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II Fonctions · Chapitre 05 / 11

Fonctions affines

Coefficient directeur, signe, représentation.

8 min de lecture
6 sections, 7 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : sa courbe est une droite, a est le coefficient directeur (la pente) et b l'ordonnée à l'origine. Elle est croissante si a > 0, décroissante si a < 0. Son signe change en sa racine x = −b/a : f(x) est du signe contraire de a avant cette valeur, du signe de a après.

1 I. Définition et cas particuliers

Les fonctions affines sont les plus simples — et les plus utilisées. Dès qu'une grandeur augmente d'une quantité constante à chaque étape, une fonction affine est à l'œuvre.

2 II. Représentation graphique

3 III. Déterminer une fonction affine

4 IV. Sens de variation

Démonstration (cas a>0a>0)
Soient uu et vv deux réels tels que u⩽vu \leqslant v. Étudions le signe de la différence :
f(v)−f(u)=(av+b)−(au+b)=a(v−u)f(v) - f(u) = (av+b) - (au+b) = a(v-u)

Or v−u⩾0v - u \geqslant 0 (car u⩽vu \leqslant v) et a>0a > 0 : le produit de deux nombres positifs est positif.
f(v)−f(u)⩾0  ⟺  f(u)⩽f(v)f(v)-f(u) \geqslant 0 \iff f(u) \leqslant f(v)

ff conserve l'ordre : elle est croissante.

Si a<0a<0, le produit a(v−u)a(v-u) est négatif et l'ordre est inversé : ff est décroissante.

5 V. Signe d'une fonction affine

x<3x < 3x=3x = 3x>3x > 3
signe de 2x−62x-6−-00++
x<4x < 4x=4x = 4x>4x > 4
signe de −x+4-x+4++00−-

6 VI. Applications

Questions fréquentes

Comment calculer le coefficient directeur d'une droite ?
Avec deux points A(xA ;yA)A(x_A\,;y_A) et B(xB ;yB)B(x_B\,;y_B) de la droite : a=yB−yAxB−xAa = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, autrement dit « la variation verticale divisée par la variation horizontale ». Il mesure la pente : quand xx augmente de 1, yy varie de aa.
Comment savoir si une fonction affine est croissante ou décroissante ?
On regarde le signe du coefficient directeur aa dans f(x)=ax+bf(x) = ax + b : croissante si a>0a > 0, décroissante si a<0a < 0, constante si a=0a = 0. Plus ∣a∣|a| est grand, plus la droite est pentue.
Comment étudier le signe d'une fonction affine ?
f(x)=ax+bf(x) = ax + b s'annule en x=−bax = -\frac{b}{a}, sa racine. Avant cette valeur, f(x)f(x) est du signe contraire de aa ; après, du signe de aa. On résume cela dans un tableau de signes à une ligne — c'est la brique de base de tous les tableaux de signes.
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière avec b=0b = 0 : f(x)=axf(x) = ax. Sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité. Une fonction affine générale f(x)=ax+bf(x) = ax + b ajoute une valeur de départ bb (l'ordonnée à l'origine).

