L'essentiel en 30 secondes
Développer, c'est transformer un produit en somme, par simple ou double distributivité ; factoriser, c'est l'inverse, par un facteur commun ou avec l'égalité a² − b² = (a − b)(a + b). Une équation produit nul se résout grâce à une propriété clé : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On passe donc tout dans un membre, puis on factorise : x² = 5x devient x(x − 5) = 0, d'où x = 0 ou x = 5. Le calcul littéral sert enfin à démontrer : des exemples ne prouvent rien, mais un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation.
1 I. Développer et réduire
Développer, c'est transformer un produit en somme ; réduire, c'est regrouper les termes semblables. Ces deux gestes ont été vus en 4ᵉ et repris au chapitre 1. Ce paragraphe les consolide, parce que tout le reste du chapitre — factoriser, résoudre, démontrer — repose sur eux.
2 II. L'identité (a + b)(a − b) = a² − b²
Parmi tous les produits que l'on sait développer, un seul est retenu comme une formule en 3ᵉ : le produit de la somme de deux termes par leur différence. Il sert dans les deux sens — pour développer, et surtout pour factoriser.
Pourquoi cette égalité est vraie
Par double distributivité :
Les deux produits croisés et sont opposés : ils s'annulent. Il reste .
Les deux produits croisés et sont opposés : ils s'annulent. Il reste .
3 III. Factoriser une expression
Factoriser est l'opération inverse de développer : on transforme une somme en produit. C'est la forme factorisée qui permet de résoudre les équations du paragraphe suivant ; savoir la trouver est donc l'enjeu central du chapitre.
| Ce que l'on voit | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| un facteur présent dans chaque terme | facteur commun | |
| deux carrés séparés par un signe moins | ||
| une parenthèse qui se répète | facteur commun entre crochets | |
| un facteur numérique, puis deux carrés | les deux, dans cet ordre |
4 IV. Résoudre des équations
Au chapitre 1, on a résolu des équations du premier degré, où l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance . Dès qu'un apparaît, les transformations habituelles ne suffisent plus : il faut une idée nouvelle, la forme factorisée.
5 V. Mettre en équation et démontrer
Le calcul littéral sert à deux choses que le calcul sur des nombres ne sait pas faire : résoudre un problème dont on ne connaît pas la réponse, et démontrer qu'un résultat est vrai pour tous les nombres à la fois.
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Pourquoi (x + 5)² n'est-il pas égal à x² + 25 ?
Parce qu'un carré est un produit : . Par double distributivité, on obtient : il manque les deux produits croisés. Un contre-exemple le confirme : pour , , alors que .
Comment savoir si je peux factoriser avec a² − b² ?
Il faut deux termes, séparés par un signe moins, et que chacun soit un carré : . Une somme comme ne se factorise pas ainsi. Si le nombre n'est pas un carré parfait, on utilise sa racine carrée : .
Pourquoi ne faut-il pas diviser par x pour résoudre x² = 5x ?
Parce que peut valoir , et qu'on ne divise jamais par zéro. En divisant, on obtient seulement et l'on perd la solution . La bonne méthode : , puis , donc ou .
La règle du produit nul marche-t-elle avec un autre nombre que 0 ?
Non. De , on déduit ou ; mais de , on ne peut pas déduire : pour , le produit vaut . On se ramène donc toujours à « … » avant d'appliquer la propriété.
Des exemples suffisent-ils à prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même résultat ?
Non : des exemples permettent de formuler une conjecture, pas de la démontrer. Pour une preuve, on appelle le nombre choisi et l'on réduit l'expression obtenue, ce qui vaut pour tous les nombres à la fois. En revanche, un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une affirmation est fausse.