Seuils et algorithmes en Python — Terminale Spé

Le 1ᵉʳ janvier 2026, Inès place $1\,000$ euros sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an (intérêts composés). Chaque année, après le versement des intérêts, elle ajoute $100$ euros. On note $c_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, de sorte que $c_0=1000$ et, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=1{,}03\,c_n+100$.

1. On pose, pour tout entier naturel $n$, $d_n=c_n+\dfrac{10000}{3}$. Démontrer que $(d_n)$ est géométrique, puis que, pour tout entier naturel $n$,

$$c_n=\frac{13000}{3}\times1{,}03^n-\frac{10000}{3}.$$

2. Déterminer la limite de la suite $(c_n)$.
3. On considère la fonction suivante.

def seuil(A):
    c = 1000
    n = 0
    while c <= A:
        c = 1.03*c + 100
        n = n + 1
    return n

a. Expliquer pourquoi, quel que soit le réel $\texttt{A}$, l'appel $\texttt{seuil(A)}$ se termine.

b. Que renvoient $\texttt{seuil(900)}$ et $\texttt{seuil(1000)}$ ?

c. Déterminer par le calcul les valeurs renvoyées par $\texttt{seuil(5000)}$ et $\texttt{seuil(10000)}$. Interpréter la seconde dans le contexte.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right).$$

On admet que tous les termes de la suite sont bien définis et strictement positifs.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions irréductibles.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{\left(u_n-\sqrt{2}\right)^2}{2u_n}.$$

En déduire que $u_n\geqslant\sqrt{2}$ pour tout entier naturel $n$.

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant\dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n-\sqrt{2}\leqslant\dfrac{2-\sqrt{2}}{2^n}$, puis la limite de la suite $(u_n)$.

4. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{2}{u_n}\leqslant\sqrt{2}\leqslant u_n$.
5. On considère la fonction suivante, où $\texttt{eps}$ est un réel strictement positif.

def heron(eps):
    u = 2
    n = 0
    while u - 2/u >= eps:
        u = (u + 2/u)/2
        n = n + 1
    return n, u

a. Expliquer pourquoi le nombre $\texttt{u}$ renvoyé est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $\texttt{eps}$ près.

b. Déterminer la valeur de $\texttt{n}$ renvoyée par $\texttt{heron(10**-6)}$.

c. À l'aide de la majoration de la question 3.(b), déterminer un rang $n$ à partir duquel on est assuré que $u_n-\sqrt{2}<10^{-6}$. Comparer avec le résultat précédent et commenter.

Un patient reçoit un traitement par perfusion. On modélise la quantité de médicament présente dans son sang, en milligrammes, heure après heure. À l'instant initial, cette quantité vaut $2$ mg. Chaque heure, l'organisme élimine $30\,\%$ du médicament présent, et la perfusion en apporte $0{,}9$ mg. On note $q_n$ la quantité de médicament, en mg, au bout de $n$ heures ; ainsi $q_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$q_{n+1}=0{,}7\,q_n+0{,}9.$$

Partie A — Étude mathématique

1. Calculer $q_1$ et $q_2$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2\leqslant q_n\leqslant q_{n+1}\leqslant3$.
3. En déduire que la suite $(q_n)$ converge.
4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=q_n-3$.

a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et exprimer $q_n$ en fonction de $n$.

b. Déterminer la limite de $(q_n)$ et l'interpréter.

Partie B — Algorithme

On considère la fonction suivante, où $\texttt{p}$ est un réel strictement positif.

def seuil(p):
    q = 2
    n = 0
    while q < 3 - p:
        q = 0.7*q + 0.9
        n = n + 1
    return n

1. Expliquer ce que renvoie $\texttt{seuil(p)}$ dans le contexte de l'exercice.
2. Que renvoie $\texttt{seuil(1)}$ ? Justifier.
3. Déterminer par le calcul la valeur renvoyée par $\texttt{seuil(0.01)}$.

Partie C — Changement de dose

Le médecin envisage d'augmenter l'apport horaire à $1{,}5$ mg. La quantité de médicament vérifie alors $r_0=2$ et $r_{n+1}=0{,}7\,r_n+1{,}5$. Au-delà de $4$ mg, le médicament présente un risque de toxicité.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $r_n=5-3\times0{,}7^n$.
2. Modifier la fonction de la partie B en une fonction $\texttt{alerte()}$ qui renvoie le nombre d'heures au bout duquel la quantité de médicament dépasse strictement $4$ mg.
3. Déterminer par le calcul la valeur renvoyée par $\texttt{alerte()}$. Que peut-on conseiller au médecin ?