Définition

Déterminer et varier

Signe

Applications

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Pour f(x)=3x−7f(x) = 3x-7, donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Correction détaillée
On identifie directement dans l'écriture $ax+b$ : $$\boxed{a = 3 \ ;\quad b = -7}$$
Exercice 2
Facile
Pour f(x)=5−2xf(x) = 5-2x, donner aa et bb.
Correction détaillée
On **réordonne** d'abord l'écriture : $$f(x) = -2x+5$$ $$\boxed{a = -2 \ ;\quad b = 5}$$ *Piège : $a$ est le coefficient de $x$, avec son signe — pas le premier nombre écrit.*
Exercice 3
Facile
Soit f(x)=2x+3f(x)=2x+3. Calculer f(0)f(0), f(1)f(1) et f(−2)f(-2).
Correction détaillée
$$f(0) = 3 \qquad f(1) = 2+3 = 5 \qquad f(-2) = -4+3 = -1$$ $$\boxed{3 \ ;\ 5 \ ;\ -1}$$
Exercice 4
Facile
Parmi f(x)=2x+3f(x)=2x+3, g(x)=x2+1g(x)=x^2+1, h(x)=−3xh(x)=-3x, k(x)=3xk(x)=\dfrac{3}{x}, lesquelles sont affines ?
Correction détaillée
Une fonction affine s'écrit $ax+b$ : pas de carré, pas de $x$ au dénominateur. - $f(x)=2x+3$ : **affine** ✔ - $g(x)=x^2+1$ : non (présence de $x^2$). - $h(x)=-3x$ : **affine** (et linéaire, $b=0$) ✔ - $k(x)=\frac3x$ : non ($x$ au dénominateur). $$\boxed{f \text{ et } h}$$
Exercice 5
Facile
La fonction f(x)=−4x+1f(x) = -4x+1 est-elle croissante ou décroissante ?
Correction détaillée
Le coefficient directeur est $a = -4 < 0$. $$\boxed{f \text{ est décroissante sur } \mathbb{R}}$$
Exercice 6
Facile
La fonction f(x)=7f(x) = 7 est-elle affine ? Quel est son sens de variation ?
Correction détaillée
Elle s'écrit $f(x) = 0\times x + 7$ : c'est une fonction affine avec $a=0$ et $b=7$. $$\boxed{\text{Affine et constante}}$$
Exercice 7
Facile
Déterminer la valeur qui annule f(x)=2x−6f(x) = 2x-6.
Correction détaillée
On résout $f(x)=0$ : $$2x-6 = 0 \iff 2x = 6 \iff x = 3$$ $$\boxed{x = 3}$$
Exercice 8
Facile
Déterminer la valeur qui annule g(x)=−3x+5g(x) = -3x+5.
Correction détaillée
$$-3x+5 = 0 \iff -3x = -5 \iff x = \frac53$$ $$\boxed{x = \tfrac53}$$
Exercice 9
Facile
Les droites d'équations y=2x+3y=2x+3 et y=2x−1y=2x-1 sont-elles parallèles ?
Correction détaillée
Elles ont le **même coefficient directeur** $a=2$. $$\boxed{\text{Oui, elles sont parallèles}}$$
Exercice 10
Facile
Soit f(x)=2x+3f(x)=2x+3. Le point A(1 ;5)A(1\,;5) appartient-il à sa droite ?
Correction détaillée
On calcule l'image de l'abscisse : $$f(1) = 2+3 = 5$$ Cela correspond à l'ordonnée de $A$. $$\boxed{\text{Oui, } A \text{ appartient à la droite}}$$
Exercice 11
Facile
Une fonction affine vérifie f(0)=−4f(0) = -4. Que vaut bb ?
Correction détaillée
Par définition, $f(0) = a\times0+b = b$. $$\boxed{b = -4}$$
Exercice 12
Facile
Dresser le tableau de signes de f(x)=2x−6f(x) = 2x-6.
Correction détaillée
Elle s'annule en $x=3$, et $a = 2 > 0$ : **signe de $a$ après le zéro**, donc négative avant, positive après. | | $x<3$ | $x=3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $2x-6$ | $-$ | $0$ | $+$ | $$\boxed{\text{négative avant } 3, \text{ positive après}}$$
Exercice 13
Facile
Résoudre 2x−6⩾02x-6 \geqslant 0.
Correction détaillée
