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II Fonctions · Chapitre 06 / 11

Fonctions de référence

Carré, inverse, racine carrée, cube.

8 min de lecture
6 sections, 3 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

Quatre courbes à connaître par cœur : le carré x² (parabole, minimum en 0), l'inverse 1/x (hyperbole, définie pour x ≠ 0), la racine carrée √x (croissante sur [0 ; +∞[) et le cube x³ (croissante sur ℝ). Leurs variations permettent de comparer des nombres, d'encadrer des expressions et de résoudre des équations et inéquations simples.

1 I. La fonction carré

xx−3-3−2-2−1-100112233
x2x^299441100114499
Pourquoi elle décroît sur les négatifs
Soient u⩽v⩽0u \leqslant v \leqslant 0. Étudions le signe de la différence :
f(v)−f(u)=v2−u2=(v−u)(v+u)f(v)-f(u) = v^2-u^2 = (v-u)(v+u)

• v−u⩾0v-u \geqslant 0 car u⩽vu \leqslant v ;
• v+u⩽0v+u \leqslant 0 car les deux nombres sont négatifs ou nuls.

Le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif :
f(v)−f(u)⩽0  ⟺  f(v)⩽f(u)f(v)-f(u) \leqslant 0 \iff f(v) \leqslant f(u)

La fonction inverse l'ordre : elle est décroissante.

2 II. La fonction inverse

xx−4-4−1-1−12-\tfrac1212\tfrac12112244
1x\tfrac1x−14-\tfrac14−1-1−2-2221112\tfrac1214\tfrac14

3 III. La fonction racine carrée

xx001144991616
x\sqrt{x}0011223344

4 IV. La fonction cube

xx−3-3−2-2−1-100112233
x3x^3−27-27−8-8−1-10011882727

5 V. Parité : synthèse

FonctionEnsemble de définitionVariationsParité
x2x^2R\mathbb{R}décroissante puis croissante (en 00)paire
1x\dfrac1xR∗\mathbb{R}^*décroissante sur chaque intervalleimpaire
x\sqrt{x}[0 ;+∞[[0\,;+\infty[croissanteni l'une ni l'autre
x3x^3R\mathbb{R}croissanteimpaire

6 VI. Comparer x2x^2, xx et x\sqrt{x}

Sur les nombres positifs, ces trois fonctions se classent — mais le classement s'inverse selon qu'on est avant ou après 11. C'est un résultat qui surprend, et qu'il faut connaître.

Démonstration de x2<xx^2 < x sur ]0 ;1[]0\,;1[
On étudie le signe de la différence :
x2−x=x(x−1)x^2 - x = x(x-1)

Pour 0<x<10 < x < 1 :
• x>0x > 0 ;
• x−1<0x - 1 < 0.

Le produit d'un positif et d'un négatif est négatif :
x2−x<0  ⟺  x2<xx^2 - x < 0 \iff x^2 < x

Le même calcul montre que pour x>1x>1, les deux facteurs sont positifs, donc x2>xx^2 > x : le classement s'inverse bien en 11.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction carré n'est-elle pas croissante partout ?
Elle est décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] puis croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ : sa courbe est une parabole de sommet l'origine. Conséquence pour comparer : deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs carrés — −3<−2-3 < -2 mais 9>49 > 4.
Comment résoudre l'équation x² = k ?
Trois cas selon le signe de kk : si k>0k > 0, deux solutions k\sqrt{k} et −k-\sqrt{k} ; si k=0k = 0, une seule solution 00 ; si k<0k < 0, aucune solution car un carré n'est jamais strictement négatif. Ne pas oublier la solution négative est le piège classique.
Quelles sont les variations de la fonction inverse ?
La fonction inverse x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, mais on ne peut pas dire qu'elle est décroissante sur leur réunion : −1<1-1 < 1 et pourtant 1−1<11\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}. Sa courbe est une hyperbole dont les deux branches ne se rejoignent jamais.
Comment comparer deux nombres avec les fonctions de référence ?
On utilise le sens de variation : une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante l'inverse. Par exemple, puisque la racine carrée est croissante, 2<52 < 5 donne 2<5\sqrt{2} < \sqrt{5} ; puisque l'inverse est décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, 2<52 < 5 donne 12>15\frac{1}{2} > \frac{1}{5}.

