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Chapitre 02 Suites numériques Série 7 sur 7

Approfondissement — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 61 à 70 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

Les exercices de cette série sont plus longs et plus exigeants que ceux des séries précédentes. Les questions sont enchaînées : lorsqu’on ne parvient pas à établir un résultat, on peut l’admettre pour traiter la suite. Les questions marquées « maths expertes » sont destinées aux élèves qui suivent cette option.

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Choisir une notion à travaillerChaque exercice est rattaché aux notions du programme qu’il fait travailler.

Exercice 61 — Deux suites qui encadrent le nombre ee

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Factorielle · Théorème de convergence monotone · Théorème des gendarmes

Objectifs : Étudier deux suites adjacentes et en déduire un encadrement strict de leur limite · Calculer un encadrement rationnel de e d’amplitude donnée · Mener un raisonnement par l’absurde (irrationalité de e)

Pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant1, on pose

un=∑k=0n1k!=1+11!+12!+⋯+1n!etvn=un+1n×n!.u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\qquad\text{et}\qquad v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.

On rappelle que 0!=10!=1 et que (n+1)!=(n+1)×n!(n+1)!=(n+1)\times n!.

1. Calculer u1u_1, v1v_1, u2u_2 et v2v_2 sous forme de fractions irréductibles.
2. Montrer que la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
3. a. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1,

vn+1−vn=−1n(n+1) (n+1)!.v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{n(n+1)\,(n+1)!}.

b. En déduire le sens de variation de la suite (vn)(v_n).

4. Montrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) convergent vers une même limite, notée ℓ\ell, et que pour tout n⩾1n\geqslant1 on a un<ℓ<vnu_n<\ell<v_n.
5. On admet que ℓ=e\ell=e. Calculer u5u_5 et v5v_5 sous forme de fractions, puis en déduire un encadrement de ee d'amplitude inférieure à 2×10−32\times10^{-3}.
6. (Maths expertes.) On suppose par l'absurde que ee est un nombre rationnel : e=pqe=\dfrac{p}{q} avec pp et qq entiers naturels non nuls.

a. Justifier que A=q×q!×uqA=q\times q!\times u_q est un entier naturel.

b. En utilisant la question 4 avec n=qn=q, montrer que A<p×q!<A+1A<p\times q!<A+1.

c. Conclure.

Exercice 62 — Deux sommes calculées exactement

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Notation Σ et changement d’indice · Somme des termes d’une suite géométrique · Principe de récurrence

Objectifs : Calculer une somme par décalage d’indice et soustraction · Reconnaître et calculer une somme télescopique · Démontrer une croissance comparée simple par récurrence

Partie A — La somme des k2k\dfrac{k}{2^k}

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose

Sn=∑k=1nk2k=12+24+38+⋯+n2n.S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots+\frac{n}{2^n}.

1. Calculer S1S_1, S2S_2, S3S_3 et S4S_4. Étudier le sens de variation de (Sn)(S_n).
2. a. Montrer que 12Sn=∑j=2n+1j−12j\dfrac{1}{2}S_n=\displaystyle\sum_{j=2}^{n+1}\frac{j-1}{2^j}.

b. En calculant Sn−12SnS_n-\dfrac{1}{2}S_n, montrer que 12Sn=∑j=1n12j−n2n+1\dfrac{1}{2}S_n=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2^j}-\frac{n}{2^{n+1}}.

c. En déduire que, pour tout n⩾1n\geqslant1,

Sn=2−n+22n.S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.

3. Retrouver ce résultat par une récurrence.
4. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n⩾4n\geqslant4, 2n⩾n22^n\geqslant n^2.

b. En déduire que lim⁡n→+∞n2n=0\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{2^n}=0, puis déterminer la limite de (Sn)(S_n).

Partie B — Une somme télescopique

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose Tn=∑k=1n1k(k+1)(k+2)T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}.

5. Calculer T1T_1 et T2T_2.
6. Montrer que, pour tout entier k⩾1k\geqslant1,

1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2)).\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).

7. En déduire que, pour tout n⩾1n\geqslant1, Tn=14−12(n+1)(n+2)T_n=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}, puis la limite de (Tn)(T_n).
8. Vérifier la formule pour n=1n=1 et n=2n=2.

