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III Géométrie · Chapitre 07 / 11

Géométrie repérée

Coordonnées, milieu, distance dans un repère.

8 min de lecture
6 sections, 7 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Dans un repère orthonormé, le milieu de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de A et B, et la distance vaut AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) — c'est le théorème de Pythagore traduit en coordonnées. Ces deux formules suffisent pour démontrer qu'un triangle est isocèle ou rectangle, ou qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

1 I. Repère et coordonnées

Jusqu'ici, la géométrie se faisait à la règle et au compas. En repérant les points par des nombres, on va pouvoir la faire par le calcul : démontrer qu'un triangle est rectangle devient une simple vérification numérique.

2 II. Milieu d'un segment

3 III. Distance entre deux points

D'où vient cette formule
Plaçons le point H(xB ;yA)H(x_B\,;y_A) : il a la même abscisse que BB et la même ordonnée que AA.

Le triangle AHBAHB est rectangle en HH (les axes étant perpendiculaires), et :
• AH=∣xB−xA∣AH = |x_B-x_A| (déplacement horizontal) ;
• HB=∣yB−yA∣HB = |y_B-y_A| (déplacement vertical).

Le théorème de Pythagore donne alors :
AB2=AH2+HB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2

Comme une distance est positive, on prend la racine carrée. (Les valeurs absolues disparaissent : elles sont élevées au carré.)

4 IV. Nature d'un triangle

5 V. Parallélogrammes

6 VI. Cercles

Questions fréquentes

Comment calculer la distance entre deux points dans un repère ?
Dans un repère orthonormé, AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} — c'est le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées. Attention : la formule n'est valable que si le repère est orthonormé, et on garde la valeur exacte avec la racine tant qu'on n'a pas fini le raisonnement.
Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?
Le milieu de [AB][AB] a pour coordonnées la moyenne de celles des extrémités : (xA+xB2 ;yA+yB2)\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right). Cette formule est valable dans n'importe quel repère, orthonormé ou non.
Comment démontrer qu'un triangle est rectangle avec les coordonnées ?
On calcule les trois longueurs (ou plutôt leurs carrés) avec la formule de distance, puis on applique la réciproque du théorème de Pythagore : si AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2, alors le triangle est rectangle en AA. Travailler avec les carrés évite de manipuler les racines.
Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans un repère ?
Le plus efficace : montrer que les diagonales ont le même milieu, en calculant le milieu de [AC][AC] et celui de [BD][BD]. S'ils coïncident, ABCDABCD est un parallélogramme. On peut aussi montrer l'égalité de vecteurs AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Les deux formules

