est le pas de la subdivision ;
• pour chaque rectangle, on calcule $f(x_k) - 1 = x_k - \ln(x_k) - 1$ (la hauteur) ;
• on multiplie par $h$ (la largeur) et on somme.

Par exemple, pour $n = 1000$, on obtient $\mathcal{A} \approx 0{,}477$, ce qui est cohérent avec la valeur exacte calculée en Partie B.

On souhaite adapter l'algorithme pour calculer l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et la droite $y = 1$ sur un intervalle $[1\,;\,b]$ quelconque (avec $b > 1$) :

from math import log

def aire_approchee(n, b):
h = (b - 1) / n
S = 0
for k in range(n):
x = 1 + k * h
S = S + (x - log(x) - 1) * h
return S

Il suffit de remplacer e par b dans le calcul du pas $h$ et d'ajouter b en paramètre de la fonction.

Rappel : le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ équidistants de $A$ et $B$. Il passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.

Calculons le milieu $I$ de $[AB]$ :

$$I\left(\dfrac{1+3}{2}\,;\,\dfrac{0+2}{2}\,;\,\dfrac{2+0}{2}\right) = I(2\,;\,1\,;\,1)$$

Le vecteur normal est :

$$\overrightarrow{AB} = (3-1\,;\,2-0\,;\,0-2) = (2\,;\,2\,;\,-2)$$

On peut simplifier par 2 : $\vec{n_1}(1\,;\,1\,;\,-1)$.

L'équation du plan $\mathcal{P}_1$ passant par $I(2\,;\,1\,;\,1)$ de vecteur normal $\vec{n_1}(1\,;\,1\,;\,-1)$ est :

$$1(x-2) + 1(y-1) + (-1)(z-1) = 0$$

$$x + y - z - 2 = 0$$

Vérification : le milieu $I(2\,;\,1\,;\,1)$ : $2 + 1 - 1 - 2 = 0 \; \checkmark$

$$\boxed{\mathcal{P}_1 : x + y - z - 2 = 0}$$

Calculons le milieu $J$ de $[AC]$ :

$$J\left(\dfrac{1+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{2+2}{2}\right) = J(0\,;\,2\,;\,2)$$

Le vecteur normal est :

$$\overrightarrow{AC} = (-1-1\,;\,4-0\,;\,2-2) = (-2\,;\,4\,;\,0)$$

On peut simplifier par 2 : $\vec{n_2}(-1\,;\,2\,;\,0)$ ou $\vec{n_2}(1\,;\,-2\,;\,0)$.

L'équation du plan $\mathcal{P}_2$ passant par $J(0\,;\,2\,;\,2)$ de vecteur normal $(1\,;\,-2\,;\,0)$ est :

$$1(x-0) + (-2)(y-2) + 0(z-2) = 0$$

$$x - 2y + 4 = 0$$

Vérification : le milieu $J(0\,;\,2\,;\,2)$ : $0 - 4 + 4 = 0 \; \checkmark$

$$\boxed{\mathcal{P}_2 : x - 2y + 4 = 0}$$

Calculons le milieu $K$ de $[BC]$ :

$$K\left(\dfrac{3+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2}\,;\,\dfrac{0+2}{2}\right) = K(1\,;\,3\,;\,1)$$

Le vecteur normal est :

$$\overrightarrow{BC} = (-1-3\,;\,4-2\,;\,2-0) = (-4\,;\,2\,;\,2)$$

On peut simplifier par 2 : $\vec{n_3}(-2\,;\,1\,;\,1)$ ou $\vec{n_3}(2\,;\,-1\,;\,-1)$.

L'équation du plan $\mathcal{P}_3$ passant par $K(1\,;\,3\,;\,1)$ de vecteur normal $(2\,;\,-1\,;\,-1)$ est :

$$2(x-1) + (-1)(y-3) + (-1)(z-1) = 0$$

$$2x - y - z + 2 = 0$$

Vérification : le milieu $K(1\,;\,3\,;\,1)$ : $2 - 3 - 1 + 2 = 0 \; \checkmark$

$$\boxed{\mathcal{P}_3 : 2x - y - z + 2 = 0}$$

Méthode : le point équidistant de $A$, $B$ et $C$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Il se trouve à l'intersection des trois plans médiateurs.

On résout le système :

$$\begin{cases} x + y - z - 2 = 0 \quad (\mathcal{P}_1) \\ x - 2y + 4 = 0 \quad (\mathcal{P}_2) \\ 2x - y - z + 2 = 0 \quad (\mathcal{P}_3) \end{cases}$$

De $(\mathcal{P}_2)$ : $x = 2y - 4$

Dans $(\mathcal{P}_1)$ :

$$(2y-4) + y - z - 2 = 0 \implies 3y - z - 6 = 0 \implies z = 3y - 6$$

Dans $(\mathcal{P}_3)$ :

$$2(2y-4) - y - (3y - 6) + 2 = 0$$

$$4y - 8 - y - 3y + 6 + 2 = 0$$

$$0y + 0 = 0 \quad \checkmark$$

Remarque : l'équation $(\mathcal{P}_3)$ est automatiquement satisfaite, ce qui signifie que les trois plans médiateurs se coupent selon une droite (et non un point). Ceci est normal : les plans médiateurs de trois segments d'un triangle se coupent selon une droite perpendiculaire au plan du triangle, appelée l'axe du cercle circonscrit.

