Chapitre 09 Trigonométrie Troisième

Exercices corrigés sur la trigonométrie en Troisième

Avant de calculer quoi que ce soit, tu dois savoir nommer les côtés d'un triangle rectangle par rapport à un angle aigu. Ces exercices de Troisième commencent par là : repérer l'hypoténuse, distinguer le côté adjacent du côté opposé, puis écrire le cosinus, le sinus et la tangente avec les noms des points. Tu calcules ensuite des longueurs, par un produit ou par un quotient selon la place de l'inconnue, puis des mesures d'angles avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ de ta calculatrice, réglée en degrés.

Les dernières séries t'apprennent à choisir la bonne relation, puis à l'utiliser dans des problèmes concrets : hauteur d'un arbre, échelle contre un mur, rampe d'accès, cerf-volant ou distance à un phare. Tu combines la trigonométrie avec Pythagore et Thalès, et tu gardes les valeurs exactes en mémoire pour n'arrondir qu'à la fin : plusieurs exercices montrent ce qu'un arrondi trop précoce fait perdre.

40 exercices : 16 faciles, 16 intermédiaires, 8 difficiles. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la trigonométrie

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices · 5 séries progressives · 8 affichés0 réussis · 0 à revoir

Choisir une série

Série 1 sur 5 · Exercices 1 à 8

Série 1 — Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

0/8 réussis

Exercice 1 — Nommer les trois côtés

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : triangle rectangle

Objectifs : identifier l'hypoténuse d'un triangle rectangle · nommer le côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ .

Nommer l'hypoténuse de ce triangle.
Pour l'angle $\widehat{RTS}$ , nommer le côté adjacent et le côté opposé.
Même question pour l'angle $\widehat{SRT}$ .
Quels côtés ont changé de nom entre les questions 2 et 3 ?

Exercice 2 — Écrire les trois rapports

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : triangle rectangle · côté adjacent · côté opposé

Objectifs : écrire le cosinus, le sinus et la tangente avec les noms des points · renommer les côtés quand on change d'angle

Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ .

Écrire $\cos\widehat{LKM}$ , $\sin\widehat{LKM}$ et $\tan\widehat{LKM}$ à l'aide des longueurs des côtés.
Faire de même pour l'angle $\widehat{KML}$ .
Comparer $\cos\widehat{LKM}$ et $\sin\widehat{KML}$ .

Exercice 3 — Calculer cosinus, sinus et tangente

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente

Objectifs : calculer les trois rapports trigonométriques à partir des côtés · arrondir un quotient au millième

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=20$ mm, $AC=21$ mm et $BC=29$ mm.

Calculer $\cos\widehat{ABC}$ , $\sin\widehat{ABC}$ et $\tan\widehat{ABC}$ . Donner chaque résultat sous forme de fraction, puis arrondi au millième.
Faire de même pour l'angle $\widehat{ACB}$ .
L'un des six nombres obtenus est supérieur à $1$ . Lequel ? Est-ce une erreur ?

Exercice 4 — Régler et contrôler sa calculatrice

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : cosinus · calculatrice en mode degrés

Objectifs : obtenir une valeur approchée d'un cosinus, d'un sinus ou d'une tangente · détecter un mauvais réglage de la calculatrice

À l'aide de la calculatrice réglée en degrés, donner une valeur arrondie au millième de :
$\cos 40^\circ\qquad \sin 40^\circ\qquad \tan 40^\circ\qquad \tan 75^\circ$
Un élève tape $\cos(40)$ sur sa calculatrice et lit environ $-0{,}667$ . Pourquoi ce résultat est-il forcément faux ? D'où vient l'erreur ?
Comment vérifier rapidement le réglage de sa calculatrice ?

Exercice 5 — Vrai ou faux : entre 0 et 1 ?

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente · hypoténuse

Objectifs : justifier que le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont compris entre 0 et 1 · réfuter une affirmation par un contre-exemple

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier.

