Exercices corrigés sur les probabilités en Troisième

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir au moins $4$ ».

Un élève écrit : « $P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$, donc l'événement $A$ ou $B$ est certain. »

1. Donner les issues qui réalisent $A$, celles qui réalisent $B$, puis celles qui réalisent « $A$ ou $B$ ».

2. L'événement « $A$ ou $B$ » est-il certain ? Calculer sa probabilité par dénombrement.

3. Expliquer l'erreur de l'élève.

4. Donner un événement $C$ incompatible avec $A$, mais qui ne soit pas son contraire, puis calculer $P(A\text{ ou }C)$.

Une tombola comporte $200$ tickets. Parmi eux, $1$ ticket fait gagner $50$ €, $4$ tickets font gagner $10$ € et $15$ tickets font gagner $2$ € ; tous les autres sont perdants. On achète un ticket au hasard.

1. Quelle est la probabilité de gagner $10$ € ?

2. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose ? En déduire la probabilité de ne rien gagner.

3. Quelle est la probabilité de gagner au moins $10$ € ?

   Donner chaque résultat sous forme de fraction irréductible, puis de pourcentage.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Pour une affirmation fausse, un contre-exemple suffit.

1. Deux événements contraires sont toujours incompatibles.

2. Deux événements incompatibles sont toujours contraires.

3. Si $P(A)=0{,}3$, alors $P(\text{non }A)=0{,}7$.

4. Lors du lancer d'un dé à six faces, le contraire de « obtenir au moins $5$ » est « obtenir au plus $5$ ».

5. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A)=0{,}6$ et $P(B)=0{,}5$, alors $P(A\text{ ou }B)=1{,}1$.

Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une seconde boule.

1. Pourquoi faut-il numéroter les boules, par exemple $R_1$, $R_2$, $V_1$, $V_2$, $V_3$, pour construire un tableau d'issues équiprobables ?

2. Construire ce tableau. Combien compte-t-il de cases ?

3. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.

4. Calculer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.

5. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule verte.

Un sac contient quatre jetons numérotés $1$, $2$, $3$ et $4$. On tire un premier jeton, on le garde, puis on tire un second jeton parmi ceux qui restent.

1. Construire un tableau à double entrée des issues. Quelles cases faut-il barrer, et pourquoi ?

2. Combien y a-t-il d'issues ?

3. Calculer la probabilité que la somme des deux numéros soit égale à $5$.

4. Calculer la probabilité que le premier numéro soit plus grand que le second.

5. Calculer la probabilité que la somme des deux numéros soit égale à $4$.

Anna et Bilal jouent à pierre-feuille-ciseaux. Chacun choisit au hasard, sans se concerter, l'un des trois gestes. La pierre bat les ciseaux, les ciseaux battent la feuille et la feuille bat la pierre ; deux gestes identiques donnent une partie nulle.

1. Construire un tableau à double entrée des issues, en indiquant dans chaque case le résultat de la partie : A si Anna gagne, B si Bilal gagne, N si la partie est nulle.

2. Calculer la probabilité que la partie soit nulle.

3. Calculer la probabilité qu'Anna gagne.

4. Calculer la probabilité qu'il y ait un gagnant. Le jeu est-il équitable ?

Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : deux rouges, notées $R_1$ et $R_2$, une bleue $B$ et une verte $V$. On tire successivement deux boules, sans remise.

1. Construire l'arbre des possibles. Combien compte-t-il de chemins ?

2. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.

3. Calculer la probabilité de ne tirer aucune boule rouge.

4. En déduire la probabilité de tirer au moins une boule rouge.

5. Calculer la probabilité de tirer exactement une boule rouge, puis vérifier le résultat par un comptage direct.

Une urne contient deux boules rouges $R_1$, $R_2$ et deux boules vertes $V_1$, $V_2$, indiscernables au toucher. On tire deux boules successivement.

1. On effectue les tirages avec remise. À l'aide d'un arbre des possibles, calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.

2. On effectue les tirages sans remise. Calculer à nouveau la probabilité de tirer deux boules rouges.

3. Dans quel cas a-t-on le plus de chances de tirer deux boules rouges ? Expliquer ce résultat par une phrase.

4. Dans chacun des deux cas, calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.

Le sac A contient un jeton rouge et deux jetons bleus. Le sac B contient un jeton rouge et un jeton bleu. Tous les jetons sont indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton dans le sac A, puis un jeton dans le sac B.

1. Un élève construit un arbre avec deux branches pour chaque sac, « rouge » et « bleu », et trouve $4$ issues. Expliquer pourquoi ces $4$ issues ne sont pas équiprobables.

2. Construire un arbre dont les chemins sont équiprobables. Combien compte-t-il de chemins ?

3. Calculer la probabilité de tirer deux jetons rouges.

4. Calculer la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur.

5. Calculer la probabilité de tirer au moins un jeton bleu.

Une urne contient trois boules rouges et une boule bleue, indiscernables au toucher. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.

Sami affirme : « Les résultats possibles sont rouge-rouge, rouge-bleue, bleue-rouge et bleue-bleue. Il y en a quatre, donc chacun a pour probabilité $\dfrac{1}{4}$. »

1. En numérotant les boules rouges $R_1$, $R_2$, $R_3$, construire un arbre des possibles dont les chemins sont équiprobables. Combien compte-t-il de chemins ?

2. Calculer la probabilité de chacun des quatre résultats cités par Sami.

3. Vérifier que la somme de ces quatre probabilités vaut $1$, puis expliquer l'erreur de Sami.

Pour simuler $1\,000$ lancers d'un dé équilibré, Inès saisit dans la cellule A1 d'un tableur la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6), puis la recopie jusqu'à la cellule A1000.

1. Que renvoie cette formule ? Pourquoi simule-t-elle un lancer de dé ?

2. Dans la cellule B1, Inès saisit =NB.SI(A1:A1000;6) et obtient $158$. Que représente ce nombre ?

3. Quelle formule saisir en B2 pour afficher la fréquence d'apparition du $6$ ? Quelle valeur obtient-on ?

4. En appuyant sur la touche F9, tous les tirages sont relancés et B1 affiche $181$. Le dé simulé est-il devenu truqué ?

5. Quelle formule permettrait de simuler le lancer d'une pièce équilibrée, en codant Pile par $1$ et Face par $2$ ?

Voici un script Scratch, recopié ligne par ligne :

mettre compteur à 0
répéter 100 fois
    mettre dé à (nombre aléatoire entre 1 et 6)
    si <(dé) = 6> alors
        ajouter 1 à compteur
dire (compteur)

1. Que simule ce script ? Que représente la valeur de la variable compteur à la fin ?

2. Le lutin dit $19$. Calculer la fréquence d'apparition du $6$.

3. Autour de quel nombre s'attend-on à voir la valeur de compteur ? Le résultat $19$ est-il surprenant ?

4. Le lutin peut-il dire $0$ ? Peut-il dire $101$ ?

5. Que faut-il modifier pour simuler $10\,000$ lancers et faire dire directement la fréquence du $6$ ?

Pour tester deux dés à six faces, l'un rouge et l'autre vert, on lance chacun $10\,000$ fois et l'on note le nombre d'apparitions de chaque face.

1. Pour un dé équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir chaque face ? En donner une valeur approchée au millième.

2. Calculer la fréquence d'apparition du $6$ pour chacun des deux dés.

3. Pour le dé rouge, calculer la plus petite et la plus grande des six fréquences.

4. L'un des deux dés semble-t-il truqué ? Justifier.