Triangles semblables

L'essentiel en 30 secondes

Deux triangles sont semblables quand leurs angles sont deux à deux de même mesure ; grâce à la somme de 180°, deux paires d'angles égaux suffisent. Propriété caractéristique : deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Les sommets homologues sont ceux des angles égaux, les côtés homologues leur font face, et le rapport k des côtés homologues indique un agrandissement (k > 1), une réduction (k < 1) ou des triangles égaux (k = 1). Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², et les angles ne changent pas.

1 I. Définition et vocabulaire

Deux triangles semblables ont la même forme, sans avoir forcément la même taille : l'un peut être un agrandissement ou une réduction de l'autre, éventuellement tourné ou retourné. Ce chapitre donne deux façons de les reconnaître — par les angles, par les longueurs — puis les outils pour en tirer des longueurs et des aires.

Exemple — Compléter, puis comparer

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A}=40^\circ$ et $\widehat{B}=75^\circ$ . Dans le triangle $DEF$ , $\widehat{D}=65^\circ$ et $\widehat{E}=40^\circ$ . Ces triangles sont-ils semblables ?

On calcule les angles manquants :

\widehat{C}=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ\qquad\widehat{F}=180^\circ-65^\circ-40^\circ=75^\circ

Les deux triangles ont des angles de

40^\circ

65^\circ

75^\circ

: ils sont semblables, avec

\widehat{A}=\widehat{E}\qquad\widehat{B}=\widehat{F}\qquad\widehat{C}=\widehat{D}

Le calcul de

\widehat{F}

n'était même pas nécessaire : dès que

\widehat{C}=65^\circ

est connu, les deux paires

\widehat{A}=\widehat{E}

\widehat{C}=\widehat{D}

suffisent.

2 II. Des côtés proportionnels : la propriété caractéristique

Les angles disent si deux triangles ont la même forme ; les longueurs disent de combien l'un est plus grand que l'autre. La propriété suivante affirme que ces deux points de vue sont équivalents.

Deux triangles semblables

A et D (1 arc) · côtés opposés [BC] et [EF]
B et E (2 arcs) · côtés opposés [AC] et [DF]
C et F (3 arcs) · côtés opposés [AB] et [DE]

EF / BC = DF / AC = DE / AB9 / 6 = 7,5 / 5 = 6 / 4 = 1,5 = k

Angles de même mesure, côtés proportionnels : DEF est un agrandissement de ABC de rapport k = 1,5. Il est retourné et tourné, mais chacun de ses côtés est 1,5 fois plus long que le côté homologue de ABC.

Sur la figure, chaque côté a la couleur de l'angle qui lui fait face. C'est la façon la plus sûre de retrouver les côtés homologues quand les deux triangles ne sont pas orientés de la même manière : on repère les angles égaux, puis on regarde en face.

Exemple — Calculer deux longueurs avec le rapport

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, avec $A\leftrightarrow D$ , $B\leftrightarrow E$ et $C\leftrightarrow F$ . On donne $AB=6$ cm, $BC=9$ cm, $AC=10$ cm et $DE=4{,}5$ cm. Calculer $EF$ et $DF$ .

Les côtés homologues sont proportionnels :

\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}

Le rapport se lit sur la seule paire entièrement connue :

k=\frac{DE}{AB}=\frac{4{,}5}{6}=0{,}75

Comme

k<1

DEF

est une réduction de

ABC

. D'où :

EF=0{,}75\times 9=6{,}75\ \text{cm}\qquad DF=0{,}75\times 10=7{,}5\ \text{cm}

3 III. Démontrer que deux triangles sont semblables

Deux voies sont possibles, selon ce que fournit l'énoncé : des angles — souvent cachés dans des droites parallèles ou sécantes — ou des longueurs.

Dans la figure	Ce que l'on peut affirmer
Un angle appartient aux deux triangles	angle commun : même mesure
Deux droites sécantes	les angles opposés par le sommet ont la même mesure
Deux parallèles coupées par une sécante	les angles correspondants ont la même mesure
Deux parallèles coupées par une sécante	les angles alternes-internes ont la même mesure
Deux angles droits	même mesure, $90^\circ$
Deux angles connus dans un triangle	le troisième vaut $180^\circ$ moins leur somme

Exemple — Deux paires de droites parallèles

Le point $C$ appartient au segment $[AB]$ , et les points $D$ et $E$ sont situés du même côté de la droite $(AB)$ . Les droites $(AE)$ et $(CD)$ sont parallèles, ainsi que les droites $(CE)$ et $(BD)$ . On donne $AC=4$ cm, $AB=9$ cm, $CD=7{,}5$ cm et $BD=6$ cm. Démontrer que les triangles $ACE$ et $CBD$ sont semblables, puis calculer $AE$ et $CE$ .

Première paire d'angles. Les droites

(AE)

(CD)

sont parallèles et coupées par la sécante

(AB)

: les angles

\widehat{CAE}

\widehat{BCD}

sont correspondants, donc de même mesure.

Seconde paire d'angles. Les droites

(CE)

(BD)

sont parallèles et coupées par la même sécante : les angles

\widehat{ACE}

\widehat{CBD}

sont correspondants, donc de même mesure.

Conclusion. Les triangles

ACE

CBD

ont deux angles deux à deux de même mesure : ils sont semblables, avec

A\leftrightarrow C

C\leftrightarrow B

E\leftrightarrow D

.

Longueurs.