$$2x \geqslant 6 \iff x \geqslant 3$$ $$\boxed{S = [3\,;+\infty[}$$
Exercice 14
Facile
De combien varie f(x)=2x+3f(x)=2x+3 quand xx augmente de 11 ?
Correction détaillée
C'est exactement l'interprétation du coefficient directeur : la variation vaut $a$. *Contrôle :* $f(0)=3$ et $f(1)=5$, l'écart est bien $2$. $$\boxed{f(x) \text{ augmente de } 2}$$
Exercice 15
Facile
Une fonction linéaire vérifie f(4)=12f(4) = 12. Déterminer son expression.
Correction détaillée
Une fonction **linéaire** s'écrit $f(x) = ax$ (avec $b=0$). $$f(4) = 4a = 12 \iff a = 3$$ $$\boxed{f(x) = 3x}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Déterminer la fonction affine dont la droite passe par A(1 ;5)A(1\,;5) et B(3 ;11)B(3\,;11).
Correction détaillée
**Coefficient directeur :** $$a = \frac{11-5}{3-1} = \frac62 = 3$$ **Ordonnée à l'origine :** on utilise $A$ dans $f(x)=3x+b$. $$f(1) = 3+b = 5 \iff b = 2$$ $$\boxed{f(x) = 3x+2}$$ **Vérification avec $B$ :** $f(3) = 9+2 = 11$ ✔
Exercice 17
Intermédiaire
Déterminer la fonction affine dont la droite passe par A(−2 ;7)A(-2\,;7) et B(4 ;−5)B(4\,;-5).
Correction détaillée
**Coefficient directeur :** $$a = \frac{-5-7}{4-(-2)} = \frac{-12}{6} = -2$$ **Ordonnée à l'origine :** avec $A$, $$f(-2) = -2\times(-2)+b = 4+b = 7 \iff b = 3$$ $$\boxed{f(x) = -2x+3}$$ **Vérification avec $B$ :** $f(4) = -8+3 = -5$ ✔
Exercice 18
Intermédiaire
Déterminer la fonction affine passant par A(−1 ;−2)A(-1\,;-2) et B(2 ;4)B(2\,;4). Est-elle linéaire ?
Correction détaillée
$$a = \frac{4-(-2)}{2-(-1)} = \frac63 = 2$$ Avec $A$ : $f(-1) = -2+b = -2$, donc $b = 0$. $$\boxed{f(x) = 2x, \text{ elle est linéaire}}$$ *Cohérent : $b=0$ signifie que la droite passe par l'origine.*
Exercice 19
Intermédiaire
Dresser le tableau de signes de g(x)=−x+4g(x) = -x+4.
Correction détaillée
Elle s'annule pour $-x+4=0$, soit $x=4$. Ici $a = -1 < 0$ : **positive avant**, négative après. | | $x<4$ | $x=4$ | $x>4$ | |---|---|---|---| | $-x+4$ | $+$ | $0$ | $-$ | $$\boxed{\text{positive sur } ]-\infty\,;4[, \text{ négative sur } ]4\,;+\infty[}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Résoudre 5−2x⩽15-2x \leqslant 1.
Correction détaillée
On retranche $5$ : $$-2x \leqslant -4$$ On divise par $-2$, **négatif** : le sens **s'inverse**. $$x \geqslant 2$$ $$\boxed{S = [2\,;+\infty[}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre 3x−5⩾03x-5 \geqslant 0.
Correction détaillée
$$3x \geqslant 5 \iff x \geqslant \frac53$$ $$\boxed{S = \left[\tfrac53\,;+\infty\right[}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Soient u(x)=2x+1u(x)=2x+1 et v(x)=−x+7v(x)=-x+7. Déterminer le point d'intersection de leurs droites.
Correction détaillée
On résout $u(x)=v(x)$ : $$2x+1 = -x+7 \iff 3x = 6 \iff x = 2$$ L'ordonnée commune vaut $u(2) = 5$ (et $v(2) = -2+7 = 5$ ✔). $$\boxed{\text{Point } (2\,;5)}$$
Exercice 23
Intermédiaire
Avec u(x)=2x+1u(x)=2x+1 et v(x)=−x+7v(x)=-x+7, résoudre u(x)>v(x)u(x)>v(x) et interpréter.
Correction détaillée