« Il existe un angle aigu dont le cosinus vaut $1{,}2$ . »
« Le sinus d'un angle aigu est toujours strictement inférieur à $1$ . »
« La tangente d'un angle aigu est toujours inférieure à $1$ . »
« Dans un triangle rectangle d'hypoténuse $10$ cm, si $\cos\widehat{B}=0{,}35$ pour l'un des angles aigus, alors le côté adjacent à cet angle mesure $3{,}5$ cm. »

Exercice 6 — De quel rapport s'agit-il ?

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente

Objectifs : reconnaître un rapport trigonométrique à partir d'un quotient de longueurs · identifier l'angle auquel se rapporte un quotient

Le triangle $EFG$ est rectangle en $G$ . Pour chacun des quotients suivants, dire s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la tangente de l'angle $\widehat{GEF}$ , ou de l'angle $\widehat{EFG}$ . Justifier.

\frac{EG}{EF}\qquad \frac{FG}{EG}\qquad \frac{FG}{EF}\qquad \frac{EG}{FG}

Un même quotient peut convenir pour les deux angles.

Exercice 7 — Pythagore, puis les rapports

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · cosinus · sinus · tangente · somme des angles d'un triangle

Objectifs : calculer le troisième côté avant d'écrire les rapports · relier les rapports des deux angles aigus d'un triangle rectangle

Le triangle $PQR$ est rectangle en $P$ , avec $PQ=5$ cm et $PR=12$ cm.

Calculer $QR$ .
Calculer $\cos\widehat{PQR}$ et $\sin\widehat{PRQ}$ sous forme de fractions. Que remarque-t-on ?
Calculer $\tan\widehat{PQR}$ et $\tan\widehat{PRQ}$ sous forme de fractions.
Justifier que $\widehat{PQR}+\widehat{PRQ}=90^\circ$ .

Exercice 8 — Un même angle dans deux triangles

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · cosinus · sinus

Objectifs : renommer les côtés d'un même angle dans deux triangles rectangles · déduire une longueur de l'égalité de deux écritures d'un même cosinus

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=6$ cm et $BC=10$ cm. Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ : il appartient au segment $[BC]$ , et les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

Calculer $AC$ .
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ . Écrire $\cos\widehat{ABC}$ de deux façons : dans le triangle $ABC$ , puis dans le triangle $ABH$ .
En déduire la longueur $BH$ .
De la même façon, écrire $\sin\widehat{ABC}$ dans les deux triangles, et en déduire $AH$ .
Vérifier les résultats avec le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$ .

Série 2 sur 5 · Exercices 9 à 16

Série 2 — Calculer une longueur

0/8 réussis

Exercice 9 — Le côté adjacent avec le cosinus

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : cosinus · calculatrice en mode degrés

Objectifs : calculer un côté adjacent à partir de l'hypoténuse et d'un angle · arrondir une longueur au dixième

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{ABC}=32^\circ$ et $BC=9$ cm.

Calculer la longueur $AB$ , arrondie au dixième de centimètre.

Exercice 10 — Le côté opposé avec le sinus

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : sinus · côté opposé

Objectifs : repérer le côté opposé à un angle · calculer un côté opposé à partir de l'hypoténuse

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ , avec $\widehat{EDF}=41^\circ$ et $DF=12$ cm.

Nommer l'hypoténuse, puis le côté opposé à l'angle $\widehat{EDF}$ .
Calculer $EF$ , arrondie au dixième de centimètre.

Exercice 11 — Le côté opposé avec la tangente

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : tangente · côté adjacent · côté opposé

Objectifs : reconnaître une situation de tangente · contrôler un résultat par la comparaison de la tangente à 1

Le triangle $GHK$ est rectangle en $H$ , avec $\widehat{HGK}=57^\circ$ et $GH=5$ cm.

Calculer $HK$ , arrondie au millimètre.

Exercice 12 — La glissière d'un toboggan

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : sinus · cosinus · triangle rectangle

Objectifs : construire le triangle rectangle d'une situation concrète · calculer une hauteur et une distance au sol

La glissière d'un toboggan est droite et mesure $4$ m de long. Elle forme avec le sol horizontal un angle de $34^\circ$ .

Faire un schéma à main levée. On note $S$ le haut de la glissière, $B$ son extrémité au sol et $P$ le pied de la verticale issue de $S$ . Quelle est la nature du triangle $SPB$ ?
Calculer la hauteur $SP$ du haut de la glissière, arrondie au centimètre.
Calculer la distance au sol $PB$ , arrondie au centimètre.

