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III Géométrie · Chapitre 08 / 11

Vecteurs

Translation, somme, colinéarité, coordonnées.

9 min de lecture
6 sections, 6 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Un vecteur représente un déplacement : une direction, un sens et une longueur (la norme). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) — « l'arrivée moins le départ ». Deux vecteurs sont colinéaires quand leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui se teste avec le déterminant xy′ − yx′ = 0 : c'est l'outil central pour prouver un parallélisme ou un alignement.

1 I. Vecteur et translation

Un vecteur n'est pas un point : c'est un déplacement. Il décrit de combien et dans quelle direction on se déplace — mais pas d'où l'on part. C'est cette liberté qui en fait un outil si puissant.

2 II. Coordonnées d'un vecteur

3 III. Somme de vecteurs

4 IV. Produit d'un vecteur par un réel

5 V. Colinéarité

6 VI. Applications

Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées « l'arrivée moins le départ » : (xB−xA ;yB−yA)(x_B - x_A\,;y_B - y_A). Attention à l'ordre : pour un point on lit ses coordonnées, pour un vecteur on soustrait — confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
Deux vecteurs u→(x ;y)\vec{u}(x\,;y) et v→(x′ ;y′)\vec{v}(x'\,;y') sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : xy′−yx′=0xy' - yx' = 0, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est l'outil pour prouver que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés.
Quelle est la différence entre AB = CD et le fait que les vecteurs AB et CD soient égaux ?
AB=CDAB = CD ne compare que des longueurs. L'égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} est bien plus forte : même direction, même sens ET même longueur — elle équivaut à dire que ABDCABDC est un parallélogramme. Deux segments peuvent avoir la même longueur avec des directions complètement différentes.
Comment additionner deux vecteurs ?
Géométriquement, on les met bout à bout : c'est la relation de Chasles, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. En coordonnées, on additionne composante par composante : u→(x ;y)+v→(x′ ;y′)=(x+x′ ;y+y′)\vec{u}(x\,;y) + \vec{v}(x'\,;y') = (x + x'\,;y + y').

