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II Fonctions · Chapitre 04 / 11

Généralités sur les fonctions

Image, antécédent, courbe, tableau de variations.

9 min de lecture
6 sections, 7 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une fonction f associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre f(x), appelé image de x. Un antécédent de k est un nombre x tel que f(x) = k : l'image est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents. La courbe représentative rassemble tous les points (x ; f(x)) et le tableau de variations résume les montées et descentes de la fonction.

1 I. Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est un procédé de calcul : on lui donne un nombre, elle en renvoie un autre — et un seul. C'est l'outil central de toutes les mathématiques du lycée.

2 II. Image et antécédent

3 III. Courbe représentative

4 IV. Tableau de valeurs

xx−1-1001122334455
f(x)f(x)883300−1-1003388

5 V. Variations et extremums

Intervalle]−∞ ;2]]-\infty\,;2][2 ;+∞[[2\,;+\infty[
sens de variation de ffdécroissantecroissante
de … à …jusqu'à −1-1à partir de −1-1

6 VI. Résolutions graphiques

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre image et antécédent ?
L'image de xx est le résultat f(x)f(x) : chaque nombre en a exactement une. Un antécédent de kk est un nombre de départ xx tel que f(x)=kf(x) = k : un nombre peut en avoir zéro, un ou plusieurs. Avec f(x)=x2f(x) = x^2 : l'image de 33 est 99, et 99 a deux antécédents, 33 et −3-3.
Comment lire une image ou un antécédent sur une courbe ?
Pour lire l'image de aa : on part de aa sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées. Pour les antécédents de kk : on trace la droite horizontale y=ky = k et on lit les abscisses de tous ses points d'intersection avec la courbe.
Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?
On cherche les valeurs de xx pour lesquelles le calcul est possible : un dénominateur doit être non nul, et une expression sous racine carrée doit être positive ou nulle. Par exemple, f(x)=x−3f(x) = \sqrt{x-3} est définie pour x⩾3x \geqslant 3, soit sur [3 ;+∞[[3\,;+\infty[.
Que représente un tableau de variations ?
C'est le résumé du comportement de la fonction : les flèches indiquent sur quels intervalles elle monte (croissante) ou descend (décroissante), et les valeurs aux extrémités des flèches sont les images correspondantes. Un sommet de flèches correspond à un maximum, un creux à un minimum.