$$2x+1 > -x+7 \iff 3x > 6 \iff x > 2$$ **Interprétation :** la droite de $u$ est **au-dessus** de celle de $v$ pour les abscisses supérieures à $2$. $$\boxed{S =\ ]2\,;+\infty[}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Calculer le taux de variation de f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5 entre x=0x=0 et x=2x=2. Que retrouve-t-on ?
Correction détaillée
$$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{(-6+5)-5}{2} = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ On retrouve exactement le **coefficient directeur**. $$\boxed{-3 = a}$$ *C'est une propriété générale : pour une fonction affine, le taux de variation est constant et vaut toujours $a$.*
Exercice 25
Intermédiaire
Une fonction affine vérifie f(2)=7f(2)=7 et f(5)=16f(5)=16. Déterminer son expression.
Correction détaillée
Les deux données fournissent deux points : $(2\,;7)$ et $(5\,;16)$. $$a = \frac{16-7}{5-2} = \frac93 = 3$$ Avec $f(2)=7$ : $6+b = 7$, donc $b=1$. $$\boxed{f(x) = 3x+1}$$ **Vérification :** $f(5) = 15+1 = 16$ ✔
Exercice 26
Intermédiaire
Tracer mentalement la droite de f(x)=−2x+4f(x) = -2x+4 : donner deux points de cette droite.
Correction détaillée
**Premier point :** l'ordonnée à l'origine, $(0\,;4)$. **Second point :** on avance de $1$ et on descend de $2$ (car $a=-2$), ce qui donne $(1\,;2)$. *Contrôle :* $f(1) = -2+4 = 2$ ✔ $$\boxed{(0\,;4) \text{ et } (1\,;2)}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Déterminer mm pour que la droite y=(m−1)x+3y = (m-1)x+3 soit parallèle à y=4x−2y = 4x-2.
Correction détaillée
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le **même coefficient directeur** : $$m-1 = 4 \iff m = 5$$ $$\boxed{m = 5}$$
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer mm pour que la fonction f(x)=(2m+6)x−1f(x) = (2m+6)x - 1 soit décroissante.
Correction détaillée
Une fonction affine est décroissante si et seulement si $a < 0$ : $$2m+6 < 0 \iff 2m < -6 \iff m < -3$$ $$\boxed{m \in\ ]-\infty\,;-3[}$$ *Pour $m=-3$ la fonction serait constante, pas décroissante : la borne est bien exclue.*
Exercice 29
Difficile
Résoudre (2x−6)(−x+4)⩾0(2x-6)(-x+4) \geqslant 0 à l'aide d'un tableau de signes.
Correction détaillée
Chaque facteur est une fonction affine dont on sait donner le signe. - $2x-6$ s'annule en $3$, avec $a=2>0$ : $-$ puis $+$. - $-x+4$ s'annule en $4$, avec $a=-1<0$ : $+$ puis $-$. On range les valeurs : $3 < 4$. | | $x<3$ | $3<x<4$ | $x>4$ | |---|---|---|---| | $2x-6$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $-x+4$ | $+$ | $+$ | $-$ | | **produit** | $-$ | $+$ | $-$ | On veut le produit **positif ou nul** : l'intervalle du milieu, bornes **incluses**. $$\boxed{S = [3\,;4]}$$
Exercice 30
Difficile
Démontrer que si a>0a>0, la fonction f(x)=ax+bf(x)=ax+b est croissante sur R\mathbb{R}.
Correction détaillée
Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u \leqslant v$. On étudie le **signe de la différence** : $$f(v)-f(u) = (av+b)-(au+b) = a(v-u)$$ **Analyse du signe :** - $v-u \geqslant 0$ car $u \leqslant v$ ; - $a > 0$ par hypothèse. Le produit de deux nombres positifs est positif : $$f(v)-f(u) \geqslant 0 \iff f(u) \leqslant f(v)$$ $f$ **conserve l'ordre**. $$\boxed{f \text{ est croissante sur } \mathbb{R}}$$
