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Chapitre 02 Suites numériques Série 5 sur 7

Suites définies par une relation de récurrence — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 41 à 50 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

10 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir
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Exercice 41 — Premiers termes, conjecture et récurrence

Non commencéFacile
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Limite de qnq^n · Suites définies par récurrence

Objectifs : Calculer les premiers termes pour conjecturer une formule explicite · Démontrer une formule explicite par récurrence

On considère les trois suites définies sur N\mathbb{N} par

u0=1,un+1=un+2n+3 ;v0=3,vn+1=2vn−1 ;w0=1,wn+1=wn1+wn.u_0=1,\quad u_{n+1}=u_n+2n+3\,;\qquad v_0=3,\quad v_{n+1}=2v_n-1\,;\qquad w_0=1,\quad w_{n+1}=\frac{w_n}{1+w_n}.

1. a. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.
b. Conjecturer une expression de unu_n en fonction de nn, puis la démontrer par récurrence.
2. a. Calculer v1v_1, v2v_2, v3v_3 et v4v_4, puis les nombres vn−1v_n-1 pour 0⩽n⩽40\leqslant n\leqslant4.
b. Conjecturer une expression de vnv_n en fonction de nn, puis la démontrer par récurrence.
c. En déduire le sens de variation et la limite de la suite (vn)(v_n).
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, wn>0w_n>0. Pourquoi ce résultat est-il nécessaire pour que la suite soit bien définie ?
b. Calculer w1w_1, w2w_2 et w3w_3, conjecturer une expression de wnw_n, puis la démontrer par récurrence.
c. Déterminer lim⁡n→+∞wn\lim\limits_{n\to+\infty}w_n.

Exercice 42 — Représentation graphique : escalier et escargot

Non commencéFacile
30 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites géométriques · Limite de qnq^n · Représentation graphique d’une fonction affine

Objectifs : Construire graphiquement les termes d’une suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) · Étudier une suite arithmético-géométrique à l’aide d’une suite auxiliaire

On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par f(x)=12x+2f(x)=\dfrac12x+2 et g(x)=−12x+3g(x)=-\dfrac12x+3, puis les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par

u0=0,un+1=f(un)etv0=0,vn+1=g(vn).u_0=0,\quad u_{n+1}=f(u_n)\qquad\text{et}\qquad v_0=0,\quad v_{n+1}=g(v_n).

Les courbes représentatives de ff et de gg ainsi que la droite Δ\Delta d'équation y=xy=x sont tracées ci-dessous.

1. Sur la figure 1, placer u0u_0 sur l'axe des abscisses puis, en utilisant Cf\mathcal{C}_f et Δ\Delta, construire sans calcul u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4 sur l'axe des abscisses. Laisser apparents les traits de construction.
2. Conjecturer le sens de variation de (un)(u_n) et sa limite.
3. Reprendre les questions 1 et 2 pour la suite (vn)(v_n) à l'aide de la figure 2.
4. On pose, pour tout entier naturel nn, an=un−4a_n=u_n-4.
a. Démontrer que (an)(a_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire unu_n en fonction de nn, puis valider les conjectures de la question 2.
5. On pose, pour tout entier naturel nn, bn=vn−2b_n=v_n-2.
a. Démontrer que (bn)(b_n) est une suite géométrique et exprimer vnv_n en fonction de nn.
b. La suite (vn)(v_n) est-elle monotone ? Déterminer sa limite.
6. Quel lien y a-t-il entre la limite de chaque suite et les courbes tracées ?
Figure 1 : la courbe de f et la droite Δ d’équation y = x. Figure 2 : la courbe de g et la droite Δ.

Exercice 43 — Deux suites voisines, deux comportements

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Théorème de convergence monotone · Théorème du point fixe

Objectifs : Étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n · Raisonner par l’absurde pour montrer qu’une suite diverge

Partie A. On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=12u_0=\dfrac12 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un−un2u_{n+1}=u_n-u_n^2.