Exercice 13 — L'hypoténuse au dénominateur

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · tangente · produit en croix

Objectifs : calculer une hypoténuse par un quotient · choisir une relation différente pour chaque longueur

Le triangle $LMN$ est rectangle en $M$ , avec $\widehat{MLN}=28^\circ$ et $LM=7$ cm.

Calculer $LN$ , arrondie au dixième de centimètre.
Calculer $MN$ , arrondie au dixième de centimètre.

Exercice 14 — Deux longueurs à partir du côté opposé

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : sinus · tangente · théorème de Pythagore

Objectifs : calculer l'hypoténuse et le côté adjacent à partir du côté opposé · vérifier des résultats avec les valeurs en mémoire

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $\widehat{SRT}=63^\circ$ et $ST=10$ cm.

Calculer $RT$ , arrondie au dixième de centimètre.
Calculer $RS$ , arrondie au dixième de centimètre.
Vérifier la cohérence des résultats avec le théorème de Pythagore, en utilisant les valeurs gardées en mémoire.

Exercice 15 — Une échelle contre un mur

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : sinus · cosinus · triangle rectangle

Objectifs : modéliser une échelle appuyée par un triangle rectangle · comparer un résultat à un encadrement

Une échelle de $5$ m est appuyée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Elle forme avec le sol un angle de $72^\circ$ .

À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Arrondir au centimètre.
À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? Arrondir au centimètre.
On considère qu'une échelle est posée en sécurité lorsque la distance entre son pied et le mur est comprise entre le quart et le tiers de sa longueur. Est-ce le cas ici ?

Exercice 16 — Deux triangles rectangles accolés

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : sinus · cosinus · tangente · hauteur d'un triangle

Objectifs : enchaîner deux triangles rectangles qui partagent un côté · garder les valeurs intermédiaires en mémoire · expliquer l'effet des arrondis successifs

Dans un triangle $ABC$ , le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ : il appartient au segment $[BC]$ , et les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. On donne $AB=8$ cm, $\widehat{ABC}=35^\circ$ et $\widehat{ACB}=52^\circ$ .

Calculer $AH$ et $BH$ . On donnera les valeurs arrondies au dixième, mais on gardera les valeurs exactes en mémoire.
Calculer $HC$ , arrondie au dixième.
En déduire $BC$ , arrondie au dixième.
Un élève additionne les arrondis de $BH$ et de $HC$ trouvés aux questions 1 et 2. Obtient-il le même résultat ? Expliquer.
Calculer $AC$ , arrondie au dixième.

Série 3 sur 5 · Exercices 17 à 24

Série 3 — Calculer la mesure d'un angle

0/8 réussis

Exercice 17 — De la valeur à l'angle

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : calculatrice en mode degrés

Objectifs : utiliser les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ · arrondir une mesure d'angle au degré

À l'aide de la calculatrice réglée en degrés, déterminer la mesure, arrondie au degré, de l'angle aigu :

$\widehat{A}$ tel que $\cos\widehat{A}=0{,}4$ ;
$\widehat{B}$ tel que $\sin\widehat{B}=0{,}75$ ;
$\widehat{C}$ tel que $\tan\widehat{C}=2{,}5$ ;
$\widehat{D}$ tel que $\cos\widehat{D}=\dfrac{3}{7}$ .

Exercice 18 — Un angle avec le cosinus

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : cosinus · calculatrice en mode degrés

Objectifs : choisir la relation à partir des deux côtés connus · calculer un angle avec la touche cos⁻¹

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB=4$ cm et $AC=9$ cm.

Quelle relation trigonométrique permet de calculer l'angle $\widehat{BAC}$ ? Justifier.
Calculer $\widehat{BAC}$ , arrondi au degré.

Exercice 19 — Un angle avec la tangente

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : tangente · somme des angles d'un triangle

Objectifs : calculer un angle à partir des deux côtés de l'angle droit · déduire le second angle aigu par la somme des angles

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ , avec $DE=7$ cm et $DF=4$ cm.