Nature d'un triangle

Parallélogramme et cercle

Erreurs à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Déterminer les coordonnées du milieu de [AB][AB] avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
On prend la moyenne des abscisses et celle des ordonnées : $$x_M = \frac{1+5}{2} = 3 \qquad y_M = \frac{2+4}{2} = 3$$ $$\boxed{M(3\,;3)}$$
Exercice 2
Facile
Déterminer le milieu de [AB][AB] avec A(−2 ;3)A(-2\,;3) et B(4 ;−1)B(4\,;-1).
Correction détaillée
$$x_M = \frac{-2+4}{2} = 1 \qquad y_M = \frac{3+(-1)}{2} = 1$$ $$\boxed{M(1\,;1)}$$
Exercice 3
Facile
Calculer la distance ABAB avec A(0 ;0)A(0\,;0) et B(3 ;4)B(3\,;4).
Correction détaillée
$$AB = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$$ $$\boxed{AB = 5}$$
Exercice 4
Facile
Calculer ABAB avec A(1 ;1)A(1\,;1) et B(5 ;1)B(5\,;1).
Correction détaillée
Les deux points ont la **même ordonnée** : le segment est horizontal. $$AB = \sqrt{(5-1)^2+0^2} = \sqrt{16}$$ $$\boxed{AB = 4}$$
Exercice 5
Facile
Calculer ABAB avec A(2 ;−1)A(2\,;-1) et B(2 ;5)B(2\,;5).
Correction détaillée
Même **abscisse** : le segment est vertical. $$AB = \sqrt{0^2+(5-(-1))^2} = \sqrt{36}$$ $$\boxed{AB = 6}$$
Exercice 6
Facile
Calculer ABAB avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4), et simplifier le résultat.
Correction détaillée
$$AB = \sqrt{(5-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$$ On simplifie : $20 = 4\times5$. $$\sqrt{20} = 2\sqrt5$$ $$\boxed{AB = 2\sqrt5}$$
Exercice 7
Facile
Le milieu de [AB][AB] est-il le même que celui de [BA][BA] ? Justifier.
Correction détaillée
Oui : la formule fait intervenir des **sommes**, et l'addition est commutative. $$\frac{x_A+x_B}{2} = \frac{x_B+x_A}{2}$$ $$\boxed{\text{Oui, c'est le même point}}$$
Exercice 8
Facile
Calculer AB2AB^2 avec A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(3 ;−1)B(3\,;-1).
Correction détaillée
On garde le carré, sans passer à la racine : $$AB^2 = (3-(-1))^2+(-1-2)^2 = 4^2+(-3)^2 = 16+9$$ $$\boxed{AB^2 = 25}$$ *(On en déduit au passage $AB = 5$.)*
Exercice 9
Facile
Le point M(5 ;5)M(5\,;5) appartient-il au cercle de centre Ω(2 ;1)\Omega(2\,;1) et de rayon 55 ?
Correction détaillée
On calcule la distance au centre : $$\Omega M = \sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5$$ Cette distance égale le rayon. $$\boxed{\text{Oui, } M \text{ est sur le cercle}}$$
Exercice 10
Facile
Le point N(0 ;0)N(0\,;0) est-il intérieur, sur, ou extérieur au cercle de centre Ω(2 ;1)\Omega(2\,;1) et de rayon 55 ?
Correction détaillée
$$\Omega N = \sqrt{4+1} = \sqrt5 \approx 2{,}24$$ Comme $\sqrt5 < 5$ : $$\boxed{N \text{ est à l'intérieur du disque}}$$
Exercice 11
Facile
Donner le centre et le rayon du cercle de diamètre [AB][AB] avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
**Centre** = milieu de $[AB]$ : $\Omega(3\,;3)$ (exercice 1). **Rayon** = $\dfrac{AB}{2}$, avec $AB = 2\sqrt5$ (exercice 6) : $$r = \frac{2\sqrt5}{2} = \sqrt5$$ $$\boxed{\Omega(3\,;3), \ r = \sqrt5}$$
Exercice 12
Facile
Dans quel type de repère la formule de la distance est-elle valable ?
Correction détaillée
Elle repose sur le théorème de Pythagore, donc sur des axes **perpendiculaires** et des unités **égales**. $$\boxed{\text{Uniquement dans un repère orthonormé}}$$ *La formule du **milieu**, elle, reste valable dans n'importe quel repère.*
Exercice 13
Facile
Les points A(3 ;−2)A(3\,;-2) et B(−2 ;3)B(-2\,;3) sont-ils confondus ?
Correction détaillée
Non : les coordonnées forment un **couple ordonné**. Ici l'abscisse et l'ordonnée sont échangées, ce qui donne deux points **distincts**. $$\boxed{\text{Non, ce sont deux points différents}}$$
Exercice 14
Facile