Exercice 31
Difficile
Une fonction affine ff vérifie f(1)=4f(1) = 4 et sa droite est parallèle à y=−3x+8y = -3x+8. Déterminer ff.
Correction détaillée
**Coefficient directeur.** Parallèle signifie **même coefficient directeur** : $$a = -3$$ **Ordonnée à l'origine.** On utilise $f(1)=4$ dans $f(x) = -3x+b$ : $$-3+b = 4 \iff b = 7$$ $$\boxed{f(x) = -3x+7}$$ **Vérification :** $f(1) = -3+7 = 4$ ✔
Exercice 32
Difficile
Soit f(x)=ax+bf(x) = ax+b avec f(0)=5f(0) = 5 et f(3)=−1f(3) = -1. Déterminer ff, puis résoudre f(x)>0f(x) > 0.
1.
Déterminer ff.
$f(0) = b = 5$ directement. Puis $f(3) = 3a+5 = -1$, donc $3a = -6$ et $a = -2$. $$\boxed{f(x) = -2x+5}$$
2.
Résoudre f(x)>0f(x) > 0.
$$-2x+5 > 0 \iff -2x > -5$$ On divise par $-2$, **négatif** : le sens s'inverse. $$x < \frac52$$ $$\boxed{S =\ \left]-\infty\,;\tfrac52\right[}$$ *Cohérent avec le tableau de signes : $a<0$, donc positive **avant** le zéro $\frac52$.*
Exercice 33
Difficile
Montrer que pour toute fonction affine ff, le taux de variation entre deux réels distincts uu et vv est constant et vaut aa.
Correction détaillée
Soit $f(x) = ax+b$, et soient $u \neq v$ deux réels. Le taux de variation est $$\frac{f(v)-f(u)}{v-u} = \frac{(av+b)-(au+b)}{v-u}$$ Les termes $b$ **s'annulent** : $$= \frac{av-au}{v-u} = \frac{a(v-u)}{v-u}$$ Comme $v-u \neq 0$, on peut simplifier : $$= a$$ $$\boxed{\text{Le taux de variation vaut } a, \text{ quels que soient } u \text{ et } v}$$ *C'est la propriété caractéristique des fonctions affines : c'est exactement ce qui rend leur courbe **rectiligne**.*
Exercice 34
Difficile
La température en degrés Fahrenheit est donnée par F=1,8 C+32F = 1{,}8\,C + 32, où CC est la température en Celsius. Existe-t-il une température où les deux échelles coïncident ?
Correction détaillée
On cherche $C$ tel que $F = C$, c'est-à-dire : $$1{,}8C + 32 = C$$ On regroupe les termes en $C$ : $$1{,}8C - C = -32 \iff 0{,}8C = -32$$ $$C = \frac{-32}{0{,}8} = -40$$ **Vérification :** $1{,}8\times(-40)+32 = -72+32 = -40$ ✔ $$\boxed{-40\ °\text{C} = -40\ °\text{F}}$$ *C'est le seul point commun aux deux échelles — les droites $y = 1{,}8x+32$ et $y=x$ ne se coupent qu'une fois.*
Exercice 35
Difficile
Soient f(x)=ax+bf(x) = ax+b et g(x)=cx+dg(x)=cx+d deux fonctions affines. À quelle condition leurs droites sont-elles sécantes ? Justifier.
Correction détaillée
Chercher un point d'intersection revient à résoudre $f(x)=g(x)$ : $$ax+b = cx+d \iff ax-cx = d-b \iff (a-c)x = d-b$$ On discute selon $a-c$ : **Cas 1 : $a \neq c$.** On peut diviser : $$x = \frac{d-b}{a-c}$$ Il existe **exactement une** solution : les droites sont **sécantes**. **Cas 2 : $a = c$ et $b \neq d$.** L'équation devient $0 = d-b \neq 0$ : aucune solution, les droites sont **strictement parallèles**. **Cas 3 : $a=c$ et $b=d$.** L'équation devient $0=0$ : les deux fonctions sont **égales**, les droites sont confondues. $$\boxed{\text{Sécantes} \iff a \neq c}$$
Exercice 36
Avancé
