Compléments sur la dérivation

$f(-x) = (-x)e^{-(-x)^2} = -xe^{-x^2} = -f(x)$. $\boxed{f \text{ est impaire.}}$

$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = (1-2x^2)e^{-x^2}$. $e^{-x^2} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $1 - 2x^2$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. $f'(x) > 0$ sur $]-\frac{1}{\sqrt{2}}\,;\frac{1}{\sqrt{2}}[$. $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$. | $x$ | $-\infty$ | | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | $0$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{\sqrt{2e}}$ | $\searrow$ | $0$ |

$f(x) = xe^{-x^2} = \frac{x}{e^{x^2}}$. Par croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} = 0$. Par imparité : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $\pm\infty$.

$f'(x) = (1-2x^2)e^{-x^2}$. $f''(x) = -4xe^{-x^2} + (1-2x^2)(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}[-4x + (-2x)(1-2x^2)]$ $= e^{-x^2}[-4x - 2x + 4x^3] = e^{-x^2}(4x^3 - 6x) = 2x(2x^2-3)e^{-x^2}$. $\boxed{f''(x) = 2x(2x^2-3)e^{-x^2}}$

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $2x^2-3=0$, soit $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$. On vérifie que $f''$ change de signe en chacun de ces trois points. Points d'inflexion : - $(0\,; 0)$ - $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\,; \sqrt{\frac{3}{2}}\,e^{-3/2}\right)$ - $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\,; -\sqrt{\frac{3}{2}}\,e^{-3/2}\right)$

$f(x) = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) = \ln(x) - \ln(\sqrt{x^2+1}) = \ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$. En $0^+$ : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to \frac{0}{1} = 0$, donc $f(x) \to \ln(0^+) = -\infty$. En $+\infty$ : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x^2}} \to 1$, donc $f(x) \to \ln(1) = 0$. $\boxed{\lim_{0^+} f = -\infty, \quad \lim_{+\infty} f = 0}$

$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} = \frac{x^2+1-x^2}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x(x^2+1)}$. Pour $x > 0$ : $f'(x) > 0$. Donc $f$ est **strictement croissante** sur $]0\,;+\infty[$. | $x$ | $0^+$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f'$ | | $+$ | | | $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $0$ |

$f$ est strictement croissante de $-\infty$ à $0$ (non atteint). Donc $f(x) < 0$ pour tout $x > 0$, soit $\ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) < 0$. Comme $\ln$ est croissante : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1$. Alternativement : $x < \sqrt{x^2+1}$ car $x^2 < x^2+1$. ✓ $\boxed{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1 \text{ pour tout } x > 0}$