Calculer le milieu de [AB][AB] avec A(−3 ;5)A(-3\,;5) et B(2 ;−2)B(2\,;-2).
Correction détaillée
$$x_M = \frac{-3+2}{2} = -\frac12 \qquad y_M = \frac{5+(-2)}{2} = \frac32$$ $$\boxed{M\left(-\tfrac12\,;\tfrac32\right)}$$ *Les coordonnées d'un milieu ne sont pas nécessairement entières.*
Exercice 15
Facile
Simplifier 50\sqrt{50}, résultat d'un calcul de distance.
Correction détaillée
On extrait le plus grand carré parfait : $50 = 25\times2$. $$\sqrt{50} = 5\sqrt2$$ $$\boxed{5\sqrt2}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Soit A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;1)B(5\,;1), C(1 ;4)C(1\,;4). Calculer les trois carrés de longueurs.
Correction détaillée
$$AB^2 = (5-1)^2+(1-1)^2 = 16$$ $$AC^2 = (1-1)^2+(4-1)^2 = 9$$ $$BC^2 = (1-5)^2+(4-1)^2 = 16+9 = 25$$ $$\boxed{AB^2=16 \ ;\ AC^2=9 \ ;\ BC^2=25}$$
Exercice 17
Intermédiaire
En déduire la nature du triangle ABCABC de l'exercice précédent.
Correction détaillée
Le plus grand carré est $BC^2 = 25$. On teste la **réciproque de Pythagore** : $$AB^2+AC^2 = 16+9 = 25 = BC^2$$ Le triangle est donc **rectangle**, au sommet **opposé** au plus grand côté $[BC]$, c'est-à-dire en $A$. Il n'est pas isocèle : $16 \neq 9$. $$\boxed{ABC \text{ est rectangle en } A}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(2 ;3)C(2\,;3). Déterminer la nature de ABCABC.
Correction détaillée
$$CA^2 = 4+9 = 13 \qquad CB^2 = (2-4)^2+(3-0)^2 = 4+9 = 13 \qquad AB^2 = 16$$ **Isocèle ?** $CA^2 = CB^2$, donc oui, **en $C$** (sommet commun aux deux côtés égaux). **Rectangle ?** Le plus grand carré est $AB^2=16$, et $CA^2+CB^2 = 26 \neq 16$. Non. $$\boxed{ABC \text{ est isocèle en } C}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(0 ;4)C(0\,;4). Montrer que ABCABC est isocèle rectangle.
Correction détaillée
$$AB^2 = 16 \qquad AC^2 = 16 \qquad BC^2 = (0-4)^2+(4-0)^2 = 32$$ **Isocèle :** $AB^2 = AC^2 = 16$, donc isocèle **en $A$**. **Rectangle :** le plus grand carré est $BC^2 = 32$, et $$AB^2+AC^2 = 16+16 = 32 = BC^2$$ Donc rectangle **en $A$**. $$\boxed{ABC \text{ est isocèle rectangle en } A}$$ *Un triangle peut parfaitement cumuler les deux propriétés.*
Exercice 20
Intermédiaire
Montrer que A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3), C(6 ;7)C(6\,;7), D(3 ;6)D(3\,;6) forment un parallélogramme.
Correction détaillée
On compare les milieux des **diagonales** $[AC]$ et $[BD]$. **Milieu de $[AC]$ :** $$\left(\frac{1+6}{2}\,;\frac{2+7}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac92\right)$$ **Milieu de $[BD]$ :** $$\left(\frac{4+3}{2}\,;\frac{3+6}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac92\right)$$ Les deux coïncident. $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Déterminer DD pour que ABCDABCD soit un parallélogramme, avec A(1 ;1)A(1\,;1), B(4 ;2)B(4\,;2), C(5 ;6)C(5\,;6).
Correction détaillée
On utilise $x_D = x_A+x_C-x_B$ et $y_D = y_A+y_C-y_B$ : $$x_D = 1+5-4 = 2 \qquad y_D = 1+6-2 = 5$$ $$\boxed{D(2\,;5)}$$ **Vérification :** milieu de $[AC] = \left(3\,;\frac72\right)$ et milieu de $[BD] = \left(3\,;\frac72\right)$ ✔
Exercice 22
Intermédiaire
Sachant que M(3 ;3)M(3\,;3) est le milieu de [AB][AB] et que A(1 ;2)A(1\,;2), déterminer BB.
Correction détaillée
On inverse la formule du milieu : $$x_B = 2x_M - x_A = 6-1 = 5$$ $$y_B = 2y_M - y_A = 6-2 = 4$$ $$\boxed{B(5\,;4)}$$ **Vérification :** le milieu de $[(1;2),(5;4)]$ est bien $(3\,;3)$ ✔
Exercice 23
Intermédiaire
Le point P(2 ;7)P(2\,;7) appartient-il au cercle de centre Ω(2 ;1)\Omega(2\,;1) et de rayon 55 ?
Correction détaillée