Calculer $\widehat{DEF}$ , arrondi au degré.
En déduire une valeur approchée de $\widehat{DFE}$ au degré près.

Exercice 20 — Un angle avec le sinus

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : sinus · calculatrice en mode degrés

Objectifs : calculer un angle avec la touche sin⁻¹ · arrondir une mesure d'angle au dixième de degré

Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ , avec $KM=15$ cm et $LM=6$ cm.

Calculer $\widehat{LKM}$ , arrondi au dixième de degré.

Exercice 21 — La pente d'une route

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : tangente · pourcentage

Objectifs : traduire une pente en pourcentage par une tangente · trancher une affirmation par un calcul d'angle

Sur un panneau routier, une pente de $10\,\%$ signifie que la route s'élève de $10$ m pour $100$ m parcourus à l'horizontale.

On modélise la situation par un triangle $ABC$ rectangle en $B$ , avec $AB=100$ m (distance horizontale) et $BC=10$ m (dénivelé). Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ que fait la route avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.
Même question pour une route dont la pente est de $15\,\%$ .
Un cycliste affirme : « une pente de $100\,\%$ serait une route verticale ». A-t-il raison ?

Exercice 22 — Deux angles, trois relations

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente · théorème de Pythagore · somme des angles d'un triangle

Objectifs : calculer les deux angles aigus d'un triangle rectangle · contrôler un angle par une autre relation

Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ , avec $RS=5{,}4$ cm et $ST=9$ cm.

Calculer $\widehat{RST}$ à l'aide du cosinus, arrondi au dixième de degré.
Calculer $\widehat{RTS}$ à l'aide du sinus, arrondi au dixième de degré.
Vérifier que la somme des deux angles est cohérente.
Calculer $RT$ , puis retrouver $\widehat{RST}$ à l'aide de la tangente.

Exercice 23 — L'inclinaison d'un toit

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : tangente · théorème de Pythagore · triangle isocèle · somme des angles d'un triangle

Objectifs : faire apparaître un triangle rectangle dans un triangle isocèle · obtenir un angle obtus par la somme des angles

La coupe d'un toit est un triangle $ABC$ isocèle en $A$ . La base $[BC]$ mesure $12$ m. Le point $H$ est le milieu de $[BC]$ , et $[AH]$ est la hauteur issue de $A$ ; elle mesure $2{,}5$ m.

Justifier que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ , et donner la longueur $BH$ .
Calculer l'angle $\widehat{ABH}$ que fait le toit avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.
Calculer la longueur $AB$ d'un pan de toit.
En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ au sommet du toit, au dixième de degré.

Exercice 24 — Les angles d'un losange

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : tangente · propriétés du losange · théorème de Pythagore · somme des angles d'un triangle

Objectifs : exploiter les diagonales d'un losange pour obtenir un triangle rectangle · reconstituer un angle à partir d'une moitié gardée en mémoire · mesurer l'effet d'un arrondi prématuré

$ABCD$ est un losange de centre $O$ , dont les diagonales mesurent $AC=10$ cm et $BD=6$ cm.

Rappeler les propriétés des diagonales d'un losange utiles ici. En déduire la nature du triangle $AOB$ , ainsi que les longueurs $OA$ et $OB$ .
Calculer $\widehat{OAB}$ , arrondi au centième de degré.
En déduire $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ABC}$ , arrondis au dixième de degré.
Calculer la longueur du côté du losange, arrondie au millimètre.
Un élève arrondit $\widehat{OAB}$ au degré, puis double le résultat. Quelle valeur obtient-il pour $\widehat{DAB}$ ? Pourquoi est-ce une mauvaise idée ?

Série 4 sur 5 · Exercices 25 à 32

Série 4 — Choisir la bonne relation

0/8 réussis

Exercice 25 — Quelle relation choisir ?

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente

Objectifs : choisir la relation trigonométrique adaptée aux données · écrire la relation avec les noms des points

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . Dans chacun des cas suivants, indiquer la relation trigonométrique à utiliser, puis l'écrire avec les noms des points. Aucun calcul n'est demandé.