Coordonnées

Chasles

Colinéarité

Applications

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
On soustrait : arrivée moins départ. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}$$
Exercice 2
Facile
Déterminer AB→\overrightarrow{AB} avec A(−2 ;3)A(-2\,;3) et B(4 ;−1)B(4\,;-1).
Correction détaillée
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-(-2) \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}}$$ *Attention aux signes des soustractions.*
Exercice 3
Facile
Avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4), donner BA→\overrightarrow{BA}.
Correction détaillée
Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l'**opposé** de $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ : $$\boxed{\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}}$$
Exercice 4
Facile
Calculer la norme du vecteur u→(34)\vec u\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}.
Correction détaillée
$$\|\vec u\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$$ $$\boxed{\|\vec u\| = 5}$$
Exercice 5
Facile
Simplifier AB→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
Correction détaillée
C'est la relation de Chasles : le point $B$ est l'arrivée du premier et le départ du second, il disparaît. $$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}}$$
Exercice 6
Facile
Simplifier AB→+BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.
Correction détaillée
Les deux vecteurs sont **opposés**. Par Chasles, on arrive au point de départ : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$$ $$\boxed{\vec 0}$$
Exercice 7
Facile
Calculer u→+v→\vec u + \vec v avec u→(31)\vec u\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} et v→(2−4)\vec v\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}.
Correction détaillée
On additionne coordonnée par coordonnée : $$\begin{pmatrix} 3+2 \\ 1+(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\vec u+\vec v\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}}$$
Exercice 8
Facile
Calculer 3u→3\vec u avec u→(2−1)\vec u\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}.
Correction détaillée
On multiplie **les deux** coordonnées par $3$ : $$\boxed{3\vec u\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}}$$
Exercice 9
Facile
Calculer −2u→-2\vec u avec u→(42)\vec u\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}, et préciser le sens obtenu.
Correction détaillée
$$-2\vec u\begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$$ Le coefficient étant **négatif**, le vecteur obtenu a le **sens contraire** de $\vec u$, et une longueur **doublée**. $$\boxed{-2\vec u\begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}}$$
Exercice 10
Facile
Les vecteurs u→(42)\vec u\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} et v→(63)\vec v\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} sont-ils colinéaires ?
Correction détaillée
On calcule le déterminant : $$4\times3 - 6\times2 = 12-12 = 0$$ $$\boxed{\text{Oui, ils sont colinéaires}}$$ *En effet $\vec v = \tfrac32\vec u$.*
Exercice 11
Facile
Les vecteurs u→(42)\vec u\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} et w→(64)\vec w\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} sont-ils colinéaires ?
Correction détaillée
$$4\times4 - 6\times2 = 16-12 = 4 \neq 0$$ $$\boxed{\text{Non, ils ne sont pas colinéaires}}$$
Exercice 12
Facile
Calculer la norme de AB→\overrightarrow{AB} avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, donc $$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$$ $$\boxed{2\sqrt5}$$ *C'est exactement la distance $AB$ du chapitre 7.*
Exercice 13
Facile
Que vaut AA→\overrightarrow{AA} ?
Correction détaillée
Le départ et l'arrivée sont confondus : le déplacement est nul. $$\overrightarrow{AA}\begin{pmatrix} x_A-x_A \\ y_A-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AA} = \vec 0}$$
Exercice 14
Facile
Traduire par une égalité vectorielle : « ABCDABCD est un parallélogramme ».
Correction détaillée
Les côtés $[AB]$ et $[DC]$ doivent être parcourus dans le **même sens** : $$\boxed{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}}$$ *Attention : ce n'est **pas** $\overrightarrow{CD}$.*
Exercice 15
Facile
Simplifier AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.
Correction détaillée
On applique Chasles deux fois de suite : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$ puis $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AD}}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Les points A(1 ;2)A(1\,;2), B(3 ;5)B(3\,;5), C(7 ;11)C(7\,;11) sont-ils alignés ?
Correction détaillée