1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
2. Étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n et en déduire le sens de variation de (un)(u_n).
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0<un⩽120<u_n\leqslant\dfrac12. On pourra remarquer que un+1=un(1−un)u_{n+1}=u_n(1-u_n).
4. En déduire que la suite (un)(u_n) converge, puis déterminer sa limite.

Partie B. On considère la suite (wn)(w_n) définie par w0=12w_0=\dfrac12 et, pour tout entier naturel nn, wn+1=wn+wn2w_{n+1}=w_n+w_n^2.

1. Démontrer que la suite (wn)(w_n) est croissante. En déduire que, pour tout entier naturel nn, wn⩾12w_n\geqslant\dfrac12.
2. On suppose que (wn)(w_n) converge vers un réel ℓ\ell. Justifier que ℓ=ℓ+ℓ2\ell=\ell+\ell^2 et que ℓ⩾12\ell\geqslant\dfrac12. Conclure à une contradiction.
3. Déterminer la limite de la suite (wn)(w_n).

Exercice 44 — La suite un+1=un+6u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Théorème de convergence monotone · Quantité conjuguée · Limite de qnq^n

Objectifs : Encadrer unu_n et un+1u_{n+1} par récurrence à l’aide d’une fonction croissante · Majorer l’écart à la limite par une suite géométrique

On considère la fonction ff définie sur [−6 ;+∞[[-6\,;+\infty[ par f(x)=x+6f(x)=\sqrt{x+6} et la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

1. Justifier que ff est croissante sur [−6 ;+∞[[-6\,;+\infty[.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0⩽un⩽un+1⩽30\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3.
3. En déduire que la suite (un)(u_n) converge. On note ℓ\ell sa limite.
4. Justifier que ℓ=ℓ+6\ell=\sqrt{\ell+6}, puis déterminer la valeur de ℓ\ell.
5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, 3−un+1=3−un3+un+13-u_{n+1}=\dfrac{3-u_n}{3+u_{n+1}}, puis que 0⩽3−un+1⩽13(3−un)0\leqslant3-u_{n+1}\leqslant\dfrac13(3-u_n).
b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 0⩽3−un⩽3×(13)n0\leqslant3-u_n\leqslant3\times\left(\dfrac13\right)^n, et retrouver la limite de (un)(u_n) sans utiliser la question 4.

Exercice 45 — Influence du premier terme

Non commencéIntermédiaire
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Théorème de convergence monotone · Théorème du point fixe · Boucle while en Python

Objectifs : Étudier l’influence du premier terme sur le comportement d’une suite · Compléter un algorithme de seuil

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x24+1f(x)=\dfrac{x^2}{4}+1 et, pour un réel aa donné, la suite (un)(u_n) définie par u0=au_0=a et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel nn.

1. a. Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)−x=(x−2)24f(x)-x=\dfrac{(x-2)^2}{4}.
b. En déduire que, quelle que soit la valeur de aa, la suite (un)(u_n) est croissante.
c. Déterminer les réels xx tels que f(x)=xf(x)=x.
2. Dans cette question, a=1a=1.
a. Justifier que ff est croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 1⩽un⩽21\leqslant u_n\leqslant2.
c. Démontrer que la suite (un)(u_n) converge et déterminer sa limite.
3. Dans cette question, a=3a=3.
a. Justifier que, pour tout entier naturel nn, un⩾3u_n\geqslant3.
b. Démontrer par l'absurde que la suite (un)(u_n) ne converge pas, puis déterminer sa limite.
c. Recopier et compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie le plus petit entier nn tel que un>1000u_n>1000. Donner la valeur renvoyée.
def seuil():
    u = 3
    n = 0
    while ........ :
        u = ........
        n = n + 1
    return n

Exercice 46 — Suite homographique et suite géométrique auxiliaire

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites géométriques · Dérivée d’un quotient · Raisonnement par récurrence

Objectifs : Utiliser une suite auxiliaire géométrique · Exprimer unu_n en fonction de nn à partir d’une suite auxiliaire

On considère la fonction ff définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par f(x)=4x+2x+3f(x)=\dfrac{4x+2}{x+3} et la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel nn.