$$\Omega P = \sqrt{(2-2)^2+(7-1)^2} = \sqrt{36} = 6$$ Or le rayon vaut $5$, et $6 > 5$. $$\boxed{\text{Non : } P \text{ est à l'extérieur du cercle}}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Montrer que M(1 ;4)M(1\,;4) appartient au cercle de diamètre [AB][AB] avec A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;4)B(5\,;4).
Correction détaillée
**Centre et rayon.** Le centre est le milieu $\Omega(3\,;3)$, et le rayon vaut $\frac{AB}{2} = \sqrt5$. **Distance de $M$ au centre :** $$\Omega M = \sqrt{(1-3)^2+(4-3)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt5$$ Cette distance égale le rayon. $$\boxed{M \text{ appartient au cercle}}$$
Exercice 25
Intermédiaire
Les points A(0 ;0)A(0\,;0), B(2 ;0)B(2\,;0), C(3 ;2)C(3\,;2), D(0 ;2)D(0\,;2) forment-ils un parallélogramme ?
Correction détaillée
**Milieu de $[AC]$ :** $\left(\frac{0+3}{2}\,;\frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac32\,;1\right)$ **Milieu de $[BD]$ :** $\left(\frac{2+0}{2}\,;\frac{0+2}{2}\right) = (1\,;1)$ Les deux milieux sont **différents** ($\frac32 \neq 1$). $$\boxed{\text{Non, ce n'est pas un parallélogramme}}$$
Exercice 26
Intermédiaire
Calculer ABAB avec A(−2 ;3)A(-2\,;3) et B(4 ;−1)B(4\,;-1), et simplifier.
Correction détaillée
$$AB = \sqrt{(4-(-2))^2+(-1-3)^2} = \sqrt{6^2+(-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$$ On simplifie : $52 = 4\times13$. $$\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ $$\boxed{AB = 2\sqrt{13}}$$
Exercice 27
Intermédiaire
Un élève compare les milieux de [AB][AB] et [CD][CD] pour prouver que ABCDABCD est un parallélogramme. Expliquer son erreur.
Correction détaillée
Dans le quadrilatère $ABCD$, les segments $[AB]$ et $[CD]$ sont deux **côtés opposés**, pas les diagonales. Les **diagonales** joignent les sommets **opposés** : ce sont $[AC]$ et $[BD]$. $$\boxed{\text{Il faut comparer les milieux de } [AC] \text{ et } [BD]}$$ *Deux côtés opposés n'ont aucune raison d'avoir le même milieu, même dans un vrai parallélogramme.*
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer les réels xx tels que le point M(x ;1)M(x\,;1) soit à distance 55 de A(1 ;−2)A(1\,;-2).
Correction détaillée
On traduit la condition avec les **carrés** : $$AM^2 = 25 \iff (x-1)^2+(1-(-2))^2 = 25$$ $$(x-1)^2+9 = 25 \iff (x-1)^2 = 16$$ Donc $x-1 = 4$ ou $x-1 = -4$ : $$\boxed{x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -3}$$ *Deux solutions : il y a deux points de la droite $y=1$ à distance 5 de $A$.*
Exercice 29
Difficile
Soit A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;3)B(5\,;3), C(3 ;5)C(3\,;5). Déterminer la nature précise du triangle ABCABC.
Correction détaillée
**Les trois carrés :** $$AB^2 = (5-1)^2+(3-1)^2 = 16+4 = 20$$ $$AC^2 = (3-1)^2+(5-1)^2 = 4+16 = 20$$ $$BC^2 = (3-5)^2+(5-3)^2 = 4+4 = 8$$ **Isocèle ?** $AB^2 = AC^2 = 20$ → isocèle **en $A$**. **Rectangle ?** Le plus grand carré est $20$. On teste : $$BC^2+AB^2 = 8+20 = 28 \neq 20$$ $$BC^2+AC^2 = 28 \neq 20$$ Aucune égalité : le triangle n'est pas rectangle. **Équilatéral ?** Non, car $BC^2 = 8 \neq 20$. $$\boxed{ABC \text{ est isocèle en } A, \text{ ni rectangle ni équilatéral}}$$
Exercice 30
Difficile
Un élève affirme que le triangle A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3), C(3 ;6)C(3\,;6) n'est pas isocèle. A-t-il raison ?
Correction détaillée
On calcule les trois carrés de longueurs : $$AB^2 = 9+1 = 10$$ $$AC^2 = 4+16 = 20$$ $$BC^2 = 1+9 = 10$$ On constate $AB^2 = BC^2 = 10$ : les côtés $[AB]$ et $[BC]$ **sont** égaux. $$\boxed{\text{Non : } ABC \text{ est isocèle en } B}$$ *L'élève a tort. Cet exercice rappelle qu'une affirmation ne se réfute — ni ne se valide — qu'après **calcul** : ici, deux des trois carrés coïncident, et le sommet isocèle est celui **commun** aux deux côtés égaux.*