Vocabulaire

Courbe

Variations et extremums

Lectures graphiques

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Soit f(x)=2x+3f(x) = 2x+3. Calculer f(0)f(0) et f(5)f(5).
Correction détaillée
On remplace $x$ par chaque valeur : $$f(0) = 2\times0+3 = 3 \qquad f(5) = 2\times5+3 = 13$$ $$\boxed{f(0)=3 \ ;\quad f(5)=13}$$
Exercice 2
Facile
Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2-4x+3. Calculer f(0)f(0), f(1)f(1) et f(5)f(5).
Correction détaillée
$$f(0) = 0-0+3 = 3$$ $$f(1) = 1-4+3 = 0$$ $$f(5) = 25-20+3 = 8$$ $$\boxed{f(0)=3 \ ;\ f(1)=0 \ ;\ f(5)=8}$$
Exercice 3
Facile
Soit f(x)=2x+3f(x)=2x+3. Déterminer l'antécédent de 1111.
Correction détaillée
Chercher un antécédent, c'est **résoudre une équation** : $$2x+3 = 11 \iff 2x = 8 \iff x = 4$$ $$\boxed{L'antécédent de 11 est 4}$$
Exercice 4
Facile
Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=x2+5x−1f(x) = x^2+5x-1.
Correction détaillée
C'est un **polynôme** : ni quotient, ni racine carrée. Aucune valeur n'est interdite. $$\boxed{D_f = \mathbb{R}}$$
Exercice 5
Facile
Déterminer l'ensemble de définition de g(x)=1x−3g(x) = \dfrac{1}{x-3}.
Correction détaillée
Le dénominateur ne doit pas être nul : $$x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$$ $$\boxed{D_g = \mathbb{R}\setminus\{3\}}$$
Exercice 6
Facile
Déterminer l'ensemble de définition de h(x)=x−2h(x) = \sqrt{x-2}.
Correction détaillée
Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul : $$x-2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2$$ $$\boxed{D_h = [2\,;+\infty[}$$
Exercice 7
Facile
Soit f(x)=x2f(x)=x^2. Donner les antécédents de 99.
Correction détaillée
On résout $x^2 = 9$. Comme $9>0$, il y a **deux** solutions opposées : $$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3$$ $$\boxed{9 \text{ a deux antécédents : } -3 \text{ et } 3}$$
Exercice 8
Facile
Soit f(x)=x2f(x)=x^2. Le nombre −1-1 a-t-il un antécédent ?
Correction détaillée
On résout $x^2 = -1$. Or un carré est **toujours positif ou nul**. $$\boxed{\text{Non : } -1 \text{ n'a aucun antécédent}}$$
Exercice 9
Facile
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Le point A(4 ;3)A(4\,;3) appartient-il à Cf\mathcal{C}_f ?
Correction détaillée
On calcule l'image de l'abscisse : $$f(4) = 16-16+3 = 3$$ Cela correspond à l'ordonnée de $A$. $$\boxed{A \in \mathcal{C}_f}$$
Exercice 10
Facile
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Le point B(1 ;2)B(1\,;2) appartient-il à Cf\mathcal{C}_f ?
Correction détaillée
$$f(1) = 1-4+3 = 0$$ Or l'ordonnée de $B$ est $2 \neq 0$. $$\boxed{B \notin \mathcal{C}_f}$$
Exercice 11
Facile
Soit f(x)=3x−5f(x)=3x-5. Calculer f(2)f(2) puis l'antécédent de 77.
Correction détaillée
**Image :** $f(2) = 6-5 = 1$. **Antécédent de 7 :** on résout $3x-5 = 7$. $$3x = 12 \iff x = 4$$ $$\boxed{f(2)=1 \ ;\quad \text{antécédent de } 7 : x=4}$$
Exercice 12
Facile
La fonction f(x)=−2x+1f(x) = -2x+1 est-elle croissante ou décroissante sur R\mathbb{R} ?
Correction détaillée
Le coefficient de $x$ est $-2$, **négatif** : quand $x$ augmente, $-2x$ diminue, donc $f(x)$ diminue. $$\boxed{f \text{ est décroissante sur } \mathbb{R}}$$
Exercice 13
Facile
Compléter le tableau de valeurs de f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2-4x+3 pour x=2x = 2 et x=3x = 3.
Correction détaillée
