Bac Maths 2025 Polynésie Jour 1

On complète l'arbre pondéré avec les données de l'énoncé :

• première branche : $P(R) = 0{,}17$ donc $P(\bar{R}) = 1 - 0{,}17 = 0{,}83$ ;
• deuxième niveau depuis $R$ : $P_R(A) = 0{,}062$ donc $P_R(\bar{A}) = 1 - 0{,}062 = 0{,}938$ ;
• les probabilités $P_{\bar{R}}(A)$ et $P_{\bar{R}}(\bar{A})$ seront déterminées dans les questions suivantes.

D'après l'arbre, on utilise la formule de l'intersection :

$$P(R \cap A) = P(R) \times P_R(A) = 0{,}17 \times 0{,}062 = 0{,}01054$$

$$\boxed{P(R \cap A) = 0{,}01054}$$

Les évènements $R$ et $\bar{R}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$$P(A) = P(R \cap A) + P(\bar{R} \cap A)$$

Donc :

$$P(\bar{R} \cap A) = P(A) - P(R \cap A) = 0{,}09 - 0{,}01054 = 0{,}07946$$

$$\boxed{P(\bar{R} \cap A) = 0{,}07946}$$

Méthode : on utilise la formule $P_{\bar{R}}(A) = \dfrac{P(\bar{R} \cap A)}{P(\bar{R})}$.

On a $P(\bar{R}) = 0{,}83$ et $P(\bar{R} \cap A) = 0{,}07946$ (question 3).

$$P_{\bar{R}}(A) = \dfrac{0{,}07946}{0{,}83} \approx 0{,}0957$$

Interprétation : sachant qu'un enfant vit en zone urbaine, la probabilité qu'il présente une allergie alimentaire est d'environ $9{,}6\,\%$. Cette probabilité est plus élevée qu'en zone rurale ($6{,}2\,\%$).

$$\boxed{P_{\bar{R}}(A) \approx 0{,}0957}$$

Chaque enfant constitue une épreuve de Bernoulli indépendante avec probabilité de succès (présenter une allergie) $p = P(A) = 0{,}09$.

On répète cette épreuve $n = 100$ fois de manière indépendante, donc :

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}09)}$$

On utilise la calculatrice pour déterminer cette probabilité.

$$P(X \geqslant 10) = 1 - P(X \leqslant 9)$$

Avec la calculatrice (loi binomiale $\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}09)$) :

$$P(X \leqslant 9) \approx 0{,}5875$$

$$P(X \geqslant 10) \approx 1 - 0{,}5875 = 0{,}4125$$

$$\boxed{P(X \geqslant 10) \approx 0{,}413}$$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$, et pour tout $\delta > 0$ :

$$P(|X - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\delta^2}$$

On remarque que $2 < M_{20} < 6$ s'écrit $|M_{20} - 4| < 2$.

En effet, $2 < M_{20} < 6 \iff -2 < M_{20} - 4 < 2 \iff |M_{20} - 4| < 2$.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\mu = 4$ et $\delta = 2$ :

$$P(|M_{20} - 4| \geqslant 2) \leqslant \dfrac{V(M_{20})}{\delta^2} = \dfrac{0{,}1125}{2^2} = \dfrac{0{,}1125}{4} = 0{,}028125$$

Par passage au complémentaire :

$$P(|M_{20} - 4| < 2) \geqslant 1 - 0{,}028125 = 0{,}971875$$

Ainsi :

$$P(2 < M_{20} < 6) \geqslant 0{,}971875 > 0{,}97$$

Attention : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une minoration de $P(|X - \mu| < \delta)$ (ou de façon équivalente une majoration de $P(|X - \mu| \geqslant \delta)$). Il faut bien penser au passage au complémentaire.

$$\boxed{P(2 < M_{20} < 6) \geqslant 0{,}972 > 0{,}97}$$

Le sol correspond au plan d'équation $z = 0$. On cherche la valeur de $t$ telle que $z = 0$ :

$$11 - 4t = 0 \implies t = \dfrac{11}{4}$$

On en déduit les coordonnées de $S$ :

$$x_S = -11 + 5 \times \dfrac{11}{4} = -11 + \dfrac{55}{4} = \dfrac{-44 + 55}{4} = \dfrac{11}{4}$$

$$y_S = -5 + \dfrac{11}{4} = \dfrac{-20 + 11}{4} = -\dfrac{9}{4}$$

$$\boxed{S\!\left(\dfrac{11}{4}\,;\, -\dfrac{9}{4}\,;\, 0\right)}$$

On cherche s'il existe des valeurs de $s$ et $t$ telles que les coordonnées coïncident :

$$\begin{cases} -7 + 2s = -11 + 5t \quad (1) \\ 1 - s = -5 + t \quad (2) \\ 7 - 3s = 11 - 4t \quad (3) \end{cases}$$

De l'équation (2) : $s = 6 - t$

Dans l'équation (1) :

$$-7 + 2(6 - t) = -11 + 5t$$

$$-7 + 12 - 2t = -11 + 5t$$

$$5 - 2t = -11 + 5t$$

$$16 = 7t \implies t = \dfrac{16}{7}$$

Donc $s = 6 - \dfrac{16}{7} = \dfrac{26}{7}$.

