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I Nombres et calculs · Chapitre 03 / 11

Équations et inéquations

Résolution, tableaux de signes, équation-produit.

8 min de lecture
6 sections, 6 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui la rendent vraie. Une équation-produit A × B = 0 se résout avec la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour une inéquation comportant un produit ou un quotient, on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau de signes et on lit les solutions sur la dernière ligne.

1 I. Vocabulaire

2 II. Équations du premier degré

3 III. Équations-produits

4 IV. Équations du type x2=ax^2 = a

5 V. Inéquations du premier degré

6 VI. Tableaux de signes

Pour résoudre une inéquation où figure un produit ou un quotient, on ne peut plus isoler xx. On étudie alors le signe de chaque facteur dans un tableau de signes.

x<−3x < -3−3<x<2-3 < x < 2x>2x > 2
signe de x+3x+3−-++++
signe de x−2x-2−-−-++
signe du produit++−-++

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation-produit ?
On applique la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Ainsi (x−2)(3x+1)=0(x-2)(3x+1) = 0 équivaut à x−2=0x - 2 = 0 ou 3x+1=03x + 1 = 0, d'où les solutions 22 et −13-\frac{1}{3}. Il faut d'abord tout ramener à zéro et factoriser.
Pourquoi change-t-on le sens d'une inéquation quand on multiplie par un nombre négatif ?
Parce que multiplier par un négatif renverse l'ordre des nombres : 2<32 < 3, mais −2>−3-2 > -3. Donc si −2x<6-2x < 6, en divisant par −2-2 on obtient x>−3x > -3, avec le sens inversé. Multiplier ou diviser par un nombre positif, en revanche, conserve le sens.
Comment construire un tableau de signes ?
On cherche la racine de chaque facteur (la valeur qui l'annule), on les place en ordre croissant sur la première ligne, puis on remplit une ligne de signes par facteur : un facteur affine ax+bax+b est du signe contraire de aa avant sa racine, du signe de aa après. La dernière ligne s'obtient avec la règle des signes, et on y lit les solutions.
Comment résoudre une inéquation avec un quotient ?
Comme avec un produit, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes — surtout ne pas « multiplier par le dénominateur », dont on ne connaît pas le signe. La valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite : on la signale par une double barre et elle n'est jamais solution.