$$f(2) = 4-8+3 = -1$$ $$f(3) = 9-12+3 = 0$$ $$\boxed{f(2) = -1 \ ;\quad f(3) = 0}$$
Exercice 14
Facile
Un nombre peut-il avoir deux images par une même fonction ? Justifier.
Correction détaillée
**Non.** C'est la définition même d'une fonction : à chaque $x$ de $D_f$ est associé **un unique** nombre $f(x)$. Graphiquement, cela se traduit par le fait qu'une **droite verticale** coupe la courbe en **un point au plus**. $$\boxed{\text{Une image et une seule — mais plusieurs antécédents sont possibles}}$$
Exercice 15
Facile
Déterminer l'ensemble de définition de k(x)=x−1x+2k(x) = \dfrac{x-1}{x+2}.
Correction détaillée
Le dénominateur doit être non nul : $$x+2 \neq 0 \iff x \neq -2$$ $$\boxed{D_k = \mathbb{R}\setminus\{-2\}}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Déterminer les antécédents de 33.
Correction détaillée
On résout $f(x) = 3$ : $$x^2-4x+3 = 3 \iff x^2-4x = 0$$ On **factorise** (facteur commun $x$) : $$x(x-4) = 0 \iff x = 0 \ \text{ou} \ x = 4$$ $$\boxed{3 \text{ a deux antécédents : } 0 \text{ et } 4}$$
Exercice 17
Intermédiaire
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Déterminer les antécédents de 00.
Correction détaillée
On résout $x^2-4x+3 = 0$. On cherche une factorisation : deux nombres de produit $3$ et de somme $-4$, soit $-1$ et $-3$ : $$(x-1)(x-3) = 0$$ *Contrôle :* $x^2-3x-x+3 = x^2-4x+3$ ✔ $$\boxed{S = \{1\ ;\ 3\}}$$ *Ce sont les abscisses où la courbe coupe l'axe des abscisses.*
Exercice 18
Intermédiaire
Montrer que x2−4x+3=(x−2)2−1x^2-4x+3 = (x-2)^2-1.
Correction détaillée
On développe le membre de droite : $$(x-2)^2 - 1 = x^2-4x+4-1 = x^2-4x+3$$ C'est bien l'expression de départ. $$\boxed{x^2-4x+3 = (x-2)^2-1}$$ *Cette **forme canonique** va permettre de justifier le minimum.*
Exercice 19
Intermédiaire
En utilisant la forme f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x-2)^2-1, déterminer le minimum de ff et le point où il est atteint.
Correction détaillée
Un carré est **toujours positif ou nul** : $$(x-2)^2 \geqslant 0 \implies (x-2)^2 - 1 \geqslant -1$$ Donc $f(x) \geqslant -1$ pour tout réel $x$. L'égalité a lieu quand le carré est **nul**, c'est-à-dire $x-2=0$, soit $x=2$. $$\boxed{\text{minimum } -1, \text{ atteint en } x = 2}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Le nombre −5-5 a-t-il un antécédent ?
Correction détaillée
On résout $f(x) = -5$, c'est-à-dire $x^2-4x+8 = 0$. On utilise la forme canonique : $$x^2-4x+8 = (x-2)^2 - 4 + 8 = (x-2)^2+4$$ Or $(x-2)^2 \geqslant 0$, donc cette expression est **toujours $\geqslant 4$**, jamais nulle. $$\boxed{\text{Non : } -5 \text{ n'a aucun antécédent}}$$ *C'est cohérent avec le minimum $-1$ : aucune valeur inférieure à $-1$ n'est atteinte.*
Exercice 21
Intermédiaire
Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=3x2−9f(x) = \dfrac{3}{x^2-9}.
Correction détaillée
Le dénominateur doit être non nul. On le **factorise** : $$x^2-9 = (x-3)(x+3)$$ Il s'annule pour $x = 3$ et $x = -3$. $$\boxed{D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\ ;\ 3\}}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Soient u(x)=2x+1u(x)=2x+1 et v(x)=x+4v(x)=x+4. Déterminer l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.
Correction détaillée