Les quatre fonctions

Le piège de l'inverse

Parité

Comparaisons

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Calculer les images de −3-3, 00 et 33 par la fonction carré.
Correction détaillée
$$(-3)^2 = 9 \qquad 0^2 = 0 \qquad 3^2 = 9$$ $$\boxed{9 \ ;\ 0 \ ;\ 9}$$ *Deux nombres opposés ont la même image : la fonction carré est **paire**.*
Exercice 2
Facile
Calculer les images de −2-2, 12\tfrac12 et 44 par la fonction inverse.
Correction détaillée
$$\frac1{-2} = -\frac12 \qquad \frac{1}{\tfrac12} = 2 \qquad \frac14$$ $$\boxed{-\tfrac12 \ ;\ 2 \ ;\ \tfrac14}$$
Exercice 3
Facile
Donner l'ensemble de définition de la fonction inverse et de la fonction racine carrée.
Correction détaillée
- **Inverse** : on ne divise pas par zéro. $$D = \mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus\{0\}$$ - **Racine carrée** : ce qui est sous la racine doit être positif ou nul. $$D = [0\,;+\infty[$$ $$\boxed{\mathbb{R}^* \text{ et } [0\,;+\infty[}$$
Exercice 4
Facile
Calculer 0\sqrt{0}, 4\sqrt{4}, 9\sqrt{9} et 16\sqrt{16}.
Correction détaillée
$$\sqrt0 = 0 \qquad \sqrt4 = 2 \qquad \sqrt9 = 3 \qquad \sqrt{16} = 4$$ $$\boxed{0 \ ;\ 2 \ ;\ 3 \ ;\ 4}$$
Exercice 5
Facile
Calculer (−2)3(-2)^3, 232^3 et (−3)3(-3)^3.
Correction détaillée
Le cube **conserve le signe** : $$(-2)^3 = -8 \qquad 2^3 = 8 \qquad (-3)^3 = -27$$ $$\boxed{-8 \ ;\ 8 \ ;\ -27}$$
Exercice 6
Facile
Résoudre x2=9x^2 = 9.
Correction détaillée
$9>0$ : il y a **deux** solutions opposées. $$\boxed{S = \{-3\ ;\ 3\}}$$
Exercice 7
Facile
Résoudre x3=8x^3 = 8.
Correction détaillée
Un seul nombre a pour cube $8$ : la fonction cube étant **croissante sur $\mathbb{R}$**, chaque valeur n'est atteinte qu'une fois. $$\boxed{S = \{2\}}$$ *Contrairement au carré, il n'y a pas de solution négative : $(-2)^3 = -8 \neq 8$.*
Exercice 8
Facile
Résoudre x=3\sqrt{x} = 3.
Correction détaillée
On élève au carré (les deux membres sont positifs) : $$x = 9$$ **Vérification :** $\sqrt9 = 3$ ✔ $$\boxed{S = \{9\}}$$
Exercice 9
Facile
La fonction carré est-elle croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ ?
Correction détaillée
Oui : sur les nombres **positifs**, élever au carré conserve l'ordre. $$\boxed{\text{Oui, croissante sur } [0\,;+\infty[}$$ *Sur $]-\infty\,;0]$ en revanche, elle est décroissante.*
Exercice 10
Facile
Comparer 7\sqrt{7} et 33 sans calculatrice.
Correction détaillée
On écrit $3 = \sqrt9$. La fonction racine carrée étant **croissante**, elle conserve l'ordre : $$7 < 9 \implies \sqrt7 < \sqrt9 = 3$$ $$\boxed{\sqrt7 < 3}$$
Exercice 11
Facile
La fonction cube est-elle paire ou impaire ?
Correction détaillée
On calcule $f(-x)$ : $$(-x)^3 = -x^3 = -f(x)$$ $$\boxed{\text{Impaire — courbe symétrique par rapport à l'origine}}$$
Exercice 12
Facile
Résoudre x2=−4x^2 = -4.
Correction détaillée
Un carré est **toujours positif ou nul** : il ne peut valoir $-4$. $$\boxed{S = \varnothing}$$
Exercice 13
Facile
Résoudre 1x=2\dfrac1x = 2.
Correction détaillée
Avec $x \neq 0$, on écrit $1 = 2x$ : $$x = \frac12$$ **Vérification :** $\frac{1}{1/2} = 2$ ✔ $$\boxed{S = \left\{\tfrac12\right\}}$$
Exercice 14
Facile
Quel est le minimum de la fonction carré, et où est-il atteint ?
Correction détaillée
Un carré est toujours positif ou nul, et $0^2 = 0$ : $$\boxed{\text{minimum } 0, \text{ atteint en } x=0}$$
Exercice 15
Facile
Comparer 0,520{,}5^2 et 0,50{,}5. Que remarque-t-on ?
