Chapitre 02 Suites numériques Série 3 sur 7

Limites : règles opératoires et formes indéterminées — Terminale Spé

10 exercices corrigés de suites numériques en Terminale spécialité, avec énoncé et correction détaillée. Exercices 21 à 30 de la banque du chapitre.

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Cours et fiche du chapitre

Les 10 exercices corrigés de la série

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Exercice 21 — Opérations sur les limites, sans forme indéterminée

Non commencéFacile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Limites de référence : $n$ , $n^2$ , $\sqrt{n}$ , $\frac1n$ , $\frac{1}{n^2}$ , $\frac{1}{\sqrt{n}}$ · Règles opératoires sur les limites

Objectifs : Appliquer les règles de somme, produit et quotient · Conclure sur un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ en connaissant son signe

Dans chaque cas, la suite

(u_n)

est définie pour tout entier

n\geqslant 1

. Déterminer sa limite en justifiant par les règles opératoires.

1.

u_n=n^2+3n-1

.
2.

u_n=3+\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}

.
3.

u_n=\left(1+\dfrac1n\right)(2-\sqrt{n})

.
4.

u_n=\dfrac{7}{\sqrt{n}+2}

.
5.

u_n=\dfrac{5+\frac1n}{2+\frac{3}{\sqrt{n}}}

.
6.

u_n=\left(2-n^2\right)\left(\sqrt{n}+1\right)

.
7.

u_n=\dfrac{-5}{\frac1n+\frac{1}{n^2}}

Exercice 22 — Limite de $q^n$

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Limite de $q^n$ selon la valeur de $q$ · Règles opératoires sur les limites

Objectifs : Déterminer la limite de $q^n$ selon la position de $q$ · Combiner des limites de suites géométriques · Traduire une condition de convergence par une inéquation

1. Étudier la limite éventuelle de chacune des suites suivantes, définies pour

n\in\mathbb{N}

:
a.

0{,}7^n

1{,}01^n

(-0{,}4)^n

1^n

(-1)^n

(-2)^n

\left(\dfrac{\pi}{4}\right)^n

2. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour

n\in\mathbb{N}

.
a.

a_n=3-2\left(\dfrac45\right)^n

.
b.

b_n=\left(\dfrac23\right)^n-4^n

.
c.

c_n=\dfrac{1+\left(-\frac13\right)^n}{2-\left(\frac12\right)^n}

.
3. Soit

x

un nombre réel. On considère la suite définie pour

n\in\mathbb{N}

par

w_n=\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^n

. Déterminer l'ensemble des réels

x

pour lesquels la suite

(w_n)

converge vers

0

Exercice 23 — Polynômes et forme « $\infty-\infty$ »

Non commencéFacile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Règles opératoires sur les limites · Reconnaître une forme indéterminée

Objectifs : Lever la forme « $\infty-\infty$ » en factorisant par le terme de plus haut degré · Développer une expression pour lever une indétermination

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour

n\in\mathbb{N}

.

1.

u_n=n^2-5n+1

.
2.

u_n=-2n^3+n^2+7

.
3.

u_n=n-\sqrt{n}

.
4.

u_n=3n^2-n^3+4n

.
5.

u_n=(n+1)^2-n^2

Exercice 24 — Quotients de polynômes

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Règles opératoires sur les limites · Reconnaître une forme indéterminée

Objectifs : Lever la forme « $\frac{\infty}{\infty}$ » en factorisant par les termes dominants · Comparer les degrés du numérateur et du dénominateur

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour

n\geqslant 1

.

1.

u_n=\dfrac{3n^2+1}{2n^2-n+5}

.
2.

u_n=\dfrac{n^3-2n}{4n^2+1}

.
3.

u_n=\dfrac{5n+2}{n^2+3}

.
4.

u_n=\dfrac{1-2n^2}{n+1}

.
5.

u_n=\dfrac{2n+\sqrt{n}}{n+3}

.
6.

u_n=\dfrac{6n^2-n}{1-3n^2}

Exercice 25 — Quantité conjuguée

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ · Règles opératoires sur les limites · Continuité de la fonction racine carrée

Objectifs : Lever une forme « $\infty-\infty$ » avec des racines carrées par la quantité conjuguée · Choisir entre quantité conjuguée et factorisation par le terme dominant

1. On pose, pour

n\in\mathbb{N}

u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

.
a. Montrer que, pour tout

n\in\mathbb{N}

u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

.
b. En déduire la limite de

(u_n)

.
2. On pose, pour

n\geqslant 1

v_n=\sqrt{n^2+n}-n

. Montrer que

(v_n)

converge vers

\dfrac12

.
3. Déterminer la limite de la suite définie pour

n\geqslant 1

par

w_n=\sqrt{4n^2+3n}-2n

.
4. Déterminer la limite de la suite définie pour

n\geqslant 2

par

t_n=n-\sqrt{n^2-2n}

.
5. Déterminer la limite de la suite définie pour

n\geqslant 1

par

s_n=\sqrt{n^2+n}-2n

Exercice 26 — Quotients de puissances

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Limite de $q^n$ · Règles de calcul sur les puissances · Reconnaître une forme indéterminée

Objectifs : Identifier le terme dominant d’une somme de puissances · Lever une forme indéterminée en factorisant par la puissance dominante

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour

n\in\mathbb{N}

. On admet que les dénominateurs ne s'annulent jamais.

