L'essentiel en 30 secondes
Une expérience aléatoire a des résultats possibles, les issues ; un événement est réalisé par certaines d'entre elles. Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 et, quand les issues sont équiprobables, elle vaut le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues. L'événement contraire vérifie P(non A) = 1 − P(A), et l'on n'additionne les probabilités de deux événements que s'ils sont incompatibles. Pour deux épreuves, avec ou sans remise, on dénombre les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre des possibles ; sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité.
1 I. Expériences aléatoires, issues et événements
Lancer un dé, tirer une boule dans une urne, faire tourner une roue : on sait d'avance tout ce qui peut se produire, jamais ce qui va se produire. Les probabilités mesurent cette incertitude par un nombre. Avant tout calcul, il faut savoir nommer précisément ce que l'on observe : c'est l'objet de ce premier paragraphe.
2 II. Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure ses chances de se réaliser. Plus elle est proche de , plus l'événement a de chances de se produire ; plus elle est proche de , moins il en a.
3 III. Événement contraire, événements incompatibles
4 IV. Expériences à deux épreuves
Beaucoup d'expériences enchaînent deux épreuves : lancer deux dés, tirer deux boules l'une après l'autre, faire tourner deux roues. Une issue est alors un couple de résultats, écrit dans l'ordre des épreuves. Pour n'en oublier aucune et n'en compter aucune deux fois, on les range dans un tableau à double entrée ou dans un arbre des possibles.
| Somme | vert | vert | vert | vert | vert | vert |
|---|---|---|---|---|---|---|
| rouge | ||||||
| rouge | ||||||
| rouge | ||||||
| rouge | ||||||
| rouge | ||||||
| rouge |
La somme apparaît dans cases : . La somme n'apparaît que dans une case, celle du double : .
Urne contenant B, V1 et V2 — deux tirages successifs, événement « deux boules violettes »
Avec remise
9 chemins équiprobables · 4 favorablesP(deux violettes) = 4/9
Sans remise
6 chemins équiprobables · 2 favorablesP(deux violettes) = 2/6 = 1/3
5 V. Fréquences et probabilités
| Nombre de lancers | ||||
|---|---|---|---|---|
| Nombre de obtenus | ||||
| Fréquence du |
Sur lancers, la fréquence est presque le double de la probabilité. Plus le nombre de lancers augmente, plus les fréquences se rapprochent de — sans jamais être obligées de lui être égales.
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on une probabilité en Troisième ?
Quand les issues sont équiprobables — dé équilibré, tirage au hasard parmi des objets indiscernables au toucher —, on divise le nombre d'issues qui réalisent l'événement par le nombre total d'issues. Avec un dé, obtenir un nombre pair a pour probabilité . Le résultat est toujours compris entre et , et peut s'écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage.
À quoi sert l'événement contraire « non A » ?
« non » est réalisé exactement quand ne l'est pas, et . Il simplifie les questions du type « au moins un » : avec deux enfants, le contraire de « au moins une fille » est « deux garçons », de probabilité , donc la probabilité d'avoir au moins une fille vaut .
Peut-on toujours additionner deux probabilités ?
Non : seulement si et sont incompatibles, c'est-à-dire sans issue commune. Avec un dé, « obtenir un nombre pair » et « obtenir au moins » ont les issues et en commun : l'addition est fausse, et le dénombrement direct donne .
Tableau à double entrée ou arbre des possibles : lequel choisir ?
Les deux dénombrent les issues d'une expérience à deux épreuves. Le tableau est pratique quand chaque épreuve a beaucoup de résultats, comme pour deux dés ( cases) ; l'arbre suit mieux l'ordre des tirages et le cas sans remise, où chaque nœud du second niveau porte une branche de moins. Dans les deux cas, on vérifie que les issues sont équiprobables avant de compter, quitte à numéroter les objets identiques.
Pourquoi la fréquence observée n'est-elle pas égale à la probabilité ?
La fréquence dépend de la série d'essais réalisée, alors que la probabilité est un nombre fixe. Sur lancers d'un dé, on peut obtenir fois le au lieu d'environ ; sur lancers, la fréquence se rapproche nettement de . C'est ce qui permet d'estimer une probabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais.