L'essentiel en 30 secondes
Un vecteur représente un déplacement : une direction, un sens et une longueur (la norme). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) — « l'arrivée moins le départ ». Deux vecteurs sont colinéaires quand leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui se teste avec le déterminant xy′ − yx′ = 0 : c'est l'outil central pour prouver un parallélisme ou un alignement.
1 I. Vecteur et translation
Un vecteur n'est pas un point : c'est un déplacement. Il décrit de combien et dans quelle direction on se déplace — mais pas d'où l'on part. C'est cette liberté qui en fait un outil si puissant.
2 II. Coordonnées d'un vecteur
3 III. Somme de vecteurs
4 IV. Produit d'un vecteur par un réel
5 V. Colinéarité
6 VI. Applications
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
a pour coordonnées « l'arrivée moins le départ » : . Attention à l'ordre : pour un point on lit ses coordonnées, pour un vecteur on soustrait — confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : , c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est l'outil pour prouver que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés.
Quelle est la différence entre AB = CD et le fait que les vecteurs AB et CD soient égaux ?
ne compare que des longueurs. L'égalité est bien plus forte : même direction, même sens ET même longueur — elle équivaut à dire que est un parallélogramme. Deux segments peuvent avoir la même longueur avec des directions complètement différentes.
Comment additionner deux vecteurs ?
Géométriquement, on les met bout à bout : c'est la relation de Chasles, . En coordonnées, on additionne composante par composante : .