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Chapitre 02 Suites numériques Série 4 sur 7

Comparaison, encadrement et divergence — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 31 à 40 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

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Exercice 31 — Suites minorées, majorées, bornées

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Définitions d’une suite minorée, majorée, bornée · Encadrement des fonctions sinus et cosinus · Opérations sur les inégalités

Objectifs : Encadrer une suite à l’aide d’opérations sur les inégalités · Démontrer qu’une suite n’est pas majorée en revenant à la définition

On rappelle qu'une suite (un)(u_n) est minorée s'il existe un réel mm tel que un⩾mu_n\geqslant m pour tout nn, majorée s'il existe un réel MM tel que un⩽Mu_n\leqslant M pour tout nn, et bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

1. On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par un=2n+1n+3u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}.
a. Montrer que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un=2−5n+3u_n=2-\dfrac{5}{n+3}.
b. En déduire que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 13⩽un<2\dfrac13\leqslant u_n<2.
2. Montrer que la suite (vn)(v_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par vn=2+sin⁡n3−cos⁡nv_n=\dfrac{2+\sin n}{3-\cos n} est bornée, en précisant un minorant et un majorant.
3. Montrer que la suite (wn)(w_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par wn=(−1)n+1n+1w_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n+1} est bornée.
4. On considère la suite (tn)(t_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par tn=n2−10nt_n=n^2-10n.
a. Montrer que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, tn=(n−5)2−25t_n=(n-5)^2-25. En déduire que (tn)(t_n) est minorée.
b. Montrer que pour tout entier n⩾11n\geqslant11, tn⩾nt_n\geqslant n. La suite (tn)(t_n) est-elle majorée ?

Exercice 32 — Théorèmes de comparaison

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Théorèmes de comparaison · Encadrement de sinus, cosinus et (−1)n(-1)^n · Limites des suites de référence

Objectifs : Choisir le bon sens d’inégalité pour appliquer un théorème de comparaison · Minorer une suite pour montrer qu’elle tend vers +∞+\infty

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier n⩾1n\geqslant1, en citant précisément le théorème utilisé.

1. an=n+sin⁡na_n=n+\sin n.
2. bn=n2−3cos⁡nb_n=n^2-3\cos n.
3. cn=−n+(−1)nc_n=-n+(-1)^n.
4. dn=n2+(−1)n nd_n=n^2+(-1)^n\,n.
5. en=n2+sin⁡nn+2e_n=\dfrac{n^2+\sin n}{n+2}.

Exercice 33 — Théorème des gendarmes

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Théorème des gendarmes · Limite de qnq^n · Encadrement de sinus, cosinus et (−1)n(-1)^n

Objectifs : Encadrer une suite par deux suites de même limite · Lever une forme indéterminée en factorisant par le terme dominant

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier n⩾1n\geqslant1, en justifiant par un encadrement.

1. an=sin⁡nna_n=\dfrac{\sin n}{n}.
2. bn=n+cos⁡nn+1b_n=\dfrac{n+\cos n}{n+1}.
3. cn=(−1)nn2c_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}.
4. dn=3n2+(−1)n nn2+1d_n=\dfrac{3n^2+(-1)^n\,n}{n^2+1}.
5. en=(23)ncos⁡ne_n=\left(\dfrac23\right)^n\cos n.

Exercice 34 — Partie entière et approximation d’un réel

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Théorème des gendarmes · Opérations sur les inégalités · Croissance de la fonction racine carrée

Objectifs : Exploiter une définition donnée par un encadrement · Appliquer le théorème des gendarmes à une suite définie par une partie entière

Pour tout réel yy, on appelle partie entière de yy, et on note E(y)E(y), l'unique entier relatif pp tel que p⩽y<p+1p\leqslant y<p+1.

1. Déterminer E(2,7)E(2{,}7), E(5)E(5) et E(−0,5)E(-0{,}5).
2. Montrer que pour tout réel yy, y−1<E(y)⩽yy-1<E(y)\leqslant y.
3. Soit xx un réel fixé. On définit la suite (un)(u_n) pour tout entier n⩾1n\geqslant1 par un=E(nx)nu_n=\dfrac{E(nx)}{n}.
a. Montrer que pour tout entier n⩾1n\geqslant1, x−1n<un⩽xx-\dfrac1n<u_n\leqslant x.
b. En déduire la limite de la suite (un)(u_n).
4. Dans cette question, x=23x=\dfrac23. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3, u4u_4, u5u_5 et u6u_6. La suite (un)(u_n) est-elle monotone ?
5. Dans cette question, x=2x=\sqrt2. En calculant 141421414^2 et 141521415^2, déterminer E(10002)E(1000\sqrt2), puis u1000u_{1000}. Interpréter.

Exercice 35 — Une somme encadrée

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Notation Σ · Décroissance de la fonction inverse · Théorème des gendarmes

Objectifs : Encadrer chaque terme d’une somme puis sommer les encadrements · Repérer une somme dont le nombre de termes dépend de nn

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose

Sn=∑k=1nnn2+k=nn2+1+nn2+2+⋯+nn2+n.S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k}=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}.

1. Calculer S1S_1 et S2S_2.
2. Soit n⩾1n\geqslant1. Montrer que pour tout entier kk tel que 1⩽k⩽n1\leqslant k\leqslant n,

nn2+n⩽nn2+k⩽nn2+1.\frac{n}{n^2+n}\leqslant\frac{n}{n^2+k}\leqslant\frac{n}{n^2+1}.

3. En déduire que pour tout entier n⩾1n\geqslant1, n2n2+n⩽Sn⩽n2n2+1\dfrac{n^2}{n^2+n}\leqslant S_n\leqslant\dfrac{n^2}{n^2+1}.
4. Déterminer la limite de la suite (Sn)(S_n).
5. Chacun des termes nn2+k\dfrac{n}{n^2+k} tend vers 00 quand nn tend vers +∞+\infty. Pourquoi ne peut-on pas en conclure que (Sn)(S_n) tend vers 00 ?

Exercice 36 — Suites divergentes sans limite infinie

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Définition d’une suite convergente · Définition d’une limite infinie · Opérations sur les limites

Objectifs : Démontrer qu’une suite diverge à l’aide de un+1−unu_{n+1}-u_n · Démontrer qu’une suite n’a pas de limite infinie en revenant à la définition

On admet la propriété suivante : si une suite (un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell, alors la suite (un+1)(u_{n+1}) converge aussi vers ℓ\ell.

1. Soit (un)(u_n) une suite convergente. Montrer que la suite (un+1−un)(u_{n+1}-u_n) converge vers 00.
2. On considère la suite (an)(a_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par an=(−1)na_n=(-1)^n.
a. Calculer ∣an+1−an∣|a_{n+1}-a_n| pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}. En déduire que (an)(a_n) ne converge pas.
b. Montrer que (an)(a_n) ne tend ni vers +∞+\infty, ni vers −∞-\infty.
3. On considère la suite (bn)(b_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par bn=cos⁡(nπ2)b_n=\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right).
a. Calculer b0,b1,…,b7b_0,b_1,\dots,b_7. Que peut-on dire de bnb_n lorsque nn est impair ? lorsque nn est pair ?
b. En déduire que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, ∣bn+1−bn∣=1|b_{n+1}-b_n|=1.
c. Montrer que la suite (bn)(b_n) n'a pas de limite, ni finie ni infinie.
4. On considère la suite (dn)(d_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par dn=(−1)n nd_n=(-1)^n\,n. Montrer que (dn)(d_n) n'a pas de limite.

Exercice 37 — Non majorée ne signifie pas « tend vers +∞+\infty »

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites minorées, majorées · Définition de la limite +∞+\infty · Exercice 36, question 1

Objectifs : Étudier séparément les termes de rang pair et de rang impair · Distinguer « non majorée » et « tend vers +∞+\infty »

On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par un=n(1+(−1)n)u_n=n\left(1+(-1)^n\right).

1. Calculer u0,u1,…,u5u_0,u_1,\dots,u_5.
2. Pour tout p∈Np\in\mathbb{N}, exprimer u2pu_{2p} et u2p+1u_{2p+1} en fonction de pp.
3. Montrer que la suite (un)(u_n) est minorée mais n'est pas majorée.
4. Montrer que la suite (un)(u_n) ne tend pas vers +∞+\infty.
5. En utilisant la question 1 de l'exercice 36, montrer que (un)(u_n) ne converge pas.
6. La suite (un)(u_n) est-elle monotone ? Quelle hypothèse faudrait-il ajouter à « non majorée » pour garantir une limite égale à +∞+\infty ?