On connaît $\widehat{BAC}$ et $AB$ ; on cherche $AC$ .
On connaît $AC$ et $BC$ ; on cherche $\widehat{BAC}$ .
On connaît $\widehat{BAC}$ et $BC$ ; on cherche $AB$ .
On connaît $AB$ et $AC$ ; on cherche $\widehat{ABC}$ .

Exercice 26 — Deux longueurs, deux relations

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : cosinus · tangente

Objectifs : choisir la tangente pour un côté opposé et le cosinus pour une hypoténuse · partir des données de l'énoncé plutôt que d'un résultat arrondi

Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ , avec $\widehat{NMP}=38^\circ$ et $MN=6$ cm.

Calculer $NP$ , arrondie au dixième de centimètre.
Calculer $MP$ , arrondie au dixième de centimètre.

Exercice 27 — Trois cas, trois relations

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · sinus · tangente

Objectifs : renommer les côtés à chaque changement d'angle · isoler une inconnue placée au dénominateur

Dans chacun des cas suivants, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Calculer la grandeur demandée, en précisant la relation utilisée.

$\widehat{ABC}=25^\circ$ et $AC=4$ cm ; calculer $BC$ au dixième de centimètre.
$AB=3{,}5$ cm et $BC=6$ cm ; calculer $\widehat{ACB}$ au degré.
$\widehat{ACB}=48^\circ$ et $AB=5$ cm ; calculer $AC$ au dixième de centimètre.

Exercice 28 — Pythagore ou trigonométrie ?

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · tangente · sinus

Objectifs : distinguer une situation de Pythagore d'une situation de trigonométrie · préférer les données de l'énoncé pour calculer un angle

Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ .

On donne $EF=8$ cm et $FG=15$ cm. Faut-il utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie pour calculer $EG$ ? Calculer $EG$ .
Avec les mêmes données, calculer $\widehat{FEG}$ au dixième de degré.
On considère maintenant un autre triangle $EFG$ rectangle en $F$ , avec $EG=10$ cm et $\widehat{FEG}=20^\circ$ . Calculer $FG$ au dixième de centimètre.

Exercice 29 — Trouver l'erreur

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : cosinus · tangente · côté adjacent · côté opposé

Objectifs : analyser une relation écrite par un autre élève · corriger le choix de la relation trigonométrique

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $\widehat{BAC}=40^\circ$ et $AB=6$ cm. Pour calculer $BC$ , un élève écrit :

\cos 40^\circ=\frac{BC}{6}

BC=6\times\cos 40^\circ\approx 4{,}6\ \text{cm}

Identifier l'erreur de l'élève.
Calculer correctement $BC$ , au dixième de centimètre.
Calculer $AC$ , au dixième de centimètre.

Exercice 30 — Le cerf-volant de Noé

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : sinus · cosinus · triangle rectangle

Objectifs : modéliser une situation concrète par un triangle rectangle · tenir compte de la hauteur de départ de l'angle

Noé fait voler un cerf-volant sur un terrain horizontal. Il tient le fil à $1{,}2$ m du sol. Le fil, bien tendu, est assimilé à un segment de $45$ m qui forme un angle de $50^\circ$ avec l'horizontale.

Faire un schéma à main levée faisant apparaître un triangle rectangle.
À quelle hauteur du sol vole le cerf-volant ? Arrondir au dixième de mètre.
À quelle distance horizontale de Noé se trouve le point du sol situé à la verticale du cerf-volant ? Arrondir au dixième de mètre.

Exercice 31 — Se rapprocher d'une tour

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : tangente · angle d'élévation · valeur approchée et arrondi

Objectifs : réutiliser une longueur calculée pour obtenir un angle · mesurer l'effet d'un arrondi intermédiaire · réfuter une affirmation de proportionnalité

Depuis un point $A$ situé au sol à $50$ m du pied $P$ d'une tour verticale, on voit le sommet $S$ de la tour sous un angle $\widehat{PAS}=32^\circ$ . Le sol est horizontal, et l'on néglige la hauteur des yeux : le triangle $APS$ est rectangle en $P$ .