Équations

Inéquations

Tableaux de signes

Erreurs à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Résoudre 3x+5=143x + 5 = 14.
Correction détaillée
On retranche $5$ aux deux membres : $$3x = 9$$ On divise par $3$ : $$x = 3$$ $$\boxed{S = \{3\}}$$
Exercice 2
Facile
Résoudre 4x+1=94x + 1 = 9.
Correction détaillée
$$4x = 8 \iff x = 2$$ $$\boxed{S = \{2\}}$$
Exercice 3
Facile
Résoudre 7−2x=17 - 2x = 1.
Correction détaillée
On retranche $7$ : $$-2x = -6$$ On divise par $-2$ : $$x = 3$$ $$\boxed{S = \{3\}}$$
Exercice 4
Facile
Vérifier que −2-2 est solution de x2+3x=−2x^2 + 3x = -2.
Correction détaillée
On calcule **séparément** chaque membre pour $x=-2$ : - gauche : $(-2)^2 + 3\times(-2) = 4 - 6 = -2$ ; - droite : $-2$. Les deux coïncident. $$\boxed{-2 \text{ est bien solution}}$$
Exercice 5
Facile
Résoudre (x−3)(x+5)=0(x-3)(x+5) = 0.
Correction détaillée
Règle du produit nul : l'un des facteurs est nul. $$x-3 = 0 \quad \text{ou} \quad x+5 = 0$$ $$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -5$$ $$\boxed{S = \{-5\ ;\ 3\}}$$
Exercice 6
Facile
Résoudre x(x−7)=0x(x-7) = 0.
Correction détaillée
Le premier facteur est $x$ lui-même : $$x = 0 \quad \text{ou} \quad x-7 = 0$$ $$\boxed{S = \{0\ ;\ 7\}}$$
Exercice 7
Facile
Résoudre x2=16x^2 = 16.
Correction détaillée
$16 > 0$ : il y a **deux** solutions opposées. $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4$$ $$\boxed{S = \{-4\ ;\ 4\}}$$ *Ne pas oublier la solution négative.*
Exercice 8
Facile
Résoudre x2=−4x^2 = -4.
Correction détaillée
Un carré est **toujours positif ou nul** : il ne peut pas valoir $-4$. $$\boxed{S = \varnothing}$$
Exercice 9
Facile
Résoudre 3x−7⩽23x - 7 \leqslant 2.
Correction détaillée
On ajoute $7$ : $$3x \leqslant 9$$ On divise par $3$, **positif** : le sens est conservé. $$x \leqslant 3$$ $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;3]}$$
Exercice 10
Facile
Résoudre 5−x⩾25 - x \geqslant 2.
Correction détaillée
On retranche $5$ : $$-x \geqslant -3$$ On multiplie par $-1$ (**négatif**) : le sens **s'inverse**. $$x \leqslant 3$$ $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;3]}$$
Exercice 11
Facile
Résoudre 2x+1⩾x+42x + 1 \geqslant x + 4.
Correction détaillée
On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $$2x - x \geqslant 4 - 1 \iff x \geqslant 3$$ $$\boxed{S = [3\,;+\infty[}$$
Exercice 12
Facile
Résoudre x3−2=1\dfrac{x}{3} - 2 = 1.
Correction détaillée
On ajoute $2$ : $$\frac{x}{3} = 3$$ On multiplie par $3$ : $$x = 9$$ $$\boxed{S = \{9\}}$$
Exercice 13
Facile
Résoudre (2x−1)(x+4)=0(2x-1)(x+4) = 0.
Correction détaillée
Produit nul : $$2x-1 = 0 \quad \text{ou} \quad x+4=0$$ $$x = \frac12 \quad \text{ou} \quad x = -4$$ $$\boxed{S = \left\{-4\ ;\ \tfrac12\right\}}$$
Exercice 14
Facile
Résoudre x2−9=0x^2 - 9 = 0.
Correction détaillée
On **factorise** (différence de carrés) plutôt que d'écrire $x^2=9$ : $$(x-3)(x+3) = 0$$ $$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3$$ $$\boxed{S = \{-3\ ;\ 3\}}$$
Exercice 15
Facile
Résoudre −3x<12-3x < 12.
Correction détaillée
On divise par $-3$, **négatif** : le sens **s'inverse**. $$x > -4$$ $$\boxed{S =\ ]-4\,;+\infty[}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Résoudre 2x−7=5x+82x - 7 = 5x + 8.
Correction détaillée
On regroupe les $x$ à gauche, les nombres à droite : $$2x - 5x = 8 + 7 \iff -3x = 15$$ On divise par $-3$ : $$x = -5$$ $$\boxed{S = \{-5\}}$$ **Vérification :** $2(-5)-7 = -17$ et $5(-5)+8 = -17$ ✔
Exercice 17
Intermédiaire
Résoudre 5(x−2)=3x+45(x-2) = 3x + 4.
Correction détaillée
On développe le membre de gauche : $$5x - 10 = 3x + 4$$ On regroupe : $$2x = 14 \iff x = 7$$ $$\boxed{S = \{7\}}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Résoudre 2x+3=2x+52x + 3 = 2x + 5.
