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Chapitre 02 Suites numériques Série 2 sur 7

Suites arithmétiques, géométriques et sommes — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 11 à 20 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

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Exercice 11 — Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : Définitions d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique

Objectifs : Montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique · Réfuter la nature d’une suite par un contre-exemple

Pour chacune des suites suivantes, définies sur N\mathbb{N}, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre. Le cas échéant, préciser sa raison et son premier terme.

1. un=3n−5u_n=3n-5.
2. vn=3n+12nv_n=\dfrac{3^{n+1}}{2^n}.
3. wn=n2+1w_n=n^2+1.
4. t0=4t_0=4 et, pour tout entier naturel nn, tn+1=tn−12t_{n+1}=t_n-\dfrac12.
5. sn=2n+1s_n=2^n+1.

Exercice 12 — Retrouver la raison et le premier terme

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Formule explicite d’une suite arithmétique · Formule explicite d’une suite géométrique

Objectifs : Déterminer la raison à partir de deux termes · Exprimer le terme général en fonction de nn

1. Soit (un)(u_n) une suite arithmétique telle que u5=17u_5=17 et u12=38u_{12}=38.
a. Déterminer la raison rr de la suite (un)(u_n), puis son premier terme u0u_0.
b. En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn, puis calculer u100u_{100}.
2. Soit (vn)(v_n) une suite géométrique à termes strictement positifs telle que v2=12v_2=12 et v5=96v_5=96.
a. Déterminer la raison qq de la suite (vn)(v_n), puis son premier terme v0v_0.
b. Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis calculer v10v_{10}.

Exercice 13 — Sommes d’entiers consécutifs

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Somme 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n · Résoudre une équation du second degré

Objectifs : Calculer une somme d’entiers consécutifs · Compter correctement le nombre de termes d’une somme · Retrouver un rang à partir de la valeur d’une somme

On rappelle que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

1. Calculer 1+2+3+⋯+1001+2+3+\cdots+100.
2. Calculer 21+22+23+⋯+8021+22+23+\cdots+80.
3. Déterminer l'entier naturel nn tel que 1+2+⋯+n=2101+2+\cdots+n=210.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, la somme des nn premiers entiers impairs vérifie

1+3+5+⋯+(2n−1)=n2.1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.

Exercice 14 — Sommes de termes d’une suite arithmétique

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites arithmétiques · Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

Objectifs : Compter le nombre de termes d’une somme · Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique · Étudier le signe d’une somme dépendant de nn

On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} par un=2n−7u_n=2n-7.

1. Démontrer que (un)(u_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Calculer u10u_{10}, u20u_{20} et u30u_{30}.
3. Calculer la somme S=u0+u1+⋯+u20S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}.
4. Calculer la somme T=u10+u11+⋯+u30T=u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{30}.
5. Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=u0+u1+⋯+unS_n=u_0+u_1+\cdots+u_n.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, Sn=(n+1)(n−7)S_n=(n+1)(n-7).
b. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que Sn>0S_n>0.

Exercice 15 — Sommes géométriques

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Somme 1+q+⋯+qn1+q+\cdots+q^n · Limite de qnq^n pour −1<q<1-1<q<1

Objectifs : Identifier la raison et le nombre de termes d’une somme géométrique · Factoriser par le premier terme · Déterminer la limite d’une somme géométrique

On rappelle que, pour tout réel q≠1q\neq 1 et tout entier naturel nn,

1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q.1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

1. Calculer A=1+2+22+⋯+210A=1+2+2^2+\cdots+2^{10}.
2. Calculer B=3+6+12+24+⋯+3072B=3+6+12+24+\cdots+3072.
3. Calculer C=5−10+20−40+⋯+1280C=5-10+20-40+\cdots+1280.
4. Calculer D=25+26+⋯+212D=2^5+2^6+\cdots+2^{12}.
5. Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=1+13+(13)2+⋯+(13)nS_n=1+\dfrac13+\left(\dfrac13\right)^2+\cdots+\left(\dfrac13\right)^n.
a. Exprimer SnS_n en fonction de nn.
b. Déterminer la limite de la suite (Sn)(S_n).

Exercice 16 — Signe, monotonie et limite d’une suite géométrique

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suites géométriques · Limite de qnq^n · Étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n

Objectifs : Étudier le signe d’une suite géométrique de raison négative · Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique · Déterminer la limite d’une suite géométrique

Partie A

On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} par un=5×(−12)nu_n=5\times\left(-\dfrac12\right)^n.

1. Calculer u0u_0, u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
2. Déterminer, selon la parité de nn, le signe de unu_n.
3. La suite (un)(u_n) est-elle monotone ?
4. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Partie B

Soit (vn)(v_n) une suite géométrique de premier terme v0v_0 non nul et de raison qq strictement positive, différente de 11.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, vn+1−vn=v0 qn(q−1)v_{n+1}-v_n=v_0\,q^n(q-1).
2. En déduire le sens de variation de (vn)(v_n) selon le signe de v0v_0 et la position de qq par rapport à 11.
3. Application : donner le sens de variation et la limite de chacune des suites définies sur N\mathbb{N} par

an=−2×1,5n,bn=−3×0,4n,cn=7×0,9n.a_n=-2\times1{,}5^n,\qquad b_n=-3\times0{,}4^n,\qquad c_n=7\times0{,}9^n.

Exercice 17 — Suite arithmético-géométrique

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suites géométriques · Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique · Limite de qnq^n

Objectifs : Utiliser une suite auxiliaire géométrique · Étudier le sens de variation et la limite d’une suite · Calculer la somme des termes d’une suite arithmético-géométrique

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=13 un+4.u_{n+1}=\frac13\,u_n+4.