Calculer la hauteur $PS$ de la tour, arrondie au décimètre.
On avance jusqu'au point $B$ du segment $[AP]$ tel que $BP=30$ m. Sous quel angle $\widehat{PBS}$ voit-on alors le sommet ? Arrondir au dixième de degré, en utilisant la valeur de $PS$ gardée en mémoire.
Refaire le calcul de la question 2 avec la valeur arrondie de $PS$ . Que constate-t-on ?
Vrai ou faux : « en se plaçant deux fois plus près de la tour, on voit son sommet sous un angle deux fois plus grand ». Justifier à l'aide du point $C$ de $[AP]$ tel que $CP=25$ m.

Exercice 32 — Le côté oblique d'un trapèze rectangle

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : tangente · théorème de Pythagore · propriétés du rectangle et du parallélogramme · somme des angles d'un triangle

Objectifs : tracer une hauteur pour faire apparaître un triangle rectangle · enchaîner Pythagore, trigonométrie et somme des angles

$ABCD$ est un trapèze rectangle : les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles, et les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ADC}$ sont droits. On donne $AB=10$ cm, $DC=6$ cm et $AD=5$ cm. Le point $H$ est le point de $[AB]$ tel que $AH=6$ cm.

Justifier que $AHCD$ est un rectangle. En déduire $CH$ , $HB$ et la nature du triangle $CHB$ .
Calculer $BC$ , arrondie au millimètre.
Calculer $\widehat{ABC}$ , arrondi au dixième de degré.
En déduire $\widehat{BCD}$ , arrondi au dixième de degré.

Série 5 sur 5 · Exercices 33 à 40

Série 5 — Problèmes et synthèse

0/8 réussis

Exercice 33 — La hauteur d'un arbre

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : tangente · angle d'élévation

Objectifs : modéliser une mesure de hauteur par un angle d'élévation · ajouter la hauteur des yeux de l'observateur

Pour estimer la hauteur d'un arbre vertical, Inès se place à $20$ m de son pied, sur un sol horizontal. Elle vise le sommet de l'arbre sous un angle d'élévation de $35^\circ$ . Ses yeux sont à $1{,}5$ m du sol.

Calculer la hauteur de l'arbre, arrondie au décimètre.

Exercice 34 — La distance à un phare

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : tangente · angle d'élévation

Objectifs : calculer une distance inaccessible · isoler une inconnue placée au dénominateur

Le sommet d'un phare vertical est à $40$ m au-dessus du niveau de la mer. Depuis un bateau, on voit ce sommet sous un angle d'élévation de $6^\circ$ . On néglige la hauteur des yeux de l'observateur au-dessus de l'eau.

Faire un schéma et nommer le triangle rectangle utilisé.
Calculer la distance entre le bateau et le pied du phare, arrondie au mètre.

Exercice 35 — Une rampe confortable

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : sinus · valeur approchée et arrondi

Objectifs : comparer un angle calculé à une contrainte · arrondir dans le sens imposé par la situation

Une rampe d'accès doit permettre de franchir une marche de $20$ cm de haut. On dispose d'une planche de $3{,}5$ m de long, posée en biais entre le sol horizontal et le haut de la marche.

Calculer l'angle que forme la planche avec le sol, arrondi au dixième de degré.
On admet qu'une rampe est confortable si cet angle ne dépasse pas $3^\circ$ . Cette planche convient-elle ?
Déterminer la longueur minimale de planche pour que l'angle ne dépasse pas $3^\circ$ . Arrondir au centimètre supérieur, et expliquer pourquoi on arrondit dans ce sens.

Exercice 36 — Thalès, puis trigonométrie

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Thalès · tangente · droites parallèles et perpendiculaires

Objectifs : justifier un angle droit à partir d'un parallélisme · combiner le théorème de Thalès et la trigonométrie

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB=8$ cm et $BC=6$ cm. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ , avec $AM=5$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ .

Justifier que le triangle $AMN$ est rectangle en $M$ .
Calculer $MN$ à l'aide du théorème de Thalès.
Calculer $\widehat{BAC}$ dans le triangle $ABC$ , arrondi au dixième de degré.
Calculer la tangente de $\widehat{MAN}$ dans le triangle $AMN$ . Pourquoi retrouve-t-on le même angle ?

