L'essentiel en 30 secondes
Dans un repère orthonormé, le milieu de [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de A et B, et la distance vaut AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) — c'est le théorème de Pythagore traduit en coordonnées. Ces deux formules suffisent pour démontrer qu'un triangle est isocèle ou rectangle, ou qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
1 I. Repère et coordonnées
Jusqu'ici, la géométrie se faisait à la règle et au compas. En repérant les points par des nombres, on va pouvoir la faire par le calcul : démontrer qu'un triangle est rectangle devient une simple vérification numérique.
2 II. Milieu d'un segment
3 III. Distance entre deux points
D'où vient cette formule
Plaçons le point : il a la même abscisse que et la même ordonnée que .
Le triangle est rectangle en (les axes étant perpendiculaires), et :
• (déplacement horizontal) ;
• (déplacement vertical).
Le théorème de Pythagore donne alors :
Comme une distance est positive, on prend la racine carrée. (Les valeurs absolues disparaissent : elles sont élevées au carré.)
Le triangle est rectangle en (les axes étant perpendiculaires), et :
• (déplacement horizontal) ;
• (déplacement vertical).
Le théorème de Pythagore donne alors :
Comme une distance est positive, on prend la racine carrée. (Les valeurs absolues disparaissent : elles sont élevées au carré.)
4 IV. Nature d'un triangle
5 V. Parallélogrammes
6 VI. Cercles
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Comment calculer la distance entre deux points dans un repère ?
Dans un repère orthonormé, — c'est le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées. Attention : la formule n'est valable que si le repère est orthonormé, et on garde la valeur exacte avec la racine tant qu'on n'a pas fini le raisonnement.
Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?
Le milieu de a pour coordonnées la moyenne de celles des extrémités : . Cette formule est valable dans n'importe quel repère, orthonormé ou non.
Comment démontrer qu'un triangle est rectangle avec les coordonnées ?
On calcule les trois longueurs (ou plutôt leurs carrés) avec la formule de distance, puis on applique la réciproque du théorème de Pythagore : si , alors le triangle est rectangle en . Travailler avec les carrés évite de manipuler les racines.
Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans un repère ?
Le plus efficace : montrer que les diagonales ont le même milieu, en calculant le milieu de et celui de . S'ils coïncident, est un parallélogramme. On peut aussi montrer l'égalité de vecteurs .