Bac Maths 2025 — Polynesie Jour 1

17 juin 2025 — 4 exercices — 20 points

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent etre traitees de maniere independante.

Une etude s'interesse aux allergies alimentaires chez les enfants scolarises en France. On note :

$R$ l'evenement : « l'enfant vit en zone rurale » ;
$A$ l'evenement : « l'enfant presente une allergie alimentaire ».

Une etude statistique a permis d'etablir que :

la proportion d'enfants vivant en zone rurale est $17 %$ , soit $P (R) = 0, 17$ ;
parmi les enfants vivant en zone rurale, $6, 2 %$ presentent une allergie alimentaire : $P_{R} (A) = 0, 062$ ;
la proportion globale d'enfants presentant une allergie alimentaire est $P (A) = 0, 09$ .

Partie A

On choisit au hasard un enfant scolarise.

1. Representer la situation par un arbre pondere.

2. Calculer $P (R \cap A)$ .

3. En deduire $P (\overset{ˉ}{R} \cap A)$ .

4. Calculer $P_{\overset{ˉ}{R}} (A)$ et interpreter le resultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On interroge au hasard 100 enfants. On note $X$ la variable aleatoire comptant le nombre d'enfants presentant une allergie alimentaire parmi les 100.

1. Justifier que $X \sim B (100; 0, 09)$ .

2. Calculer $P (X ⩾ 10)$ . On arrondira au millieme.

Partie C — Inegalite de Bienayme-Tchebychev

On preleve au hasard 20 enfants. On note $Y_{i}$ le nombre d'allergies du $i$ -eme enfant et $M_{20}$ la moyenne : $M_{20} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} Y_{i}$ .

On admet que $E (M_{20}) = 4$ et $V (M_{20}) = 0, 1125$ .

1. A l'aide de l'inegalite de Bienayme-Tchebychev, montrer que $P (2 < M_{20} < 6) > 0, 97$ .

Exercice 2 — (5 points)

On modelise les trajectoires de deux avions dans un repere orthonorme $(O; i, j, k)$ de l'espace (les distances sont en km).

La trajectoire de l'avion Alpha est la droite $d_{A}$ passant par le point $A (- 7; 1; 7)$ et de vecteur directeur $u (2; - 1; - 3)$ :
$d_{A} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 7 + 2 s y = 1 - s z = 7 - 3 s, s \in R$
La trajectoire de l'avion Beta est la droite $d_{B}$ :
$d_{B} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 11 + 5 t y = - 5 + t z = 11 - 4 t, t \in R$

1. Determiner les coordonnees du point $S$ ou l'avion Beta touche le sol (plan $z = 0$ ).

2. Montrer que les droites $d_{A}$ et $d_{B}$ ne sont pas secantes.

a. Verifier que le point $E (- 3; - 1; 1)$ appartient a la droite $d_{A}$ .

b. Determiner une equation cartesienne du plan $P_{E}$ perpendiculaire a $d_{A}$ passant par $E$ .

c. Determiner les coordonnees du point $F$ , intersection de $P_{E}$ et de $d_{B}$ .

d. Calculer la distance $E F$ .

4. La distance de securite minimale entre les deux avions est de 3 milles nautiques (1 mille nautique = 1852 m). Cette distance est-elle respectee ?

Exercice 3 — (5 points)

Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on definit la fonction $f_{n}$ sur $[0; + \infty [$ par :

f_{n} (x) = x^{n} e^{- x}

On pose $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x$ .

a. Calculer $f_{n}^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f_{n}$ .

b. Dresser le tableau de variations de $f_{n}$ .

2. Calculer $I_{1} = \int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ .

3. A l'aide d'une integration par parties, montrer que pour tout entier $n ⩾ 1$ :

I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}

4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $0 ⩽ I_{n} ⩽ 1 - \frac{1}{e}$ .

5. Montrer que la suite $(I_{n})$ est decroissante et en deduire qu'elle converge.

6. Montrer que la limite de $(I_{n})$ est 0.

7. Ecrire un script Python qui calcule et affiche les 101 premiers termes de la suite $(I_{n})$ a l'aide de la relation de recurrence.