Vérification dans l'équation (3) :

$$7 - 3 \times \dfrac{26}{7} = 7 - \dfrac{78}{7} = \dfrac{49 - 78}{7} = -\dfrac{29}{7}$$

$$11 - 4 \times \dfrac{16}{7} = 11 - \dfrac{64}{7} = \dfrac{77 - 64}{7} = \dfrac{13}{7}$$

$$-\dfrac{29}{7} \neq \dfrac{13}{7}$$

Le système est incompatible : les droites $d_A$ et $d_B$ ne sont pas sécantes. Les deux avions ne risquent donc pas de collision.

$$\boxed{d_A \text{ et } d_B \text{ ne sont pas sécantes : pas de collision}}$$

a. L'avion Alpha passe par le point $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$. Vérifions pour $s = 2$ :

$$x = -7 + 2 \times 2 = -3, \quad y = 1 - 2 = -1, \quad z = 7 - 3 \times 2 = 1 \quad \checkmark$$

b. On cherche l'équation du plan $\mathcal{P}_E$ perpendiculaire à $d_A$ passant par $E$.

Méthode : le plan perpendiculaire à une droite a pour vecteur normal le vecteur directeur de cette droite. Ici, $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,-3)$ est le vecteur normal du plan.

L'équation est de la forme $2x - y - 3z + d = 0$.

Le point $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$ appartient au plan :

$$2(-3) - (-1) - 3(1) + d = 0 \implies -6 + 1 - 3 + d = 0 \implies d = 8$$

$$\boxed{\mathcal{P}_E : 2x - y - 3z + 8 = 0}$$

c. On cherche le point $F$, intersection de $\mathcal{P}_E$ et de $d_B$.

On substitue la représentation paramétrique de $d_B$ dans l'équation du plan :

$$2(-11 + 5t) - (-5 + t) - 3(11 - 4t) + 8 = 0$$

$$-22 + 10t + 5 - t - 33 + 12t + 8 = 0$$

$$21t - 42 = 0 \implies t = 2$$

Les coordonnées de $F$ sont :

$$x_F = -11 + 5 \times 2 = -1, \quad y_F = -5 + 2 = -3, \quad z_F = 11 - 4 \times 2 = 3$$

$$\boxed{F(-1\,;\,-3\,;\,3)}$$

d. Calculons la distance $EF$ :

$$\overrightarrow{EF} = F - E = (-1 - (-3)\,;\, -3 - (-1)\,;\, 3 - 1) = (2\,;\,-2\,;\,2)$$

$$EF = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

$$\boxed{EF = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464 \text{ km}}$$

La distance de sécurité minimale est de 3 milles nautiques. On convertit 1 mille nautique = 1,852 km, donc 3 NM = 5,556 km.

$$EF = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464 \text{ km}$$

$$3 \text{ NM} = 3 \times 1{,}852 = 5{,}556 \text{ km}$$

Puisque $3{,}464 < 5{,}556$, la distance minimale d'approche est inférieure à la norme de sécurité.

$$\boxed{EF \approx 3{,}46 \text{ km} < 5{,}56 \text{ km} = 3 \text{ NM : distance de sécurité non respectée}}$$

a. On dérive $f_n(x) = x^n \, e^{-x}$ en utilisant la formule $(uv)' = u'v + uv'$ :

• $u(x) = x^n$ donc $u'(x) = nx^{n-1}$ ;
• $v(x) = e^{-x}$ donc $v'(x) = -e^{-x}$.

$$f'_n(x) = nx^{n-1}\,e^{-x} + x^n \times (-e^{-x}) = nx^{n-1}\,e^{-x} - x^n\,e^{-x}$$

$$f'_n(x) = x^{n-1}\,e^{-x}(n - x)$$

$$\boxed{f'_n(x) = (n - x)\,x^{n-1}\,e^{-x}}$$

b. On a $f'_n(x) = (n - x)\,x^{n-1}\,e^{-x}$. Pour $x > 0$, les facteurs $x^{n-1}$ et $e^{-x}$ sont strictement positifs, donc le signe de $f'_n(x)$ est celui de $(n - x)$.