Correction détaillée
On retranche $2x$ aux deux membres : $$3 = 5$$ Cette égalité est **fausse**, quelle que soit la valeur de $x$. Aucun nombre ne convient. $$\boxed{S = \varnothing}$$ *Attention : il ne faut surtout pas conclure « $x=0$ ».*
Exercice 19
Intermédiaire
Résoudre 2(x+1)=2x+22(x+1) = 2x + 2.
Correction détaillée
On développe : $$2x + 2 = 2x + 2$$ L'égalité est **toujours vraie** : tout réel convient. $$\boxed{S = \mathbb{R}}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Résoudre (3x+2)(5−x)=0(3x+2)(5-x) = 0.
Correction détaillée
Produit nul : $$3x+2 = 0 \quad \text{ou} \quad 5-x = 0$$ $$x = -\frac23 \quad \text{ou} \quad x = 5$$ $$\boxed{S = \left\{-\tfrac23\ ;\ 5\right\}}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre 4x−3<6x+54x - 3 < 6x + 5.
Correction détaillée
Pour éviter de diviser par un négatif, on regroupe les $x$ **à droite** : $$-3 - 5 < 6x - 4x \iff -8 < 2x$$ On divise par $2$ (positif) : $$-4 < x$$ $$\boxed{S =\ ]-4\,;+\infty[}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Résoudre −2x+1>7-2x + 1 > 7.
Correction détaillée
On retranche $1$ : $$-2x > 6$$ On divise par $-2$, **négatif** : le sens **s'inverse**. $$x < -3$$ $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-3[}$$ **Contrôle :** $x=-4$ donne $9 > 7$ ✔ ; $x=0$ donne $1 > 7$, faux ✔
Exercice 23
Intermédiaire
Résoudre x2=5x^2 = 5.
Correction détaillée
$5 > 0$ : deux solutions opposées, qui ne sont pas des entiers — on les laisse sous forme de racine. $$\boxed{S = \left\{-\sqrt5\ ;\ \sqrt5\right\}}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Résoudre (x+2)2−16=0(x+2)^2 - 16 = 0.
Correction détaillée
On **factorise** (différence de carrés, $a = x+2$ et $b=4$) : $$\left[(x+2)+4\right]\left[(x+2)-4\right] = (x+6)(x-2) = 0$$ Produit nul : $$x = -6 \quad \text{ou} \quad x = 2$$ $$\boxed{S = \{-6\ ;\ 2\}}$$
Exercice 25
Intermédiaire
Dresser le tableau de signes de (x−2)(x+3)(x-2)(x+3), puis résoudre (x−2)(x+3)<0(x-2)(x+3) < 0.
Correction détaillée
Les facteurs s'annulent en $2$ et $-3$. On range dans l'ordre croissant : $-3 < 2$. | | $x<-3$ | $-3<x<2$ | $x>2$ | |---|---|---|---| | $x+3$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-2$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | On cherche où le produit est **strictement négatif** : c'est l'intervalle du milieu, bornes **exclues**. $$\boxed{S =\ ]-3\,;2[}$$
Exercice 26
Intermédiaire
Résoudre (x+1)(x−2)(x+6)=0(x+1)(x-2)(x+6) = 0.
Correction détaillée
Le produit nul s'étend à **trois** facteurs : il suffit que l'un d'eux soit nul. $$x+1=0 \ \text{ou} \ x-2=0 \ \text{ou} \ x+6=0$$ $$\boxed{S = \{-6\ ;\ -1\ ;\ 2\}}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Résoudre x2⩽4x^2 \leqslant 4.
Correction détaillée
On ramène à zéro puis on factorise : $$x^2 - 4 \leqslant 0 \iff (x-2)(x+2) \leqslant 0$$ Tableau de signes (zéros en $-2$ et $2$) : le produit est négatif **entre** les racines. L'inégalité étant **large**, les bornes sont incluses. $$\boxed{S = [-2\,;2]}$$
Exercice 28
Intermédiaire
Résoudre x−1x+2>0\dfrac{x-1}{x+2} > 0.
Correction détaillée
**Valeur interdite :** $x = -2$ (annule le dénominateur). Zéros : $x=1$ (numérateur), $x=-2$ (dénominateur). | | $x<-2$ | $-2<x<1$ | $x>1$ | |---|---|---|---| | $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x+2$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **quotient** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut le quotient **strictement positif** : $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-2[\ \cup\ ]1\,;+\infty[}$$
Exercice 29
Difficile
