Bac Maths 2025 — Metropole Septembre Jour 2

10 septembre 2025 — 4 exercices — 20 points

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Les deux parties de cet exercice peuvent etre traitees de maniere independante.

Le phenomene climatique El Nino est etudie d'une annee sur l'autre. On note $E_{n}$ l'evenement « El Nino se produit l'annee $n$ ».

On note $p_{n} = P (E_{n})$ la probabilite qu'El Nino se produise l'annee $n$ . On a $p_{0} = 0, 5$ .

On dispose des donnees suivantes :

si El Nino se produit l'annee $n$ , la probabilite qu'il se produise l'annee $n + 1$ est $0, 5$ ;
si El Nino ne se produit pas l'annee $n$ , la probabilite qu'il se produise l'annee $n + 1$ est $0, 3$ .

Partie A — Probabilites conditionnelles

1. Representer la situation par un arbre pondere.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$ .

3. Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$ .

Partie B — Etude de la suite et convergence

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite geometrique dont on precisera la raison et le premier terme.

5. En deduire que, pour tout entier naturel $n$ :

p_{n} = \frac{1}{8} \times 0, 2^{n} + \frac{3}{8}

6. Determiner la limite de la suite $(p_{n})$ . Interpreter le resultat dans le contexte de l'exercice.

7. Determiner le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_{n} - \frac{3}{8} ⩽ 1 0^{- 2}$ .

Exercice 2 — Vrai/Faux (4 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la reponse. Toute reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1. L'equation $2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0$ admet exactement trois solutions dans $[0; 2 π]$ .

Affirmation 2. Une primitive de $f (x) = x e^{x^{2}}$ sur $R$ est $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ .

Affirmation 3. La fonction $g$ definie sur $R$ par $g (x) = (2 x + 1) e^{- 2 x}$ est solution de l'equation differentielle $y^{'} + 2 y = 2 e^{- 2 x}$ .

Affirmation 4. Pour tout $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ , $sin (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}$ .

Exercice 3 — (6 points)

On considere la fonction $f$ definie sur $] 0; + \infty [$ par :

f (x) = x - ln (x)

On note $C_{f}$ sa courbe representative dans un repere orthonorme.

Partie A — Etude de la fonction

1. Determiner les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .

2. Etudier les variations de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .

3. Montrer que, pour tout $x > 0$ , $f (x) ⩾ 1$ .

4. Determiner l'equation de la tangente $T$ a la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .

Partie B — Calcul d'aire

5. Calculer l'aire $A$ delimitee par la courbe $C_{f}$ , la droite $y = 1$ et les droites d'equation $x = 1$ et $x = e$ .

Partie C — Algorithme Python

6. Completer l'algorithme Python suivant permettant de calculer une valeur approchee de l'aire $A$ par la methode des rectangles.

7. Modifier l'algorithme pour calculer l'aire sur un intervalle $[1; b]$ quelconque avec $b > 1$ .

Exercice 4 — (5 points)

On se place dans un repere orthonorme $(O; i, j, k)$ . On considere les points :

A (1; 0; 2), B (3; 2; 0), C (- 1; 4; 2)

Partie A — Plans mediateurs

1. Determiner une equation cartesienne du plan mediateur $P_{1}$ du segment $[A B]$ .

2. Determiner une equation cartesienne du plan mediateur $P_{2}$ du segment $[A C]$ .

3. Determiner une equation cartesienne du plan mediateur $P_{3}$ du segment $[B C]$ .

Partie B — Centre du cercle circonscrit

4. Montrer que les trois plans mediateurs ont un point commun $Ω$ et determiner ses coordonnees.

5. En deduire le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

6. Verifier que $Ω C = R$ .

Exercice 1 — Probabilites et suites (5 points)

Rappels utiles : Probabilites conditionnelles, formule des probabilites totales, suites recurrentes lineaires du type

u_{n + 1} = a u_{n} + b

, point fixe et convergence.

Le phenomene climatique El Nino est etudie d'une annee sur l'autre. On note $p_{n}$ la probabilite qu'El Nino se produise l'annee $n$ . On a la relation de recurrence :

p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3

avec $p_{0} = 0, 5$ .