1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
2. Démontrer que ff est croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0⩽un⩽20\leqslant u_n\leqslant2.
3. Résoudre l'équation f(x)=xf(x)=x sur R∖{−3}\mathbb{R}\setminus\{-3\}.
4. On pose, pour tout entier naturel nn, vn=un−2un+1v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}.
a. Justifier que vnv_n est bien défini pour tout nn.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un+1−2=2(un−2)un+3u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+3} et un+1+1=5(un+1)un+3u_{n+1}+1=\dfrac{5(u_n+1)}{u_n+3}.
c. En déduire que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 25\dfrac25, et préciser son premier terme.
5. a. Exprimer unu_n en fonction de vnv_n, puis en fonction de nn.
b. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Exercice 47 — Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Non commencéDifficile
30 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites arithmétiques · Raisonnement par récurrence · Exercice 46

Objectifs : Utiliser une suite auxiliaire arithmétique · Justifier l’existence des termes d’une suite définie par un quotient

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=2u_0=2 et, pour tout entier naturel nn, un+1=3un−1un+1u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}.

1. Démontrer que, pour tout réel x≠−1x\neq-1, 3x−1x+1−1=2(x−1)x+1\dfrac{3x-1}{x+1}-1=\dfrac{2(x-1)}{x+1}.
2. En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel nn, unu_n existe et un>1u_n>1.
3. On pose, pour tout entier naturel nn, wn=1un−1w_n=\dfrac{1}{u_n-1}.
a. Démontrer que (wn)(w_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire wnw_n, puis unu_n, en fonction de nn.
4. Déterminer la limite de (un)(u_n) et étudier son sens de variation.
5. Pourquoi une suite auxiliaire du type de celle de l'exercice 46 ne peut-elle pas convenir ici ? On pourra résoudre l'équation 3x−1x+1=x\dfrac{3x-1}{x+1}=x.

Exercice 48 — Une suite définie à l’aide de l’exponentielle

Non commencéDifficile
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Fonction exponentielle · Étude des variations d’une fonction · Théorème de convergence monotone · Théorème du point fixe

Objectifs : Utiliser une fonction auxiliaire pour étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n · Montrer qu’une suite croissante qui ne converge pas tend vers +∞+\infty

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex−1f(x)=\mathrm{e}^x-1 et la suite (un)(u_n) définie par u0=−1u_0=-1 et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel nn.

1. On pose, pour tout réel xx, g(x)=ex−1−xg(x)=\mathrm{e}^x-1-x.
a. Étudier les variations de gg sur R\mathbb{R}.
b. En déduire que, pour tout réel xx, g(x)⩾0g(x)\geqslant0, et que g(x)=0g(x)=0 si et seulement si x=0x=0.
2. Démontrer que la suite (un)(u_n) est croissante.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, −1⩽un⩽0-1\leqslant u_n\leqslant0.
4. En déduire que (un)(u_n) converge, puis déterminer sa limite en justifiant soigneusement.
5. On considère maintenant la suite (tn)(t_n) définie par t0=1t_0=1 et tn+1=f(tn)t_{n+1}=f(t_n). Démontrer que (tn)(t_n) est croissante et qu'elle tend vers +∞+\infty.

Exercice 49 — Suites couplées

Non commencéAvancé
50 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites géométriques · Théorème de convergence monotone · Théorème des gendarmes

Objectifs : Étudier deux suites couplées à l’aide de leur différence · Utiliser une quantité invariante pour déterminer une limite commune

Partie A. On considère les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par u0=1u_0=1, v0=7v_0=7 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=2un+vn3etvn+1=un+2vn3.u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.