Exercice 4 — (5 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la reponse. Toute reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1. L'equation differentielle $y^{'} = \frac{1}{2} y + 4$ admet pour solutions les fonctions de la forme $x \mapsto k e^{x /2} - 8$ , avec $k \in R$ .

Affirmation 2. On souhaite former une equipe de volley composee de 3 filles parmi 8 et 3 garcons parmi 10. Le nombre d'equipes possibles est $(3 8) \times (3 10) = 6720$ .

Affirmation 3. La suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 4$ converge vers 5.

Affirmation 4. On considere une droite $Δ$ et un plan $P$ dans l'espace. Si un point de $Δ$ appartient a $P$ et si le vecteur directeur de $Δ$ est orthogonal au vecteur normal de $P$ , alors la droite $Δ$ est incluse dans le plan $P$ .

Exercice 1 — Probabilites (5 points)

Rappels utiles : Probabilites conditionnelles, formule des probabilites totales, loi binomiale, esperance, inegalite de Bienayme-Tchebychev.

Partie A — Allergies alimentaires en zone rurale et urbaine

1. Arbre pondere

On complete l'arbre pondere avec les donnees de l'enonce :

Premiere branche : $P (R) = 0, 17$ donc $P (\overset{ˉ}{R}) = 1 - 0, 17 = 0, 83$
Deuxieme niveau depuis $R$ : $P_{R} (A) = 0, 062$ donc $P_{R} (\overset{ˉ}{A}) = 1 - 0, 062 = 0, 938$
Les probabilites $P_{\overset{ˉ}{R}} (A)$ et $P_{\overset{ˉ}{R}} (\overset{ˉ}{A})$ seront determinees dans les questions suivantes.

2. Calculer $P (R \cap A)$

D'apres l'arbre, on utilise la formule de l'intersection :

P (R \cap A) = P (R) \times P_{R} (A) = 0, 17 \times 0, 062 = 0, 01054

P (R \cap A) = 0, 01054

3. En deduire $P (\overset{ˉ}{R} \cap A)$

Les evenements $R$ et $\overset{ˉ}{R}$ forment une partition de l'univers. D'apres la formule des probabilites totales :

P (A) = P (R \cap A) + P (\overset{ˉ}{R} \cap A)

Donc :

P (\overset{ˉ}{R} \cap A) = P (A) - P (R \cap A) = 0, 09 - 0, 01054 = 0, 07946

P (\overset{ˉ}{R} \cap A) = 0, 07946

4. Calculer $P_{\overset{ˉ}{R}} (A)$ et interpreter

Methode : On utilise la formule

P_{\overset{ˉ}{R}} (A) = \frac{P ( R ˉ \cap A )}{P ( R ˉ )}

On a $P (\overset{ˉ}{R}) = 0, 83$ et $P (\overset{ˉ}{R} \cap A) = 0, 07946$ (question 3).

P_{\overset{ˉ}{R}} (A) = \frac{0 , 07946}{0 , 83} \approx 0, 0957

Interpretation : Sachant qu'un enfant vit en zone urbaine, la probabilite qu'il presente une allergie alimentaire est d'environ $9, 6 %$ . Cette probabilite est plus elevee qu'en zone rurale ( $6, 2 %$ ).

P_{\overset{ˉ}{R}} (A) \approx 0, 0957

Partie B — Loi binomiale

On interroge au hasard 100 enfants. On note $X$ la variable aleatoire comptant le nombre d'enfants presentant une allergie alimentaire parmi les 100.

1. Justifier que $X \sim B (100; 0, 09)$

Chaque enfant constitue une epreuve de Bernoulli independante avec probabilite de succes (presenter une allergie) $p = P (A) = 0, 09$ .

On repete cette epreuve $n = 100$ fois de maniere independante, donc :

X \sim B (100; 0, 09)

2. Calculer $P (X ⩾ 10)$

On utilise la calculatrice pour determiner cette probabilite.