On construit deux vecteurs **à partir du même point** $A$ : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$ Déterminant : $$2\times9 - 6\times3 = 18-18 = 0$$ $$\boxed{\text{Oui, } A, B, C \text{ sont alignés}}$$
Exercice 17
Intermédiaire
Les points A(1 ;1)A(1\,;1), B(3 ;4)B(3\,;4), C(5 ;6)C(5\,;6) sont-ils alignés ?
Correction détaillée
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$$ Déterminant : $$2\times5 - 4\times3 = 10-12 = -2 \neq 0$$ $$\boxed{\text{Non, ils ne sont pas alignés}}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Montrer que A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3), C(6 ;7)C(6\,;7), D(3 ;6)D(3\,;6) forment un parallélogramme.
Correction détaillée
On compare $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 6-3 \\ 7-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Les deux vecteurs sont **égaux**. $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Déterminer DD pour que ABCDABCD soit un parallélogramme, avec A(1 ;1)A(1\,;1), B(4 ;2)B(4\,;2), C(5 ;6)C(5\,;6).
Correction détaillée
On écrit $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Avec $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $$\begin{cases} 5-x_D = 3 \\ 6-y_D = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 2 \\ y_D = 5 \end{cases}$$ $$\boxed{D(2\,;5)}$$ **Vérification :** $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB}$ ✔
Exercice 20
Intermédiaire
Déterminer mm pour que u→(3m)\vec u\begin{pmatrix} 3 \\ m \end{pmatrix} et v→(64)\vec v\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} soient colinéaires.
Correction détaillée
On annule le déterminant : $$3\times4 - 6\times m = 0 \iff 12 = 6m \iff m = 2$$ $$\boxed{m = 2}$$ **Vérification :** $\vec u\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v = 2\vec u$ ✔
Exercice 21
Intermédiaire
Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles parallèles, avec AB→(23)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} et CD→(46)\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} ?
Correction détaillée
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont **colinéaires** : $$2\times6 - 4\times3 = 12-12 = 0$$ $$\boxed{\text{Oui, } (AB)\parallel(CD)}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Calculer 2u→−3v→2\vec u - 3\vec v avec u→(14)\vec u\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} et v→(2−1)\vec v\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}.
Correction détaillée
On calcule chaque produit, puis on soustrait coordonnée par coordonnée : $$2\vec u\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix} \qquad 3\vec v\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$ $$2\vec u-3\vec v\begin{pmatrix} 2-6 \\ 8-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 11 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\begin{pmatrix} -4 \\ 11 \end{pmatrix}}$$
Exercice 23
Intermédiaire
Déterminer le point EE tel que AE→=2AB→\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB}, avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(3 ;5)B(3\,;5).
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, donc $2\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$. On écrit $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} x_E-1 \\ y_E-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $$x_E = 5 \qquad y_E = 8$$ $$\boxed{E(5\,;8)}$$ *Le point $B$ est alors le milieu de $[AE]$.*
Exercice 24
Intermédiaire
Montrer que I(3 ;3)I(3\,;3) est le milieu de [AB][AB] avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4), en utilisant les vecteurs.
Correction détaillée
On vérifie la relation $\overrightarrow{AI} = \tfrac12\overrightarrow{AB}$. $$\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\tfrac12\overrightarrow{AB} = \tfrac12\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Les deux vecteurs sont égaux. $$\boxed{I \text{ est bien le milieu de } [AB]}$$
Exercice 25
Intermédiaire
Simplifier AB→+CD→+BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.
Correction détaillée
Les termes ne s'enchaînent pas dans l'ordre écrit. L'addition de vecteurs étant **commutative**, on les **réordonne** : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$$ Maintenant Chasles s'applique deux fois : $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AD}}$$
Exercice 26
Intermédiaire
Déterminer mm pour que u→(m3)\vec u\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix} et v→(46)\vec v\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} soient colinéaires.
Correction détaillée
$$m\times6 - 4\times3 = 0 \iff 6m = 12 \iff m = 2$$ $$\boxed{m = 2}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Le quadrilatère A(0 ;0)A(0\,;0), B(2 ;0)B(2\,;0), C(3 ;2)C(3\,;2), D(0 ;2)D(0\,;2) est-il un parallélogramme ?