Partie A — Probabilites conditionnelles

1. Arbre pondere

On note $E_{n}$ l'evenement « El Nino se produit l'annee $n$ ». On a :

Si El Nino se produit l'annee $n$ , la probabilite qu'il se produise l'annee $n + 1$ est $0, 5$
Si El Nino ne se produit pas l'annee $n$ , la probabilite qu'il se produise l'annee $n + 1$ est $0, 3$

L'arbre pondere correspondant est :

⎩ ⎨ ⎧ E_{n} (p_{n}) {E_{n + 1} (0, 5) \overline{E_{n + 1}} (0, 5) \overline{E_{n}} (1 - p_{n}) {E_{n + 1} (0, 3) \overline{E_{n + 1}} (0, 7)

2. Montrer que $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$

Les evenements $E_{n}$ et $\overline{E_{n}}$ forment une partition de l'univers. D'apres la formule des probabilites totales :

p_{n + 1} = P (E_{n + 1}) = P (E_{n}) \times P_{E_{n}} (E_{n + 1}) + P (\overline{E_{n}}) \times P_{\overline{E_{n}}} (E_{n + 1})

p_{n + 1} = p_{n} \times 0, 5 + (1 - p_{n}) \times 0, 3

p_{n + 1} = 0, 5 p_{n} + 0, 3 - 0, 3 p_{n}

p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3

3. Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$

On applique la relation de recurrence avec $p_{0} = 0, 5$ :

p_{1} = 0, 2 \times 0, 5 + 0, 3 = 0, 1 + 0, 3 = 0, 4

p_{2} = 0, 2 \times 0, 4 + 0, 3 = 0, 08 + 0, 3 = 0, 38

p_{1} = 0, 4 et p_{2} = 0, 38

Partie B — Etude de la suite et convergence

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ . Montrer que $(v_{n})$ est geometrique

Methode : On cherche le point fixe de

f (x) = 0, 2 x + 0, 3

en resolvant

ℓ = 0, 2 ℓ + 0, 3

, soit

0, 8 ℓ = 0, 3

, d'ou

ℓ = \frac{3}{8} = 0, 375

Calculons $v_{n + 1}$ :

v_{n + 1} = p_{n + 1} - \frac{3}{8} = 0, 2 p_{n} + 0, 3 - \frac{3}{8}

v_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + \frac{3}{10} - \frac{3}{8}

Calculons $\frac{3}{10} - \frac{3}{8} = \frac{12}{40} - \frac{15}{40} = - \frac{3}{40}$ :

v_{n + 1} = 0, 2 p_{n} - \frac{3}{40}

Or $p_{n} = v_{n} + \frac{3}{8}$ , donc :

v_{n + 1} = 0, 2 (v_{n} + \frac{3}{8}) - \frac{3}{40} = 0, 2 v_{n} + \frac{3}{40} - \frac{3}{40} = 0, 2 v_{n}

Ainsi $(v_{n})$ est une suite geometrique de raison $q = 0, 2$ et de premier terme :

v_{0} = p_{0} - \frac{3}{8} = 0, 5 - 0, 375 = 0, 125 = \frac{1}{8}

(v_{n}) est geometrique de raison 0, 2 et de premier terme v_{0} = \frac{1}{8}

5. Exprimer $v_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$

Puisque $(v_{n})$ est geometrique de raison $0, 2$ et de premier terme $\frac{1}{8}$ :

v_{n} = \frac{1}{8} \times 0, 2^{n}

Donc :

p_{n} = v_{n} + \frac{3}{8} = \frac{1}{8} \times 0, 2^{n} + \frac{3}{8}

p_{n} = \frac{1}{8} \times 0, 2^{n} + \frac{3}{8}

6. Convergence de la suite $(p_{n})$

Puisque $∣0, 2∣ < 1$ , on a $lim_{n \to + \infty} 0, 2^{n} = 0$ , donc :

n \to + \infty lim p_{n} = n \to + \infty lim (\frac{1}{8} \times 0, 2^{n} + \frac{3}{8}) = 0 + \frac{3}{8} = \frac{3}{8}

Interpretation : A long terme, la probabilite qu'El Nino se produise une annee donnee se stabilise autour de $\frac{3}{8} = 0, 375$ , soit 37,5 %.