Correction détaillée
$$0{,}5^2 = 0{,}25 \qquad \text{donc} \qquad 0{,}25 < 0{,}5$$ $$\boxed{0{,}5^2 < 0{,}5}$$ *Élever au carré un nombre **entre 0 et 1** le **diminue** — contrairement à ce qui se passe au-delà de 1.*
Exercice 16
Intermédiaire
Résoudre x2⩽4x^2 \leqslant 4.
Correction détaillée
On ramène à zéro et on **factorise** : $$x^2-4 \leqslant 0 \iff (x-2)(x+2) \leqslant 0$$ Tableau de signes (zéros en $-2$ et $2$) : le produit est négatif **entre** les racines. L'inégalité étant large, les bornes sont incluses. $$\boxed{S = [-2\,;2]}$$
Exercice 17
Intermédiaire
Résoudre x2>9x^2 > 9.
Correction détaillée
$$x^2-9 > 0 \iff (x-3)(x+3) > 0$$ Le produit est positif **à l'extérieur** des racines, bornes exclues : $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-3[\ \cup\ ]3\,;+\infty[}$$ *Erreur à éviter : répondre seulement « $x>3$ ».*
Exercice 18
Intermédiaire
Montrer que la fonction carré est paire.
Correction détaillée
**Étape 0 :** $D_f = \mathbb{R}$ est bien symétrique par rapport à $0$. **Calcul :** pour tout réel $x$, $$f(-x) = (-x)^2 = (-1)^2 \times x^2 = x^2 = f(x)$$ $$\boxed{f \text{ est paire — courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées}}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Montrer que la fonction inverse est impaire.
Correction détaillée
**Étape 0 :** $D_f = \mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$ (si $x\neq0$ alors $-x\neq0$) ✔ **Calcul :** pour tout $x \neq 0$, $$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac1x = -f(x)$$ $$\boxed{f \text{ est impaire — courbe symétrique par rapport à l'origine}}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Résoudre 1x>0\dfrac1x > 0.
Correction détaillée
Le numérateur $1$ est **positif**. Un quotient est positif quand numérateur et dénominateur ont le **même signe** : il faut donc $x>0$. $$\boxed{S =\ ]0\,;+\infty[}$$ *On ne multiplie surtout pas par $x$ sans connaître son signe.*
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre x<2\sqrt{x} < 2.
Correction détaillée
**Domaine :** il faut d'abord $x \geqslant 0$. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré (la fonction carré conserve l'ordre sur les positifs) : $$x < 4$$ En croisant avec le domaine : $$\boxed{S = [0\,;4[}$$ *Ne pas oublier la contrainte $x \geqslant 0$ : elle fait partie de la réponse.*
Exercice 22
Intermédiaire
Ranger dans l'ordre croissant : (14)2\left(\tfrac14\right)^2, 14\tfrac14 et 14\sqrt{\tfrac14}.
Correction détaillée
On met tout sur $16$ pour comparer : $$\left(\tfrac14\right)^2 = \frac1{16} \qquad \frac14 = \frac4{16} \qquad \sqrt{\tfrac14} = \frac12 = \frac8{16}$$ $$\boxed{\left(\tfrac14\right)^2 < \tfrac14 < \sqrt{\tfrac14}}$$ *On est entre $0$ et $1$ : c'est bien le classement $x^2 < x < \sqrt x$.*
Exercice 23
Intermédiaire
Ranger dans l'ordre croissant : 424^2, 44 et 4\sqrt{4}.
Correction détaillée
$$4^2 = 16 \qquad 4 \qquad \sqrt4 = 2$$ $$\boxed{\sqrt4 < 4 < 4^2}$$ *Au-delà de $1$, le classement est **inversé** par rapport à l'exercice précédent.*
Exercice 24
Intermédiaire
Résoudre x3=−27x^3 = -27.
Correction détaillée
Le cube conserve le signe : on cherche un nombre **négatif**. $$(-3)^3 = -27$$ La fonction cube étant croissante sur $\mathbb{R}$, cette solution est **unique**. $$\boxed{S = \{-3\}}$$
Exercice 25
Intermédiaire