Les courbes se coupent là où les images coïncident : on résout $u(x)=v(x)$. $$2x+1 = x+4 \iff x = 3$$ L'ordonnée commune vaut $u(3) = 7$. $$\boxed{\text{Point d'intersection } (3\,;7)}$$
Exercice 23
Intermédiaire
Avec u(x)=2x+1u(x)=2x+1 et v(x)=x+4v(x)=x+4, résoudre u(x)>v(x)u(x) > v(x) et interpréter graphiquement.
Correction détaillée
$$2x+1 > x+4 \iff x > 3$$ **Interprétation :** la courbe de $u$ est **au-dessus** de celle de $v$ pour les abscisses supérieures à $3$. $$\boxed{S =\ ]3\,;+\infty[}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2-4x+3. Résoudre f(x)<0f(x) < 0 et interpréter graphiquement.
Correction détaillée
On utilise la factorisation $f(x)=(x-1)(x-3)$, puis un tableau de signes (zéros en $1$ et $3$) : | | $x<1$ | $1<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $x-1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-3$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **$f(x)$** | $+$ | $-$ | $+$ | $$\boxed{S =\ ]1\,;3[}$$ **Interprétation :** la courbe est **strictement en dessous de l'axe des abscisses** entre $1$ et $3$.
Exercice 25
Intermédiaire
Expliquer pourquoi un cercle ne peut pas être la courbe représentative d'une fonction.
Correction détaillée
Par définition, chaque nombre $x$ possède **une seule** image. Graphiquement, toute **droite verticale** ne peut donc couper la courbe qu'en **un point au plus**. Or une verticale passant par l'intérieur d'un cercle le coupe en **deux points** : l'abscisse correspondante aurait alors deux images. $$\boxed{\text{Un cercle n'est pas la courbe d'une fonction}}$$
Exercice 26
Intermédiaire
Soit ff croissante sur [0 ;10][0\,;10] avec f(2)=5f(2)=5 et f(7)=9f(7)=9. Que peut-on dire de f(4)f(4) ?
Correction détaillée
Comme $2 \leqslant 4 \leqslant 7$ et que $f$ **conserve l'ordre** sur $[0\,;10]$ : $$f(2) \leqslant f(4) \leqslant f(7)$$ $$\boxed{5 \leqslant f(4) \leqslant 9}$$ *On ne peut pas déterminer $f(4)$ exactement : la croissance ne donne qu'un **encadrement**.*
Exercice 27
Intermédiaire
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Comparer f(−1)f(-1) et f(5)f(5) sans les calculer séparément.
Correction détaillée
On utilise la forme canonique $f(x) = (x-2)^2-1$ : l'image ne dépend que de la **distance de $x$ à $2$**. - pour $x=-1$ : $|-1-2| = 3$ ; - pour $x=5$ : $|5-2| = 3$. Les deux nombres sont à la **même distance** de $2$, donc $(x-2)^2$ prend la même valeur $9$ : $$f(-1) = f(5) = 9-1 = 8$$ $$\boxed{f(-1) = f(5) = 8}$$ *C'est la symétrie observée dans le tableau de valeurs.*
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=5−xf(x) = \sqrt{5-x}.
Correction détaillée
Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul : $$5-x \geqslant 0 \iff 5 \geqslant x \iff x \leqslant 5$$ $$\boxed{D_f =\ ]-\infty\,;5]}$$ *Attention au sens de l'inégalité en isolant $x$.*
Exercice 29
Difficile
Soit f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2+6x-5. Montrer que f(x)=4−(x−3)2f(x) = 4-(x-3)^2, puis en déduire le maximum de ff.
Correction détaillée
**Vérification de la forme.** On développe le membre de droite : $$4-(x-3)^2 = 4-(x^2-6x+9) = 4-x^2+6x-9 = -x^2+6x-5$$ C'est bien $f(x)$ ✔ **Maximum.** On **retire** à $4$ une quantité toujours positive ou nulle : $$(x-3)^2 \geqslant 0 \implies f(x) \leqslant 4$$ L'égalité a lieu pour $x-3 = 0$, soit $x=3$. $$\boxed{\text{maximum } 4, \text{ atteint en } x = 3}$$
Exercice 30