Résoudre (3−x)(x+4)⩽0(3-x)(x+4) \leqslant 0.
Correction détaillée
Les facteurs s'annulent en $x=3$ et $x=-4$. **Attention** : dans $3-x$, le coefficient de $x$ est **négatif**, donc ce facteur est positif **avant** $3$ et négatif après. | | $x<-4$ | $-4<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $3-x$ | $+$ | $+$ | $-$ | | $x+4$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **produit** | $-$ | $+$ | $-$ | On cherche où le produit est **négatif ou nul** : les deux intervalles extérieurs, bornes **incluses** (inégalité large). $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-4] \cup [3\,;+\infty[}$$
Exercice 30
Difficile
Résoudre (2x−6)(x+1)>0(2x-6)(x+1) > 0.
Correction détaillée
Zéros : $2x-6=0$ donne $x=3$ ; $x+1=0$ donne $x=-1$. On range : $-1 < 3$. | | $x<-1$ | $-1<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $2x-6$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | Produit **strictement positif**, bornes exclues : $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-1[\ \cup\ ]3\,;+\infty[}$$
Exercice 31
Difficile
Résoudre x+3x−1⩽0\dfrac{x+3}{x-1} \leqslant 0.
Correction détaillée
**Valeur interdite :** $x = 1$. Zéros : $x=-3$ (numérateur, **autorisé**), $x=1$ (dénominateur, **interdit**). | | $x<-3$ | $-3<x<1$ | $x>1$ | |---|---|---|---| | $x+3$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **quotient** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut le quotient **négatif ou nul** : l'intervalle du milieu. La borne $-3$ est **incluse** (le quotient y vaut $0$), la borne $1$ est **exclue** (valeur interdite). $$\boxed{S = [-3\,;1[}$$ *C'est le point clé des quotients : les deux bornes ne se traitent pas de la même façon.*
Exercice 32
Difficile
Montrer que x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), puis résoudre x2−5x+6=0x^2-5x+6 = 0.
1.
Vérifier la factorisation.
On développe le membre de droite : $$(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$$ C'est bien l'expression de départ ✔
2.
Résoudre l'équation.
Grâce à la factorisation, on applique la règle du produit nul : $$(x-2)(x-3) = 0 \iff x = 2 \ \text{ou} \ x = 3$$ $$\boxed{S = \{2\ ;\ 3\}}$$ *Sans la factorisation fournie, cette équation serait hors de portée en Seconde : c'est le rôle de la question 1.*
Exercice 33
Difficile
Résoudre x2−9>0x^2 - 9 > 0.
Correction détaillée
On **factorise** — on ne peut pas « passer à la racine » dans une inéquation : $$x^2-9 > 0 \iff (x-3)(x+3) > 0$$ | | $x<-3$ | $-3<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $x+3$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-3$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-3[\ \cup\ ]3\,;+\infty[}$$ *Erreur à éviter : écrire « $x > 3$ » seulement — on oublie alors toute la partie négative.*
Exercice 34
Difficile
Un rectangle a une longueur supérieure de 3 cm à sa largeur xx. Son périmètre vaut 26 cm. Déterminer ses dimensions.
Correction détaillée
**Mise en équation.** Largeur $x$, longueur $x+3$. Le périmètre est $$P = 2(x+3) + 2x$$ **Résolution.** $$2(x+3)+2x = 26 \iff 2x+6+2x = 26 \iff 4x = 20 \iff x = 5$$ **Conclusion.** Largeur $5$ cm, longueur $5+3 = 8$ cm. **Vérification :** $2\times8 + 2\times5 = 16+10 = 26$ ✔ $$\boxed{5 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}}$$
Exercice 35
Difficile
Un abonnement coûte 15 € par mois, plus 2,50 € par séance. Combien de séances peut-on faire avec un budget mensuel de 40 € ?
Correction détaillée