La fonction f(x)=x2+xf(x)=x^2+x est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?
Correction détaillée
**Étape 0 :** $D_f = \mathbb{R}$, symétrique ✔ **Calcul :** $$f(-x) = (-x)^2+(-x) = x^2-x$$ - Comparons à $f(x) = x^2+x$ : **différent** (signe du second terme). - Comparons à $-f(x) = -x^2-x$ : **différent** (signe du premier terme). $$\boxed{\text{Ni paire ni impaire}}$$ **Contre-exemple :** $f(1)=2$ et $f(-1)=0$ — ni égaux, ni opposés.
Exercice 26
Intermédiaire
Pourquoi la fonction racine carrée n'est-elle ni paire ni impaire ?
Correction détaillée
La question de la parité suppose que l'on puisse calculer $f(-x)$, donc que $D_f$ soit **symétrique par rapport à $0$**. Or $D_f = [0\,;+\infty[$ : par exemple $2 \in D_f$ mais $-2 \notin D_f$, donc $f(-2)$ **n'existe pas**. $$\boxed{\text{Son ensemble de définition n'est pas symétrique : la question ne se pose pas}}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Comparer (13)3\left(\dfrac13\right)^3 et 13\dfrac13.
Correction détaillée
$$\left(\frac13\right)^3 = \frac1{27} \qquad \text{et} \qquad \frac13 = \frac9{27}$$ $$\boxed{\left(\tfrac13\right)^3 < \tfrac13}$$ *Comme pour le carré, élever au cube un nombre entre $0$ et $1$ le **diminue** — et même davantage.*
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=x+1xf(x) = \sqrt{x} + \dfrac1x.
Correction détaillée
Il y a **deux** contraintes simultanées : 1. **Racine :** $x \geqslant 0$. 2. **Dénominateur :** $x \neq 0$. On prend l'**intersection** : les réels positifs, privés de $0$. $$\boxed{D_f =\ ]0\,;+\infty[}$$
Exercice 29
Difficile
Résoudre 1x⩽1\dfrac1x \leqslant 1.
Correction détaillée
**Erreur à éviter :** multiplier par $x$ sans connaître son signe. On **discute**. **Cas 1 : $x < 0$.** Alors $\frac1x$ est **négatif**, donc automatiquement $\leqslant 1$. Tout $x<0$ convient. **Cas 2 : $x > 0$.** On peut multiplier par $x$ (**positif**, le sens est conservé) : $$1 \leqslant x$$ *(Le cas $x=0$ est exclu : valeur interdite.)* On réunit les deux cas : $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;0[\ \cup\ [1\,;+\infty[}$$ **Contrôle :** $x=-2$ donne $-0{,}5 \leqslant 1$ ✔ ; $x = 0{,}5$ donne $2 \leqslant 1$, faux ✔ (et $0{,}5$ n'est pas dans $S$).
Exercice 30
Difficile
Démontrer que la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0].
Correction détaillée
Soient $u$ et $v$ tels que $u \leqslant v \leqslant 0$. On étudie le **signe de la différence** : $$f(v)-f(u) = v^2-u^2 = (v-u)(v+u)$$ **Analyse des deux facteurs :** - $v-u \geqslant 0$, car $u \leqslant v$ ; - $v+u \leqslant 0$, car $u$ et $v$ sont tous deux négatifs ou nuls. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est **négatif** : $$f(v)-f(u) \leqslant 0 \iff f(v) \leqslant f(u)$$ Ainsi $u \leqslant v$ entraîne $f(u) \geqslant f(v)$ : la fonction **inverse l'ordre**. $$\boxed{f \text{ est décroissante sur } ]-\infty\,;0]}$$
Exercice 31
Difficile
Un élève écrit : « la fonction inverse est décroissante sur R∗\mathbb{R}^* ». Expliquer pourquoi c'est faux.
Correction détaillée
Une fonction décroissante doit **inverser l'ordre** : si $u < v$, on doit avoir $f(u) > f(v)$. **Contre-exemple.** Prenons $u = -1$ et $v = 1$, tous deux dans $\mathbb{R}^*$ : $$-1 < 1 \qquad \text{mais} \qquad f(-1) = -1 \ \mathbf{<} \ f(1) = 1$$ L'ordre est **conservé**, ce qui contredit la décroissance. $$\boxed{\text{Il faut dire : décroissante sur } ]-\infty\,;0[ \text{ ET sur } ]0\,;+\infty[}$$ *La raison profonde : $\mathbb{R}^*$ n'est pas un **intervalle** — il est « troué » en $0$, et le sens de variation ne se compare qu'à l'intérieur d'un intervalle.*