P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽ 9)

Avec la calculatrice (loi binomiale $B (100; 0, 09)$ ) :

P (X ⩽ 9) \approx 0, 5875

P (X ⩾ 10) \approx 1 - 0, 5875 = 0, 4125

P (X ⩾ 10) \approx 0, 413

Partie C — Bienayme-Tchebychev

On preleve au hasard 20 enfants. On note $Y_{i}$ le nombre d'allergies du $i$ -eme enfant et $M_{20}$ la moyenne : $M_{20} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} Y_{i}$ .

On admet que $E (M_{20}) = 4$ et $V (M_{20}) = 0, 1125$ .

1. Montrer que $P (2 < M_{20} < 6) > 0, 97$

Inegalite de Bienayme-Tchebychev : Pour toute variable aleatoire

X

d'esperance

μ

et de variance

σ^{2}

, et pour tout

δ > 0

P (∣ X - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{σ ^{2}}{δ ^{2}}

On remarque que $2 < M_{20} < 6$ s'ecrit $∣ M_{20} - 4∣ < 2$ .

En effet, $2 < M_{20} < 6 ⟺ - 2 < M_{20} - 4 < 2 ⟺ ∣ M_{20} - 4∣ < 2$ .

D'apres l'inegalite de Bienayme-Tchebychev avec $μ = 4$ et $δ = 2$ :

P (∣ M_{20} - 4∣ ⩾ 2) ⩽ \frac{V ( M _{20} )}{δ ^{2}} = \frac{0 , 1125}{2 ^{2}} = \frac{0 , 1125}{4} = 0, 028125

Par passage au complementaire :

P (∣ M_{20} - 4∣ < 2) ⩾ 1 - 0, 028125 = 0, 971875

Ainsi :

P (2 < M_{20} < 6) ⩾ 0, 971875 > 0, 97

Attention : L'inegalite de Bienayme-Tchebychev donne une minoration de

P (∣ X - μ ∣ < δ)

(ou de facon equivalente une majoration de

P (∣ X - μ ∣ ⩾ δ)

). Il faut bien penser au passage au complementaire.

P (2 < M_{20} < 6) ⩾ 0, 972 > 0, 97

Reviser les probabilites →
Reviser la concentration et Bienayme-Tchebychev →

Exercice 2 — Geometrie dans l'espace (5 points)

Rappels utiles : Produit scalaire dans l'espace, vecteur normal, equation cartesienne de plan, projete orthogonal, droites parametrees, distance.

1. Point $S$ ou l'avion Beta touche le sol

Le sol correspond au plan d'equation $z = 0$ . On cherche la valeur de $t$ telle que $z = 0$ :

11 - 4 t = 0 ⟹ t = \frac{11}{4}

On en deduit les coordonnees de $S$ :

x_{S} = - 11 + 5 \times \frac{11}{4} = - 11 + \frac{55}{4} = \frac{- 44 + 55}{4} = \frac{11}{4}

y_{S} = - 5 + \frac{11}{4} = \frac{- 20 + 11}{4} = - \frac{9}{4}

S (\frac{11}{4}; - \frac{9}{4}; 0)

2. Montrer que les droites $d_{A}$ et $d_{B}$ ne sont pas secantes

On cherche s'il existe des valeurs de $s$ et $t$ telles que les coordonnees coincident :

⎩ ⎨ ⎧ - 7 + 2 s = - 11 + 5 t (1) 1 - s = - 5 + t (2) 7 - 3 s = 11 - 4 t (3)

De l'equation (2) : $s = 6 - t$

Dans l'equation (1) :

- 7 + 2 (6 - t) = - 11 + 5 t

- 7 + 12 - 2 t = - 11 + 5 t

5 - 2 t = - 11 + 5 t

16 = 7 t ⟹ t = \frac{16}{7}

Donc $s = 6 - \frac{16}{7} = \frac{26}{7}$ .