Exercice 31
Difficile
Déterminer les coordonnées du point CC de l'axe des ordonnées équidistant de A(3 ;1)A(3\,;1) et B(1 ;5)B(1\,;5).
Correction détaillée
Un point de l'axe des ordonnées a une **abscisse nulle** : notons $C(0\,;y)$. La condition $CA = CB$ équivaut à $CA^2 = CB^2$ (deux longueurs positives) : $$(3-0)^2+(1-y)^2 = (1-0)^2+(5-y)^2$$ $$9 + 1-2y+y^2 = 1 + 25-10y+y^2$$ Les $y^2$ **s'éliminent** : $$10-2y = 26-10y \iff 8y = 16 \iff y = 2$$ $$\boxed{C(0\,;2)}$$ **Vérification :** $CA^2 = 9+1 = 10$ et $CB^2 = 1+9 = 10$ ✔
Exercice 32
Difficile
Soit A(1 ;2)A(1\,;2), B(5 ;4)B(5\,;4), C(6 ;7)C(6\,;7), D(3 ;6)D(3\,;6). Montrer que ABCDABCD n'est pas un parallélogramme, mais que ABCEABCE en est un pour un point EE à déterminer.
1.
Montrer que ABCDABCD n'est pas un parallélogramme.
**Milieu de $[AC]$ :** $\left(\frac{1+6}{2}\,;\frac{2+7}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac92\right)$ **Milieu de $[BD]$ :** $\left(\frac{5+3}{2}\,;\frac{4+6}{2}\right) = (4\,;5)$ Les deux milieux diffèrent. $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un parallélogramme}}$$
2.
Déterminer EE tel que ABCEABCE soit un parallélogramme.
Dans $ABCE$, les diagonales sont $[AC]$ et $[BE]$. Il faut donc que leurs milieux coïncident : $$x_E = x_A+x_C-x_B = 1+6-5 = 2$$ $$y_E = y_A+y_C-y_B = 2+7-4 = 5$$ $$\boxed{E(2\,;5)}$$ **Vérification :** milieu de $[BE] = \left(\frac{5+2}{2}\,;\frac{4+5}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac92\right)$, égal au milieu de $[AC]$ ✔
Exercice 33
Difficile
Soit A(−1 ;0)A(-1\,;0) et B(3 ;0)B(3\,;0). Déterminer l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) tels que MA2+MB2=20MA^2 + MB^2 = 20.
Correction détaillée
On traduit avec les coordonnées : $$MA^2 = (x+1)^2+y^2 \qquad MB^2 = (x-3)^2+y^2$$ La condition devient : $$(x+1)^2+y^2+(x-3)^2+y^2 = 20$$ On développe les carrés : $$x^2+2x+1+y^2+x^2-6x+9+y^2 = 20$$ $$2x^2-4x+2y^2+10 = 20$$ On divise par $2$ et on ramène à zéro : $$x^2-2x+y^2 = 5$$ On **complète le carré** en $x$ (chapitre 2) : $$(x-1)^2-1+y^2 = 5 \iff (x-1)^2+y^2 = 6$$ On reconnaît la condition « distance au point $(1\,;0)$ égale $\sqrt6$ ». $$\boxed{\text{Le cercle de centre } (1\,;0) \text{ et de rayon } \sqrt6}$$
Exercice 34
Difficile
Montrer que le triangle A(2 ;1)A(2\,;1), B(5 ;2)B(5\,;2), C(4 ;5)C(4\,;5) est rectangle, et préciser en quel sommet.
Correction détaillée
**Les trois carrés :** $$AB^2 = 9+1 = 10$$ $$AC^2 = 4+16 = 20$$ $$BC^2 = 1+9 = 10$$ Le plus grand est $AC^2 = 20$. On teste la réciproque de Pythagore : $$AB^2+BC^2 = 10+10 = 20 = AC^2$$ L'égalité est vérifiée : le triangle est rectangle au sommet **opposé** au plus grand côté $[AC]$, c'est-à-dire en $B$. $$\boxed{ABC \text{ est rectangle en } B}$$ *Il est même isocèle en $B$ ($AB^2 = BC^2$) : c'est un triangle isocèle rectangle.*
Exercice 35
Difficile
Soit A(0 ;0)A(0\,;0) et B(6 ;0)B(6\,;0). Déterminer les points MM de l'axe des ordonnées tels que le triangle ABMABM soit rectangle en MM.
Correction détaillée
Notons $M(0\,;y)$ — mais attention, $M$ doit être **distinct de $A$** pour former un triangle. **Condition.** Rectangle en $M$ signifie, par la réciproque de Pythagore : $$MA^2+MB^2 = AB^2$$ **Calculs :** $$MA^2 = y^2 \qquad MB^2 = 36+y^2 \qquad AB^2 = 36$$ L'équation devient : $$y^2+36+y^2 = 36 \iff 2y^2 = 0 \iff y = 0$$ Or $y=0$ donne $M(0\,;0) = A$ : ce n'est pas un triangle. $$\boxed{\text{Aucun point ne convient}}$$ *Géométriquement : les points voyant $[AB]$ sous un angle droit forment le cercle de diamètre $[AB]$, centré en $(3\,;0)$ de rayon $3$. Ce cercle ne coupe l'axe des ordonnées qu'en $A$ lui-même.*
Exercice 36