Difficile
Soit f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. Déterminer les antécédents de 88, et interpréter la symétrie observée.
Correction détaillée
On résout $f(x) = 8$, en passant par la forme canonique : $$(x-2)^2 - 1 = 8 \iff (x-2)^2 = 9$$ D'où $x-2 = 3$ ou $x-2 = -3$ : $$x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -1$$ $$\boxed{S = \{-1\ ;\ 5\}}$$ **Interprétation.** Les deux antécédents sont **symétriques par rapport à $2$** : leur moyenne vaut $\frac{-1+5}{2} = 2$, l'abscisse du minimum. C'est une propriété générale de ces courbes (des paraboles), qui sera étudiée en Première.
Exercice 31
Difficile
Soit f(x)=2x−1x+3f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}. Déterminer DfD_f, puis l'antécédent de 22.
1.
Déterminer DfD_f.
Le dénominateur doit être non nul : $$x+3 \neq 0 \iff x \neq -3$$ $$\boxed{D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\}}$$
2.
Chercher l'antécédent de 22.
On résout $f(x) = 2$ avec $x \neq -3$. On ramène à zéro : $$\frac{2x-1}{x+3} - 2 = 0 \iff \frac{2x-1-2(x+3)}{x+3} = 0$$ On développe le numérateur : $$2x-1-2x-6 = -7$$ L'équation devient $\dfrac{-7}{x+3} = 0$. Une fraction est nulle **si et seulement si son numérateur est nul** — or $-7 \neq 0$. $$\boxed{2 \text{ n'a aucun antécédent}}$$
Exercice 32
Difficile
Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x−1)2+2f(x) = (x-1)^2+2. Démontrer que ff est croissante sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[.
Correction détaillée
On revient à la **définition** : soient $a$ et $b$ deux réels de $[1\,;+\infty[$ tels que $a \leqslant b$. Montrons que $f(a) \leqslant f(b)$. **Étape 1.** On retranche $1$ : $$a-1 \leqslant b-1$$ **Étape 2.** Comme $a \geqslant 1$ et $b \geqslant 1$, les deux nombres $a-1$ et $b-1$ sont **positifs ou nuls**. Or élever au carré **conserve l'ordre** entre nombres positifs : $$(a-1)^2 \leqslant (b-1)^2$$ **Étape 3.** On ajoute $2$ : $$(a-1)^2+2 \leqslant (b-1)^2+2, \quad \text{c'est-à-dire} \quad f(a) \leqslant f(b)$$ $$\boxed{f \text{ est croissante sur } [1\,;+\infty[}$$ *L'hypothèse « positifs » de l'étape 2 est essentielle : sur les négatifs, élever au carré inverse l'ordre — c'est pourquoi $f$ décroît sur $]-\infty\,;1]$.*
Exercice 33
Difficile
Soit f(x)=x2f(x) = x^2. Comparer f(a)f(a) et f(b)f(b) lorsque a⩽b⩽0a \leqslant b \leqslant 0. Qu'en déduit-on ?
Correction détaillée
Soient $a \leqslant b \leqslant 0$. Les deux nombres sont **négatifs ou nuls**. En multipliant l'inégalité $a \leqslant b$ par $a$ (**négatif**), le sens s'inverse : $$a^2 \geqslant ab$$ En la multipliant par $b$ (**négatif** aussi) : $$ab \geqslant b^2$$ Par transitivité : $$a^2 \geqslant b^2, \quad \text{c'est-à-dire} \quad f(a) \geqslant f(b)$$ $$\boxed{f \text{ inverse l'ordre : elle est décroissante sur } ]-\infty\,;0]}$$ *Exemple : $-5 \leqslant -2$ mais $25 \geqslant 4$.*
Exercice 34
Difficile
Une fonction ff définie sur [−3 ;5][-3\,;5] admet un minimum égal à −2-2 atteint en x=1x=1, et f(−3)=4f(-3) = 4, f(5)=7f(5) = 7. Combien l'équation f(x)=−3f(x) = -3 a-t-elle de solutions ? Et f(x)=−2f(x) = -2 ?
Correction détaillée