**Mise en équation.** Soit $x$ le nombre de séances. Le coût total est $15 + 2{,}5x$, et il doit rester **au plus** égal à $40$ : $$15 + 2{,}5x \leqslant 40$$ **Résolution.** $$2{,}5x \leqslant 25 \iff x \leqslant 10$$ **Conclusion.** Comme $x$ est un nombre **entier** de séances : $$\boxed{\text{au plus } 10 \text{ séances}}$$ **Vérification :** $15 + 2{,}5\times10 = 40$ € exactement ✔ ; avec 11 séances on atteindrait $42{,}50$ € > 40 €.
Exercice 36
Avancé
Résoudre (x−1)2=(2x+3)2(x-1)^2 = (2x+3)^2.
Correction détaillée
**Erreur à éviter :** conclure $x-1 = 2x+3$. Un carré peut aussi provenir de l'**opposé**. On ramène tout à zéro pour obtenir une différence de carrés : $$(x-1)^2 - (2x+3)^2 = 0$$ Avec $a = x-1$ et $b = 2x+3$ : $$\left[(x-1)+(2x+3)\right]\left[(x-1)-(2x+3)\right] = 0$$ $$(3x+2)(-x-4) = 0$$ Produit nul : $$3x+2 = 0 \ \text{ou} \ -x-4 = 0$$ $$\boxed{S = \left\{-4\ ;\ -\tfrac23\right\}}$$ **Vérification** pour $x=-4$ : $(-5)^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$ ✔
Exercice 37
Avancé
Résoudre 2x+1x−3=2\dfrac{2x+1}{x-3} = 2.
Correction détaillée
**Valeur interdite :** $x = 3$. On ramène à zéro et on réduit au même dénominateur (multiplier en croix est un raccourci risqué) : $$\frac{2x+1}{x-3} - 2 = 0 \iff \frac{2x+1 - 2(x-3)}{x-3} = 0$$ On développe le numérateur : $$2x+1-2x+6 = 7$$ L'équation devient : $$\frac{7}{x-3} = 0$$ Or une fraction est nulle **si et seulement si son numérateur est nul**. Ici le numérateur vaut $7 \neq 0$ : c'est impossible. $$\boxed{S = \varnothing}$$ *Interprétation : la courbe de $\frac{2x+1}{x-3}$ s'approche de la valeur $2$ sans jamais l'atteindre.*
Exercice 38
Avancé
Déterminer les réels xx tels que x2<xx^2 < x.
Correction détaillée
**Erreur à éviter :** simplifier par $x$ — on ne connaît pas son signe, et $x$ peut être nul. On ramène à zéro et on **factorise** : $$x^2 - x < 0 \iff x(x-1) < 0$$ | | $x<0$ | $0<x<1$ | $x>1$ | |---|---|---|---| | $x$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | $$\boxed{S =\ ]0\,;1[}$$ *Résultat notable : un nombre est plus grand que son carré uniquement **entre 0 et 1**. Par exemple $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$.*
Exercice 39
Avancé
Un terrain rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 m, et une aire de 45 m². Déterminer ses dimensions.
Correction détaillée
**Mise en équation.** Largeur $x > 0$, longueur $x+4$ : $$x(x+4) = 45$$ **Résolution.** On ramène à zéro : $$x^2+4x-45 = 0$$ On cherche une factorisation : il faut deux nombres de produit $-45$ et de somme $4$, soit $9$ et $-5$ : $$(x+9)(x-5) = 0$$ *Contrôle du développement :* $x^2-5x+9x-45 = x^2+4x-45$ ✔ $$x = -9 \quad \text{ou} \quad x = 5$$ **Retour au contexte.** Une largeur est **strictement positive** : la solution $-9$ est à **rejeter**. **Conclusion.** Largeur $5$ m, longueur $9$ m. *Vérification :* $5\times9 = 45$ m² ✔ $$\boxed{5 \text{ m} \times 9 \text{ m}}$$
Exercice 40
Avancé
Discuter, selon le réel mm, le nombre de solutions de l'équation x2=m−1x^2 = m - 1.
Correction détaillée
L'équation est de la forme $x^2 = a$ avec $a = m-1$. On applique le théorème du cours en discutant le **signe de $a$**. **Cas 1 : $m - 1 > 0$, soit $m > 1$.** Deux solutions opposées : $$x = \sqrt{m-1} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{m-1}$$ **Cas 2 : $m - 1 = 0$, soit $m = 1$.** Une unique solution : $x = 0$. **Cas 3 : $m - 1 < 0$, soit $m < 1$.** Aucune solution réelle (un carré n'est jamais négatif). $$\boxed{m>1 : \text{2 solutions} \ ;\quad m=1 : \text{1 solution} \ ;\quad m<1 : \text{aucune}}$$ *Exemple de contrôle : pour $m=5$, $x^2=4$ donne bien $x=\pm2$.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Choisir le bon forfait
Intermédiaire
Deux salles de sport proposent :
— Forfait A : 3030 € par mois, séances illimitées.
— Forfait B : 1212 € par mois, plus 33 € par séance.