Avancé
Démontrer la formule du milieu à partir de celle de la distance : montrer que le point MM de coordonnées (xA+xB2;yA+yB2)\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right) vérifie MA=MBMA = MB.
Correction détaillée
Notons $x_M = \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A+y_B}{2}$. **Calcul de $x_A - x_M$ :** $$x_A - \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{2x_A-x_A-x_B}{2} = \frac{x_A-x_B}{2}$$ **Calcul de $x_B - x_M$ :** $$x_B - \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{x_B-x_A}{2}$$ Ces deux quantités sont **opposées** : leurs carrés sont donc **égaux**. Il en va de même pour les ordonnées. D'où : $$MA^2 = \left(\frac{x_A-x_B}{2}\right)^2+\left(\frac{y_A-y_B}{2}\right)^2 = MB^2$$ Deux longueurs positives de carrés égaux sont égales. $$\boxed{MA = MB}$$ *Remarque : cela prouve que $M$ est équidistant de $A$ et $B$. Pour conclure que c'est le **milieu**, il faut aussi savoir qu'il appartient à $[AB]$ — ce qu'on admet ici.*
Exercice 37
Avancé
Soient A(0 ;0)A(0\,;0) et B(4 ;0)B(4\,;0). Déterminer l'ensemble des points MM équidistants de AA et BB.
Correction détaillée
Notons $M(x\,;y)$. La condition $MA = MB$ équivaut à $MA^2 = MB^2$ : $$x^2+y^2 = (x-4)^2+y^2$$ Les $y^2$ **s'éliminent**, ainsi que les $x^2$ après développement : $$x^2 = x^2-8x+16 \iff 0 = -8x+16 \iff x = 2$$ La condition ne porte **que sur l'abscisse** : $y$ est quelconque. $$\boxed{\text{La droite d'équation } x = 2}$$ *C'est la **médiatrice** de $[AB]$ : la droite verticale passant par le milieu $(2\,;0)$, perpendiculaire à $[AB]$. On retrouve par le calcul un résultat connu de collège.*
Exercice 38
Avancé
Soit ABCDABCD un parallélogramme. Démontrer, en géométrie repérée, que ses côtés opposés ont la même longueur.
Correction détaillée
Plaçons-nous dans un repère orthonormé et notons les coordonnées des quatre sommets. **Hypothèse.** $ABCD$ est un parallélogramme, donc les diagonales ont le même milieu : $$\frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B+x_D}{2} \iff x_A+x_C = x_B+x_D$$ On en tire : $$x_B-x_A = x_C-x_D$$ et de même pour les ordonnées : $y_B-y_A = y_C-y_D$. **Conclusion.** On calcule les deux carrés de longueurs : $$AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$$ $$DC^2 = (x_C-x_D)^2+(y_C-y_D)^2$$ Les quantités élevées au carré sont **deux à deux égales** d'après ce qui précède, donc $AB^2 = DC^2$. $$\boxed{AB = DC}$$ *Le même raisonnement avec $[AD]$ et $[BC]$ donne $AD = BC$.*
Exercice 39
Avancé
Déterminer l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) tels que x2+y2−4x+6y+9=0x^2+y^2-4x+6y+9 = 0.
Correction détaillée
L'expression ressemble à une condition de distance : on **complète les carrés** en $x$ et en $y$ (chapitre 2). **En $x$ :** $x^2-4x = (x-2)^2-4$. **En $y$ :** $y^2+6y = (y+3)^2-9$. On reporte : $$(x-2)^2-4+(y+3)^2-9+9 = 0$$ $$(x-2)^2+(y+3)^2 = 4$$ On reconnaît « le carré de la distance au point $\Omega(2\,;-3)$ vaut $4$ », c'est-à-dire $\Omega M = 2$. $$\boxed{\text{Le cercle de centre } \Omega(2\,;-3) \text{ et de rayon } 2}$$ *Contrôle : le point $(4\,;-3)$ vérifie $16+9-16-18+9 = 0$ ✔ et se trouve bien à distance 2 de $\Omega$.*
Exercice 40
Avancé
Soient A(0 ;0)A(0\,;0), B(a ;0)B(a\,;0) et C(0 ;b)C(0\,;b) avec a>0a>0 et b>0b>0. Démontrer que le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets.
Correction détaillée