**Équation $f(x) = -3$.** Le **minimum** de $f$ vaut $-2$ : par définition, $f(x) \geqslant -2$ pour tout $x$ de l'intervalle. Aucune image ne peut donc valoir $-3$. $$\boxed{\text{Aucune solution}}$$ **Équation $f(x) = -2$.** La valeur $-2$ **est atteinte**, en $x=1$ au moins. On sait donc qu'il y a **au moins une** solution ; l'énoncé ne permet pas d'affirmer qu'elle est unique (rien n'interdit que le minimum soit atteint en plusieurs points). $$\boxed{\text{Au moins une solution } (x=1)}$$ *Piège classique : croire qu'un minimum est nécessairement atteint une seule fois.*
Exercice 35
Difficile
Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=x−1x−4f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}.
Correction détaillée
Il y a **deux** contraintes à satisfaire **simultanément**. **1. Racine carrée :** $x-1 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1$. **2. Dénominateur :** $x-4 \neq 0 \iff x \neq 4$. On prend l'**intersection** : les réels $\geqslant 1$, privés de $4$. $$\boxed{D_f = [1\,;4[\ \cup\ ]4\,;+\infty[}$$ *Le « et » de deux conditions se traduit toujours par une intersection.*
Exercice 36
Avancé
Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2-4x+3. Déterminer l'ensemble des réels xx tels que f(x)⩾3f(x) \geqslant 3.
Correction détaillée
On ramène à zéro : $$x^2-4x+3 \geqslant 3 \iff x^2-4x \geqslant 0$$ On **factorise** : $$x(x-4) \geqslant 0$$ Tableau de signes (zéros en $0$ et $4$) : | | $x<0$ | $0<x<4$ | $x>4$ | |---|---|---|---| | $x$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-4$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut le produit **positif ou nul** : les intervalles extérieurs, bornes incluses. $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;0] \cup [4\,;+\infty[}$$ *Cohérent avec l'exercice 16 : $0$ et $4$ sont précisément les antécédents de $3$.*
Exercice 37
Avancé
Soit ff une fonction croissante sur R\mathbb{R}. Démontrer que la fonction gg définie par g(x)=f(x)+5g(x) = f(x)+5 est également croissante sur R\mathbb{R}.
Correction détaillée
On revient à la **définition**. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leqslant b$. **Hypothèse.** $f$ est croissante, donc elle conserve l'ordre : $$f(a) \leqslant f(b)$$ **Conclusion.** On ajoute $5$ aux deux membres — une addition **ne change pas le sens** d'une inégalité : $$f(a)+5 \leqslant f(b)+5$$ c'est-à-dire $g(a) \leqslant g(b)$. $$\boxed{g \text{ est croissante sur } \mathbb{R}}$$ *Géométriquement : la courbe de $g$ est celle de $f$ **translatée** de 5 vers le haut, ce qui ne change évidemment pas son sens de variation.*
Exercice 38
Avancé
Soit ff une fonction croissante sur R\mathbb{R}. Que peut-on dire de la fonction hh définie par h(x)=−f(x)h(x) = -f(x) ?
Correction détaillée
Soient $a \leqslant b$. Comme $f$ est croissante : $$f(a) \leqslant f(b)$$ On multiplie par $-1$, qui est **négatif** : le sens de l'inégalité **s'inverse**. $$-f(a) \geqslant -f(b), \quad \text{c'est-à-dire} \quad h(a) \geqslant h(b)$$ Ainsi $a \leqslant b$ entraîne $h(a) \geqslant h(b)$ : $h$ **inverse** l'ordre. $$\boxed{h \text{ est décroissante sur } \mathbb{R}}$$ *Géométriquement : la courbe de $h$ est la **symétrique** de celle de $f$ par rapport à l'axe des abscisses.*
Exercice 39
Avancé
Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Démontrer que ff est décroissante sur cet intervalle.
Correction détaillée