1. Calculer u1u_1, v1v_1, u2u_2 et v2v_2.
2. On pose dn=vn−und_n=v_n-u_n. Démontrer que (dn)(d_n) est géométrique, exprimer dnd_n en fonction de nn et en déduire que un<vnu_n<v_n pour tout nn.
3. Démontrer que (un)(u_n) est croissante et que (vn)(v_n) est décroissante.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, u0⩽un<vn⩽v0u_0\leqslant u_n<v_n\leqslant v_0. En déduire que les deux suites convergent, puis qu'elles ont la même limite.
5. On pose sn=un+vns_n=u_n+v_n. Démontrer que (sn)(s_n) est constante, puis déterminer la limite commune des suites (un)(u_n) et (vn)(v_n).

Partie B. On considère les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) définies par a0=2a_0=2, b0=1b_0=1 et, pour tout entier naturel nn,

an+1=an+bn2etbn+1=2anbnan+bn.a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\qquad\text{et}\qquad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}.

On admet que, pour tout entier naturel nn, an>0a_n>0 et bn>0b_n>0.

1. Calculer a1a_1, b1b_1, a2a_2 et b2b_2.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, an+1−bn+1=(an−bn)22(an+bn)a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}. En déduire que bn⩽anb_n\leqslant a_n pour tout nn.
3. Démontrer que (an)(a_n) est décroissante et que (bn)(b_n) est croissante.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, an+1−bn+1⩽12(an−bn)a_{n+1}-b_{n+1}\leqslant\dfrac12(a_n-b_n), puis que 0⩽an−bn⩽(12)n0\leqslant a_n-b_n\leqslant\left(\dfrac12\right)^n.
5. En déduire que les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers une même limite ℓ\ell.
6. Démontrer que le produit anbna_nb_n ne dépend pas de nn, puis déterminer ℓ\ell.

Exercice 50 — Problème de synthèse

Non commencéAvancé
55 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Fonction exponentielle · Dérivée d’un produit · Théorème de convergence monotone · Boucle while en Python

Objectifs : Enchaîner l’étude d’une fonction et l’étude d’une suite associée · Raisonner par l’absurde pour déterminer la limite d’une somme

On considère la fonction ff définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par f(x)=x e−xf(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}.

Partie A — Étude de la fonction

1. Démontrer que, pour tout réel x⩾0x\geqslant0, f′(x)=(1−x)e−xf'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}.
2. Dresser le tableau de variations de ff sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ (la limite en +∞+\infty n'est pas demandée) et préciser son maximum.

Partie B — Étude d'une suite. On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)=une−unu_{n+1}=f(u_n)=u_n\mathrm{e}^{-u_n}.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 0<un⩽10<u_n\leqslant1.
2. Démontrer que la suite (un)(u_n) est décroissante.
3. En déduire que la suite (un)(u_n) converge. Déterminer sa limite en justifiant.
4. On considère la fonction Python ci-dessous.
from math import exp

def seuil():
    u = 1
    n = 0
    while u >= 0.1:
        u = u * exp(-u)
        n = n + 1
    return n
Expliquer ce que renvoie cette fonction. On admet qu'elle renvoie 88 : interpréter ce résultat.

Partie C — Une somme associée. Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=u0+u1+⋯+unS_n=u_0+u_1+\cdots+u_n.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un+1=e−Snu_{n+1}=\mathrm{e}^{-S_n}.
2. Justifier que la suite (Sn)(S_n) est croissante.
3. On suppose que (Sn)(S_n) converge vers un réel LL. Démontrer qu'alors (un)(u_n) converge vers e−L\mathrm{e}^{-L}, et conclure à une contradiction.
4. En déduire la limite de la suite (Sn)(S_n).

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10
  2. 2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20
  3. 3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30
  4. 4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40
  5. 5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50 · page courante
  6. 6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
  7. 7 Approfondissement Exercices 61 à 70