Exercice 32
Difficile
Démontrer que pour tout x∈ ]0 ;1[x \in\ ]0\,;1[, on a x2<x<xx^2 < x < \sqrt{x}.
1.
Démontrer x2<xx^2 < x.
On étudie le signe de la différence : $$x^2 - x = x(x-1)$$ Pour $0<x<1$ : $x>0$ et $x-1<0$. Le produit est **négatif** : $$x^2-x < 0 \iff x^2 < x$$
2.
Démontrer x<xx < \sqrt{x}.
Posons $t = \sqrt x$, de sorte que $x = t^2$ et $0 < t < 1$ (la racine d'un nombre de $]0;1[$ y reste). L'inégalité à démontrer devient $t^2 < t$, ce qui est **exactement** le résultat de la question 1 appliqué à $t$. $$\boxed{x < \sqrt x}$$ *En combinant : $x^2 < x < \sqrt x$ sur $]0\,;1[$.*
Exercice 33
Difficile
Résoudre x2⩾xx^2 \geqslant x.
Correction détaillée
On ramène à zéro et on **factorise** : $$x^2 - x \geqslant 0 \iff x(x-1) \geqslant 0$$ Tableau de signes (zéros en $0$ et $1$) : | | $x<0$ | $0<x<1$ | $x>1$ | |---|---|---|---| | $x$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | **produit** | $+$ | $-$ | $+$ | On veut le produit **positif ou nul** : les intervalles extérieurs, bornes incluses. $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;0] \cup [1\,;+\infty[}$$ *Autrement dit, $x^2 < x$ **uniquement** sur $]0\,;1[$ — ce qui confirme l'exercice 32.*
Exercice 34
Difficile
Soit f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2}. Déterminer son ensemble de définition et étudier sa parité.
Correction détaillée
**Ensemble de définition.** Le dénominateur $x^2$ s'annule uniquement en $0$ : $$D_f = \mathbb{R}^*$$ **Parité.** $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ ✔. On calcule : $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$$ $$\boxed{D_f = \mathbb{R}^* \ ;\quad f \text{ est paire}}$$ *Intéressant : c'est le quotient d'une fonction **impaire** ($\frac1x$) par une fonction impaire... et le résultat est **pair**. Le carré au dénominateur supprime le signe.*
Exercice 35
Difficile
Comparer a\sqrt{a} et aa selon la valeur du réel a⩾0a \geqslant 0.
Correction détaillée
On étudie le signe de la différence, en factorisant par $\sqrt a$ : $$\sqrt a - a = \sqrt a - (\sqrt a)^2 = \sqrt a\,(1 - \sqrt a)$$ **Analyse selon $a$ :** - **$a = 0$ ou $a = 1$ :** la différence est nulle ($\sqrt0=0$, $\sqrt1=1$), donc $\sqrt a = a$. - **$0 < a < 1$ :** alors $0<\sqrt a<1$, donc $\sqrt a > 0$ et $1-\sqrt a > 0$. Le produit est **positif** : $\sqrt a > a$. - **$a > 1$ :** alors $\sqrt a > 1$, donc $1-\sqrt a < 0$. Le produit est **négatif** : $\sqrt a < a$. $$\boxed{0<a<1 : \sqrt a > a \ ;\quad a=0 \text{ ou } 1 : \text{égalité} \ ;\quad a>1 : \sqrt a < a}$$
Exercice 36
Avancé
Soit ff une fonction paire et gg une fonction impaire, toutes deux définies sur R\mathbb{R}. Que peut-on dire de la parité du produit p(x)=f(x) g(x)p(x) = f(x)\,g(x) ?
Correction détaillée
$D = \mathbb{R}$ est symétrique ✔. On calcule $p(-x)$ en utilisant les deux hypothèses : $$p(-x) = f(-x)\,g(-x)$$ - $f$ est **paire** : $f(-x) = f(x)$ ; - $g$ est **impaire** : $g(-x) = -g(x)$. Donc : $$p(-x) = f(x)\times\big(-g(x)\big) = -f(x)g(x) = -p(x)$$ $$\boxed{p \text{ est impaire}}$$ *Exemple de contrôle : $f(x)=x^2$ (paire) et $g(x)=x^3$ (impaire) donnent $p(x)=x^5$, effectivement impaire.*
Exercice 37
