Statistiques

L'essentiel en 30 secondes

Une série statistique décrit un caractère observé sur les individus d'une population ; la fréquence d'une valeur vaut son effectif divisé par l'effectif total, en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif total : pondérée par les effectifs dans un tableau, seulement approchée avec les centres des classes pour des données regroupées. La médiane partage la série rangée en deux moitiés, et l'étendue vaut valeur maximale − valeur minimale. On représente une série par un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire (angle = fréquence × 360°) ou un histogramme à classes de même amplitude.

1 I. Vocabulaire, effectifs et fréquences

Faire des statistiques, c'est résumer un grand nombre de données par quelques nombres et quelques graphiques bien choisis. Avant tout calcul, il faut savoir nommer précisément ce que l'on étudie : c'est le rôle du vocabulaire.

Moyen de transport	Bus	Vélo	À pied	Voiture	Total
Effectif	$8$	$5$	$7$	$5$	$25$
Fréquence	$\frac{8}{25}=0{,}32$	$\frac{5}{25}=0{,}2$	$\frac{7}{25}=0{,}28$	$\frac{5}{25}=0{,}2$	$1$
Pourcentage	$32\,\%$	$20\,\%$	$28\,\%$	$20\,\%$	$100\,\%$

Pour passer de l'écriture décimale au pourcentage, on multiplie par

100

0{,}32

, c'est

32

pour

100

, soit

32\,\%

2 II. La moyenne

La moyenne répond à la question : « si toutes les valeurs étaient égales, pour un même total, que vaudraient-elles ? » C'est l'indicateur le plus utilisé. Il se calcule de plusieurs façons, selon la manière dont les données sont présentées.

Note	$8$	$10$	$12$	$15$	$17$
Effectif	$3$	$5$	$6$	$4$	$2$

\frac{3\times 8+5\times 10+6\times 12+4\times 15+2\times 17}{20}=\frac{24+50+72+60+34}{20}=\frac{240}{20}=12

La moyenne de la classe est

12

Temps (min)	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,20[$	$[20\,;\,30[$	$[30\,;\,40[$	$[40\,;\,50[$
Centre	$5$	$15$	$25$	$35$	$45$
Effectif	$6$	$12$	$10$	$8$	$4$

\frac{6\times 5+12\times 15+10\times 25+8\times 35+4\times 45}{40}=\frac{920}{40}=23

Le temps de trajet moyen est d'environ

23

minutes. On ne peut pas faire mieux : dans la classe

[10\,;\,20[

, les

12

élèves n'ont sûrement pas tous mis exactement

15

minutes.

3 III. La médiane et l'étendue

Frères et sœurs	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$4$	$9$	$7$	$3$	$2$
Effectif cumulé croissant	$4$	$13$	$20$	$23$	$25$

N=25

est impair : la médiane est la valeur de rang

13

. L'effectif cumulé passe de

4

13

avec la valeur

1

: les élèves de rangs

5

13

ont tous

1

frère ou sœur. La médiane vaut donc

1

.

Au moins la moitié des élèves ont au plus un frère ou une sœur.

4 IV. Représenter une série

Un graphique bien choisi fait voir d'un coup d'œil ce que le tableau oblige à chercher. Le choix de la représentation dépend du caractère étudié.

Représentation	Pour quel caractère ?	Ce qui représente l'effectif
Diagramme en bâtons	quantitatif à valeurs isolées, ou qualitatif	la hauteur du bâton
Diagramme circulaire	qualitatif surtout : il montre les parts d'un tout	l'angle du secteur
Histogramme	quantitatif regroupé en classes de même amplitude	la hauteur du rectangle

Histogramme : temps de trajet de 40 élèves

Classes de même amplitude (10 min) · rectangles accolés · hauteur = effectifEffectif total : 6 + 12 + 10 + 8 + 4 = 40

5 V. Comparer des séries, utiliser un tableur

	Moyenne	Médiane	Étendue
Archère A	$8$	$\frac{8+8}{2}=8$	$9-7=2$
Archer B	$8$	$\frac{8+9}{2}=8{,}5$	$10-5=5$

Conclusion. Même moyenne, médianes voisines : les deux archers ont un niveau comparable. Mais l'étendue de l'archère A est bien plus faible : elle est nettement plus régulière, alors que l'archer B alterne très bonnes et mauvaises flèches.

Avec un grand nombre de données, on confie les calculs à un tableur. Une formule commence toujours par le signe

=

, et une plage de cellules s'écrit avec deux points : B2:B31 désigne les

30

cellules de B2 à B31.