Soient $a$ et $b$ tels que $0 < a \leqslant b$. Montrons que $f(a) \geqslant f(b)$. On étudie le **signe de la différence** : $$f(a) - f(b) = \frac1a - \frac1b = \frac{b-a}{ab}$$ **Analyse du signe :** - le numérateur $b-a$ est **positif ou nul** (car $a \leqslant b$) ; - le dénominateur $ab$ est **strictement positif** (produit de deux nombres $>0$). Donc le quotient est positif ou nul : $$f(a)-f(b) \geqslant 0 \iff f(a) \geqslant f(b)$$ $$\boxed{f \text{ est décroissante sur } ]0\,;+\infty[}$$ *L'hypothèse $a>0$ est indispensable : sur $]-\infty\,;0[$, la fonction est aussi décroissante, mais on ne peut pas comparer $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ en « traversant » $0$.*
Exercice 40
Avancé
Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2-4x+3. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=mf(x) = m selon le réel mm.
Correction détaillée
On utilise la forme canonique $f(x) = (x-2)^2-1$. L'équation devient : $$(x-2)^2 - 1 = m \iff (x-2)^2 = m+1$$ C'est une équation du type $X^2 = a$ avec $X = x-2$ et $a = m+1$. On discute selon le **signe de $m+1$**. **Cas 1 : $m+1 < 0$, soit $m < -1$.** Aucune solution (un carré n'est pas négatif). **Cas 2 : $m+1 = 0$, soit $m = -1$.** Alors $(x-2)^2 = 0$, donc $x=2$ : **une** solution. **Cas 3 : $m+1 > 0$, soit $m > -1$.** Alors $x-2 = \pm\sqrt{m+1}$ : **deux** solutions, $$x = 2+\sqrt{m+1} \quad \text{et} \quad x = 2-\sqrt{m+1}.$$ $$\boxed{m<-1 : 0 \text{ solution} \ ;\quad m=-1 : 1 \ ;\quad m>-1 : 2}$$ *Interprétation : l'horizontale $y=m$ coupe la courbe en 0, 1 ou 2 points — et $m=-1$ correspond exactement au **minimum**.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Un enclos de périmètre imposé
Intermédiaire
Un rectangle a un périmètre de 2424 m. On note xx la longueur (en m) de l'un de ses côtés.
1.
Exprimer l'autre côté en fonction de xx, puis donner l'ensemble des valeurs possibles pour xx.
Le **demi-périmètre** vaut $12$, donc la somme de deux côtés consécutifs est $12$ : l'autre côté mesure $12-x$. Les deux dimensions doivent être **strictement positives** : $$x>0 \quad \text{et} \quad 12-x>0 \iff x<12$$ $$\boxed{\text{Autre côté } : 12-x \ ;\quad x \in\ ]0\,;12[}$$
2.
Exprimer l'aire A(x)\mathcal{A}(x) du rectangle, puis calculer A(2)\mathcal{A}(2) et A(5)\mathcal{A}(5).
L'aire est le produit des deux dimensions : $$\mathcal{A}(x) = x(12-x)$$ **Images :** $$\mathcal{A}(2) = 2\times10 = 20 \qquad \mathcal{A}(5) = 5\times7 = 35$$ $$\boxed{\mathcal{A}(x) = x(12-x) \ ;\ \mathcal{A}(2)=20 \ ;\ \mathcal{A}(5)=35}$$
3.
Montrer que A(x)=36−(x−6)2\mathcal{A}(x) = 36-(x-6)^2.
On développe le membre de droite : $$36-(x-6)^2 = 36-(x^2-12x+36) = 36-x^2+12x-36 = 12x-x^2$$ Or $\mathcal{A}(x) = x(12-x) = 12x-x^2$ : les deux coïncident. $$\boxed{\mathcal{A}(x) = 36-(x-6)^2}$$
4.
En déduire l'aire maximale et les dimensions correspondantes.
On **retire** à $36$ une quantité toujours positive ou nulle, donc $\mathcal{A}(x) \leqslant 36$. L'égalité a lieu quand $(x-6)^2 = 0$, soit $x = 6$ — valeur bien située dans $]0\,;12[$ ✔ L'autre côté vaut alors $12-6 = 6$ : le rectangle est un **carré**. $$\boxed{\text{Aire maximale } 36 \text{ m}^2, \text{ pour un carré de côté } 6 \text{ m}}$$
Problème 2 — Lire une fonction dans un tableau
Intermédiaire
Une fonction gg définie sur [−2 ;4][-2\,;4] est donnée par le tableau de valeurs suivant :