Exercice 63 — Une somme qui converge vers ln⁡2\ln 2

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Notation Σ · Théorème des gendarmes · Fonction logarithme népérien · Étude de fonction

Objectifs : Calculer la différence de deux sommes dont les deux bornes varient · Encadrer une somme terme à terme puis par une somme télescopique · Déduire une inégalité de l’étude d’une fonction

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on pose

wn=∑k=n+12n1k=1n+1+1n+2+⋯+12n.w_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}.

1. Calculer w1w_1, w2w_2 et w3w_3. Combien de termes la somme wnw_n comporte-t-elle ?
2. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1,

wn+1−wn=12n+1−12n+2,w_{n+1}-w_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2},

et en déduire le sens de variation de (wn)(w_n).

3. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1, 12⩽wn⩽nn+1\dfrac{1}{2}\leqslant w_n\leqslant\dfrac{n}{n+1}. En déduire que (wn)(w_n) converge vers un réel ℓ\ell tel que 3760⩽ℓ⩽1\dfrac{37}{60}\leqslant\ell\leqslant1.
4. a. Étudier la fonction ff définie sur ]−1 ;+∞[]-1\,;+\infty[ par f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x)=\ln(1+x)-x et en déduire que, pour tout x>−1x>-1, ln⁡(1+x)⩽x\ln(1+x)\leqslant x.

b. En appliquant cette inégalité à x=1kx=\dfrac{1}{k} puis à x=−1k+1x=-\dfrac{1}{k+1}, montrer que pour tout entier k⩾1k\geqslant1,

1k+1⩽ln⁡(k+1)−ln⁡(k)⩽1k.\frac{1}{k+1}\leqslant\ln(k+1)-\ln(k)\leqslant\frac{1}{k}.

5. En sommant convenablement ces inégalités, montrer que pour tout n⩾1n\geqslant1,

ln⁡(2n+1n+1)⩽wn⩽ln⁡2.\ln\left(\frac{2n+1}{n+1}\right)\leqslant w_n\leqslant\ln2.

6. En déduire la valeur de ℓ\ell.

Exercice 64 — La moyenne arithmético-géométrique

Non commencéDifficile
55 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Théorème de convergence monotone · Théorème des gendarmes · Racine carrée

Objectifs : Démontrer que deux suites couplées sont adjacentes · Comparer une majoration géométrique de l’écart et une majoration quadratique

On définit deux suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) par a0=2a_0=2, b0=1b_0=1 et, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N},

an+1=an+bn2etbn+1=an bn.a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\qquad\text{et}\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_n\,b_n}.

1. Calculer a1a_1 et b1b_1, puis a2a_2 sous forme exacte.
2. a. Montrer que, pour tous réels positifs xx et yy,

x+y2−xy=(x−y)22.\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, les réels ana_n et bnb_n existent et vérifient 0<bn⩽an0<b_n\leqslant a_n.

3. Montrer que la suite (an)(a_n) est décroissante et que la suite (bn)(b_n) est croissante.
4. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, an+1−bn+1⩽an−bn2a_{n+1}-b_{n+1}\leqslant\dfrac{a_n-b_n}{2}. On pourra remarquer que an−bn⩽an+bn\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\leqslant\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}.

b. En déduire que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 0⩽an−bn⩽(12)n0\leqslant a_n-b_n\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.

5. Montrer que les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers une même limite MM, et que bn⩽M⩽anb_n\leqslant M\leqslant a_n pour tout nn. Justifier que 1⩽M⩽21\leqslant M\leqslant2.
6. Une convergence beaucoup plus rapide. On pose en=an−bne_n=a_n-b_n.

a. Montrer que en+1=en22(an+bn)2e_{n+1}=\dfrac{e_n^2}{2\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}\right)^2}, puis que en+1⩽en28e_{n+1}\leqslant\dfrac{e_n^2}{8}.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, en⩽81−2ne_n\leqslant8^{1-2^n}.

c. On donne a3≈1,456 791 05a_3\approx1{,}456\,791\,05 et b3≈1,456 791 01b_3\approx1{,}456\,791\,01. Donner un encadrement de MM et comparer la précision garantie par la question 4(b) et par la question 6(b) pour n=3n=3.

