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Chapitre 06 Convexité Terminale Spé

Exercices corrigés sur la convexité en Terminale spécialité

Pour étudier la convexité d’une fonction en Terminale, tu peux partir des variations de sa dérivée ou du signe de sa dérivée seconde. Les premiers exercices appliquent ces critères à des polynômes et aux fonctions de référence. Construis un tableau de signes pour distinguer les intervalles de convexité et de concavité. Une dérivée seconde nulle en un point ne suffit pas, à elle seule, à établir une inflexion.

La banque relie ensuite ces calculs à la position de la courbe par rapport aux tangentes et aux sécantes. Tu peux travailler la tangente à une parabole, la traversée d’une tangente en un point d’inflexion ou des inégalités avec le logarithme. Les exercices plus avancés utilisent également la définition de la convexité pour comparer des moyennes et obtenir des encadrements.

40 exercices : 10 faciles, 18 intermédiaires, 7 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la convexité

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Convexité par f′′f''.
1.
x2−3x+1x^2-3x+1
2.
−x2+4x-x^2+4x
3.
x3x^3
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 2

Non commencéFacile
f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. Point d'inflexion.

Exercice 3

Non commencéFacile
Convexité des fonctions de référence.
1.
x4x^4
2.
x\sqrt{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[
3.
1/x1/x sur ]0;+∞[]0;+\infty[
4.
1/x1/x sur ]−∞;0[]-\infty;0[
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 4

Non commencéFacile
Tableau f′′f'' donné : f′′<0f''<0 sur ]−∞;1[]-\infty;1[, f′′(1)=0f''(1)=0, f′′>0f''>0 sur ]1;+∞[]1;+\infty[.

Exercice 5

Non commencéFacile
f(x)=x2f(x)=x^2. Tangente en x=1x=1 : y=2x−1y=2x-1. Courbe au-dessus ?

Exercice 6

Non commencéFacile
f(x)=x2f(x)=x^2 sur [1;3][1;3]. Sécante. Courbe en dessous ?

Exercice 7

Non commencéFacile
f(x)=x4f(x)=x^4. f′′(0)=0f''(0)=0. Inflexion en 0 ?

Exercice 8

Non commencéFacile
f(x)=x3+xf(x)=x^3+x. f′f' croissante   ⟺  \iff convexe ?

Exercice 9

Non commencéFacile
x2x^2 convexe. Montrer ((a+b)/2)2≤(a2+b2)/2((a+b)/2)^2 \leq (a^2+b^2)/2.

Exercice 10

Non commencéFacile
f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x}. Convexe ? Position / tangentes.

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire
f(x)=x4−6x2+8x+1f(x)=x^4-6x^2+8x+1. Inflexions.
1.
f′′f''.
2.
Points d'inflexion.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire
f(x)=x/(x2+1)f(x)=x/(x^2+1). 3 points d'inflexion.
1.
f′′f''.
2.
Inflexions.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire
f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2. Tangente au point d'inflexion traverse.
1.
Inflexion.
2.
Tangente et traversée.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire
1/x1/x convexe sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Jensen →\to HM ≤\leq AM.

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire
(1+x)n(1+x)^n convexe pour n≥2n \geq 2. Tangente en 0 →\to Bernoulli.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
(x2−1)2(x^2-1)^2. Développer, f′′f'', inflexions.
1.
f′′f''.
2.
Inflexions.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
f(x)=x3+xf(x)=x^3+x. Tangente en 0 traverse ?

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
x\sqrt{x} concave. Jensen →a+b≤2(a+b)\to \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
f′f' décroissante sur ]−∞;2[]-\infty;2[, croissante après. Convexité.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
x2x^2 convexe. Jensen 3 points : ((a+b+c)/3)2≤(a2+b2+c2)/3((a+b+c)/3)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)/3.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
En déduire de l'exercice 20 que ab⩽a+b2\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2} pour a,b>0a, b > 0.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Montrer que ex⩾exe^x \geqslant ex pour tout x>0x > 0.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x1+x2f(x) = \frac{x}{1+x^2} et déterminer les points d'inflexion.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Montrer que ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Montrer que f(x)=x−ln⁡(x)f(x) = x - \ln(x) est convexe sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. En déduire que f(x)⩾1f(x) \geqslant 1.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Montrer que f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x} est convexe sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Montrer que ln⁡(1+x)⩽x\ln(1+x) \leqslant x pour tout x>−1x > -1.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x2exf(x) = x^2e^x et déterminer les points d'inflexion.

Exercice 29

Non commencéDifficile
Montrer que (x2+1)e−x(x^2+1)e^{-x} admet deux points d'inflexion.

Exercice 30

Non commencéDifficile
Montrer que x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x\frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x pour tout x>0x > 0.

Exercice 31

Non commencéDifficile
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} avec f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1. Montrer que f(x)⩽xf(x) \leqslant x pour x∈[0 ;1]x \in [0\,;1] et f(x)⩾xf(x) \geqslant x pour x⩾1x \geqslant 1.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Montrer l'inégalité AM-GM pour 3 termes : a+b+c3⩾abc3\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc} pour a,b,c>0a,b,c > 0.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Soit f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Déterminer le point d'inflexion II et montrer que f(x)−TI(x)=(x−1)3f(x) - T_I(x) = (x-1)^3.

Exercice 34

Non commencéDifficile
Montrer que 1+x⩽1+x2\sqrt{1+x} \leqslant 1 + \frac{x}{2} pour tout x⩾−1x \geqslant -1.

Exercice 35

Non commencéDifficile
Montrer que x2x−1\frac{x^2}{x-1} est convexe sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.

Exercice 36

Non commencéAvancé
Soit ff convexe et dérivable sur R\mathbb{R} avec lim⁡+∞f(x)x=0\lim_{+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0. Montrer que ff est décroissante.

Exercice 37

Non commencéAvancé
Soit ff convexe sur [a ;b][a\,;b], c∈]a ;b[c \in ]a\,;b[. Montrer l'inégalité des pentes :
f(c)−f(a)c−a⩽f(b)−f(a)b−a⩽f(b)−f(c)b−c\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(b)-f(c)}{b-c}

Exercice 38

Non commencéAvancé
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} avec lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty} f = 0. Montrer que f⩾0f \geqslant 0.

Exercice 39

Non commencéAvancé
Montrer l'inégalité de Young : pour a,b>0a, b > 0 et p,q>1p, q > 1 avec 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 :
ab⩽app+bqqab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

Exercice 40

Non commencéAvancé
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} telle que lim⁡−∞f=lim⁡+∞f=+∞\lim_{-\infty} f = \lim_{+\infty} f = +\infty. Montrer que ff admet un minimum global.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur la convexité