Avancé
Déterminer toutes les fonctions définies sur R\mathbb{R} qui sont à la fois paires et impaires.
Correction détaillée
Soit $f$ à la fois paire et impaire. Pour tout réel $x$, les deux propriétés donnent : $$f(-x) = f(x) \qquad \text{et} \qquad f(-x) = -f(x)$$ Les deux membres de droite sont donc égaux : $$f(x) = -f(x)$$ On ajoute $f(x)$ aux deux membres : $$2f(x) = 0 \iff f(x) = 0$$ Ceci vaut pour **tout** $x$. $$\boxed{\text{Seule la fonction nulle } f(x)=0}$$ *Sa courbe est l'axe des abscisses : symétrique à la fois par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine.*
Exercice 38
Avancé
Résoudre 1x<x\dfrac1x < x.
Correction détaillée
**Valeur interdite :** $x \neq 0$. On ramène à zéro **sans multiplier** par $x$ : $$\frac1x - x < 0 \iff \frac{1-x^2}{x} < 0$$ On **factorise** le numérateur : $$\frac{(1-x)(1+x)}{x} < 0$$ Zéros : $x=1$, $x=-1$ (numérateur) et $x=0$ (interdit). On range : $-1 < 0 < 1$. | | $x<-1$ | $-1<x<0$ | $0<x<1$ | $x>1$ | |---|---|---|---|---| | $1-x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | | $1+x$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **quotient** | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | On veut le quotient **strictement négatif** : $$\boxed{S =\ ]-1\,;0[\ \cup\ ]1\,;+\infty[}$$ **Contrôle :** $x=2$ donne $0{,}5 < 2$ ✔ ; $x = -0{,}5$ donne $-2 < -0{,}5$ ✔
Exercice 39
Avancé
Démontrer que la fonction cube est croissante sur R\mathbb{R}, en admettant l'identité v3−u3=(v−u)(v2+uv+u2)v^3-u^3 = (v-u)(v^2+uv+u^2).
Correction détaillée
Soient $u \leqslant v$. On étudie le signe de la différence à l'aide de l'identité admise : $$f(v)-f(u) = v^3-u^3 = (v-u)(v^2+uv+u^2)$$ **Premier facteur :** $v-u \geqslant 0$ car $u \leqslant v$. **Second facteur :** montrons qu'il est **toujours positif ou nul**. On le met sous forme canonique en $v$ : $$v^2+uv+u^2 = \left(v+\frac u2\right)^2 - \frac{u^2}{4} + u^2 = \left(v+\frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4}$$ C'est une **somme de deux carrés** (à coefficients positifs), donc $\geqslant 0$. **Conclusion.** Le produit de deux quantités positives ou nulles est positif ou nul : $$f(v)-f(u) \geqslant 0 \iff f(u) \leqslant f(v)$$ $$\boxed{f \text{ est croissante sur } \mathbb{R}}$$
Exercice 40
Avancé
Discuter, selon le réel kk, le nombre de solutions de l'équation x2=kx^2 = k, puis celui de x3=kx^3 = k. Expliquer la différence.
Correction détaillée
**Équation $x^2 = k$.** Le carré est toujours positif ou nul : - $k < 0$ : **aucune** solution ; - $k = 0$ : **une** solution ($x=0$) ; - $k > 0$ : **deux** solutions, $\sqrt k$ et $-\sqrt k$. **Équation $x^3 = k$.** La fonction cube est **croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier** et prend toutes les valeurs réelles : chaque $k$ est atteint, et une seule fois. - Pour tout $k$ : **exactement une** solution. $$\boxed{x^2=k : 0,\ 1 \text{ ou } 2 \text{ solutions} \ ;\quad x^3=k : \text{toujours } 1}$$ **Explication.** La fonction carré **change de sens** en $0$ : elle prend deux fois la même valeur, de part et d'autre. La fonction cube, elle, est **strictement croissante partout** : elle ne repasse jamais par une valeur déjà prise. *Autrement dit : le carré supprime le signe, le cube le conserve.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Aire d'un carré et périmètre
Intermédiaire