n \to + \infty lim p_{n} = \frac{3}{8} = 0, 375

7. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $p_{n} - \frac{3}{8} ⩽ 1 0^{- 2}$

On cherche le plus petit $n$ tel que $v_{n} ⩽ 1 0^{- 2}$ , c'est-a-dire :

\frac{1}{8} \times 0, 2^{n} ⩽ 0, 01

0, 2^{n} ⩽ 0, 08

En passant au logarithme neperien (et en tenant compte que $ln (0, 2) < 0$ ) :

n \times ln (0, 2) ⩽ ln (0, 08)

n ⩾ \frac{ln ( 0 , 08 )}{ln ( 0 , 2 )}

Calculons :

\frac{ln ( 0 , 08 )}{ln ( 0 , 2 )} = \frac{- 2 , 5257 \dots}{- 1 , 6094 \dots} \approx 1, 569

Donc le plus petit entier $n$ est $n = 2$ .

Verification : $v_{1} = \frac{1}{8} \times 0, 2 = 0, 025 > 0, 01$ et $v_{2} = \frac{1}{8} \times 0, 04 = 0, 005 ⩽ 0, 01$ $✓$

n = 2

Reviser les probabilites →
Reviser les suites →

Exercice 2 — Vrai/Faux (4 points)

Rappel : Dans un exercice Vrai/Faux, chaque affirmation doit etre justifiee. Une reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1

L'equation $2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0$ admet exactement trois solutions dans $[0; 2 π]$ .

VRAI.

On pose $X = cos (x)$ . L'equation devient :

2 X^{2} - X - 1 = 0

Calculons le discriminant :

Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 2 \times (- 1) = 1 + 8 = 9

Les solutions sont :

X_{1} = \frac{1 + 3}{4} = 1 et X_{2} = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}

Cas 1 : $cos (x) = 1$ donne $x = 0$ (ou $2 π$ ). Sur $[0; 2 π]$ , cela donne 1 solution : $x = 0$ .

Cas 2 : $cos (x) = - \frac{1}{2}$ donne :

x = \frac{2 π}{3} ou x = \frac{4 π}{3}

Cela donne 2 solutions.

Au total, l'equation admet 3 solutions dans $[0; 2 π]$ : $x = 0$ , $x = \frac{2 π}{3}$ et $x = \frac{4 π}{3}$ .

VRAI : 3 solutions : x = 0, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

Affirmation 2

Une primitive de $f (x) = x e^{x^{2}}$ sur $R$ est $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ .

VRAI.

Methode : Si

u (x) = x^{2}

, alors

u^{'} (x) = 2 x

f (x) = x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} \times 2 x \times e^{x^{2}}

. Une primitive de

u^{'} e^{u}

est

e^{u}

Verifions en derivant $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ :

F^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 x \times e^{x^{2}} = x e^{x^{2}} = f (x) ✓

VRAI : F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} est bien une primitive de f (x) = x e^{x^{2}}

Affirmation 3

La fonction $g$ definie sur $R$ par $g (x) = (2 x + 1) e^{- 2 x}$ est solution de l'equation differentielle $y^{'} + 2 y = 2 e^{- 2 x}$ .

VRAI.

Calculons $g^{'} (x)$ :

g^{'} (x) = 2 e^{- 2 x} + (2 x + 1) \times (- 2) e^{- 2 x} = e^{- 2 x} [2 - 2 (2 x + 1)] = e^{- 2 x} (2 - 4 x - 2) = - 4 x e^{- 2 x}

Verifions $g^{'} (x) + 2 g (x)$ :

g^{'} (x) + 2 g (x) = - 4 x e^{- 2 x} + 2 (2 x + 1) e^{- 2 x}

= e^{- 2 x} (- 4 x + 4 x + 2) = 2 e^{- 2 x}

On obtient bien $g^{'} (x) + 2 g (x) = 2 e^{- 2 x}$ . Donc $g$ est solution de l'equation differentielle.

VRAI : g^{'} (x) + 2 g (x) = 2 e^{- 2 x} ✓

Affirmation 4

Pour tout $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ , $sin (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}$ .

VRAI.

On sait que $sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)$ . Montrons que le membre de droite est identique.