Correction détaillée
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 3-0 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Les deux vecteurs ne sont **pas égaux** ($2 \neq 3$). $$\boxed{\text{Non, ce n'est pas un parallélogramme}}$$ *Ils sont colinéaires (déterminant nul), donc $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles — mais pas de même longueur : c'est un trapèze.*
Exercice 28
Intermédiaire
Expliquer pourquoi le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Correction détaillée
**Par la définition.** Pour tout vecteur $\vec u$, on peut écrire $$\vec 0 = 0 \times \vec u,$$ ce qui est exactement la condition de colinéarité avec $k=0$. **Par le critère.** Le vecteur nul a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc le déterminant avec $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ vaut $$0\times y - x\times 0 = 0.$$ $$\boxed{\vec 0 \text{ est colinéaire à tout vecteur}}$$
Exercice 29
Difficile
Déterminer mm pour que u→(m2)\vec u\begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix} et v→(8m)\vec v\begin{pmatrix} 8 \\ m \end{pmatrix} soient colinéaires.
Correction détaillée
On annule le déterminant : $$m\times m - 8\times2 = 0 \iff m^2 - 16 = 0$$ On **factorise** (différence de carrés) : $$(m-4)(m+4) = 0$$ $$\boxed{m = 4 \quad \text{ou} \quad m = -4}$$ **Vérification** pour $m=4$ : $\vec u\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 2\vec u$ ✔ Pour $m=-4$ : $\vec u\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} = -2\vec u$ ✔
Exercice 30
Difficile
Soient A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3) et C(6 ;7)C(6\,;7). Déterminer le point DD tel que AD→=AB→+AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
Correction détaillée
**Les deux vecteurs :** $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$$ **Leur somme :** $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}$$ **Le point $D$ :** on résout $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D-1 \\ y_D-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $$x_D = 9 \qquad y_D = 8$$ $$\boxed{D(9\,;8)}$$ *Le quadrilatère $ABDC$ est alors un parallélogramme : c'est la construction de la « règle du parallélogramme » pour additionner deux vecteurs.*
Exercice 31
Difficile
Montrer que les points A(−1 ;1)A(-1\,;1), B(2 ;3)B(2\,;3), C(8 ;7)C(8\,;7) sont alignés, puis exprimer AC→\overrightarrow{AC} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
1.
Montrer l'alignement.
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Déterminant : $$3\times6 - 9\times2 = 18-18 = 0$$ $$\boxed{A, B, C \text{ sont alignés}}$$
2.
Exprimer AC→\overrightarrow{AC} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
On cherche $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$, en comparant les coordonnées : $$9 = 3k \implies k = 3 \qquad \text{et} \qquad 6 = 2k \implies k = 3$$ Les deux donnent la **même** valeur, ce qui confirme la colinéarité. $$\boxed{\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}}$$ *Concrètement, $C$ est trois fois plus loin de $A$ que $B$, dans la même direction.*
Exercice 32
Difficile
Soient A(2 ;1)A(2\,;1), B(5 ;3)B(5\,;3), C(4 ;6)C(4\,;6). Déterminer le point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme, puis vérifier avec le critère des diagonales du chapitre 7.
Correction détaillée
**Par les vecteurs.** Il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, avec $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ : $$\begin{cases} 4-x_D = 3 \\ 6-y_D = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 1 \\ y_D = 4 \end{cases}$$ $$\boxed{D(1\,;4)}$$ **Vérification par les diagonales.** $$\text{mil}[AC] = \left(\frac{2+4}{2}\,;\frac{1+6}{2}\right) = \left(3\,;\frac72\right)$$ $$\text{mil}[BD] = \left(\frac{5+1}{2}\,;\frac{3+4}{2}\right) = \left(3\,;\frac72\right)$$ Les deux milieux coïncident ✔ Les deux méthodes concordent.
Exercice 33
Difficile
Soient u→(2−3)\vec u\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} et v→(−14)\vec v\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}. Déterminer les réels aa et bb tels que au→+bv→=(16)a\vec u + b\vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}.
Correction détaillée
On traduit l'égalité vectorielle par un **système de deux équations** (une par coordonnée) : $$\begin{cases} 2a - b = 1 \\ -3a + 4b = 6 \end{cases}$$ De la première : $b = 2a-1$. On **substitue** dans la seconde : $$-3a + 4(2a-1) = 6 \iff -3a+8a-4 = 6 \iff 5a = 10 \iff a = 2$$ D'où $b = 2\times2-1 = 3$. $$\boxed{a = 2 \ ;\quad b = 3}$$ **Vérification :** $2\vec u\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$, $3\vec v\begin{pmatrix} -3 \\ 12 \end{pmatrix}$, somme $\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ ✔