On considère un carré de côté xx (en cm, avec x>0x>0). On note A(x)\mathcal{A}(x) son aire et P(x)\mathcal{P}(x) son périmètre.
1.
Exprimer A(x)\mathcal{A}(x) et P(x)\mathcal{P}(x), et préciser la nature de chaque fonction.
$$\mathcal{A}(x) = x^2 \qquad \mathcal{P}(x) = 4x$$ - $\mathcal{A}$ est la **fonction carré** (restreinte à $x>0$) ; - $\mathcal{P}$ est une fonction **linéaire**. $$\boxed{\mathcal{A}(x)=x^2 \ ;\quad \mathcal{P}(x)=4x}$$
2.
Déterminer le côté d'un carré d'aire 4949 cm².
On résout $x^2 = 49$ **avec la contrainte $x>0$** : $$x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -7$$ Une longueur est strictement positive : la solution $-7$ est **à rejeter**. $$\boxed{x = 7 \text{ cm}}$$ *C'est le contexte, et non l'algèbre, qui élimine la solution négative.*
3.
Pour quelles valeurs de xx l'aire dépasse-t-elle le périmètre ?
On résout $\mathcal{A}(x) > \mathcal{P}(x)$ avec $x>0$ : $$x^2 > 4x \iff x^2-4x > 0 \iff x(x-4) > 0$$ Sur $]0\,;+\infty[$, le facteur $x$ est positif ; le signe du produit est donc celui de $x-4$ : $$x-4 > 0 \iff x > 4$$ $$\boxed{x > 4 \text{ cm}}$$ **Contrôle :** pour $x=5$, aire $=25$ et périmètre $=20$ ✔ ; pour $x=3$, aire $=9 <$ périmètre $=12$ ✔
4.
Existe-t-il un carré dont l'aire égale le périmètre ?
On résout $x^2 = 4x$ avec $x>0$ : $$x(x-4) = 0 \iff x = 0 \ \text{ou} \ x = 4$$ La valeur $x=0$ est exclue par le contexte. $$\boxed{\text{Oui : le carré de côté } 4 \text{ cm (aire } 16 \text{ cm}^2, \text{ périmètre } 16 \text{ cm)}}$$
Problème 2 — Partager une surface constante
Intermédiaire
Un rectangle a une aire fixée de 1212 m². On note xx sa longueur (en m, x>0x>0) et L(x)L(x) sa largeur.
1.
Exprimer L(x)L(x) et reconnaître la fonction obtenue.
L'aire est le produit des deux dimensions : $$x \times L(x) = 12 \iff L(x) = \frac{12}{x}$$ C'est la **fonction inverse**, multipliée par $12$. $$\boxed{L(x) = \dfrac{12}{x}, \text{ définie sur } ]0\,;+\infty[}$$
2.
Calculer la largeur pour une longueur de 3 m, puis de 8 m.
$$L(3) = \frac{12}{3} = 4 \qquad L(8) = \frac{12}{8} = 1{,}5$$ $$\boxed{4 \text{ m} \ ;\quad 1{,}5 \text{ m}}$$
3.
Quel est le sens de variation de LL ? Interpréter.
Sur $]0\,;+\infty[$, la fonction inverse est **décroissante** ; la multiplier par $12>0$ ne change pas ce sens. $$\boxed{L \text{ est décroissante sur } ]0\,;+\infty[}$$ **Interprétation :** à aire constante, **plus le rectangle est long, plus il est étroit** — ce que confirme la question 2 ($3$ m → $4$ m, mais $8$ m → $1{,}5$ m).
4.
Pour quelles longueurs la largeur est-elle inférieure à 2 m ?
On résout $L(x) < 2$ avec $x>0$ : $$\frac{12}{x} < 2$$ Comme $x>0$, on peut multiplier par $x$ **sans changer le sens** : $$12 < 2x \iff x > 6$$ $$\boxed{x > 6 \text{ m}}$$ **Contrôle :** $L(6) = 2$ exactement, et $L(12) = 1 < 2$ ✔
Problème 3 — Chute libre et racine carrée
Difficile
Un objet lâché sans vitesse initiale tombe d'une hauteur hh (en mètres). Le temps de chute tt (en secondes) est donné, en négligeant les frottements, par
t(h)=h5.t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}.
1.
Donner l'ensemble de définition pertinent, puis calculer le temps de chute pour h=20h = 20 m et h=45h = 45 m.
**Domaine.** Il faut $\frac h5 \geqslant 0$, soit $h \geqslant 0$ — ce qui correspond au contexte (une hauteur est positive). $$D = [0\,;+\infty[$$ **Calculs.** $$t(20) = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt4 = 2 \qquad t(45) = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt9 = 3$$ $$\boxed{2 \text{ s} \ ;\quad 3 \text{ s}}$$
2.