Déterminer toutes les fonctions affines ff telles que f(1)=3f(1)=3 et f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 pour tout x∈[0 ;2]x \in [0\,;2].
Correction détaillée
Posons $f(x) = ax+b$. La condition $f(1)=3$ donne $a+b=3$, donc $b = 3-a$ : $$f(x) = ax + 3 - a$$ **La contrainte sur l'intervalle.** $f$ étant affine, elle est **monotone** : sur un intervalle, son minimum est atteint à l'une des **deux bornes**. Il suffit donc que $f(0) \geqslant 0$ **et** $f(2) \geqslant 0$. $$f(0) = 3-a \geqslant 0 \iff a \leqslant 3$$ $$f(2) = 2a+3-a = a+3 \geqslant 0 \iff a \geqslant -3$$ On prend l'**intersection** des deux conditions : $$\boxed{f(x) = ax+3-a \quad \text{avec} \quad a \in [-3\,;3]}$$ *Exemple : $a=3$ donne $f(x)=3x$, avec $f(0)=0$ — la borne est bien atteinte.*
Exercice 37
Avancé
Soient ff et gg deux fonctions affines. Démontrer que la fonction ss définie par s(x)=f(x)+g(x)s(x)=f(x)+g(x) est affine, et exprimer son coefficient directeur.
Correction détaillée
Posons $f(x) = ax+b$ et $g(x) = cx+d$. $$s(x) = (ax+b)+(cx+d)$$ On regroupe les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre : $$s(x) = (a+c)x + (b+d)$$ C'est bien de la forme $\alpha x + \beta$ avec $\alpha = a+c$ et $\beta = b+d$, deux nombres fixés. $$\boxed{s \text{ est affine, de coefficient directeur } a+c}$$ *Remarque : si $a+c = 0$ (coefficients opposés), la somme est **constante**. Par exemple $f(x)=2x+1$ et $g(x)=-2x+4$ donnent $s(x)=5$.*
Exercice 38
Avancé
Soit f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a \neq 0. Démontrer que tout réel admet exactement un antécédent par ff.
Correction détaillée
Soit $y$ un réel quelconque. Cherchons ses antécédents, c'est-à-dire les solutions de $f(x)=y$ : $$ax+b = y \iff ax = y-b$$ Comme $a \neq 0$, on peut **diviser** par $a$ : $$x = \frac{y-b}{a}$$ Cette écriture donne **une** solution, et le calcul montre qu'il n'y en a pas d'autre (chaque étape est une équivalence). $$\boxed{\text{Tout réel } y \text{ a exactement un antécédent : } \tfrac{y-b}{a}}$$ *Interprétation graphique : toute droite **horizontale** coupe une droite non horizontale en exactement un point. L'hypothèse $a\neq0$ est essentielle — si $a=0$, la fonction est constante et $y=b$ a une infinité d'antécédents, tandis que les autres n'en ont aucun.*
Exercice 39
Avancé
Une fonction affine ff vérifie f(x+1)−f(x)=−4f(x+1) - f(x) = -4 pour tout réel xx, et f(2)=1f(2) = 1. Déterminer ff.
Correction détaillée
**Le coefficient directeur.** Pour $f(x)=ax+b$, on a vu que $$f(x+1)-f(x) = a.$$ L'hypothèse donne donc directement $a = -4$. **L'ordonnée à l'origine.** On utilise $f(2)=1$ : $$-8+b = 1 \iff b = 9$$ $$\boxed{f(x) = -4x+9}$$ **Vérifications :** $f(2) = -8+9 = 1$ ✔ et $f(3)-f(2) = -3-1 = -4$ ✔
Exercice 40
Avancé
Soit f(x)=mx+3f(x) = mx + 3 où mm est un réel. Discuter, selon mm, le nombre de solutions de l'équation f(x)=0f(x) = 0.
Correction détaillée