Exercice 34
Difficile
Soient A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;3)B(5\,;3) et II le milieu de [AB][AB]. Montrer que pour tout point MM, MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}.
Correction détaillée
**Idée :** faire apparaître $I$ dans chaque terme grâce à Chasles. $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \qquad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$$ On additionne : $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} + \left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)$$ **Or $I$ est le milieu de $[AB]$** : les vecteurs $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont **opposés**, donc leur somme est nulle. $$\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}}$$ *Contrôle numérique avec $M(0\,;0)$ : $I(3\,;2)$, $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, somme $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 2\overrightarrow{MI}$ ✔*
Exercice 35
Difficile
Soient A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(1 ;3)C(1\,;3). Le point D(5 ;3)D(5\,;3) est-il tel que ABDCABDC soit un parallélogramme ? Attention à l'ordre des sommets.
Correction détaillée
Dans le quadrilatère $ABDC$, les sommets se suivent dans l'ordre $A \to B \to D \to C$. Le critère porte donc sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ : $$ABDC \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$$ **Calculs :** $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 5-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Les deux vecteurs sont égaux. $$\boxed{\text{Oui, } ABDC \text{ est un parallélogramme}}$$ *Le piège : avec l'ordre $ABDC$, le côté « opposé » à $[AB]$ est $[CD]$ et non $[DC]$. Il faut toujours lire les sommets **dans l'ordre du contour**.*
Exercice 36
Avancé
Démontrer que si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, alors AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
Correction détaillée
**Traduction en coordonnées.** L'hypothèse $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ s'écrit : $$x_B-x_A = x_C-x_D \qquad \text{et} \qquad y_B-y_A = y_C-y_D$$ **Réorganisation.** De la première égalité, on regroupe autrement les termes : $$x_B-x_A = x_C-x_D \iff x_D-x_A = x_C-x_B$$ *(on ajoute $x_D - x_B$ aux deux membres)* Le membre de gauche est l'abscisse de $\overrightarrow{AD}$, celui de droite l'abscisse de $\overrightarrow{BC}$. Le même calcul vaut pour les ordonnées. $$\boxed{\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}}$$ *Interprétation : dans un parallélogramme $ABCD$, si une paire de côtés opposés est « égale vectoriellement », l'autre paire l'est aussi.*
Exercice 37
Avancé
Soient u→\vec u et v→\vec v deux vecteurs non nuls et non colinéaires. Démontrer que si au→+bv→=0→a\vec u + b\vec v = \vec 0, alors a=b=0a = b = 0.
Correction détaillée
**Raisonnement par l'absurde.** Supposons $a \neq 0$. On peut alors isoler $\vec u$ : $$a\vec u = -b\vec v \iff \vec u = -\frac ba\,\vec v$$ Cette écriture signifie que $\vec u$ est le produit de $\vec v$ par un réel : les deux vecteurs sont donc **colinéaires**, ce qui **contredit** l'hypothèse. Donc $a = 0$. L'égalité de départ devient alors $b\vec v = \vec 0$, et comme $\vec v \neq \vec 0$, on obtient $b = 0$. $$\boxed{a = b = 0}$$ *Cette propriété est la raison pour laquelle deux vecteurs non colinéaires forment une **base** du plan : la décomposition d'un vecteur y est unique.*
Exercice 38
Avancé
Soient AA, BB, CC trois points. Démontrer que AA, BB, CC sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires.
Correction détaillée
**Sens direct.** Si $A$, $B$, $C$ sont alignés, ils appartiennent à une même droite $d$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont alors tous deux la **direction de $d$** : ils sont colinéaires. **Réciproque.** Supposons $\overrightarrow{BC} = k\,\overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$ (le cas $\overrightarrow{AB} = \vec 0$, c'est-à-dire $A=B$, rendant l'alignement immédiat). Par Chasles : $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+k\,\overrightarrow{AB} = (1+k)\,\overrightarrow{AB}$$ Donc $\overrightarrow{AC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. $$\boxed{\text{L'équivalence est démontrée}}$$ *Conséquence pratique : on peut tester l'alignement avec $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ **ou** $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ — les deux marchent.*
Exercice 39