Exercice 65 — Une divergence lente

Non commencéDifficile
45 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Théorème de convergence monotone · Limite et continuité (point fixe)

Objectifs : Démontrer qu’une suite croissante diverge vers +∞ par l’absurde, faute de point fixe · Encadrer le carré d’une suite pour estimer sa vitesse de divergence

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1=un+1unu_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}.

1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, unu_n existe et un⩾1u_n\geqslant1.
3. Étudier le sens de variation de (un)(u_n).
4. On suppose, dans cette question seulement, que (un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell.

a. Justifier que ℓ⩾1\ell\geqslant1.

b. En utilisant la continuité de la fonction g:x↦x+1xg:x\mapsto x+\dfrac{1}{x} sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[, montrer que ℓ=ℓ+1ℓ\ell=\ell+\dfrac{1}{\ell} et aboutir à une contradiction.

5. En déduire que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
6. Vitesse de divergence.

a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+12=un2+2+1un2u_{n+1}^2=u_n^2+2+\dfrac{1}{u_n^2}.

b. En déduire que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 2n+1⩽un2⩽3n+12n+1\leqslant u_n^2\leqslant3n+1.

c. Justifier que un⩾100u_n\geqslant100 dès que n⩾5 000n\geqslant5\,000, et que un<100u_n<100 pour n⩽3 332n\leqslant3\,332.

Exercice 66 — Suite de Fibonacci et nombre d'or

Non commencéAvancé
60 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Théorème des gendarmes · Valeur absolue · Matrices (maths expertes)

Objectifs : Démontrer une identité sur une suite récurrente d’ordre 2 · Étudier une suite non monotone par une inégalité de contraction · Déterminer un rang garantissant une précision donnée

La suite de Fibonacci (Fn)(F_n) est définie par F0=0F_0=0, F1=1F_1=1 et, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_n. On note φ=1+52\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (nombre d'or).

1. Calculer F2,…,F10F_2,\dots,F_{10}. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1, FnF_n est un entier supérieur ou égal à 11.
2. Identité de Cassini.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout n⩾1n\geqslant1, Fn+1Fn−1−Fn2=(−1)nF_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n.

b. (Maths expertes.) On pose A=(1110)A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}. Montrer par récurrence que, pour tout n⩾1n\geqslant1, An=(Fn+1FnFnFn−1)A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}, et retrouver l'identité de Cassini à l'aide des déterminants.

3. Pour n⩾1n\geqslant1, on pose rn=Fn+1Fnr_n=\dfrac{F_{n+1}}{F_n}.

a. Montrer que rn+1=1+1rnr_{n+1}=1+\dfrac{1}{r_n} pour tout n⩾1n\geqslant1.

b. Montrer que 1⩽rn⩽21\leqslant r_n\leqslant2 pour tout n⩾1n\geqslant1.

c. À l'aide de la question 2, montrer que rn+1−rn=(−1)n+1FnFn+1r_{n+1}-r_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}. Que peut-on en dire quant au sens de variation de (rn)(r_n) ?

4. a. Vérifier que φ2=φ+1\varphi^2=\varphi+1, puis que φ=1+1φ\varphi=1+\dfrac{1}{\varphi} et φ⩾32\varphi\geqslant\dfrac{3}{2}.

b. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1,

∣rn+1−φ∣=∣rn−φ∣rn φ⩽23 ∣rn−φ∣.|r_{n+1}-\varphi|=\frac{|r_n-\varphi|}{r_n\,\varphi}\leqslant\frac{2}{3}\,|r_n-\varphi|.

c. En déduire que ∣rn−φ∣⩽(23)n−1|r_n-\varphi|\leqslant\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} pour tout n⩾1n\geqslant1, puis la limite de (rn)(r_n).

d. Déterminer un rang à partir duquel rnr_n est une valeur approchée de φ\varphi à 10−310^{-3} près. On donne (23)17≈1,01×10−3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{17}\approx1{,}01\times10^{-3} et (23)18≈6,77×10−4\left(\tfrac{2}{3}\right)^{18}\approx6{,}77\times10^{-4}.

Exercice 67 — Une suite définie par des équations

Non commencéAvancé
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires · Théorème de convergence monotone · Limite de q^n

Objectifs : Étudier une suite définie implicitement comme solution d’une équation · Comparer deux termes grâce à la stricte monotonie d’une fonction · Identifier une limite par un raisonnement par l’absurde

Pour tout entier n⩾1n\geqslant1, on considère la fonction fnf_n définie sur [0 ;1][0\,;1] par fn(x)=xn+x−1f_n(x)=x^n+x-1.