• Si $0 < x < n$ : $f'_n(x) > 0$, $f_n$ est croissante.
• Si $x > n$ : $f'_n(x) < 0$, $f_n$ est décroissante.

Le maximum de $f_n$ est atteint en $x = n$ :

$$f_n(n) = n^n \, e^{-n} = \dfrac{n^n}{e^n}$$

Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} x^n \, e^{-x} = 0$.

De plus, $f_n(0) = 0$.

$$\boxed{f_n \text{ croissante sur } [0\,;\,n], \text{ décroissante sur } [n\,;\,+\infty[, \text{ max} = \dfrac{n^n}{e^n}, \; \lim_{+\infty} = 0}$$

On a $f_1(x) = x\,e^{-x}$, donc $I_1 = \displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$.

Méthode : intégration par parties avec $u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-x}$.

On pose :

• $u(x) = x$ donc $u'(x) = 1$ ;
• $v'(x) = e^{-x}$ donc $v(x) = -e^{-x}$.

Par intégration par parties :

$$I_1 = \left[-x\,e^{-x}\right]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})\,\mathrm{d}x$$

$$I_1 = \left[-x\,e^{-x}\right]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x$$

$$I_1 = \left(-1 \times e^{-1} - 0\right) + \left[-e^{-x}\right]_0^1$$

$$I_1 = -\dfrac{1}{e} + \left(-e^{-1} + e^{0}\right) = -\dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e} + 1$$

$$\boxed{I_1 = 1 - \dfrac{2}{e}}$$

On calcule $I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$ par intégration par parties.

On pose :

• $u(x) = x^{n+1}$ donc $u'(x) = (n+1)\,x^n$ ;
• $v'(x) = e^{-x}$ donc $v(x) = -e^{-x}$.

Par intégration par parties :

$$I_{n+1} = \left[-x^{n+1}\,e^{-x}\right]_0^1 - \int_0^1 (n+1)\,x^n \times (-e^{-x})\,\mathrm{d}x$$

$$I_{n+1} = \left[-x^{n+1}\,e^{-x}\right]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$$

$$I_{n+1} = \left(-1^{n+1}\,e^{-1} - 0\right) + (n+1)\,I_n$$

$$I_{n+1} = -\dfrac{1}{e} + (n+1)\,I_n$$

$$\boxed{I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \dfrac{1}{e}}$$

Positivité : pour tout $x \in [0\,;\,1]$, on a $x^n \geqslant 0$ et $e^{-x} > 0$, donc $f_n(x) \geqslant 0$. Ainsi $I_n \geqslant 0$.

Calcul de $I_0$ :

$$I_0 = \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x = \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{1}{e}$$

Majoration : pour tout $x \in [0\,;\,1]$, on a $0 \leqslant x \leqslant 1$, donc $x^n \leqslant 1$. Par conséquent :

$$x^n\,e^{-x} \leqslant e^{-x} \quad \text{pour tout } x \in [0\,;\,1]$$

En intégrant sur $[0\,;\,1]$ :

$$I_n = \int_0^1 x^n\,e^{-x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x = I_0 = 1 - \dfrac{1}{e}$$

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 \leqslant I_n \leqslant 1 - \dfrac{1}{e}}$$

Pour tout $x \in [0\,;\,1]$, on a $0 \leqslant x \leqslant 1$, donc $x^{n+1} \leqslant x^n$.

Par conséquent, $x^{n+1}\,e^{-x} \leqslant x^n\,e^{-x}$ pour tout $x \in [0\,;\,1]$.

En intégrant :

$$I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\,e^{-x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 x^n\,e^{-x}\,\mathrm{d}x = I_n$$

La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge d'après le théorème de convergence monotone.

$$\boxed{(I_n) \text{ est décroissante et minorée par } 0 \text{, donc elle converge}}$$

Notons $\ell$ la limite de $(I_n)$. On a $\ell \geqslant 0$.

Supposons $\ell > 0$. Pour $n$ assez grand, $I_n > \dfrac{\ell}{2} > 0$, donc :

$$I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \dfrac{1}{e} \geqslant (n+1) \times \dfrac{\ell}{2} - \dfrac{1}{e}$$

Quand $n \to +\infty$, le membre de droite tend vers $+\infty$, ce qui contredit $I_n \leqslant 1 - \dfrac{1}{e}$.

Donc $\ell = 0$.