Avancé
Soient A(1 ;0)A(1\,;0), B(0 ;2)B(0\,;2) et C(3 ;m)C(3\,;m). Déterminer mm pour que les trois points soient alignés.
Correction détaillée
On construit deux vecteurs depuis $A$ : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix}$$ L'alignement équivaut à l'annulation du déterminant : $$(-1)\times m - 2\times 2 = 0 \iff -m-4 = 0 \iff m = -4$$ $$\boxed{m = -4}$$ **Vérification :** avec $C(3\,;-4)$, on a $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = -2\,\overrightarrow{AB}$ ✔ Les points sont bien alignés.
Exercice 40
Avancé
Soit ABCABC un triangle, II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC][AC]. Démontrer que IJ→=12 BC→\overrightarrow{IJ} = \tfrac12\,\overrightarrow{BC}.
Correction détaillée
**Faire apparaître $A$**, point commun aux deux milieux, grâce à Chasles : $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$$ **Exprimer chaque terme.** $I$ étant le milieu de $[AB]$ : $$\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AI} = -\tfrac12\,\overrightarrow{AB}$$ $J$ étant le milieu de $[AC]$ : $$\overrightarrow{AJ} = \tfrac12\,\overrightarrow{AC}$$ **Substituer et factoriser :** $$\overrightarrow{IJ} = -\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC} = \tfrac12\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$$ Or, par Chasles, $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}$. $$\boxed{\overrightarrow{IJ} = \tfrac12\,\overrightarrow{BC}}$$ *C'est le **théorème des milieux**, redémontré par les vecteurs : $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ et $IJ = \frac{BC}{2}$.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Construire un parallélogramme
Intermédiaire
Dans un repère, on donne
A(−1 ;2),B(3 ;4),C(5 ;1).A(-1\,;2), \quad B(3\,;4), \quad C(5\,;1).
1.
Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC}.
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \ ;\quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}}$$
2.
Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ?
On calcule le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $$4\times(-3) - 2\times2 = -12-4 = -16 \neq 0$$ $$\boxed{\text{Non, ils ne sont pas alignés}}$$ *C'est heureux : ils forment bien un triangle, donc un parallélogramme est constructible.*
3.
Déterminer DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.
Il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : $$\begin{cases} 5-x_D = 4 \\ 1-y_D = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 1 \\ y_D = -1 \end{cases}$$ $$\boxed{D(1\,;-1)}$$ **Vérification :** $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5-1 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB}$ ✔
4.
Vérifier le résultat avec le critère des diagonales.
$$\text{mil}[AC] = \left(\frac{-1+5}{2}\,;\frac{2+1}{2}\right) = \left(2\,;\frac32\right)$$ $$\text{mil}[BD] = \left(\frac{3+1}{2}\,;\frac{4+(-1)}{2}\right) = \left(2\,;\frac32\right)$$ Les deux milieux coïncident. $$\boxed{\text{Les deux critères concordent}}$$ *Vecteurs et milieux donnent le même résultat — ce sont deux formulations d'une même propriété.*
Problème 2 — Alignement et paramètre
Intermédiaire
Dans un repère, on considère les points
A(2 ;1),B(5 ;3),M(m ;7)A(2\,;1), \quad B(5\,;3), \quad M(m\,;7)
où mm est un réel.
1.
Calculer AB→\overrightarrow{AB} et AM→\overrightarrow{AM} en fonction de mm.
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} m-2 \\ 6 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \ ;\quad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} m-2 \\ 6 \end{pmatrix}}$$
2.
Déterminer mm pour que AA, BB, MM soient alignés.
On annule le déterminant : $$3\times6 - (m-2)\times2 = 0$$ $$18 - 2m + 4 = 0 \iff 22 = 2m \iff m = 11$$ $$\boxed{m = 11}$$
3.
Vérifier le résultat en exprimant AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
Pour $m=11$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. On cherche $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}$ : $$9 = 3k \implies k=3 \qquad 6 = 2k \implies k=3$$ Les deux coordonnées donnent la **même** valeur. $$\boxed{\overrightarrow{AM} = 3\,\overrightarrow{AB}}$$ *L'alignement est confirmé, et $M$ est trois fois plus loin de $A$ que $B$.*
4.
Pour m=5m = 5, les points sont-ils alignés ? Justifier.
Pour $m=5$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$. Déterminant : $$3\times6 - 3\times2 = 18-6 = 12 \neq 0$$ $$\boxed{\text{Non, les points ne sont pas alignés}}$$ *Cohérent avec la question 2 : seule la valeur $m=11$ convient.*
Problème 3 — Le théorème des milieux
Difficile
Soit ABCABC un triangle. On note II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC][AC].