On note xx le nombre de séances effectuées dans le mois.
1.
Exprimer en fonction de xx le coût mensuel de chaque forfait.
Le forfait A ne dépend pas du nombre de séances : $$C_A = 30$$ Le forfait B comporte une part fixe et une part proportionnelle : $$C_B = 12 + 3x$$ $$\boxed{C_A = 30 \ ;\quad C_B = 12+3x}$$
2.
Pour combien de séances les deux forfaits reviennent-ils au même prix ?
On résout $C_A = C_B$ : $$30 = 12 + 3x \iff 18 = 3x \iff x = 6$$ $$\boxed{\text{Pour } 6 \text{ séances, les deux coûtent } 30 \text{ euros}}$$
3.
À partir de combien de séances le forfait A devient-il le plus avantageux ?
Le forfait A est plus avantageux lorsque $C_A < C_B$ : $$30 < 12+3x \iff 18 < 3x \iff 6 < x$$ Comme $x$ est un nombre entier de séances, cela signifie $x \geqslant 7$. $$\boxed{\text{À partir de } 7 \text{ séances}}$$ **Contrôle :** pour $7$ séances, B coûte $12+21 = 33$ € contre $30$ € pour A ✔
4.
Rédiger un conseil pour un client qui prévoit 4 séances par mois.
Pour $x = 4$ : - Forfait B : $12 + 3\times4 = 24$ € ; - Forfait A : $30$ €. Comme $4 < 6$, on se situe avant le point d'équilibre. $$\boxed{\text{Le forfait B est conseillé : } 24 \text{ euros contre } 30, \text{ soit } 6 \text{ euros d'économie}}$$
Problème 2 — Une équation, trois formes
Intermédiaire
On considère l'expression
E=(x−1)2−4.E = (x-1)^2 - 4.
1.
Développer et réduire EE.
$$(x-1)^2 = x^2-2x+1$$ Donc : $$E = x^2-2x+1-4$$ $$\boxed{E = x^2-2x-3}$$
2.
Factoriser EE.
Sur la forme initiale, on reconnaît une **différence de deux carrés** ($a = x-1$, $b = 2$) : $$E = \left[(x-1)+2\right]\left[(x-1)-2\right]$$ $$\boxed{E = (x+1)(x-3)}$$
3.
Résoudre E=0E = 0. Quelle forme faut-il utiliser ?
C'est la forme **factorisée** qui permet de conclure, grâce à la règle du produit nul : $$(x+1)(x-3) = 0 \iff x = -1 \ \text{ou} \ x = 3$$ $$\boxed{S = \{-1\ ;\ 3\}}$$
4.
Résoudre E⩽0E \leqslant 0.
On repart de la forme factorisée et on dresse le tableau de signes (zéros en $-1$ et $3$) : | | $x<-1$ | $-1<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-3$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut $E$ **négatif ou nul** : l'intervalle du milieu, bornes **incluses** (inégalité large). $$\boxed{S = [-1\,;3]}$$
Problème 3 — Un enclos contre un mur
Difficile
Un éleveur dispose de 4040 m de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un long mur : le côté le long du mur n'a pas besoin d'être clôturé.