\frac{2 tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )} = \frac{2 \frac{sin ( x )}{cos ( x )}}{1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}} = \frac{\frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}}{\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} \times \frac{cos ^{2} ( x )}{1} = 2 sin (x) cos (x) = sin (2 x) ✓

VRAI : sin (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}

Reviser la trigonometrie →
Reviser les primitives et equations differentielles →

Exercice 3 — Fonction logarithme, aire et algorithme (6 points)

Rappels utiles : Etude de fonctions avec logarithme, calcul integral, aires, algorithme Python.

On considere la fonction $f$ definie sur $] 0; + \infty [$ par :

f (x) = x - ln (x)

On note $C_{f}$ sa courbe representative dans un repere orthonorme.

Partie A — Etude de la fonction

1. Limites de $f$

En $0^{+}$ :

x \to 0^{+} lim x = 0 et x \to 0^{+} lim ln (x) = - \infty

Donc :

x \to 0^{+} lim f (x) = 0 - (- \infty) = + \infty

En $+ \infty$ :

f (x) = x - ln (x) = x (1 - \frac{ln ( x )}{x})

Par croissance comparee, $lim_{x \to + \infty} \frac{ln ( x )}{x} = 0$ , donc :

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty et x \to + \infty lim f (x) = + \infty

2. Etude des variations de $f$

Derivons $f$ :

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

Pour $x > 0$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x - 1$ :

Si $0 < x < 1$ : $f^{'} (x) < 0$ , $f$ est decroissante
Si $x > 1$ : $f^{'} (x) > 0$ , $f$ est croissante

La fonction $f$ admet un minimum en $x = 1$ :

f (1) = 1 - ln (1) = 1 - 0 = 1

f est decroissante sur] 0; 1] et croissante sur [1; + \infty [avec f (1) = 1

3. Montrer que $f (x) ⩾ 1$ pour tout $x > 0$

D'apres l'etude des variations, la fonction $f$ admet un minimum global en $x = 1$ , et $f (1) = 1$ .

Donc pour tout $x > 0$ :

f (x) ⩾ f (1) = 1

Autrement dit : $x - ln (x) ⩾ 1$ , soit $ln (x) ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ .

\forall x > 0, f (x) = x - ln (x) ⩾ 1

4. Tangente au point d'abscisse 1

La tangente $T$ en $x = 1$ a pour equation :

y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1)

On a $f^{'} (1) = 1 - 1 = 0$ et $f (1) = 1$ , donc :

y = 0 \times (x - 1) + 1 = 1

La tangente est la droite horizontale d'equation $y = 1$ .

T : y = 1

Partie B — Calcul d'aire

5. Calculer l'aire $A$ entre $C_{f}$ et la droite $y = 1$ sur $[1; e]$

Puisque $f (x) ⩾ 1$ pour tout $x > 0$ , l'aire est :

A = \int_{1}^{e} [f (x) - 1] d x = \int_{1}^{e} (x - ln (x) - 1) d x

Calculons chaque terme :

\int_{1}^{e} x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2}

Rappel : Une primitive de

ln (x)

est

x ln (x) - x

\int_{1}^{e} ln (x) d x = [x ln (x) - x]_{1}^{e} = (e \times 1 - e) - (1 \times 0 - 1) = 0 - (- 1) = 1

\int_{1}^{e} 1 d x = e - 1

Donc :

A = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2} - 1 - (e - 1) = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2} - 1 - e + 1

A = \frac{e ^{2}}{2} - e - \frac{1}{2} = \frac{e ^{2} - 2 e - 1}{2}

Numeriquement :

A = \frac{e ^{2} - 2 e - 1}{2} \approx \frac{7 , 389 - 5 , 436 - 1}{2} \approx \frac{0 , 953}{2} \approx 0, 477 u.a.

A = \frac{e ^{2} - 2 e - 1}{2} \approx 0, 48 u.a.

Partie C — Algorithme Python

6. Completer l'algorithme

On considere un algorithme qui calcule une valeur approchee de l'aire par la methode des rectangles. L'algorithme utilise une subdivision reguliere de $[1; e]$ en $n$ rectangles.