xx−2-2−1-10011223344
g(x)g(x)7722−1-1−2-2−1-12277
1.
Donner l'image de −1-1 et les antécédents de 22.
**Image de $-1$ :** on lit directement dans la colonne correspondante. $$g(-1) = 2$$ **Antécédents de $2$ :** on cherche **toutes** les colonnes où la valeur $2$ apparaît sur la ligne $g(x)$. Elle figure pour $x=-1$ et $x=3$. $$\boxed{g(-1)=2 \ ;\quad 2 \text{ a deux antécédents : } -1 \text{ et } 3}$$
2.
Quel semble être le minimum de gg ? Peut-on l'affirmer avec certitude ?
La plus petite valeur du tableau est $-2$, atteinte en $x=1$. **Mais on ne peut pas l'affirmer.** Le tableau ne donne que **sept** valeurs : rien n'exclut que $g$ descende plus bas **entre** deux valeurs listées, par exemple en $x = 0{,}5$. $$\boxed{\text{Minimum apparent } -2 \text{ en } x=1 — \text{ conjecture, non démontrée}}$$ *Un tableau de valeurs suggère, il ne prouve pas.*
3.
Que remarque-t-on sur les valeurs ? Formuler une conjecture.
Les valeurs se **répètent symétriquement** de part et d'autre de $x=1$ : $$g(0) = g(2) = -1 \qquad g(-1)=g(3)=2 \qquad g(-2)=g(4)=7$$ À chaque fois, les deux abscisses sont **équidistantes de $1$**. $$\boxed{\text{Conjecture : la courbe est symétrique par rapport à la verticale } x=1}$$
4.
On admet que g(x)=(x−1)2−2g(x) = (x-1)^2-2. Démontrer la conjecture sur le minimum.
Un carré est toujours positif ou nul : $$(x-1)^2 \geqslant 0 \implies (x-1)^2 - 2 \geqslant -2 \implies g(x) \geqslant -2$$ L'égalité a lieu si et seulement si $(x-1)^2 = 0$, soit $x=1$. $$\boxed{\text{minimum } -2, \text{ atteint uniquement en } x=1}$$ **Contrôle de cohérence** avec le tableau : $g(4) = 3^2-2 = 7$ ✔ et $g(-2) = (-3)^2-2 = 7$ ✔ *La conjecture est maintenant **démontrée** : l'expression algébrique établit ce que le tableau ne pouvait que suggérer.*
Problème 3 — Deux tarifs de location
Difficile
Un loueur de vélos propose deux tarifs pour une journée, où xx désigne le nombre d'heures de location (x>0x > 0) :
— Tarif 1 : f(x)=4xf(x) = 4x ;
— Tarif 2 : g(x)=2x+6g(x) = 2x + 6.
1.
Calculer le prix de 2 h puis de 5 h avec chaque tarif.
**Pour 2 h :** $$f(2) = 8 \qquad g(2) = 4+6 = 10$$ Le tarif 1 est moins cher. **Pour 5 h :** $$f(5) = 20 \qquad g(5) = 10+6 = 16$$ Le tarif 2 est moins cher. $$\boxed{2\text{ h} : 8 \text{ contre } 10 \ ;\quad 5\text{ h} : 20 \text{ contre } 16}$$ *Le classement s'inverse entre 2 h et 5 h : il existe donc une durée d'équilibre.*
2.
Déterminer la durée pour laquelle les deux tarifs coïncident.
On résout $f(x) = g(x)$ : $$4x = 2x+6 \iff 2x = 6 \iff x = 3$$ Le prix commun vaut $f(3) = 12$ €. $$\boxed{\text{À } 3 \text{ h, les deux tarifs coûtent } 12 \text{ euros}}$$
3.
Déterminer pour quelles durées le tarif 1 est le plus avantageux.
Le tarif 1 est plus avantageux lorsque $f(x) < g(x)$ : $$4x < 2x+6 \iff 2x < 6 \iff x < 3$$ En tenant compte de $x>0$ : $$\boxed{\text{Tarif 1 avantageux pour } x \in\ ]0\,;3[}$$ *Au-delà de 3 h, c'est le tarif 2 — sa part fixe de 6 € est amortie par son prix horaire plus faible.*
4.
Interpréter graphiquement les réponses aux questions 2 et 3.
Les deux fonctions sont **affines**, leurs courbes sont donc des **droites**. - La question 2 donne l'abscisse de leur **point d'intersection** : $(3\,;12)$. - La question 3 donne les abscisses où la droite de $f$ est **strictement en dessous** de celle de $g$. $$\boxed{\text{Les droites se coupent en } (3\,;12) \text{ ; celle de } f \text{ est en dessous avant } x=3}$$
Problème 4 — Étude complète d'une fonction
Difficile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par
f(x)=x2−6x+5.f(x) = x^2 - 6x + 5.
1.
Déterminer DfD_f et calculer f(0)f(0), f(3)f(3) et f(6)f(6).
$f$ est un **polynôme** : aucune valeur interdite. $$D_f = \mathbb{R}$$ **Images :** $$f(0) = 5 \qquad f(3) = 9-18+5 = -4 \qquad f(6) = 36-36+5 = 5$$ $$\boxed{D_f = \mathbb{R} \ ;\ f(0)=5 \ ;\ f(3)=-4 \ ;\ f(6)=5}$$
2.
Montrer que f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x-3)^2-4, puis en déduire le minimum de ff.
**Forme canonique.** $x^2-6x$ est le début de $(x-3)^2 = x^2-6x+9$ : $$f(x) = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2-4$$ **Minimum.** $(x-3)^2 \geqslant 0$, donc $f(x) \geqslant -4$, avec égalité si et seulement si $x=3$. $$\boxed{\text{minimum } -4, \text{ atteint en } x=3}$$ *Cohérent avec la question 1 : $f(3) = -4$, et $f(0) = f(6) = 5$ (abscisses symétriques par rapport à 3).*
3.
Factoriser f(x)f(x) et résoudre f(x)=0f(x) = 0.
On part de la forme canonique — c'est une **différence de deux carrés** : $$f(x) = (x-3)^2 - 2^2 = \left[(x-3)+2\right]\left[(x-3)-2\right]$$ $$f(x) = (x-1)(x-5)$$ *Contrôle :* $x^2-5x-x+5 = x^2-6x+5$ ✔ Règle du produit nul : $$\boxed{S = \{1\ ;\ 5\}}$$
4.
Résoudre f(x)⩽0f(x) \leqslant 0 et interpréter graphiquement.
On utilise la forme factorisée et un tableau de signes (zéros en $1$ et $5$) : | | $x<1$ | $1<x<5$ | $x>5$ | |---|---|---|---| | $x-1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-5$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **$f(x)$** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut $f(x)$ **négatif ou nul** : l'intervalle du milieu, bornes **incluses**. $$\boxed{S = [1\,;5]}$$ **Interprétation :** la courbe est **en dessous de l'axe des abscisses** (ou sur l'axe) entre $1$ et $5$.