Loi binomiale et épreuves indépendantes

Chaque serveur est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}95$ (succès = fonctionne). Les serveurs sont indépendants. $$X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}95)$$ $$E(X) = 8 \times 0{,}95 = \boxed{7{,}6}$$

$P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ $P(X=8) = (0{,}95)^8 \approx 0{,}6634$ $P(X=7) = \binom{8}{7}(0{,}95)^7(0{,}05)^1 = 8 \times 0{,}6983 \times 0{,}05 \approx 0{,}2793$ $P(X=6) = \binom{8}{6}(0{,}95)^6(0{,}05)^2 = 28 \times 0{,}7351 \times 0{,}0025 \approx 0{,}0515$ $$P(X \geqslant 6) \approx 0{,}6634 + 0{,}2793 + 0{,}0515 = \boxed{0{,}9942}$$

$$P(\text{non opérationnel}) = 1 - P(X \geqslant 6) \approx 1 - 0{,}9942 = \boxed{0{,}0058}$$ Il y a environ $0{,}6\%$ de risque de panne du système.

Chaque jour, le système est non opérationnel avec une probabilité $q \approx 0{,}0058$. Les jours sont indépendants. $$\boxed{D \sim \mathcal{B}(30 \,; 0{,}0058)}$$

$$E(D) = 30 \times 0{,}0058 = \boxed{0{,}174}$$ En moyenne, on s'attend à $0{,}174$ jour de panne par mois. $$P(D = 0) = (1 - 0{,}0058)^{30} = (0{,}9942)^{30}$$ $\ln(0{,}9942) \approx -0{,}005817$, donc $30 \times (-0{,}005817) \approx -0{,}1745$. $$P(D = 0) \approx e^{-0{,}1745} \approx \boxed{0{,}840}$$ Il y a environ $84\%$ de chances que le système fonctionne sans interruption pendant un mois.

On calcule $P(X \leqslant 8) = 1 - P(X \geqslant 9)$. $P(X=12) = (0{,}95)^{12} \approx 0{,}5404$ $P(X=11) = \binom{12}{11}(0{,}95)^{11}(0{,}05)^1 = 12 \times 0{,}5688 \times 0{,}05 \approx 0{,}3413$ $P(X=10) = \binom{12}{10}(0{,}95)^{10}(0{,}05)^2 = 66 \times 0{,}5987 \times 0{,}0025 \approx 0{,}0988$ $P(X=9) = \binom{12}{9}(0{,}95)^9(0{,}05)^3 = 220 \times 0{,}6302 \times 0{,}000125 \approx 0{,}0173$ $P(X \geqslant 9) \approx 0{,}5404 + 0{,}3413 + 0{,}0988 + 0{,}0173 = 0{,}9978$ $$P(X < 9) = 1 - 0{,}9978 = \boxed{0{,}0022}$$ Avec 12 serveurs, la probabilité de panne est environ $0{,}22\%$, ce qui est encore au-dessus du seuil de $0{,}1\%$.

Avec $X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}98)$ et le seuil $X \geqslant 6$ : $P(X=8) = (0{,}98)^8 \approx 0{,}8508$ $P(X=7) = 8 \times (0{,}98)^7 \times 0{,}02 = 8 \times 0{,}8681 \times 0{,}02 \approx 0{,}1389$ $P(X=6) = 28 \times (0{,}98)^6 \times (0{,}02)^2 = 28 \times 0{,}8858 \times 0{,}0004 \approx 0{,}0099$ $P(X \geqslant 6) \approx 0{,}8508 + 0{,}1389 + 0{,}0099 = 0{,}9996$ $P(\text{panne}) = 1 - 0{,}9996 = \boxed{0{,}0004 = 0{,}04\%}$ Avec $p = 0{,}98$ et $n = 8$, la probabilité de panne est $0{,}04\% < 0{,}1\%$. **Conclusion :** $\boxed{\text{Améliorer la fiabilité individuelle}}$ (passer de $p = 0{,}95$ à $p = 0{,}98$) est plus efficace qu'augmenter le nombre de serveurs (de 8 à 12) pour atteindre le seuil de $0{,}1\%$ de risque de panne.