Exercice 38 — Suite croissante non majorée

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Définition de la limite +∞+\infty · Théorème de convergence monotone · Raisonnement par récurrence

Objectifs : Démontrer un théorème du cours à partir des définitions · Minorer une somme en minorant chacun de ses termes

1. Démonstration du théorème de cours. Soit (un)(u_n) une suite croissante et non majorée. Soit AA un réel quelconque.
a. Justifier qu'il existe un entier NN tel que uN>Au_N>A.
b. En déduire que pour tout entier n⩾Nn\geqslant N, un>Au_n>A.
c. Conclure que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
2. Application. Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose Hn=∑k=1n1k=1+12+⋯+1nH_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k=1+\frac12+\cdots+\frac1n.
a. Étudier le sens de variation de la suite (Hn)(H_n).
b. Montrer que pour tout entier n⩾1n\geqslant1, H2n−Hn⩾12H_{2n}-H_n\geqslant\dfrac12.
c. Démontrer par récurrence que pour tout p∈Np\in\mathbb{N}, H2p⩾1+p2H_{2^p}\geqslant1+\dfrac{p}{2}.
d. En déduire que la suite (Hn)(H_n) n'est pas majorée, puis déterminer sa limite.
3. Déduire de la question 1 et du théorème de convergence monotone qu'une suite croissante admet toujours une limite, finie ou égale à +∞+\infty.

Exercice 39 — Convergence monotone : la somme des inverses des carrés

Non commencéDifficile
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Théorème de convergence monotone · Sommes télescopiques · Passage à la limite dans une inégalité

Objectifs : Majorer une somme par une somme télescopique · Encadrer la limite d’une suite convergente · Lire un programme Python qui calcule une somme

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose Sn=∑k=1n1k2=1+14+⋯+1n2S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=1+\frac14+\cdots+\frac{1}{n^2}.

1. Montrer que la suite (Sn)(S_n) est croissante.
2. Montrer que pour tout entier k⩾2k\geqslant2, 1k2⩽1k(k−1)=1k−1−1k\dfrac{1}{k^2}\leqslant\dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac1k.
3. En déduire que pour tout entier n⩾1n\geqslant1, Sn⩽2−1nS_n\leqslant2-\dfrac1n, puis que Sn⩽2S_n\leqslant2.
4. Montrer que la suite (Sn)(S_n) converge. On note ℓ\ell sa limite ; montrer que 54⩽ℓ⩽2\dfrac54\leqslant\ell\leqslant2.
5. On considère la fonction Python suivante.
def somme(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + 1 / k**2
    return s
Que renvoie somme(n) ? L'appel somme(1000) renvoie 1.6439345666815615. Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

6. Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose Tn=∑k=1n1k3T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3}. Montrer que la suite (Tn)(T_n) converge.

Exercice 40 — Étude complète d’une somme

Non commencéAvancé
50 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Sommes télescopiques · Théorème de comparaison et théorème des gendarmes · Théorème de convergence monotone

Objectifs : Encadrer une somme par des sommes télescopiques · Déduire d’un encadrement la limite et l’ordre de grandeur d’une somme · Encadrer la valeur renvoyée par un algorithme de seuil

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose un=∑k=1n1k=1+12+⋯+1nu_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k}=1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}.

1. Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante.
2. Soit kk un entier supérieur ou égal à 11.
a. Montrer que k+1−k=1k+1+k\sqrt{k+1}-\sqrt k=\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}.
b. En déduire que 2(k+1−k)⩽1k⩽2(k−k−1)2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)\leqslant\dfrac{1}{\sqrt k}\leqslant2\left(\sqrt k-\sqrt{k-1}\right).
3. En déduire que pour tout entier n⩾1n\geqslant1,

2n+1−2⩽un⩽2n−1.2\sqrt{n+1}-2\leqslant u_n\leqslant2\sqrt n-1.

On pourra, pour l'inégalité de droite, isoler le terme correspondant à k=1k=1.

4. Déterminer lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n\to+\infty}u_n puis lim⁡n→+∞unn\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{\sqrt n}.
5. On pose, pour tout entier n⩾1n\geqslant1, wn=un−2nw_n=u_n-2\sqrt n.
a. Montrer que pour tout entier n⩾1n\geqslant1, wn+1−wn=1n+1−2n+1+nw_{n+1}-w_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}, puis que la suite (wn)(w_n) est strictement décroissante.
b. Montrer que la suite (wn)(w_n) est minorée par −2-2.
c. En déduire que (wn)(w_n) converge vers un réel LL tel que −2⩽L⩽−1-2\leqslant L\leqslant-1.
6. On considère la fonction Python suivante.
from math import sqrt

def seuil(A):
    n = 1
    u = 1
    while u < A:
        n = n + 1
        u = u + 1 / sqrt(n)
    return n
a. Expliquer pourquoi l'appel seuil(A) se termine pour tout réel AA, et ce qu'il renvoie.
b. Sans exécuter le programme, montrer à l'aide de la question 3 que seuil(100) est compris entre 25512551 et 26002600.

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10
  2. 2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20
  3. 3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30
  4. 4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40 · page courante
  5. 5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50
  6. 6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
  7. 7 Approfondissement Exercices 61 à 70