Le triangle est **rectangle en $A$** (les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont portés par les axes, perpendiculaires). L'hypoténuse est donc $[BC]$. **Milieu de l'hypoténuse :** $$M\left(\frac a2\,;\frac b2\right)$$ **Distance à $A$ :** $$MA^2 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{4}$$ **Distance à $B(a\,;0)$ :** $$MB^2 = \left(\frac a2-a\right)^2+\left(\frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$$ **Distance à $C(0\,;b)$ :** $$MC^2 = \left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2-b\right)^2 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$$ Les trois carrés sont **égaux**. $$\boxed{MA = MB = MC = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} = \frac{BC}{2}}$$ *Autrement dit : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le **centre du cercle circonscrit**, et l'hypoténuse en est un diamètre.*
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Nature d'un quadrilatère
Intermédiaire
Dans un repère orthonormé, on considère les points
A(1 ;1),B(5 ;1),C(6 ;4),D(2 ;4).A(1\,;1), \quad B(5\,;1), \quad C(6\,;4), \quad D(2\,;4).
1.
Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme.
On compare les milieux des **diagonales** $[AC]$ et $[BD]$. $$\text{mil}[AC] = \left(\frac{1+6}{2}\,;\frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac52\right)$$ $$\text{mil}[BD] = \left(\frac{5+2}{2}\,;\frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac72\,;\frac52\right)$$ Ils coïncident. $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$$
2.
Calculer ABAB et ADAD. Le parallélogramme est-il un losange ?
$$AB^2 = (5-1)^2+0 = 16 \implies AB = 4$$ $$AD^2 = (2-1)^2+(4-1)^2 = 1+9 = 10 \implies AD = \sqrt{10}$$ Deux côtés **consécutifs** de longueurs différentes ($4 \neq \sqrt{10}$). $$\boxed{\text{Non, ce n'est pas un losange}}$$
3.
Le parallélogramme est-il un rectangle ?
Un parallélogramme est un rectangle s'il possède un **angle droit**. Testons Pythagore dans le triangle $ABD$, avec la diagonale $[BD]$ : $$BD^2 = (2-5)^2+(4-1)^2 = 9+9 = 18$$ $$AB^2+AD^2 = 16+10 = 26 \neq 18$$ L'angle en $A$ n'est pas droit. $$\boxed{\text{Non, ce n'est pas un rectangle}}$$ *C'est donc un parallélogramme « quelconque ».*
4.
Calculer les longueurs des deux diagonales.
$$AC^2 = (6-1)^2+(4-1)^2 = 25+9 = 34 \implies AC = \sqrt{34}$$ $$BD^2 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt2$$ $$\boxed{AC = \sqrt{34} \ ;\quad BD = 3\sqrt2}$$ *Des diagonales de longueurs différentes confirment que ce n'est pas un rectangle.*
Problème 2 — Un point à trouver
Intermédiaire
Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ;3)A(2\,;3) et B(6 ;1)B(6\,;1).
1.
Calculer ABAB et donner le milieu MM de [AB][AB].
$$AB = \sqrt{(6-2)^2+(1-3)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$$ $$M\left(\frac{2+6}{2}\,;\frac{3+1}{2}\right) = M(4\,;2)$$ $$\boxed{AB = 2\sqrt5 \ ;\quad M(4\,;2)}$$
2.
Déterminer le point CC tel que BB soit le milieu de [AC][AC].
On inverse la formule du milieu, en prenant cette fois $B$ comme milieu : $$x_C = 2x_B-x_A = 12-2 = 10$$ $$y_C = 2y_B-y_A = 2-3 = -1$$ $$\boxed{C(10\,;-1)}$$ **Vérification :** le milieu de $[AC]$ vaut $\left(\frac{2+10}{2}\,;\frac{3+(-1)}{2}\right) = (6\,;1) = B$ ✔ *Géométriquement, $C$ est le **symétrique de $A$ par rapport à $B$**.*
3.
Déterminer les points de l'axe des abscisses situés à distance 55 de AA.
Un point de l'axe des abscisses s'écrit $P(x\,;0)$. On traduit avec les carrés : $$AP^2 = 25 \iff (x-2)^2+(0-3)^2 = 25$$ $$(x-2)^2+9 = 25 \iff (x-2)^2 = 16$$ Donc $x-2 = 4$ ou $x-2 = -4$ : $$x = 6 \quad \text{ou} \quad x = -2$$ $$\boxed{P_1(6\,;0) \quad \text{et} \quad P_2(-2\,;0)}$$
4.
Que représente géométriquement l'ensemble des points à distance 55 de AA ?
Par définition, l'ensemble des points situés à une distance fixée $r$ d'un point $A$ est le **cercle** de centre $A$ et de rayon $r$. $$\boxed{\text{Le cercle de centre } A(2\,;3) \text{ et de rayon } 5}$$ *La question 3 revenait donc à chercher les **points d'intersection** de ce cercle avec l'axe des abscisses — il y en a deux, ce qui est cohérent.*