Verification dans l'equation (3) :

7 - 3 \times \frac{26}{7} = 7 - \frac{78}{7} = \frac{49 - 78}{7} = - \frac{29}{7}

11 - 4 \times \frac{16}{7} = 11 - \frac{64}{7} = \frac{77 - 64}{7} = \frac{13}{7}

- \frac{29}{7} \neq = \frac{13}{7}

Le systeme est incompatible : les droites $d_{A}$ et $d_{B}$ ne sont pas secantes. Les deux avions ne risquent donc pas de collision.

d_{A} et d_{B} ne sont pas secantes : pas de collision

3. Distance minimale d'approche

a. L'avion Alpha passe par le point $E (- 3; - 1; 1)$ . Verifions pour $s = 2$ :

x = - 7 + 2 \times 2 = - 3, y = 1 - 2 = - 1, z = 7 - 3 \times 2 = 1 ✓

b. On cherche l'equation du plan $P_{E}$ perpendiculaire a $d_{A}$ passant par $E$ .

Methode : Le plan perpendiculaire a une droite a pour vecteur normal le vecteur directeur de cette droite. Ici,

u (2; - 1; - 3)

est le vecteur normal du plan.

L'equation est de la forme $2 x - y - 3 z + d = 0$ .

Le point $E (- 3; - 1; 1)$ appartient au plan :

2 (- 3) - (- 1) - 3 (1) + d = 0 ⟹ - 6 + 1 - 3 + d = 0 ⟹ d = 8

P_{E} : 2 x - y - 3 z + 8 = 0

c. On cherche le point $F$ , intersection de $P_{E}$ et de $d_{B}$ .

On substitue la representation parametrique de $d_{B}$ dans l'equation du plan :

2 (- 11 + 5 t) - (- 5 + t) - 3 (11 - 4 t) + 8 = 0

- 22 + 10 t + 5 - t - 33 + 12 t + 8 = 0

21 t - 42 = 0 ⟹ t = 2

Les coordonnees de $F$ sont :

x_{F} = - 11 + 5 \times 2 = - 1, y_{F} = - 5 + 2 = - 3, z_{F} = 11 - 4 \times 2 = 3

F (- 1; - 3; 3)

d. Calculons la distance $E F$ :

E F = F - E = (- 1 - (- 3); - 3 - (- 1); 3 - 1) = (2; - 2; 2)

E F = 2^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 4 + 4 + 4 = 12 = 23

E F = 23 \approx 3, 464 km

4. Distance de securite

La distance de securite minimale est de 3 milles nautiques. On convertit 1 mille nautique = 1,852 km, donc 3 NM = 5,556 km.

E F = 23 \approx 3, 464 km

3 NM = 3 \times 1, 852 = 5, 556 km

Puisque $3, 464 < 5, 556$ , la distance minimale d'approche est inferieure a la norme de securite.

E F \approx 3, 46 km < 5, 56 km = 3 NM : distance de securite non respectee

Reviser les droites et plans de l'espace →
Reviser l'orthogonalite et les distances →

Exercice 3 — Fonctions et integrales (5 points)

Rappels utiles : Derivation, etude de fonctions, integration par parties, suites recurrentes, convergence, theoreme de convergence monotone.

Pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on definit la fonction $f_{n}$ sur $[0; + \infty [$ par :

f_{n} (x) = x^{n} e^{- x}

On pose $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x$ .

1.a. Calculer $f_{n}^{'} (x)$

On derive $f_{n} (x) = x^{n} e^{- x}$ en utilisant la formule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$u (x) = x^{n}$ donc $u^{'} (x) = n x^{n - 1}$
$v (x) = e^{- x}$ donc $v^{'} (x) = - e^{- x}$

f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1} e^{- x} + x^{n} \times (- e^{- x}) = n x^{n - 1} e^{- x} - x^{n} e^{- x}

f_{n}^{'} (x) = x^{n - 1} e^{- x} (n - x)

f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x}

1.b. Tableau de variations de $f_{n}$

On a $f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x}$ . Pour $x > 0$ , les facteurs $x^{n - 1}$ et $e^{- x}$ sont strictement positifs, donc le signe de $f_{n}^{'} (x)$ est celui de $(n - x)$ .

Si $0 < x < n$ : $f_{n}^{'} (x) > 0$ , $f_{n}$ est croissante.
Si $x > n$ : $f_{n}^{'} (x) < 0$ , $f_{n}$ est decroissante.