L'algorithme Python est :

from math import log, e

def aire_approchee(n):
    h = (e - 1) / n
    S = 0
    for k in range(n):
        x = 1 + k * h
        S = S + (x - log(x) - 1) * h
    return S

Explications :

$h = \frac{e - 1}{n}$ est le pas de la subdivision
Pour chaque rectangle, on calcule $f (x_{k}) - 1 = x_{k} - ln (x_{k}) - 1$ (la hauteur)
On multiplie par $h$ (la largeur) et on somme

Par exemple, pour $n = 1000$ , on obtient $A \approx 0, 477$ , ce qui est coherent avec la valeur exacte calculee en Partie B.

7. Modifier l'algorithme pour une autre borne

On souhaite adapter l'algorithme pour calculer l'aire entre $C_{f}$ et la droite $y = 1$ sur un intervalle $[1; b]$ quelconque (avec $b > 1$ ) :

from math import log

def aire_approchee(n, b):
    h = (b - 1) / n
    S = 0
    for k in range(n):
        x = 1 + k * h
        S = S + (x - log(x) - 1) * h
    return S

Il suffit de remplacer e par b dans le calcul du pas $h$ et d'ajouter b en parametre de la fonction.

Reviser le logarithme neperien →
Reviser le calcul integral →

Exercice 4 — Geometrie dans l'espace : plans mediateurs (5 points)

Rappels utiles : Plan mediateur d'un segment, vecteur normal, equation cartesienne d'un plan, intersection de plans, produit scalaire.

On se place dans un repere orthonorme $(O; i, j, k)$ . On considere les points :

A (1; 0; 2), B (3; 2; 0), C (- 1; 4; 2)

Partie A — Plans mediateurs

1. Determiner une equation du plan mediateur $P_{1}$ de $[A B]$

Rappel : Le plan mediateur d'un segment

[A B]

est l'ensemble des points

M

equidistants de

A

B

. Il passe par le milieu

I

[A B]

et a pour vecteur normal

A B

Calculons le milieu $I$ de $[A B]$ :

I (\frac{1 + 3}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{2 + 0}{2}) = I (2; 1; 1)

Le vecteur normal est :

A B = (3 - 1; 2 - 0; 0 - 2) = (2; 2; - 2)

On peut simplifier par 2 : $n_{1} (1; 1; - 1)$ .

L'equation du plan $P_{1}$ passant par $I (2; 1; 1)$ de vecteur normal $n_{1} (1; 1; - 1)$ est :

1 (x - 2) + 1 (y - 1) + (- 1) (z - 1) = 0

x + y - z - 2 = 0

Verification : Le milieu $I (2; 1; 1)$ : $2 + 1 - 1 - 2 = 0 ✓$

P_{1} : x + y - z - 2 = 0

2. Determiner une equation du plan mediateur $P_{2}$ de $[A C]$

Calculons le milieu $J$ de $[A C]$ :

J (\frac{1 + ( - 1 )}{2}; \frac{0 + 4}{2}; \frac{2 + 2}{2}) = J (0; 2; 2)

Le vecteur normal est :

A C = (- 1 - 1; 4 - 0; 2 - 2) = (- 2; 4; 0)

On peut simplifier par 2 : $n_{2} (- 1; 2; 0)$ ou $n_{2} (1; - 2; 0)$ .

L'equation du plan $P_{2}$ passant par $J (0; 2; 2)$ de vecteur normal $(1; - 2; 0)$ est :

1 (x - 0) + (- 2) (y - 2) + 0 (z - 2) = 0

x - 2 y + 4 = 0

Verification : Le milieu $J (0; 2; 2)$ : $0 - 4 + 4 = 0 ✓$

P_{2} : x - 2 y + 4 = 0

3. Determiner une equation du plan mediateur $P_{3}$ de $[B C]$

Calculons le milieu $K$ de $[B C]$ :

K (\frac{3 + ( - 1 )}{2}; \frac{2 + 4}{2}; \frac{0 + 2}{2}) = K (1; 3; 1)

Le vecteur normal est :

B C = (- 1 - 3; 4 - 2; 2 - 0) = (- 4; 2; 2)

On peut simplifier par 2 : $n_{3} (- 2; 1; 1)$ ou $n_{3} (2; - 1; - 1)$ .