Problème 3 — Triangle et cercle circonscrit
Difficile
Dans un repère orthonormé, on considère
A(1 ;1),B(7 ;1),C(1 ;5).A(1\,;1), \quad B(7\,;1), \quad C(1\,;5).
1.
Montrer que ABCABC est rectangle en AA.
$$AB^2 = (7-1)^2+0 = 36$$ $$AC^2 = 0+(5-1)^2 = 16$$ $$BC^2 = (1-7)^2+(5-1)^2 = 36+16 = 52$$ Le plus grand carré est $BC^2 = 52$, et $$AB^2+AC^2 = 36+16 = 52 = BC^2$$ D'après la réciproque de Pythagore : $$\boxed{ABC \text{ est rectangle en } A}$$
2.
Déterminer le centre Ω\Omega et le rayon du cercle circonscrit à ABCABC.
Dans un triangle rectangle, l'**hypoténuse est un diamètre** du cercle circonscrit. Ici l'hypoténuse est $[BC]$. **Centre** = milieu de $[BC]$ : $$\Omega\left(\frac{7+1}{2}\,;\frac{1+5}{2}\right) = \Omega(4\,;3)$$ **Rayon** = $\dfrac{BC}{2}$, avec $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ : $$r = \sqrt{13}$$ $$\boxed{\Omega(4\,;3), \quad r = \sqrt{13}}$$
3.
Vérifier que les trois sommets sont bien sur ce cercle.
$$\Omega A^2 = (1-4)^2+(1-3)^2 = 9+4 = 13$$ $$\Omega B^2 = (7-4)^2+(1-3)^2 = 9+4 = 13$$ $$\Omega C^2 = (1-4)^2+(5-3)^2 = 9+4 = 13$$ Les trois distances valent $\sqrt{13} = r$. $$\boxed{A, B, C \text{ sont bien sur le cercle}}$$ *On retrouve le résultat de l'exercice 40 : le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets.*
4.
Calculer l'aire du triangle ABCABC.
Le triangle étant **rectangle en $A$**, les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : ce sont la base et la hauteur. $$AB = 6 \qquad AC = 4$$ $$\mathcal{A} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{6\times4}{2} = 12$$ $$\boxed{\mathcal{A} = 12 \text{ unités d'aire}}$$
Problème 4 — Ensembles de points
Difficile
Dans un repère orthonormé, on donne A(−1 ;0)A(-1\,;0) et B(3 ;0)B(3\,;0). Pour chaque question, on cherche l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) vérifiant la condition indiquée.
1.
Déterminer l'ensemble des points MM tels que MA=MBMA = MB.
On passe aux carrés : $$(x+1)^2+y^2 = (x-3)^2+y^2$$ Les $y^2$ s'éliminent, puis on développe : $$x^2+2x+1 = x^2-6x+9$$ $$8x = 8 \iff x = 1$$ La condition ne porte que sur l'abscisse. $$\boxed{\text{La droite d'équation } x=1}$$ *C'est la **médiatrice** de $[AB]$ : elle passe par le milieu $(1\,;0)$ et est perpendiculaire à $[AB]$.*
2.
Déterminer l'ensemble des points MM tels que MA=3MA = 3.
$$MA^2 = 9 \iff (x+1)^2+y^2 = 9$$ On reconnaît directement la condition « distance à $A$ égale $3$ ». $$\boxed{\text{Le cercle de centre } A(-1\,;0) \text{ et de rayon } 3}$$
3.
Déterminer l'ensemble des points MM tels que MA2+MB2=20MA^2+MB^2 = 20.
$$(x+1)^2+y^2+(x-3)^2+y^2 = 20$$ On développe : $$x^2+2x+1+y^2+x^2-6x+9+y^2 = 20$$ $$2x^2-4x+2y^2+10 = 20$$ On divise par $2$ : $$x^2-2x+y^2 = 5$$ On **complète le carré** en $x$ : $$(x-1)^2-1+y^2 = 5 \iff (x-1)^2+y^2 = 6$$ $$\boxed{\text{Le cercle de centre } (1\,;0) \text{ et de rayon } \sqrt6}$$ *Son centre est le **milieu** de $[AB]$ — ce n'est pas un hasard.*
4.
Les trois ensembles précédents ont-ils un point commun ?
Cherchons un point vérifiant les trois conditions. D'après la question 1, il faut $x=1$. **Report dans la question 3 :** $(1-1)^2+y^2 = 6$, donc $y^2 = 6$ et $y = \pm\sqrt6$. **Vérification dans la question 2 :** pour $M(1\,;\sqrt6)$, $$MA^2 = (1+1)^2+6 = 4+6 = 10 \neq 9$$ La condition $MA=3$ n'est pas satisfaite. $$\boxed{\text{Non, les trois ensembles n'ont aucun point commun}}$$ *Les ensembles 1 et 3 se coupent en deux points, mais aucun d'eux n'appartient au cercle de la question 2.*