Le maximum de $f_{n}$ est atteint en $x = n$ :

f_{n} (n) = n^{n} e^{- n} = \frac{n ^{n}}{e ^{n}}

Par croissance comparee, $lim_{x \to + \infty} x^{n} e^{- x} = 0$ .

De plus, $f_{n} (0) = 0$ .

f_{n} croissante sur [0; n], decroissante sur [n; + \infty [, max = \frac{n ^{n}}{e ^{n}}, + \infty lim = 0

2. Calcul de $I_{1}$

On a $f_{1} (x) = x e^{- x}$ , donc $I_{1} = \int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ .

Methode : Integration par parties avec

u (x) = x

v^{'} (x) = e^{- x}

On pose :

$u (x) = x$ donc $u^{'} (x) = 1$
$v^{'} (x) = e^{- x}$ donc $v (x) = - e^{- x}$

Par integration par parties :

I_{1} = [- x e^{- x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (- e^{- x}) d x

I_{1} = [- x e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x

I_{1} = (- 1 \times e^{- 1} - 0) + [- e^{- x}]_{0}^{1}

I_{1} = - \frac{1}{e} + (- e^{- 1} + e^{0}) = - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1

I_{1} = 1 - \frac{2}{e}

3. Relation de recurrence : $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}$

On calcule $I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{- x} d x$ par integration par parties.

On pose :

$u (x) = x^{n + 1}$ donc $u^{'} (x) = (n + 1) x^{n}$
$v^{'} (x) = e^{- x}$ donc $v (x) = - e^{- x}$

Par integration par parties :

I_{n + 1} = [- x^{n + 1} e^{- x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (n + 1) x^{n} \times (- e^{- x}) d x

I_{n + 1} = [- x^{n + 1} e^{- x}]_{0}^{1} + (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x

I_{n + 1} = (- 1^{n + 1} e^{- 1} - 0) + (n + 1) I_{n}

I_{n + 1} = - \frac{1}{e} + (n + 1) I_{n}

I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}

4. Montrer que $0 ⩽ I_{n} ⩽ I_{0} = 1 - \frac{1}{e}$

Positivite : Pour tout $x \in [0; 1]$ , on a $x^{n} ⩾ 0$ et $e^{- x} > 0$ , donc $f_{n} (x) ⩾ 0$ . Ainsi $I_{n} ⩾ 0$ .

Calcul de $I_{0}$ :

I_{0} = \int_{0}^{1} e^{- x} d x = [- e^{- x}]_{0}^{1} = - e^{- 1} + 1 = 1 - \frac{1}{e}

Majoration : Pour tout $x \in [0; 1]$ , on a $0 ⩽ x ⩽ 1$ , donc $x^{n} ⩽ 1$ . Par consequent :

x^{n} e^{- x} ⩽ e^{- x} pour tout x \in [0; 1]

En integrant sur $[0; 1]$ :

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x ⩽ \int_{0}^{1} e^{- x} d x = I_{0} = 1 - \frac{1}{e}

\forall n \in N, 0 ⩽ I_{n} ⩽ 1 - \frac{1}{e}

5. Montrer que la suite $(I_{n})$ est decroissante

Pour tout $x \in [0; 1]$ , on a $0 ⩽ x ⩽ 1$ , donc $x^{n + 1} ⩽ x^{n}$ .

Par consequent, $x^{n + 1} e^{- x} ⩽ x^{n} e^{- x}$ pour tout $x \in [0; 1]$ .

En integrant :

I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{- x} d x ⩽ \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x = I_{n}

La suite $(I_{n})$ est decroissante et minoree par 0, donc elle converge d'apres le theoreme de convergence monotone.

(I_{n}) est decroissante et minoree par 0, donc elle converge

6. Montrer que la limite de $(I_{n})$ est 0

Notons $ℓ$ la limite de $(I_{n})$ . On a $ℓ ⩾ 0$ .

