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Chapitre 02 Suites numériques Série 1 sur 7

Raisonnement par récurrence — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 1 à 10 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

10 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir
Choisir une notion à travaillerChaque exercice est rattaché aux notions du programme qu’il fait travailler.

Exercice 1 — Une formule explicite

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Calculer les termes d’une suite définie par récurrence · Identités remarquables

Objectifs : Conjecturer une formule explicite à partir des premiers termes · Rédiger une démonstration par récurrence

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un+2n+3u_{n+1}=u_n+2n+3.

1. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.
2. Conjecturer une expression de unu_n en fonction de nn.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
4. En déduire la valeur de u10u_{10}.

Exercice 2 — Somme des entiers et somme des carrés

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Factoriser une expression algébrique

Objectifs : Démontrer une formule de somme par récurrence · Factoriser pour faire apparaître le rang suivant

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1,

1+2+⋯+n=n(n+1)2.1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1,

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

3. Calculer 1+2+⋯+1001+2+\cdots+100 puis 12+22+⋯+2021^2+2^2+\cdots+20^2.

Exercice 3 — Somme des cubes

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Somme des entiers de 11 à nn (exercice 2)

Objectifs : Démontrer une formule de somme par récurrence · Réinvestir un résultat démontré dans un autre exercice

Pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, on pose Sn=13+23+⋯+n3S_n=1^3+2^3+\cdots+n^3.

1. Calculer S1S_1, S2S_2, S3S_3 et S4S_4. Que remarque-t-on ?
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1,

Sn=(n(n+1)2)2.S_n=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

3. En utilisant l'exercice 2, en déduire que 13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)21^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2, puis calculer 13+23+⋯+1031^3+2^3+\cdots+10^3.

Exercice 4 — Une divisibilité

Non commencéIntermédiaire
10 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Définition d’un multiple d’un entier

Objectifs : Démontrer une propriété de divisibilité par récurrence · Exprimer 7n7^n à l’aide de l’hypothèse de récurrence

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, l'entier 7n−17^n-1 est divisible par 66.

Exercice 5 — Une autre divisibilité

Non commencéIntermédiaire
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Règles de calcul sur les puissances · Principe du raisonnement par récurrence

Objectifs : Démontrer une propriété de divisibilité par récurrence · Faire apparaître l’hypothèse de récurrence en ajoutant et retranchant un même terme

1. Vérifier que, pour tout entier naturel nn, 32n=9n3^{2n}=9^n.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, l'entier 32n−2n3^{2n}-2^n est divisible par 77.

Exercice 6 — Inégalité de Bernoulli

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Multiplier une inégalité par un nombre positif · Théorème de comparaison pour les limites

Objectifs : Démontrer une inégalité par récurrence · Utiliser une minoration pour établir une limite infinie

Soit aa un nombre réel positif.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, (1+a)n⩾1+na(1+a)^n\geqslant 1+na.
2. En déduire, sans calculatrice, que 1,01100⩾21{,}01^{100}\geqslant 2.
3. Soit qq un réel strictement supérieur à 11. En posant a=q−1a=q-1, démontrer que lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=+\infty.

Exercice 7 — Initialiser au bon rang

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Étudier le signe d’une différence

Objectifs : Choisir le rang d’initialisation d’une récurrence · Utiliser un lemme dans l’hérédité · Réfuter une propriété par un contre-exemple

1. Recopier et compléter le tableau suivant.

nn001122334455
2n2^n
n2n^2


2. Démontrer que, pour tout entier naturel n⩾3n\geqslant 3, 2n2⩾(n+1)22n^2\geqslant(n+1)^2.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n⩾4n\geqslant 4, 2n⩾n22^n\geqslant n^2.
4. Pourquoi ne peut-on pas affirmer que 2n⩾n22^n\geqslant n^2 pour tout entier naturel nn ?

Exercice 8 — Trouver l’erreur

Non commencéDifficile
20 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Définition d’un multiple d’un entier · Raisonnement par l’absurde

Objectifs : Distinguer initialisation et hérédité · Critiquer un raisonnement par récurrence incomplet · Raisonner par l’absurde

On note P(n)P(n) la proposition : « 4n+14^n+1 est divisible par 33 ».

1. Soit nn un entier naturel. On suppose que P(n)P(n) est vraie : il existe un entier kk tel que 4n+1=3k4^n+1=3k. Démontrer que P(n+1)P(n+1) est vraie.
2. Un élève en conclut que P(n)P(n) est vraie pour tout entier naturel nn. Calculer 40+14^0+1, 41+14^1+1 et 42+14^2+1. Que penser de sa conclusion ? Quelle étape du raisonnement a-t-il oubliée ?
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 4n−14^n-1 est divisible par 33.
4. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 4n+14^n+1 n'est jamais divisible par 33.

Exercice 9 — Conjecturer puis démontrer

Non commencéDifficile
25 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Calcul fractionnaire · Suites arithmétiques

Objectifs : Justifier qu’une suite récurrente est bien définie · Conjecturer puis démontrer une formule explicite · Utiliser une suite auxiliaire

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=un1+un.u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un>0u_n>0. Expliquer pourquoi ce résultat garantit que la suite est bien définie.
2. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4 sous forme de fractions irréductibles.
3. Conjecturer une expression de unu_n en fonction de nn, puis la démontrer par récurrence.
4. Autre méthode. On pose, pour tout entier naturel nn, vn=1unv_n=\dfrac{1}{u_n}.
a. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
b. Retrouver l'expression de unu_n obtenue à la question 3.

Exercice 10 — Étude complète d’une suite récurrente

Non commencéAvancé
40 min
Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Principe du raisonnement par récurrence · Croissance de la fonction racine carrée · Théorème de convergence monotone · Théorème des gendarmes

Objectifs : Encadrer les termes d’une suite par récurrence · Démontrer la monotonie par récurrence · Utiliser une quantité conjuguée · Majorer l’écart à la limite par une suite géométrique

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=3un+4.u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}.

1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0⩽un⩽40\leqslant u_n\leqslant 4.
3. Démontrer par récurrence que la suite (un)(u_n) est croissante, c'est-à-dire que, pour tout entier naturel nn, un⩽un+1u_n\leqslant u_{n+1}. En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente.
4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn,

4−un+1=3(4−un)4+3un+4.4-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}.

b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 0⩽4−un+1⩽34(4−un)0\leqslant 4-u_{n+1}\leqslant\dfrac34(4-u_n).
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0⩽4−un⩽4(34)n0\leqslant 4-u_n\leqslant 4\left(\dfrac34\right)^n.
5. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10 · page courante
  2. 2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20
  3. 3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30
  4. 4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40
  5. 5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50
  6. 6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
  7. 7 Approfondissement Exercices 61 à 70