Exercices corrigés sur le calcul littéral et les équations en Troisième

Factoriser, en utilisant si nécessaire des racines carrées :

Factoriser, puis réduire l'intérieur de chaque facteur :

Dans un coin d'un carré de côté $x$ cm, avec $x>3$, on découpe un petit carré de côté $3$ cm.

1. Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}$ de la figure restante.

2. Factoriser $\mathcal{A}$.

3. En déduire que la figure restante a la même aire qu'un rectangle dont on précisera les dimensions en fonction de $x$.

4. Calculer $\mathcal{A}$ pour $x=10$ de deux façons.

Factoriser chaque expression le plus possible, en indiquant la méthode utilisée :

Factoriser le plus possible :

Contrôler chaque résultat en le développant.

On considère l'expression

1. Développer et réduire $E$.

2. Factoriser $E$.

3. Choisir, à chaque fois, la forme la plus adaptée pour calculer $E$ pour $x=0$, pour $x=-4$ et pour $x=5$.

1. Un élève résout l'équation $x^2=7x$ en divisant les deux membres par $x$ ; il obtient $x=7$. Vérifier que $0$ est aussi une solution. Quelle est l'erreur de l'élève ?

2. Résoudre correctement $x^2=7x$.

3. Résoudre de même $3x^2+12x=0$ et $2x^2=9x$.

Résoudre, en factorisant d'abord :

Résoudre chaque équation. Donner les solutions exactes, puis, lorsqu'elles ne sont pas décimales, une valeur approchée au centième.

Résoudre les équations suivantes, en commençant par factoriser le premier membre :

La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $4$ cm. Si l'on augmente sa largeur de $3$ cm et que l'on diminue sa longueur de $2$ cm, son aire augmente de $22$ cm².

1. On note $x$ la largeur initiale, en cm. Exprimer en fonction de $x$ l'aire du rectangle initial, puis celle du nouveau rectangle.

2. Écrire une équation traduisant l'énoncé, puis la résoudre.

3. En déduire les dimensions du rectangle initial, et vérifier.

Aujourd'hui, Samir a trois fois l'âge de sa fille Inès. Dans $12$ ans, il aura le double de l'âge qu'elle aura alors.

1. On note $x$ l'âge actuel d'Inès. Exprimer, en fonction de $x$, l'âge actuel de Samir, puis les âges de chacun dans $12$ ans.

2. Mettre le problème en équation et déterminer les âges actuels.

3. Il y a combien d'années l'âge de Samir était-il le quintuple de celui d'Inès ?

Une famille envisage d'installer un récupérateur d'eau de pluie. Il coûte $250$ € à l'achat, puis $12$ € d'entretien chaque année. Il permettrait d'économiser $58$ € par an sur la facture d'eau.

1. Montrer qu'au bout de $n$ années, le bilan de l'installation (économies moins dépenses), en euros, vaut $B(n)=46n-250$.

2. Calculer $B(5)$ et $B(6)$. Interpréter.

3. Résoudre l'équation $B(n)=0$. Au bout de combien d'années entières l'installation devient-elle rentable ?

4. Si l'entretien coûtait $20$ € par an, au bout de combien d'années l'installation deviendrait-elle rentable ?