L'intersection des plans médiateurs est donc la droite $\Delta$ paramétrée par $y = t$ :

$$\begin{cases} x = 2t - 4 \\ y = t \\ z = 3t - 6 \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Pour trouver le point du plan $(ABC)$ sur cette droite (le centre du cercle circonscrit), il faut déterminer l'équation du plan $(ABC)$.

On a $\overrightarrow{AB} = (2\,;\,2\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{AC} = (-2\,;\,4\,;\,0)$. Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est :

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & 4 & 0 \end{vmatrix}$$

$$\vec{n} = (2 \times 0 - (-2) \times 4\,;\, (-2) \times (-2) - 2 \times 0\,;\, 2 \times 4 - 2 \times (-2))$$

$$\vec{n} = (8\,;\, 4\,;\, 12)$$

On simplifie par 4 : $\vec{n} = (2\,;\, 1\,;\, 3)$.

L'équation du plan $(ABC)$ passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ est :

$$2(x-1) + 1(y-0) + 3(z-2) = 0 \implies 2x + y + 3z - 8 = 0$$

Vérification avec $B(3\,;\,2\,;\,0)$ : $6 + 2 + 0 - 8 = 0 \; \checkmark$

Vérification avec $C(-1\,;\,4\,;\,2)$ : $-2 + 4 + 6 - 8 = 0 \; \checkmark$

On substitue le paramétrage de $\Delta$ dans l'équation du plan $(ABC)$ :

$$2(2t-4) + t + 3(3t-6) - 8 = 0$$

$$4t - 8 + t + 9t - 18 - 8 = 0$$

$$14t - 34 = 0 \implies t = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7}$$

Le centre $\Omega$ du cercle circonscrit est :

$$\Omega\left(2 \times \dfrac{17}{7} - 4\,;\, \dfrac{17}{7}\,;\, 3 \times \dfrac{17}{7} - 6\right) = \Omega\left(\dfrac{34 - 28}{7}\,;\, \dfrac{17}{7}\,;\, \dfrac{51 - 42}{7}\right)$$

$$\Omega\left(\dfrac{6}{7}\,;\, \dfrac{17}{7}\,;\, \dfrac{9}{7}\right)$$

Vérification : vérifions que $\Omega A = \Omega B$ :

$$\Omega A^2 = \left(1 - \dfrac{6}{7}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{17}{7}\right)^2 + \left(2 - \dfrac{9}{7}\right)^2 = \dfrac{1}{49} + \dfrac{289}{49} + \dfrac{25}{49} = \dfrac{315}{49} = \dfrac{45}{7}$$

$$\Omega B^2 = \left(3 - \dfrac{6}{7}\right)^2 + \left(2 - \dfrac{17}{7}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{9}{7}\right)^2 = \dfrac{225}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{81}{49} = \dfrac{315}{49} = \dfrac{45}{7} \; \checkmark$$

$$\boxed{\Omega\left(\dfrac{6}{7}\,;\, \dfrac{17}{7}\,;\, \dfrac{9}{7}\right) \quad \text{avec} \quad R = \sqrt{\dfrac{45}{7}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{35}}{7}}$$

Le rayon $R$ du cercle circonscrit est :

$$R = \Omega A = \sqrt{\dfrac{45}{7}} = \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{5} \times \sqrt{7}}{7} = \dfrac{3\sqrt{35}}{7}$$

Numériquement :

$$R = \dfrac{3\sqrt{35}}{7} \approx \dfrac{3 \times 5{,}916}{7} \approx \dfrac{17{,}748}{7} \approx 2{,}535$$

$$\boxed{R = \dfrac{3\sqrt{35}}{7} \approx 2{,}54}$$

$$\Omega C^2 = \left(-1 - \dfrac{6}{7}\right)^2 + \left(4 - \dfrac{17}{7}\right)^2 + \left(2 - \dfrac{9}{7}\right)^2$$

$$= \left(-\dfrac{13}{7}\right)^2 + \left(\dfrac{11}{7}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{7}\right)^2 = \dfrac{169}{49} + \dfrac{121}{49} + \dfrac{25}{49} = \dfrac{315}{49} = \dfrac{45}{7}$$

Donc $\Omega C = \sqrt{\dfrac{45}{7}} = R \; \checkmark$

Le point $\Omega$ est bien équidistant de $A$, $B$ et $C$ : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

$$\boxed{\Omega A = \Omega B = \Omega C = \dfrac{3\sqrt{35}}{7} \quad \checkmark}$$