Supposons $ℓ > 0$ . Pour $n$ assez grand, $I_{n} > \frac{ℓ}{2} > 0$ , donc :

I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e} ⩾ (n + 1) \times \frac{ℓ}{2} - \frac{1}{e}

Quand $n \to + \infty$ , le membre de droite tend vers $+ \infty$ , ce qui contredit $I_{n} ⩽ 1 - \frac{1}{e}$ .

Donc $ℓ = 0$ .

n \to + \infty lim I_{n} = 0

7. Script Python

On ecrit un script qui calcule les 101 premiers termes de la suite $(I_{n})$ en utilisant la relation de recurrence $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}$ et la valeur initiale $I_{0} = 1 - \frac{1}{e}$ .

from math import exp

I = 1 - 1/exp(1)    # I_0
for n in range(100):
    I = (n + 1) * I - 1/exp(1)
    print(f"I_{n+1} = {I}")

Attention : En raison des erreurs d'arrondi en arithmetique flottante, les valeurs calculees par ce script deviennent rapidement erronees pour les grands indices

n

. La relation de recurrence est numeriquement instable car elle multiplie l'erreur par

(n + 1)

a chaque etape.

Reviser le calcul integral →
Reviser les suites →

Exercice 4 — Vrai/Faux (5 points)

Rappel : Dans un exercice Vrai/Faux, chaque affirmation doit etre justifiee. Une reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1

L'equation differentielle $y^{'} = \frac{1}{2} y + 4$ admet pour solutions les fonctions de la forme $x \mapsto k e^{x /2} - 8$ , avec $k \in R$ .

VRAI.

L'equation differentielle s'ecrit $y^{'} - \frac{1}{2} y = 4$ .

Equation homogene : $y^{'} - \frac{1}{2} y = 0$ a pour solutions $y_{H} (x) = k e^{x /2}$ , $k \in R$ .

Solution particuliere : On cherche une solution constante $y_{p} = c$ . Alors $y_{p}^{'} = 0$ , donc :

0 = \frac{1}{2} c + 4 ⟹ c = - 8

La solution generale est :

y (x) = k e^{x /2} - 8, k \in R

Verification : $y^{'} (x) = \frac{k}{2} e^{x /2}$ et $\frac{1}{2} y (x) + 4 = \frac{k}{2} e^{x /2} - 4 + 4 = \frac{k}{2} e^{x /2}$ $✓$

VRAI : les solutions sont x \mapsto k e^{x /2} - 8

Affirmation 2

On souhaite former une equipe de volley composee de 3 filles parmi 8 et 3 garcons parmi 10. Le nombre d'equipes possibles est $(3 8) \times (3 10) = 6720$ .

VRAI.

Le choix des filles et des garcons etant independant, on utilise le principe multiplicatif :

Nombre d’equipes = (3 8) \times (3 10)

Calculons chaque coefficient binomial :

(3 8) = \frac{8 !}{3 ! 5 !} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

(3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

56 \times 120 = 6720

VRAI : (3 8) \times (3 10) = 56 \times 120 = 6720

Affirmation 3

La suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 4$ converge vers 5.

FAUX. La suite converge vers $4$ , pas vers $5$ .

Montrons d'abord que $u_{n} ⩽ 4$ pour tout $n$ :

Initialisation : $u_{0} = 2 ⩽ 4$ . $✓$

Heredite : Si $u_{n} ⩽ 4$ , alors $5 u_{n} - 4 ⩽ 5 \times 4 - 4 = 16$ , donc $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 4 ⩽ 16 = 4$ . $✓$

Montrons que $(u_{n})$ est croissante :

u_{n + 1} - u_{n} = 5 u_{n} - 4 - u_{n}

On etudie le signe en posant $g (x) = 5 x - 4 - x$ pour $x \in [2; 4]$ . On a $g (x) ⩾ 0$ si et seulement si $5 x - 4 ⩾ x^{2}$ , soit $x^{2} - 5 x + 4 ⩽ 0$ , c'est-a-dire $(x - 1) (x - 4) ⩽ 0$ , ce qui est vrai pour $x \in [1; 4]$ .

Puisque $u_{n} \in [2; 4]$ pour tout $n$ , on a $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ : la suite est croissante.

Convergence : La suite $(u_{n})$ est croissante et majoree par $4$ , donc elle converge vers une limite $ℓ$ .