Exercice 37 — La barre de renfort d'un portail

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · tangente · somme des angles d'un triangle

Objectifs : calculer une diagonale puis ses angles avec les côtés · contrôler un angle par un calcul direct

Un portail a la forme d'un rectangle $ABCD$ de $2{,}4$ m de long ( $AB$ ) et de $0{,}7$ m de haut ( $BC$ ) ; le côté $[AB]$ est horizontal. On le rigidifie avec une barre qui suit la diagonale $[AC]$ .

Calculer la longueur de la barre.
Calculer l'angle $\widehat{BAC}$ que fait la barre avec le bord horizontal $[AB]$ , arrondi au dixième de degré.
En déduire l'angle $\widehat{ACB}$ que fait la barre avec le bord vertical $[BC]$ , puis le vérifier par un calcul direct.

Exercice 38 — La grande échelle des pompiers

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cosinus · tangente · théorème de Pythagore

Objectifs : modéliser une échelle qui ne part pas du sol · vérifier séparément plusieurs contraintes

L'échelle d'un camion de pompiers pivote autour d'un point situé à $3$ m du sol. Le camion est garé de sorte que ce point soit à $12$ m de la façade d'un immeuble. La façade est verticale et le sol horizontal.

L'échelle est déployée sur $25$ m et son extrémité touche la façade. Calculer l'angle qu'elle forme avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.
À quelle hauteur du sol l'extrémité de l'échelle touche-t-elle la façade ? Arrondir au dixième de mètre.
L'échelle peut se déployer jusqu'à $30$ m, et son angle avec l'horizontale ne doit pas dépasser $75^\circ$ . Sans déplacer le camion, peut-on atteindre une fenêtre située à $30$ m du sol ? Justifier.

Exercice 39 — Deux bateaux au pied d'une falaise

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : tangente · angle d'élévation · valeur approchée et arrondi

Objectifs : calculer deux distances inaccessibles puis leur différence · expliquer pourquoi une différence de valeurs arrondies est fausse

Le sommet $S$ d'une falaise verticale domine la mer de $80$ m ; on note $P$ le pied de la falaise, au niveau de la mer. Deux bateaux $B_1$ et $B_2$ sont alignés avec $P$ , du même côté de la falaise. Depuis $B_1$ , on voit $S$ sous un angle d'élévation de $12^\circ$ ; depuis $B_2$ , plus éloigné, sous un angle de $7^\circ$ . On néglige la hauteur des yeux des observateurs.

Calculer les distances $PB_1$ et $PB_2$ , en gardant les valeurs en mémoire.
En déduire la distance $B_1B_2$ entre les deux bateaux, arrondie au mètre.
Un élève arrondit d'abord $PB_1$ et $PB_2$ au mètre, puis fait la soustraction. Quel résultat obtient-il ? Lequel des deux résultats faut-il retenir ?

Exercice 40 — Le câble d'un téléphérique

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · tangente · sinus · théorème de Thalès

Objectifs : choisir entre Pythagore, trigonométrie et Thalès selon la question · utiliser une valeur exacte de tangente plutôt qu'un angle arrondi

Le câble d'un téléphérique relie la gare de départ $D$ à la gare d'arrivée $A$ ; on l'assimile à un segment. La gare $A$ est $450$ m plus haut que la gare $D$ , et la distance horizontale entre les deux gares est de $1\,200$ m. On note $H$ le point situé à la verticale de $A$ et à la même altitude que $D$ .

Calculer la longueur du câble $DA$ , arrondie au mètre.
Calculer l'angle $\widehat{HDA}$ que fait le câble avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.
Un pylône est placé à $300$ m de $D$ en distance horizontale. À quelle hauteur au-dessus de l'altitude de $D$ le câble passe-t-il à la verticale de ce pylône ?
Une autre ligne franchit le même dénivelé de $450$ m avec un câble incliné de $25^\circ$ sur l'horizontale. Quelle est la longueur de son câble, arrondie au mètre ?

Aller plus loin sur ce chapitre

Le devoir type brevet reste sur la page du chapitre : il mobilise plusieurs notions à la fois et s'aborde une fois ces exercices maîtrisés.

Voir le devoir type brevet sur la trigonométrie