L'equation du plan $P_{3}$ passant par $K (1; 3; 1)$ de vecteur normal $(2; - 1; - 1)$ est :

2 (x - 1) + (- 1) (y - 3) + (- 1) (z - 1) = 0

2 x - y - z + 2 = 0

Verification : Le milieu $K (1; 3; 1)$ : $2 - 3 - 1 + 2 = 0 ✓$

P_{3} : 2 x - y - z + 2 = 0

Partie B — Centre du cercle circonscrit

4. Montrer que les trois plans mediateurs ont un point commun et le determiner

Methode : Le point equidistant de

A

B

C

est le centre du cercle circonscrit au triangle

A B C

. Il se trouve a l'intersection des trois plans mediateurs.

On resout le systeme :

⎩ ⎨ ⎧ x + y - z - 2 = 0 (P_{1}) x - 2 y + 4 = 0 (P_{2}) 2 x - y - z + 2 = 0 (P_{3})

De $(P_{2})$ : $x = 2 y - 4$

Dans $(P_{1})$ :

(2 y - 4) + y - z - 2 = 0 ⟹ 3 y - z - 6 = 0 ⟹ z = 3 y - 6

Dans $(P_{3})$ :

2 (2 y - 4) - y - (3 y - 6) + 2 = 0

4 y - 8 - y - 3 y + 6 + 2 = 0

0 y + 0 = 0 ✓

Remarque : L'equation

(P_{3})

est automatiquement satisfaite, ce qui signifie que les trois plans mediateurs se coupent selon une droite (et non un point). Ceci est normal : les plans mediateurs de trois segments d'un triangle se coupent selon une droite perpendiculaire au plan du triangle, appelee l'axe du cercle circonscrit.

L'intersection des plans mediateurs est donc la droite $Δ$ parametree par $y = t$ :

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t - 4 y = t z = 3 t - 6, t \in R

Pour trouver le point du plan $(A B C)$ sur cette droite (le centre du cercle circonscrit), il faut determiner l'equation du plan $(A B C)$ .

On a $A B = (2; 2; - 2)$ et $A C = (- 2; 4; 0)$ . Un vecteur normal au plan $(A B C)$ est :

n = A B \land A C = i 2 - 2 j 24 k - 2 0

n = (2 \times 0 - (- 2) \times 4; (- 2) \times (- 2) - 2 \times 0; 2 \times 4 - 2 \times (- 2))

n = (8; 4; 12)

On simplifie par 4 : $n = (2; 1; 3)$ .

L'equation du plan $(A B C)$ passant par $A (1; 0; 2)$ est :

2 (x - 1) + 1 (y - 0) + 3 (z - 2) = 0 ⟹ 2 x + y + 3 z - 8 = 0

Verification avec $B (3; 2; 0)$ : $6 + 2 + 0 - 8 = 0 ✓$

Verification avec $C (- 1; 4; 2)$ : $- 2 + 4 + 6 - 8 = 0 ✓$

On substitue le parametrage de $Δ$ dans l'equation du plan $(A B C)$ :

2 (2 t - 4) + t + 3 (3 t - 6) - 8 = 0

4 t - 8 + t + 9 t - 18 - 8 = 0

14 t - 34 = 0 ⟹ t = \frac{34}{14} = \frac{17}{7}

Le centre $Ω$ du cercle circonscrit est :

Ω (2 \times \frac{17}{7} - 4; \frac{17}{7}; 3 \times \frac{17}{7} - 6) = Ω (\frac{34 - 28}{7}; \frac{17}{7}; \frac{51 - 42}{7})

Ω (\frac{6}{7}; \frac{17}{7}; \frac{9}{7})

Verification : Verifions que $Ω A = Ω B$ :

Ω A^{2} = (1 - \frac{6}{7})^{2} + (0 - \frac{17}{7})^{2} + (2 - \frac{9}{7})^{2} = \frac{1}{49} + \frac{289}{49} + \frac{25}{49} = \frac{315}{49} = \frac{45}{7}

Ω B^{2} = (3 - \frac{6}{7})^{2} + (2 - \frac{17}{7})^{2} + (0 - \frac{9}{7})^{2} = \frac{225}{49} + \frac{9}{49} + \frac{81}{49} = \frac{315}{49} = \frac{45}{7} ✓

Ω (\frac{6}{7}; \frac{17}{7}; \frac{9}{7}) avec R = \frac{45}{7} = \frac{3 5}{7} = \frac{3 35}{7}