On travaille dans le repère où A(0 ;0)A(0\,;0), B(6 ;0)B(6\,;0) et C(2 ;4)C(2\,;4).
1.
Déterminer les coordonnées de II et JJ.
$$I\left(\frac{0+6}{2}\,;\frac{0+0}{2}\right) = I(3\,;0)$$ $$J\left(\frac{0+2}{2}\,;\frac{0+4}{2}\right) = J(1\,;2)$$ $$\boxed{I(3\,;0) \ ;\quad J(1\,;2)}$$
2.
Calculer IJ→\overrightarrow{IJ} et BC→\overrightarrow{BC}, puis comparer.
$$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}$$ On constate que chaque coordonnée de $\overrightarrow{IJ}$ est la **moitié** de celle de $\overrightarrow{BC}$. $$\boxed{\overrightarrow{IJ} = \tfrac12\,\overrightarrow{BC}}$$
3.
Qu'en déduit-on pour les droites (IJ)(IJ) et (BC)(BC), et pour les longueurs ?
**Parallélisme.** Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires (l'un est le produit de l'autre par $\frac12$), donc les droites sont **parallèles**. **Longueurs.** Le coefficient $\frac12$ donne directement : $$IJ = \tfrac12\,BC$$ *Contrôle numérique :* $IJ = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$ et $BC = \sqrt{16+16} = 4\sqrt2$ ✔ $$\boxed{(IJ)\parallel(BC) \quad \text{et} \quad IJ = \tfrac{BC}{2}}$$
4.
Ce résultat dépend-il des coordonnées choisies ?
**Non.** La démonstration générale (exercice 40) n'utilise que Chasles et la définition du milieu, sans aucune coordonnée : $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} = -\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC} = \tfrac12\overrightarrow{BC}$$ $$\boxed{\text{Le résultat est valable pour TOUT triangle}}$$ *C'est le **théorème des milieux**. Les coordonnées ne servaient ici qu'à l'illustrer sur un cas particulier — elles ne le démontrent pas en général.*
Problème 4 — Décomposer un vecteur
Difficile
Dans un repère, on donne les vecteurs
u→(12),v→(3−1),w→(94).\vec u\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \vec v\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \vec w\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix}.
1.
Montrer que u→\vec u et v→\vec v ne sont pas colinéaires.
On calcule le déterminant : $$1\times(-1) - 3\times2 = -1-6 = -7 \neq 0$$ $$\boxed{\vec u \text{ et } \vec v \text{ ne sont pas colinéaires}}$$
2.
Déterminer les réels aa et bb tels que w→=au→+bv→\vec w = a\vec u + b\vec v.
L'égalité vectorielle donne un **système** (une équation par coordonnée) : $$\begin{cases} a + 3b = 9 \\ 2a - b = 4 \end{cases}$$ De la seconde : $b = 2a-4$. On **substitue** dans la première : $$a + 3(2a-4) = 9 \iff a+6a-12 = 9 \iff 7a = 21 \iff a = 3$$ D'où $b = 2\times3-4 = 2$. $$\boxed{a = 3 \ ;\quad b = 2}$$ **Vérification :** $3\vec u\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$, $2\vec v\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$, somme $\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} = \vec w$ ✔
3.
Cette décomposition est-elle unique ? Justifier.
**Oui.** Supposons deux décompositions : $$\vec w = a\vec u+b\vec v = a'\vec u+b'\vec v$$ En soustrayant : $$(a-a')\vec u + (b-b')\vec v = \vec 0$$ Or $\vec u$ et $\vec v$ ne sont **pas colinéaires** : d'après l'exercice 37, cela impose $$a-a' = 0 \quad \text{et} \quad b-b' = 0$$ $$\boxed{\text{La décomposition est unique}}$$ *C'est ce qui fait de $(\vec u,\vec v)$ une **base** du plan.*
4.
Que se passerait-il si u→\vec u et v→\vec v étaient colinéaires ?
Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, toutes leurs combinaisons $a\vec u+b\vec v$ restent **dans la même direction**. Deux cas se présentent alors : - si $\vec w$ n'a **pas** cette direction : **aucune** décomposition n'existe ; - si $\vec w$ a cette direction : il en existe une **infinité**. $$\boxed{\text{Sans la non-colinéarité, l'existence et l'unicité tombent}}$$ *C'est exactement pourquoi la question 1 devait être traitée **avant** la question 2.*