De quelle hauteur faut-il lâcher l'objet pour une chute de 4 secondes ?
On résout $t(h) = 4$ : $$\sqrt{\frac h5} = 4$$ Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $$\frac h5 = 16 \iff h = 80$$ **Vérification :** $\sqrt{80/5} = \sqrt{16} = 4$ ✔ $$\boxed{h = 80 \text{ m}}$$
3.
Le temps de chute est-il proportionnel à la hauteur ? Justifier.
**Non.** Si c'était le cas, doubler la hauteur doublerait le temps. Or : $$t(20) = 2 \qquad \text{et} \qquad t(40) = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt8 \approx 2{,}83$$ Le temps n'a pas doublé (il faudrait $4$ s). $$\boxed{\text{Non : la fonction n'est pas linéaire, c'est une racine carrée}}$$ *En revanche, pour **doubler** le temps, il faut **quadrupler** la hauteur : $t(80) = 4 = 2\times t(20)$ ✔*
4.
Que dit le sens de variation de tt sur ce phénomène ?
La fonction racine carrée est **croissante** : plus la hauteur augmente, plus le temps de chute augmente — ce qui est attendu. Mais elle croît **de plus en plus lentement** : passer de $20$ à $45$ m ajoute $1$ seconde, alors qu'il faut ensuite passer de $45$ à $80$ m pour gagner la seconde suivante. $$\boxed{\text{Croissante, mais avec un gain de temps de plus en plus faible}}$$
Problème 4 — Comparer les quatre fonctions
Difficile
On considère les fonctions de référence c(x)=x2c(x)=x^2, k(x)=x3k(x)=x^3, r(x)=xr(x)=\sqrt x et i(x)=1xi(x)=\dfrac1x.
1.
Déterminer les réels xx tels que x2=x3x^2 = x^3.
On ramène à zéro et on **factorise** : $$x^3 - x^2 = 0 \iff x^2(x-1) = 0$$ Règle du produit nul : $$x^2 = 0 \ \text{ou} \ x-1 = 0$$ $$\boxed{S = \{0\ ;\ 1\}}$$ *Les deux courbes se coupent en $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$.*
2.
Comparer x2x^2 et x3x^3 sur ]0 ;1[]0\,;1[ puis sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.
On étudie le signe de la différence $x^3-x^2 = x^2(x-1)$. Le facteur $x^2$ est **toujours positif** (pour $x \neq 0$) : le signe est donc celui de $x-1$. - **Sur $]0\,;1[$ :** $x-1 < 0$, donc $x^3 < x^2$. - **Sur $]1\,;+\infty[$ :** $x-1 > 0$, donc $x^3 > x^2$. $$\boxed{0<x<1 : x^3 < x^2 \ ;\quad x>1 : x^3 > x^2}$$ *Contrôle : $0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}25$ ✔ et $2^3 = 8 > 4$ ✔*
3.
Résoudre x=x\sqrt{x} = x et interpréter.
**Domaine :** $x \geqslant 0$. On élève au carré (les deux membres sont positifs) : $$x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x-1) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1$$ Les deux vérifient bien l'équation de départ. $$\boxed{S = \{0\ ;\ 1\}}$$ **Interprétation :** les courbes de $\sqrt x$ et de $x$ se coupent **uniquement** en $(0;0)$ et $(1;1)$ — ce sont précisément les deux points où le classement du cours s'inverse.
4.
Ranger x2x^2, x3x^3, xx et x\sqrt{x} dans l'ordre croissant pour x=14x = \dfrac14.
On calcule chaque valeur, puis on met tout sur $64$ pour comparer : $$x^3 = \frac1{64} \qquad x^2 = \frac1{16} = \frac4{64} \qquad x = \frac14 = \frac{16}{64} \qquad \sqrt x = \frac12 = \frac{32}{64}$$ $$\boxed{x^3 < x^2 < x < \sqrt x}$$ *Sur $]0\,;1[$, plus l'exposant est **grand**, plus le résultat est **petit** — et la racine (exposant $\frac12$) dépasse tout le monde. Au-delà de $1$, ce classement s'inverse entièrement.*