1.

u_n=\dfrac{2^n+3^n}{3^n-1}

(pour

n\geqslant 1

).
2.

u_n=\dfrac{4^n-5^n}{2^{2n}+1}

.
3.

u_n=\dfrac{3^{n+1}+2^n}{3^n+5}

.
4.

u_n=2^n-3^n

.
5.

u_n=\dfrac{2^{n+2}-7}{4^n+(-3)^n}

Exercice 27 — Sommes géométriques

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Somme $1+q+\cdots+q^n$ · Limite de $q^n$

Objectifs : Exprimer une somme géométrique en fonction de $n$ · Déterminer la limite d’une somme géométrique · Adapter la formule quand la somme ne commence pas à $k=0$

Pour tout

n\in\mathbb{N}

, on pose

S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k,\qquad T_n=\sum_{k=0}^{n}3^k,\qquad U_n=\sum_{k=0}^{n}\left(-\frac23\right)^k,

et, pour

n\geqslant 1

V_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac13\right)^k

.

1. Exprimer

S_n

en fonction de

n

, puis déterminer la limite de

(S_n)

.
2. Exprimer

T_n

en fonction de

n

. Déterminer la limite de

(T_n)

, puis celle de

\left(\dfrac{T_n}{3^n}\right)

.
3. Exprimer

U_n

en fonction de

n

et montrer que

(U_n)

converge vers

\dfrac35

.
4. Exprimer

V_n

en fonction de

n

et déterminer la limite de

(V_n)

Exercice 28 — Limites avec l’exponentielle

Non commencéDifficile

25 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Propriétés algébriques de la fonction exponentielle · Croissances comparées : $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{e^n}{n}=+\infty$ · Théorème des gendarmes

Objectifs : Lever une forme indéterminée faisant intervenir $e^n$ · Utiliser les croissances comparées · Encadrer une suite pour appliquer le théorème des gendarmes

On rappelle le résultat de croissances comparées :

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e^n}{n}=+\infty

.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour

n\geqslant 1

.

1.

u_n=e^{-n}

.
2.

u_n=ne^{-n}

.
3.

u_n=e^n-3n

.
4.

u_n=\dfrac{2e^n+n}{e^n-n}

(on admet que

e^n-n>0

pour tout

n

).
5.

u_n=\dfrac{e^{2n}-e^n}{e^{2n}+1}

.
6.

u_n=\sqrt{n}\,e^{-n}

(on pourra comparer

\sqrt{n}

n

Exercice 29 — Vrai ou faux ?

Non commencéDifficile

30 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Règles opératoires sur les limites · Formes indéterminées · Théorème de comparaison

Objectifs : Construire un contre-exemple · Distinguer une règle opératoire d’une forme indéterminée · Justifier une affirmation vraie par une démonstration

Dans cet exercice,

(u_n)

(v_n)

désignent des suites réelles. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant : une démonstration si elle est vraie, un contre-exemple si elle est fausse.

1. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0

.
2. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=0

.
3. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1

.
4. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=+\infty

.
5. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0

et si

u_n>0

pour tout

n

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n}=+\infty

.
6. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0

et si

u_n\neq 0

pour tout

n

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n}=+\infty

.
7. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0

.
8. Si

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1

, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)^n=1

Exercice 30 — Synthèse

Non commencéAvancé

45 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Sommes géométriques · Quantité conjuguée (exercice 25) · Croissances comparées

Objectifs : Démontrer une formule de somme par récurrence · Lever des formes indéterminées variées · Réécrire une expression pour transformer une forme « $\infty\times0$ » en « $\frac{\infty}{\infty}$ »

Pour tout entier

n\geqslant 1

, on pose

S_n=1+2+\cdots+n=\sum_{k=1}^{n}k\qquad\text{et}\qquad G_n=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^k.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier

n\geqslant 1

S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}

.
2. Déterminer la limite de la suite

\left(\dfrac{S_n}{n^2}\right)

.
3. Déterminer la limite de la suite

(a_n)

définie par

a_n=\sqrt{2S_n}-n

.
4. a. Montrer que

G_n=2^n-1

pour tout

n\geqslant 1

.
b. Déterminer la limite de

b_n=\dfrac{G_n}{2^n}

.
c. Déterminer la limite de

c_n=\dfrac{G_n^2}{4^n+1}

.
d. Montrer que

2^n(1-c_n)=\dfrac{2\times4^n}{4^n+1}

, puis déterminer la limite de

\left(2^n(1-c_n)\right)

.
5. Déterminer la limite de la suite

(d_n)

définie par

d_n=\dfrac{S_n}{ne^n}

Les 7 séries du chapitre

70 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

1 Raisonnement par récurrence Exercices 1 à 10
2 Suites arithmétiques, géométriques et sommes Exercices 11 à 20
3 Limites : règles opératoires et formes indéterminées Exercices 21 à 30 · page courante
4 Comparaison, encadrement et divergence Exercices 31 à 40
5 Suites définies par une relation de récurrence Exercices 41 à 50
6 Seuils et algorithmes en Python Exercices 51 à 60
7 Approfondissement Exercices 61 à 70