CB=AB-AC=9-4=5

cm. Les côtés homologues sont proportionnels :

\frac{AC}{CB}=\frac{AE}{CD}=\frac{CE}{BD}=\frac{4}{5}=0{,}8

AE=0{,}8\times 7{,}5=6\ \text{cm}\qquad CE=0{,}8\times 6=4{,}8\ \text{cm}

4 IV. Calculer des longueurs

Exemple — Un angle commun

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $BC=7$ cm. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ et vérifie $\widehat{ACD}=\widehat{ABC}$ . Calculer $AD$ et $CD$ .

Les triangles $ACD$ et $ABC$ sont semblables. L'angle en

A

leur est commun, et

\widehat{ACD}=\widehat{ABC}

par hypothèse : cela fait deux paires d'angles de même mesure.

Sommets homologues.

A\leftrightarrow A

(angle commun),

C\leftrightarrow B

(angles égaux par hypothèse), donc

D\leftrightarrow C

.

Égalité des quotients, triangle

ACD

au numérateur :

\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}

Le rapport vaut

\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{8}=0{,}75

. D'où :

AD=0{,}75\times AC=0{,}75\times 6=4{,}5\ \text{cm}\qquad CD=0{,}75\times BC=0{,}75\times 7=5{,}25\ \text{cm}

Contrôle.

AD=4{,}5

cm est inférieur à

AB=8

cm : le point

D

est bien sur le segment

[AB]

5 V. Agrandissement, réduction et aires

Rapport $k$	Longueurs et périmètre	Aire	Angles
$k=2$	$\times 2$	$\times 4$	inchangés
$k=3$	$\times 3$	$\times 9$	inchangés
$k=1{,}5$	$\times 1{,}5$	$\times 2{,}25$	inchangés
$k=\frac{1}{2}$	$\times 0{,}5$	$\times 0{,}25$	inchangés
$k=\frac{2}{3}$	$\times \frac{2}{3}$	$\times \frac{4}{9}$	inchangés

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Comment savoir si deux triangles sont semblables ?

Deux méthodes. Par les angles : il suffit de trouver deux paires d'angles de même mesure, la troisième suit grâce à la somme de

180^\circ

. Par les longueurs : on range les côtés de chaque triangle dans l'ordre croissant et on vérifie que les trois quotients sont égaux, par exemple

\frac{6}{4}=\frac{7{,}5}{5}=\frac{9}{6}=1{,}5

. Un seul quotient différent, même de peu, et les triangles ne sont pas semblables.

Comment trouver les sommets homologues ?

Ce sont les sommets dont les angles ont la même mesure, et jamais ceux qui occupent la même place dans le nom des triangles. Si seules les longueurs sont connues, on apparie les côtés rangés dans l'ordre croissant, puis chaque sommet correspond au sommet commun aux deux côtés homologues. Deux côtés homologues sont toujours opposés à des angles de même mesure.

Quelle différence entre triangles semblables et configuration de Thalès ?

La configuration de Thalès est un cas particulier : les deux triangles sont emboîtés ou opposés par un sommet, avec des côtés parallèles, et l'égalité

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

n'est rien d'autre que la proportionnalité de leurs côtés homologues. Des triangles semblables peuvent en revanche être tournés, retournés ou éloignés l'un de l'autre, sans aucune droite parallèle.

Si les côtés sont multipliés par 3, par combien l'aire est-elle multipliée ?

Par

3^{2}=9

. Dans un agrandissement ou une réduction de rapport

k

, les longueurs et le périmètre sont multipliés par

k

, les aires par

k^{2}

, et les angles ne changent pas. Réciproquement, si l'aire est multipliée par

9

, les côtés sont multipliés par

\sqrt{9}=3

Deux triangles rectangles sont-ils toujours semblables ?

Non. L'angle droit ne fournit qu'une paire d'angles de même mesure ; il faut en plus un angle aigu commun. Un triangle rectangle isocèle, d'angles

90^\circ

45^\circ

45^\circ

, n'est pas semblable à un triangle d'angles

90^\circ

30^\circ

60^\circ

Notion	Ce qu'il faut savoir
Triangles semblables	angles deux à deux de même mesure ; deux paires suffisent
Propriété caractéristique	semblables $\Longleftrightarrow$ côtés proportionnels
Sommets homologues	sommets dont les angles ont la même mesure
Côtés homologues	côtés opposés à des angles de même mesure
Rapport $k$	$k>1$ agrandissement, $k<1$ réduction, $k=1$ triangles égaux

Grandeur	Multipliée par	Exemple avec $k=3$
Longueur	$k$	$5$ cm $\to 15$ cm
Périmètre	$k$	$12$ cm $\to 36$ cm
Aire	$k^{2}$	$10$ cm² $\to 90$ cm²
Angle	inchangé	$50^\circ\to 50^\circ$

1 I. Définition et vocabulaire

2 II. Des côtés proportionnels : la propriété caractéristique

3 III. Démontrer que deux triangles sont semblables

4 IV. Calculer des longueurs

5 V. Agrandissement, réduction et aires

À travailler ensuite

Questions fréquentes

Définition et vocabulaire

Démontrer que deux triangles sont semblables

Calculer une longueur

Rapport, périmètres et aires

Exercices corrigés sur les triangles semblables

Ombre d'une tour et toiture en sheds

Consignes

Exercice 1 — Vrai ou faux ?

Exercice 2 — L'ombre de la tour

Exercice 3 — Une toiture en sheds