5. En deduire le rayon du cercle circonscrit

Le rayon $R$ du cercle circonscrit est :

R = Ω A = \frac{45}{7} = \frac{45}{7} = \frac{3 5}{7} = \frac{3 5 \times 7}{7} = \frac{3 35}{7}

Numeriquement :

R = \frac{3 35}{7} \approx \frac{3 \times 5 , 916}{7} \approx \frac{17 , 748}{7} \approx 2, 535

R = \frac{3 35}{7} \approx 2, 54

6. Verifier que $Ω C = R$

Ω C^{2} = (- 1 - \frac{6}{7})^{2} + (4 - \frac{17}{7})^{2} + (2 - \frac{9}{7})^{2}

= (- \frac{13}{7})^{2} + (\frac{11}{7})^{2} + (\frac{5}{7})^{2} = \frac{169}{49} + \frac{121}{49} + \frac{25}{49} = \frac{315}{49} = \frac{45}{7}

Donc $Ω C = \frac{45}{7} = R ✓$

Le point $Ω$ est bien equidistant de $A$ , $B$ et $C$ : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

Ω A = Ω B = Ω C = \frac{3 35}{7} ✓

Reviser les droites et plans de l'espace →
Reviser l'orthogonalite et les distances →

Bac Maths 2025 — Metropole Septembre Jour 2

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Partie A — Probabilites conditionnelles

Partie B — Etude de la suite et convergence

Exercice 2 — Vrai/Faux (4 points)

Exercice 3 — (6 points)

Partie A — Etude de la fonction

Partie B — Calcul d'aire

Partie C — Algorithme Python

Exercice 4 — (5 points)

Partie A — Plans mediateurs

Partie B — Centre du cercle circonscrit

Exercice 1 — Probabilites et suites (5 points)

Partie A — Probabilites conditionnelles

1. Arbre pondere

2. Montrer que pn+1​=0,2pn​+0,3

3. Calculer p1​ et p2​

Partie B — Etude de la suite et convergence

4. On pose vn​=pn​−83​. Montrer que (vn​) est geometrique

5. Exprimer vn​ puis pn​ en fonction de n

6. Convergence de la suite (pn​)

7. Determiner le plus petit entier n tel que pn​−83​⩽10−2

Exercice 2 — Vrai/Faux (4 points)

Affirmation 1

Affirmation 2

Affirmation 3

Affirmation 4

Exercice 3 — Fonction logarithme, aire et algorithme (6 points)

Partie A — Etude de la fonction

1. Limites de f

2. Etude des variations de f

3. Montrer que f(x)⩾1 pour tout x>0

4. Tangente au point d'abscisse 1

Partie B — Calcul d'aire

5. Calculer l'aire A entre Cf​ et la droite y=1 sur [1;e]

Partie C — Algorithme Python

6. Completer l'algorithme

7. Modifier l'algorithme pour une autre borne

Exercice 4 — Geometrie dans l'espace : plans mediateurs (5 points)

Partie A — Plans mediateurs

1. Determiner une equation du plan mediateur P1​ de [AB]

2. Determiner une equation du plan mediateur P2​ de [AC]

3. Determiner une equation du plan mediateur P3​ de [BC]

Partie B — Centre du cercle circonscrit

4. Montrer que les trois plans mediateurs ont un point commun et le determiner

5. En deduire le rayon du cercle circonscrit

6. Verifier que ΩC=R

2. Montrer que $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$

3. Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ . Montrer que $(v_{n})$ est geometrique

5. Exprimer $v_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$

6. Convergence de la suite $(p_{n})$

7. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $p_{n} - \frac{3}{8} ⩽ 1 0^{- 2}$

1. Limites de $f$

2. Etude des variations de $f$

3. Montrer que $f (x) ⩾ 1$ pour tout $x > 0$

5. Calculer l'aire $A$ entre $C_{f}$ et la droite $y = 1$ sur $[1; e]$

1. Determiner une equation du plan mediateur $P_{1}$ de $[A B]$

2. Determiner une equation du plan mediateur $P_{2}$ de $[A C]$

3. Determiner une equation du plan mediateur $P_{3}$ de $[B C]$

6. Verifier que $Ω C = R$