1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3. La suite (un)(u_n) est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. Déterminer le réel ℓ\ell tel que ℓ=13 ℓ+4\ell=\dfrac13\,\ell+4.
3. On pose, pour tout entier naturel nn, vn=un−6v_n=u_n-6.
a. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=6−6×(13)nu_n=6-6\times\left(\dfrac13\right)^n.
4. Étudier le sens de variation de la suite (un)(u_n), puis déterminer sa limite.
5. Démontrer que, pour tout entier naturel nn,

u0+u1+⋯+un=6n−3+3×(13)n.u_0+u_1+\cdots+u_n=6n-3+3\times\left(\frac13\right)^n.

Exercice 18 — Deux placements

Non commencéDifficile
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suites arithmétiques et géométriques · Boucle while en Python · Utiliser une calculatrice pour tabuler une suite

Objectifs : Modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique · Compléter et interpréter un algorithme de seuil · Déterminer un seuil à la calculatrice

La calculatrice est autorisée.

Le 1ᵉʳ janvier 2026, Inès et Karim placent chacun 5 0005\,000 euros. Le placement d'Inès augmente chaque année de 200200 euros. Le placement de Karim rapporte 3 %3\,\% d'intérêts composés par an : chaque année, son capital est multiplié par 1,031{,}03. On note ana_n et bnb_n les capitaux respectifs d'Inès et de Karim, en euros, au bout de nn années. Ainsi a0=b0=5 000a_0=b_0=5\,000.

1. Calculer a1a_1, a2a_2, b1b_1 et b2b_2.
2. Préciser la nature des suites (an)(a_n) et (bn)(b_n), puis exprimer ana_n et bnb_n en fonction de nn.
3. Lequel des deux placements est le plus avantageux au bout de 1010 ans ?
4. On considère la fonction Python suivante.
def premier_rang():
    a = 5000
    b = 5000
    n = 0
    while b <= a:
        n = n + 1
        a = ...
        b = ...
    return n
a. Compléter les deux lignes incomplètes.
b. Que représente la valeur renvoyée par cette fonction ? Déterminer cette valeur à l'aide de la calculatrice.
5. Au bout de combien d'années chacun des deux capitaux aura-t-il au moins doublé ?

Exercice 19 — Suite somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Suites géométriques · Sommes 1+q+⋯+qn1+q+\cdots+q^n et 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n · Théorème de comparaison · Boucle while en Python

Objectifs : Utiliser une suite auxiliaire géométrique · Calculer une somme en la découpant en une partie géométrique et une partie arithmétique · Interpréter un algorithme de seuil

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=2u_0=2 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=2un−n+1.u_{n+1}=2u_n-n+1.

1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
2. On pose, pour tout entier naturel nn, vn=un−nv_n=u_n-n.
a. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 22.
b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=2n+1+nu_n=2^{n+1}+n.
3. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).
4. Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=u0+u1+⋯+unS_n=u_0+u_1+\cdots+u_n.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn,

Sn=2n+2−2+n(n+1)2.S_n=2^{n+2}-2+\frac{n(n+1)}{2}.

b. Déterminer la limite de la suite (Sn)(S_n).
5. On considère la fonction Python ci-dessous.
def seuil():
    s = 2
    u = 2
    n = 0
    while s <= 10000:
        u = 2 * u - n + 1
        n = n + 1
        s = s + u
    return n
Expliquer ce que renvoie cette fonction, puis déterminer, à l'aide de la question 4. a, la valeur renvoyée.

Exercice 20 — Perfusion d’un médicament (type bac)

Non commencéAvancé
50 min
Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Suites géométriques et sommes géométriques · Théorème de convergence monotone · Théorème des gendarmes

Objectifs : Modéliser une évolution par une suite arithmético-géométrique · Démontrer un encadrement et une monotonie par récurrence · Déterminer un seuil · Étudier la limite d’une moyenne

Un patient reçoit à l'instant initial une injection de 1010 mg d'un médicament. Ensuite, chaque heure, son organisme élimine 20 %20\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang, puis une perfusion lui apporte 33 mg de médicament supplémentaires.

On note unu_n la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang au bout de nn heures. Ainsi u0=10u_0=10.

1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=0,8 un+3u_{n+1}=0{,}8\,u_n+3.
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 10⩽un⩽un+1⩽1510\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 15.
b. En déduire que la suite (un)(u_n) converge.
4. On pose, pour tout entier naturel nn, vn=un−15v_n=u_n-15.
a. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=15−5×0,8nu_n=15-5\times0{,}8^n.
c. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) et interpréter ce résultat dans le contexte.
5. Le traitement est efficace lorsque la quantité de médicament dans le sang atteint au moins 1414 mg.
a. Démontrer que un⩾14u_n\geqslant 14 équivaut à 0,8n⩽0,20{,}8^n\leqslant 0{,}2.
b. On donne 0,87≈0,2100{,}8^7\approx 0{,}210 et 0,88≈0,1680{,}8^8\approx 0{,}168. Au bout de combien d'heures le traitement devient-il efficace ?
6. Pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, on note MnM_n la moyenne des quantités u0,u1,…,un−1u_0,u_1,\dots,u_{n-1}, c'est-à-dire

Mn=u0+u1+⋯+un−1n.M_n=\frac{u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}}{n}.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, u0+u1+⋯+un−1=15n−25 (1−0,8n)u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}=15n-25\,(1-0{,}8^n).
b. Déterminer la limite de la suite (Mn)(M_n).

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10
  2. 2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20 · page courante
  3. 3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30
  4. 4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40
  5. 5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50
  6. 6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
  7. 7 Approfondissement Exercices 61 à 70