On note xx la longueur (en m) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
1.
Exprimer en fonction de xx la longueur du côté parallèle au mur.
Le grillage couvre **deux** côtés de longueur $x$ et **un seul** côté parallèle au mur, noté $L$ : $$2x + L = 40$$ $$\boxed{L = 40 - 2x}$$
2.
Entre quelles valeurs xx peut-il varier ?
Les deux dimensions doivent être **strictement positives** : - $x > 0$ ; - $L > 0$, soit $40-2x > 0 \iff 40 > 2x \iff x < 20$. $$\boxed{x \in\ ]0\,;20[}$$
3.
Exprimer l'aire A(x)\mathcal{A}(x) de l'enclos, puis montrer que A(x)=200−2(x−10)2\mathcal{A}(x) = 200 - 2(x-10)^2.
L'aire est le produit des deux dimensions : $$\mathcal{A}(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2$$ **Vérifions la forme proposée** en développant : $$200 - 2(x-10)^2 = 200 - 2(x^2-20x+100)$$ $$= 200 - 2x^2 + 40x - 200 = 40x - 2x^2$$ Les deux expressions coïncident. $$\boxed{\mathcal{A}(x) = 200-2(x-10)^2}$$
4.
En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale.
Dans l'écriture $\mathcal{A}(x) = 200 - 2(x-10)^2$, on **retire** à $200$ une quantité toujours positive ou nulle. Donc $\mathcal{A}(x) \leqslant 200$, avec égalité quand la quantité retirée est **nulle** : $$(x-10)^2 = 0 \iff x = 10$$ Cette valeur appartient bien à $]0\,;20[$ ✔ On a alors $L = 40 - 2\times10 = 20$ m. $$\boxed{\text{Enclos } 10 \text{ m} \times 20 \text{ m, d'aire maximale } 200 \text{ m}^2}$$ *Le côté le long du mur vaut le double des autres — l'économie du mur change l'optimum, qui n'est plus un carré.*
Problème 4 — Signes et quotients
Difficile
On considère l'expression
Q(x)=2x−6x+1.Q(x) = \frac{2x-6}{x+1}.
1.
Donner la valeur interdite.
Le dénominateur s'annule pour : $$x+1 = 0 \iff x = -1$$ $$\boxed{\text{Valeur interdite : } x = -1}$$
2.
Dresser le tableau de signes de Q(x)Q(x).
Zéros : $2x-6 = 0$ donne $x=3$ (numérateur) ; $x=-1$ (dénominateur, **interdit**). On range : $-1 < 3$. | | $x<-1$ | $-1<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $2x-6$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **$Q(x)$** | $+$ | $-$ | $+$ | *En $x=-1$, $Q$ n'existe pas ; en $x=3$, $Q$ s'annule.*
3.
Résoudre Q(x)⩾0Q(x) \geqslant 0.
On lit les intervalles où $Q$ est **positif ou nul**, en traitant les bornes séparément : - $x = -1$ : **exclue** (valeur interdite) ; - $x = 3$ : **incluse** ($Q(3) = 0$ et l'inégalité est large). $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-1[\ \cup\ [3\,;+\infty[}$$
4.
Résoudre Q(x)=2Q(x) = 2.
**Valeur interdite** toujours : $x \neq -1$. On ramène à zéro : $$\frac{2x-6}{x+1} - 2 = 0 \iff \frac{2x-6-2(x+1)}{x+1} = 0$$ On développe le numérateur : $$2x-6-2x-2 = -8$$ L'équation devient $\dfrac{-8}{x+1} = 0$. Une fraction est nulle **si et seulement si son numérateur est nul** — or $-8 \neq 0$. $$\boxed{S = \varnothing}$$ *La valeur $2$ n'est jamais atteinte par $Q$.*