1. Montrer que l'équation fn(x)=0f_n(x)=0 admet une unique solution dans [0 ;1][0\,;1], notée ana_n, et que 0<an<10<a_n<1.
2. Déterminer a1a_1 et a2a_2.
3. a. Montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1, fn+1(an)=ann(an−1)f_{n+1}(a_n)=a_n^n(a_n-1).

b. En déduire le signe de fn+1(an)f_{n+1}(a_n), puis que an<an+1a_n<a_{n+1}.

4. Montrer que la suite (an)(a_n) converge. On note ℓ\ell sa limite. Justifier que 12⩽ℓ⩽1\dfrac{1}{2}\leqslant\ell\leqslant1.
5. On suppose par l'absurde que ℓ<1\ell<1.

a. Justifier que, pour tout n⩾1n\geqslant1, 0<ann⩽ℓn0<a_n^n\leqslant\ell^n, et en déduire lim⁡n→+∞ann\lim\limits_{n\to+\infty}a_n^n.

b. En utilisant l'égalité fn(an)=0f_n(a_n)=0, obtenir une contradiction.

6. Conclure sur la valeur de ℓ\ell, puis déterminer lim⁡n→+∞ann\lim\limits_{n\to+\infty}a_n^n.

Exercice 68 — Une suite d'intégrales

Non commencéAvancé
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Calcul intégral : linéarité, positivité, primitive · Théorème des gendarmes · Principe de récurrence

Objectifs : Établir une relation de récurrence entre intégrales · Encadrer une suite d’intégrales et en déduire un équivalent · Relier une somme alternée à une suite d’intégrales

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, on pose In=∫01xn1+x dxI_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x.

1. Calculer I0I_0.
2. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, In+In+1=1n+1I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}. En déduire I1I_1 et I2I_2.
3. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, In⩾0I_n\geqslant0.

b. Montrer que la suite (In)(I_n) est décroissante.

4. En utilisant les questions 2 et 3, montrer que, pour tout n⩾1n\geqslant1,

12(n+1)⩽In⩽12n.\frac{1}{2(n+1)}\leqslant I_n\leqslant\frac{1}{2n}.

5. En déduire lim⁡n→+∞In\lim\limits_{n\to+\infty}I_n et lim⁡n→+∞n In\lim\limits_{n\to+\infty}n\,I_n.
6. Pour n⩾1n\geqslant1, on pose Sn=∑k=0n−1(−1)kk+1=1−12+13−⋯+(−1)n−1nS_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout n⩾1n\geqslant1, Sn=ln⁡2−(−1)nInS_n=\ln2-(-1)^nI_n.

b. En déduire la limite de (Sn)(S_n).

Exercice 69 — La suite un+1=cos⁡(un)u_{n+1}=\cos(u_n)

Non commencéAvancé
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Fonctions sinus et cosinus : variations sur [0 ; π/2] · Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires · Théorème des gendarmes

Objectifs : Établir une inégalité de contraction à l’aide d’une fonction auxiliaire · Démontrer la convergence d’une suite non monotone par majoration de l’écart à la limite · Déterminer un rang garantissant une précision donnée

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1=cos⁡(un)u_{n+1}=\cos(u_n). On rappelle que 1<π21<\dfrac{\pi}{2}.

1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 0⩽un⩽10\leqslant u_n\leqslant1.
2. Calculer u1u_1 et donner des valeurs approchées à 10−310^{-3} près de u2u_2 et u3u_3 (calculatrice autorisée). La suite est-elle monotone ?
3. Montrer que l'équation cos⁡x=x\cos x=x admet une unique solution ℓ\ell dans [0 ;1][0\,;1].
4. a. On pose k=sin⁡1k=\sin1. Étudier les variations de la fonction hh définie sur [0 ;1][0\,;1] par h(x)=cos⁡x+kxh(x)=\cos x+kx.

b. En déduire que, pour tous réels xx et yy de [0 ;1][0\,;1],

∣cos⁡x−cos⁡y∣⩽k ∣x−y∣.|\cos x-\cos y|\leqslant k\,|x-y|.

5. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, ∣un+1−ℓ∣⩽k ∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\leqslant k\,|u_n-\ell|, puis que ∣un−ℓ∣⩽kn|u_n-\ell|\leqslant k^n.
6. En déduire que (un)(u_n) converge vers ℓ\ell.
7. On admet que k⩽0,85k\leqslant0{,}85, que 0,8542≈1,09×10−30{,}85^{42}\approx1{,}09\times10^{-3} et que 0,8543≈9,2×10−40{,}85^{43}\approx9{,}2\times10^{-4}. Déterminer un rang NN tel que uNu_N soit une valeur approchée de ℓ\ell à 10−310^{-3} près.

Exercice 70 — Problème de synthèse

Non commencéAvancé
75 min
Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Fonction logarithme népérien · Principe de récurrence · Théorème de convergence monotone et point fixe · Boucle Python while

Objectifs : Encadrer une fonction par l’étude de fonctions auxiliaires · Étudier une suite u(n+1) = f(u(n)) : bornes, monotonie, limite · Obtenir la vitesse de convergence par une somme télescopique · Confronter l’encadrement théorique et la sortie d’un algorithme de seuil

Partie A — Encadrement d'une fonction

On considère la fonction ff définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln(1+x).

1. Étudier le sens de variation de ff sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
2. Montrer que, pour tout x⩾0x\geqslant0, f(x)⩽xf(x)\leqslant x, avec égalité si et seulement si x=0x=0. On pourra étudier la fonction x↦x−ln⁡(1+x)x\mapsto x-\ln(1+x).
3. a. On considère la fonction gg définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par g(x)=ln⁡(1+x)−2xx+2g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}. Montrer que g′(x)=x2(1+x)(x+2)2g'(x)=\dfrac{x^2}{(1+x)(x+2)^2} et en déduire que g(x)⩾0g(x)\geqslant0 pour tout x⩾0x\geqslant0.

b. On considère la fonction hh définie sur [0 ;1][0\,;1] par h(x)=3xx+3−ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{3x}{x+3}-\ln(1+x). Montrer que h′(x)=x(3−x)(1+x)(x+3)2h'(x)=\dfrac{x(3-x)}{(1+x)(x+3)^2} et en déduire que h(x)⩾0h(x)\geqslant0 pour tout x∈[0 ;1]x\in[0\,;1].

c. En déduire que, pour tout x∈ ]0 ;1]x\in\,]0\,;1],

2xx+2⩽ln⁡(1+x)⩽3xx+3.\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)\leqslant\frac{3x}{x+3}.

Partie B — Étude d'une suite

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1=f(un)=ln⁡(1+un)u_{n+1}=f(u_n)=\ln(1+u_n).

4. Donner la valeur exacte de u1u_1 et de u2u_2.
5. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, 0<un⩽10<u_n\leqslant1.
6. Montrer que la suite (un)(u_n) est décroissante.
7. En déduire que (un)(u_n) converge, puis que sa limite est 00.

Partie C — Vitesse de convergence

8. À l'aide de la question 3(c), montrer que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N},

1un+13⩽1un+1⩽1un+12.\frac{1}{u_n}+\frac{1}{3}\leqslant\frac{1}{u_{n+1}}\leqslant\frac{1}{u_n}+\frac{1}{2}.

9. En déduire que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N},

2n+2⩽un⩽3n+3.\frac{2}{n+2}\leqslant u_n\leqslant\frac{3}{n+3}.

10. Retrouver la limite de (un)(u_n). Montrer que, pour tout entier n⩾2n\geqslant2, 1⩽n un⩽31\leqslant n\,u_n\leqslant3. Que peut-on dire de la suite (n un)(n\,u_n) ?

Partie D — Algorithmique

11. Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie le plus petit entier nn tel que un<0,01u_n<0{,}01.
from math import log

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while ........ :
        u = ........
        n = n + 1
    return n
12. Sans exécuter le programme, utiliser la partie C pour justifier que la valeur renvoyée est comprise entre 199199 et 298298. L'exécution renvoie 200200 : est-ce cohérent ? Qu'en déduire sur la valeur de n unn\,u_n pour nn grand ?

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10
  2. 2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20
  3. 3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30
  4. 4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40
  5. 5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50
  6. 6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
  7. 7 Approfondissement Exercices 61 à 70 · page courante