Calcul de la limite : En passant a la limite dans $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 4$ :

ℓ = 5 ℓ - 4

ℓ^{2} = 5 ℓ - 4

ℓ^{2} - 5 ℓ + 4 = 0

(ℓ - 1) (ℓ - 4) = 0

Donc $ℓ = 1$ ou $ℓ = 4$ . Puisque $u_{0} = 2$ et la suite est croissante, on a $ℓ ⩾ 2$ , donc $ℓ = 4$ .

FAUX : la suite converge vers ℓ = 4, pas vers 5

Affirmation 4

Une droite $Δ$ est incluse dans un plan $P$ .

VRAI.

Methode : Pour montrer qu'une droite est incluse dans un plan, il suffit de verifier deux conditions :

Un point de la droite appartient au plan (on substitue ses coordonnees dans l'equation du plan).
Le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan (produit scalaire nul).

Condition 1 : On substitue les coordonnees d'un point de $Δ$ dans l'equation cartesienne du plan $P$ et on verifie que l'equation est satisfaite. $✓$

Condition 2 : On calcule le produit scalaire du vecteur directeur de la droite avec le vecteur normal du plan :

d \cdot n = 0

Le vecteur directeur de $Δ$ est bien orthogonal au vecteur normal de $P$ . $✓$

Les deux conditions etant remplies, la droite est bien incluse dans le plan.

VRAI : la droite est incluse dans le plan

Reviser les equations differentielles →
Reviser le denombrement →
Reviser les suites →
Reviser les droites et plans de l'espace →

Bac Maths 2025 — Polynesie Jour 1

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Partie A

Partie B

Partie C — Inegalite de Bienayme-Tchebychev

Exercice 2 — (5 points)

Exercice 3 — (5 points)

Exercice 4 — (5 points)

Exercice 1 — Probabilites (5 points)

Partie A — Allergies alimentaires en zone rurale et urbaine

1. Arbre pondere

2. Calculer P(R∩A)

3. En deduire P(Rˉ∩A)

4. Calculer PRˉ​(A) et interpreter

Partie B — Loi binomiale

1. Justifier que X∼B(100;0,09)

2. Calculer P(X⩾10)

Partie C — Bienayme-Tchebychev

1. Montrer que P(2<M20​<6)>0,97

Exercice 2 — Geometrie dans l'espace (5 points)

1. Point S ou l'avion Beta touche le sol

2. Montrer que les droites dA​ et dB​ ne sont pas secantes

3. Distance minimale d'approche

4. Distance de securite

Exercice 3 — Fonctions et integrales (5 points)

1.a. Calculer fn′​(x)

1.b. Tableau de variations de fn​

2. Calcul de I1​

3. Relation de recurrence : In+1​=(n+1)In​−e1​

4. Montrer que 0⩽In​⩽I0​=1−e1​

5. Montrer que la suite (In​) est decroissante

6. Montrer que la limite de (In​) est 0

7. Script Python

Exercice 4 — Vrai/Faux (5 points)

Affirmation 1

Affirmation 2

Affirmation 3

Affirmation 4

2. Calculer $P (R \cap A)$

3. En deduire $P (\overset{ˉ}{R} \cap A)$

4. Calculer $P_{\overset{ˉ}{R}} (A)$ et interpreter

1. Justifier que $X \sim B (100; 0, 09)$

2. Calculer $P (X ⩾ 10)$

1. Montrer que $P (2 < M_{20} < 6) > 0, 97$

1. Point $S$ ou l'avion Beta touche le sol

2. Montrer que les droites $d_{A}$ et $d_{B}$ ne sont pas secantes

1.a. Calculer $f_{n}^{'} (x)$

1.b. Tableau de variations de $f_{n}$

2. Calcul de $I_{1}$

3. Relation de recurrence : $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}$

4. Montrer que $0 ⩽ I_{n} ⩽ I_{0} = 1 - \frac{1}{e}$

5. Montrer que la suite $(I_{n})$ est decroissante

6. Montrer que la limite de $(I_{n})$ est 0