L'équation s'écrit : $$mx+3 = 0 \iff mx = -3$$ On discute selon que $m$ est nul ou non. **Cas 1 : $m \neq 0$.** On peut diviser par $m$ : $$x = -\frac3m$$ Il y a **exactement une** solution. **Cas 2 : $m = 0$.** La fonction devient la constante $f(x)=3$, et l'équation s'écrit $0 = -3$ : c'est **impossible**. $$S = \varnothing$$ $$\boxed{m \neq 0 : \text{une solution } -\tfrac3m \ ;\quad m=0 : \text{aucune}}$$ *Graphiquement : une droite non horizontale coupe l'axe des abscisses une fois ; la droite horizontale $y=3$ ne le coupe jamais.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Deux offres de salle de sport
Intermédiaire
Deux salles proposent, pour xx séances dans le mois :
— Offre A : 2020 € d'abonnement, puis 22 € par séance.
— Offre B : 88 € d'abonnement, puis 55 € par séance.
1.
Exprimer les coûts A(x)A(x) et B(x)B(x), et préciser aa et bb pour chacune.
La part fixe est l'ordonnée à l'origine, le prix par séance le coefficient directeur : $$A(x) = 2x+20 \qquad B(x) = 5x+8$$ - Offre A : $a = 2$ (prix par séance), $b = 20$ (abonnement). - Offre B : $a = 5$, $b = 8$. $$\boxed{A(x)=2x+20 \ ;\quad B(x)=5x+8}$$
2.
Pour combien de séances les deux offres coûtent-elles le même prix ?
On résout $A(x)=B(x)$ : $$2x+20 = 5x+8 \iff 12 = 3x \iff x = 4$$ Le prix commun vaut $A(4) = 8+20 = 28$ € (et $B(4) = 20+8 = 28$ ✔). $$\boxed{\text{Pour } 4 \text{ séances : } 28 \text{ euros dans les deux cas}}$$
3.
À partir de combien de séances l'offre A devient-elle la plus avantageuse ?
L'offre A est plus avantageuse lorsque $A(x) < B(x)$ : $$2x+20 < 5x+8 \iff 12 < 3x \iff 4 < x$$ Comme $x$ est un nombre entier de séances, cela donne $x \geqslant 5$. $$\boxed{\text{À partir de } 5 \text{ séances}}$$ **Contrôle :** pour $5$ séances, A coûte $30$ € et B coûte $33$ € ✔
4.
Expliquer, sans calcul, pourquoi l'offre A finit forcément par l'emporter.
L'offre A a un **coefficient directeur plus petit** ($2 < 5$) : chaque séance supplémentaire lui coûte moins cher. Son abonnement de départ est plus élevé, mais cet écart initial de $12$ € est **fixe**, tandis que l'écart par séance ($3$ €) s'accumule à chaque séance. $$\boxed{\text{Le coefficient directeur l'emporte toujours sur la part fixe, à la longue}}$$
Problème 2 — La course de taxi
Intermédiaire
Un taxi facture une prise en charge de 2,502{,}50 €, puis 1,201{,}20 € par kilomètre parcouru. On note T(x)T(x) le prix d'une course de xx kilomètres.
1.
Exprimer T(x)T(x) et préciser sa nature.
La prise en charge est la part **fixe**, le prix au kilomètre la part **variable** : $$T(x) = 1{,}20x + 2{,}50$$ C'est une fonction **affine** (mais pas linéaire, car $b = 2{,}50 \neq 0$). $$\boxed{T(x) = 1{,}20x+2{,}50}$$
2.
Calculer le prix d'une course de 10 km.
$$T(10) = 1{,}20\times10 + 2{,}50 = 12 + 2{,}50 = 14{,}50$$ $$\boxed{14{,}50 \text{ euros}}$$
3.
Quelle distance peut-on parcourir avec 20,5020{,}50 € ?
On résout $T(x) = 20{,}50$ : $$1{,}20x + 2{,}50 = 20{,}50 \iff 1{,}20x = 18$$ $$x = \frac{18}{1{,}20} = 15$$ $$\boxed{15 \text{ km}}$$ **Vérification :** $1{,}20\times15 = 18$, plus $2{,}50$, soit $20{,}50$ € ✔
4.
Un client dispose de 14,5014{,}50 € au maximum. Traduire par une inéquation et conclure.