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} I_n = 0}$$

On écrit un script qui calcule les 101 premiers termes de la suite $(I_n)$ en utilisant la relation de récurrence $I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \dfrac{1}{e}$ et la valeur initiale $I_0 = 1 - \dfrac{1}{e}$.

from math import exp
I = 1 - 1/exp(1) # I_0
for n in range(100):
I = (n + 1) * I - 1/exp(1)
print(f"I_{n+1} = {I}")

Attention : en raison des erreurs d'arrondi en arithmétique flottante, les valeurs calculées par ce script deviennent rapidement erronées pour les grands indices $n$. La relation de récurrence est numériquement instable car elle multiplie l'erreur par $(n+1)$ à chaque étape.

VRAI.

L'équation différentielle s'écrit $y' - \dfrac{1}{2}\,y = 4$.

Équation homogène : $y' - \dfrac{1}{2}\,y = 0$ a pour solutions $y_H(x) = k\,e^{x/2}$, $k \in \mathbb{R}$.

Solution particulière : on cherche une solution constante $y_p = c$. Alors $y'_p = 0$, donc :

$$0 = \dfrac{1}{2}\,c + 4 \implies c = -8$$

La solution générale est :

$$y(x) = k\,e^{x/2} - 8, \quad k \in \mathbb{R}$$

Vérification : $y'(x) = \dfrac{k}{2}\,e^{x/2}$ et $\dfrac{1}{2}\,y(x) + 4 = \dfrac{k}{2}\,e^{x/2} - 4 + 4 = \dfrac{k}{2}\,e^{x/2}$ $\checkmark$

$$\boxed{\text{VRAI : les solutions sont } x \mapsto k\,e^{x/2} - 8}$$

VRAI.

Le choix des filles et des garçons étant indépendant, on utilise le principe multiplicatif :

$$\text{Nombre d'équipes} = \binom{8}{3} \times \binom{10}{3}$$

Calculons chaque coefficient binomial :

$$\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{3!\,5!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

$$\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

$$56 \times 120 = 6720$$

$$\boxed{\text{VRAI : } \binom{8}{3} \times \binom{10}{3} = 56 \times 120 = 6720}$$

FAUX. La suite converge vers $4$, pas vers $5$.

Montrons d'abord que $u_n \leqslant 4$ pour tout $n$ :

Initialisation : $u_0 = 2 \leqslant 4$. $\checkmark$

Hérédité : si $u_n \leqslant 4$, alors $5u_n - 4 \leqslant 5 \times 4 - 4 = 16$, donc $u_{n+1} = \sqrt{5u_n - 4} \leqslant \sqrt{16} = 4$. $\checkmark$

Montrons que $(u_n)$ est croissante :

$$u_{n+1} - u_n = \sqrt{5u_n - 4} - u_n$$

On étudie le signe en posant $g(x) = \sqrt{5x - 4} - x$ pour $x \in [2\,;\,4]$. On a $g(x) \geqslant 0$ si et seulement si $5x - 4 \geqslant x^2$, soit $x^2 - 5x + 4 \leqslant 0$, c'est-à-dire $(x - 1)(x - 4) \leqslant 0$, ce qui est vrai pour $x \in [1\,;\,4]$.

Puisque $u_n \in [2\,;\,4]$ pour tout $n$, on a $u_{n+1} \geqslant u_n$ : la suite est croissante.

Convergence : la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, donc elle converge vers une limite $\ell$.

Calcul de la limite : en passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{5u_n - 4}$ :

$$\ell = \sqrt{5\ell - 4}$$

$$\ell^2 = 5\ell - 4$$

$$\ell^2 - 5\ell + 4 = 0$$

$$(\ell - 1)(\ell - 4) = 0$$

Donc $\ell = 1$ ou $\ell = 4$. Puisque $u_0 = 2$ et la suite est croissante, on a $\ell \geqslant 2$, donc $\ell = 4$.

$$\boxed{\text{FAUX : la suite converge vers } \ell = 4 \text{, pas vers } 5}$$

VRAI.

Méthode : pour montrer qu'une droite est incluse dans un plan, il suffit de vérifier deux conditions :

• un point de la droite appartient au plan (on substitue ses coordonnées dans l'équation du plan) ;
• le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan (produit scalaire nul).

Condition 1 : on substitue les coordonnées d'un point de $\Delta$ dans l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ et on vérifie que l'équation est satisfaite. $\checkmark$

Condition 2 : on calcule le produit scalaire du vecteur directeur de la droite avec le vecteur normal du plan :

$$\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$$

Le vecteur directeur de $\Delta$ est bien orthogonal au vecteur normal de $\mathcal{P}$. $\checkmark$

Les deux conditions étant remplies, la droite est bien incluse dans le plan.

$$\boxed{\text{VRAI : la droite est incluse dans le plan}}$$