Formule	Ce qu'elle calcule
`=SOMME(B2:B31)`	la somme des valeurs des cellules B2 à B31
`=MOYENNE(B2:B31)`	leur moyenne
`=MEDIANE(B2:B31)`	leur médiane (le tableur range lui-même les valeurs)
`=MAX(B2:B31)-MIN(B2:B31)`	leur étendue

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?

La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif total ; la médiane partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif. La moyenne dépend de toutes les valeurs, y compris des plus extrêmes, alors que la médiane n'en dépend pas : pour

10

11

12

13

54

, la moyenne vaut

20

mais la médiane

12

Comment trouver la médiane quand l'effectif total est pair ?

On range les valeurs dans l'ordre croissant, puis on repère les deux valeurs du milieu, de rangs

\frac{N}{2}

\frac{N}{2}+1

. La médiane est leur moyenne : pour

12

15

20

22

27

31

, elle vaut

\frac{20+22}{2}=21

. Elle n'est donc pas forcément une valeur de la série.

Comment calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs ?

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total, jamais par le nombre de valeurs différentes. Pour des données regroupées en classes, on remplace chaque classe par son centre : le résultat n'est alors qu'une valeur approchée de la moyenne.

Comment calculer l'angle d'un secteur dans un diagramme circulaire ?

L'angle est proportionnel à l'effectif : il vaut

\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\times 360^\circ

, c'est-à-dire la fréquence multipliée par

360^\circ

. Avec

9

élèves sur

36

, on obtient

\frac{9}{36}\times 360^\circ=90^\circ

. La somme des angles doit toujours faire

360^\circ

Quelle différence entre un diagramme en bâtons et un histogramme ?

Un diagramme en bâtons représente des valeurs isolées, comme un nombre de frères et sœurs : les bâtons sont séparés. Un histogramme représente des données regroupées en classes qui se suivent, comme des durées : les rectangles sont accolés. En Troisième, les classes d'un histogramme ont toutes la même amplitude, et la hauteur de chaque rectangle est l'effectif de la classe.

Mot	Sens	Exemple
Population, individu	l'ensemble étudié, chacun de ses éléments	les élèves du collège ; un élève
Caractère qualitatif	ses valeurs ne sont pas des quantités	couleur, sport, numéro de maillot
Caractère quantitatif	ses valeurs sont des quantités	taille, note, nombre de frères
Effectif	nombre d'individus ayant une valeur	$8$ élèves viennent en bus
Fréquence	effectif $\div$ effectif total	$\frac{8}{25}=0{,}32=32\,\%$

Données	Calcul de la moyenne
Série brute	somme des valeurs $\div$ effectif total
Tableau d'effectifs ou coefficients	somme des produits valeur $\times$ effectif $\div$ effectif total
Tableau de fréquences	somme des produits valeur $\times$ fréquence, sans division
Classes de même amplitude	même calcul avec les centres des classes : valeur approchée

Effectif total	Rang(s) à lire	Médiane
$N=9$	$5$	la $5$ ᵉ valeur
$N=10$	$5$ et $6$	moyenne des $5$ ᵉ et $6$ ᵉ valeurs
$N=25$	$13$	la $13$ ᵉ valeur
$N=40$	$20$ et $21$	moyenne des $20$ ᵉ et $21$ ᵉ valeurs

1 I. Vocabulaire, effectifs et fréquences

2 II. La moyenne

3 III. La médiane et l'étendue

4 IV. Représenter une série

5 V. Comparer des séries, utiliser un tableur

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Vocabulaire et fréquences

Calculer une moyenne

Médiane et étendue

Représenter une série

Comparer et utiliser un tableur

Exercices corrigés sur les statistiques

Le cross du collège

Consignes

Exercice 1 — Les temps d'une équipe

Exercice 2 — L'histogramme des temps

Exercice 3 — Deux équipes et un tableur

Graphique	Données	Calcul
Diagramme en bâtons	valeurs isolées	hauteur proportionnelle à l'effectif ; bâtons séparés
Diagramme circulaire	parts d'un tout	angle $=$ fréquence $\times\, 360^\circ$ ; somme $360^\circ$
Histogramme	classes de même amplitude	hauteur $=$ effectif ; rectangles accolés

Au tableur	Formule
Somme	`=SOMME(B2:B31)`
Moyenne	`=MOYENNE(B2:B31)`
Médiane	`=MEDIANE(B2:B31)`
Étendue	`=MAX(B2:B31)-MIN(B2:B31)`
Moyenne d'un tableau d'effectifs	`=SOMME(C2:C7)/SOMME(B2:B7)`, avec `=A2*B2` recopié en colonne C