La condition s'écrit $T(x) \leqslant 14{,}50$ : $$1{,}20x + 2{,}50 \leqslant 14{,}50 \iff 1{,}20x \leqslant 12$$ $$x \leqslant 10$$ En tenant compte de $x \geqslant 0$ : $$\boxed{\text{Au plus } 10 \text{ km}}$$
Problème 3 — Celsius et Fahrenheit
Difficile
La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est donnée par la fonction affine
F(C)=1,8 C+32.F(C) = 1{,}8\,C + 32.
1.
Convertir 00 °C, 2020 °C et 100100 °C.
$$F(0) = 32 \qquad F(20) = 36+32 = 68 \qquad F(100) = 180+32 = 212$$ $$\boxed{32\ °\text{F} \ ;\ 68\ °\text{F} \ ;\ 212\ °\text{F}}$$ *On retrouve les deux repères connus : $0$ °C (glace) $= 32$ °F et $100$ °C (ébullition) $= 212$ °F.*
2.
Interpréter le coefficient directeur 1,81{,}8.
Le coefficient directeur donne la variation de $F$ **quand $C$ augmente de $1$**. $$\boxed{\text{Une hausse de } 1\ °\text{C correspond à une hausse de } 1{,}8\ °\text{F}}$$ *C'est pourquoi un écart de température paraît toujours « plus grand » en Fahrenheit.*
3.
Déterminer la température pour laquelle les deux échelles donnent la même valeur.
On cherche $C$ tel que $F(C) = C$ : $$1{,}8C+32 = C$$ On regroupe les termes en $C$ : $$1{,}8C - C = -32 \iff 0{,}8C = -32$$ $$C = \frac{-32}{0{,}8} = -40$$ **Vérification :** $F(-40) = -72+32 = -40$ ✔ $$\boxed{-40\ °\text{C} = -40\ °\text{F}}$$
4.
Pourquoi cette température est-elle unique ?
Résoudre $F(C)=C$ revient à chercher l'intersection des droites $y = 1{,}8x+32$ et $y = x$. Leurs coefficients directeurs sont **différents** ($1{,}8 \neq 1$) : les droites ne sont pas parallèles, elles sont donc **sécantes en exactement un point** (exercice 35). $$\boxed{\text{Coefficients directeurs distincts} \Rightarrow \text{une seule intersection}}$$
Problème 4 — Vidange d'une cuve
Difficile
Une cuve contient 600600 litres d'eau. On ouvre une vanne : le volume diminue de 2525 litres par minute. On note V(t)V(t) le volume (en litres) restant après tt minutes.
1.
Exprimer V(t)V(t) et préciser son sens de variation.
Le volume initial est la part fixe, et il **diminue** de $25$ L par minute : $$V(t) = -25t + 600$$ Le coefficient directeur est $a = -25 < 0$ : la fonction est **décroissante**, ce qui est cohérent avec une vidange. $$\boxed{V(t) = -25t+600, \text{ décroissante}}$$
2.
Quel volume reste-t-il après 8 minutes ?
$$V(8) = -200+600 = 400$$ $$\boxed{400 \text{ litres}}$$
3.
Au bout de combien de temps la cuve est-elle vide ? En déduire l'ensemble de définition pertinent.
La cuve est vide quand $V(t)=0$ : $$-25t+600 = 0 \iff 25t = 600 \iff t = 24$$ La cuve est vide au bout de **24 minutes**. Au-delà, la formule donnerait un volume **négatif**, ce qui n'a pas de sens physique. $$\boxed{t = 24 \text{ min} \ ;\quad \text{modèle valable sur } [0\,;24]}$$ *Un modèle affine a presque toujours un domaine de validité limité par le contexte.*
4.
Déterminer à partir de quel instant il reste moins de 150 litres.
On résout $V(t) < 150$ : $$-25t+600 < 150 \iff -25t < -450$$ On divise par $-25$, **négatif** : le sens **s'inverse**. $$t > 18$$ En tenant compte du domaine $[0\,;24]$ : $$\boxed{t \in\ ]18\,;24]}$$ **Contrôle :** $V(18) = -450+600 = 150$ exactement ✔