Bac Maths 2025 — Polynesie Jour 2

18 juin 2025 — 4 exercices — 20 points

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Les deux parties de cet exercice peuvent etre traitees de maniere independante.

Un systeme de transmission binaire transmet des bits (0 ou 1). A chaque etape, le bit transmis peut etre modifie. On note $V_{n}$ l'evenement « le bit recu a l'etape $n$ est correct » et $p_{n} = P (V_{n})$ .

On sait que :

Le premier bit emis est correct : $P (V_{1}) = 1$ , donc $p_{1} = 1$ .
Si le bit recu a l'etape $n$ est correct, alors la probabilite que le bit recu a l'etape suivante soit correct est $0, 9$ (transmission fidele a 90 %).
Si le bit recu a l'etape $n$ est incorrect, alors la probabilite que le bit recu a l'etape suivante soit correct est $0, 1$ (transmission contraire a 10 %).

On a donc : $P_{V_{n}} (V_{n + 1}) = 0, 9$ , $P_{V_{n}} (\overline{V_{n + 1}}) = 0, 1$ , $P_{\overline{V_{n}}} (V_{n + 1}) = 0, 1$ et $P_{\overline{V_{n}}} (\overline{V_{n + 1}}) = 0, 9$ .

Partie A

On s'interesse aux trois premieres etapes de transmission.

1. Representer la situation par un arbre pondere sur trois niveaux ( $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ ).

2. Montrer que $p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 1$ .

3. Calculer $p_{2}$ et $p_{3}$ .

Partie B

On s'interesse a la convergence de la suite $(p_{n})$ .

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{1}{2}$ . Montrer que la suite $(v_{n})$ est geometrique de raison $0, 8$ . Preciser son premier terme.

5. En deduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

6. Determiner la limite de la suite $(p_{n})$ et interpreter le resultat dans le contexte de l'exercice.

7. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $p_{n} ⩽ 0, 55$ .

Exercice 2 — (5 points)

On considere la fonction $f$ definie sur $] 2; + \infty [$ par :

f (x) = x ln (x - 2)

On note $C_{f}$ sa courbe representative dans un repere orthonorme.

1. Determiner les limites de $f$ en $2^{+}$ et en $+ \infty$ .

2. Montrer que pour tout $x \in] 2; + \infty [$ :

f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2}

3. Etudier les variations de $f$ sur $] 2; + \infty [$ .

4. Montrer que $f^{''} (x) = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ et en deduire la convexite de $f$ .

5. Determiner une equation de la tangente $T$ a $C_{f}$ au point d'inflexion.

6. Etudier la position de $C_{f}$ par rapport a sa tangente au point d'inflexion.

Exercice 3 — (5 points)

On se place dans l'espace muni d'un repere orthonorme $(O; i, j, k)$ .

On considere le tetraedre $A B C D$ avec :

$A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ et $D (1; 2; 3)$ .

1. Montrer que les vecteurs $A B$ , $A C$ et $A D$ ne sont pas coplanaires.

2. Determiner une equation cartesienne du plan $(A B C)$ .

3. Calculer la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ .

4. Determiner les coordonnees du projete orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(A B C)$ .

5. Calculer le volume du tetraedre $A B C D$ .

Exercice 4 — (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la reponse. Toute reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1. Soit $f$ la fonction definie sur $[0; 1]$ par $f (x) = x e^{x}$ . On a $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ .

Affirmation 2. La fonction $g$ definie sur $R$ par $g (x) = (2 x + 1) e^{- x}$ est solution de l'equation differentielle $y^{'} + y = 2 e^{- x}$ .

Affirmation 3. La suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ est convergente.

Affirmation 4. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0; 4]$ . Si $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ et $\int_{0}^{4} f (x) d x = 10$ , alors $\int_{2}^{4} f (x) d x = 7$ .

Affirmation 5. Soit $(u_{n})$ la suite definie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$ . La suite $(u_{n})$ est decroissante.

Exercice 1 — Probabilites et suites (5 points)

Rappels utiles : Probabilites conditionnelles, formule des probabilites totales, suites recurrentes

u_{n + 1} = a u_{n} + b

, suite auxiliaire geometrique, convergence.

Un systeme de transmission binaire transmet des bits (0 ou 1). On note $p_{n}$ la probabilite que le bit recu a l'etape $n$ soit correct.

Partie A — Probabilites

1. Arbre pondere

On complete l'arbre pondere avec les donnees de l'enonce. Si le bit precedent est correct (evenement $V_{n}$ ), la probabilite que le suivant soit correct est $0, 9$ . Si le bit precedent est incorrect ( $\overline{V_{n}}$ ), la probabilite que le suivant soit correct est $0, 1$ .

Depuis $V_{n}$ ( $p_{n}$ ) : $P_{V_{n}} (V_{n + 1}) = 0, 9$ et $P_{V_{n}} (\overline{V_{n + 1}}) = 0, 1$
Depuis $\overline{V_{n}}$ ( $1 - p_{n}$ ) : $P_{\overline{V_{n}}} (V_{n + 1}) = 0, 1$ et $P_{\overline{V_{n}}} (\overline{V_{n + 1}}) = 0, 9$

2. Montrer que $p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 1$

Les evenements $V_{n}$ et $\overline{V_{n}}$ forment une partition de l'univers. D'apres la formule des probabilites totales :

p_{n + 1} = P (V_{n + 1}) = P (V_{n}) \times P_{V_{n}} (V_{n + 1}) + P (\overline{V_{n}}) \times P_{\overline{V_{n}}} (V_{n + 1})

p_{n + 1} = p_{n} \times 0, 9 + (1 - p_{n}) \times 0, 1

p_{n + 1} = 0, 9 p_{n} + 0, 1 - 0, 1 p_{n}

p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 1

3. Calculer $p_{2}$ et $p_{3}$

On a $p_{1} = 1$ (le premier bit emis est correct).

p_{2} = 0, 8 \times 1 + 0, 1 = 0, 9

p_{3} = 0, 8 \times 0, 9 + 0, 1 = 0, 72 + 0, 1 = 0, 82

p_{2} = 0, 9 et p_{3} = 0, 82

Partie B — Etude de la convergence

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{1}{2}$ . Montrer que $(v_{n})$ est geometrique

Methode : Pour une suite recurrente

p_{n + 1} = a p_{n} + b

, on pose

v_{n} = p_{n} - ℓ

avec

ℓ

le point fixe de

f (x) = a x + b

, c'est-a-dire

ℓ = \frac{b}{1 - a}

Le point fixe est $ℓ = \frac{0 , 1}{1 - 0 , 8} = \frac{0 , 1}{0 , 2} = 0, 5 = \frac{1}{2}$ .

On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{1}{2}$ . Calculons $v_{n + 1}$ :

v_{n + 1} = p_{n + 1} - \frac{1}{2} = 0, 8 p_{n} + 0, 1 - \frac{1}{2}

v_{n + 1} = 0, 8 p_{n} - 0, 4 = 0, 8 (p_{n} - \frac{1}{2}) = 0, 8 v_{n}

La suite $(v_{n})$ est donc geometrique de raison $q = 0, 8$ et de premier terme :

v_{1} = p_{1} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

v_{n} = \frac{1}{2} \times 0, 8^{n - 1}

5. Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$

Puisque $v_{n} = p_{n} - \frac{1}{2}$ et $v_{n} = \frac{1}{2} \times 0, 8^{n - 1}$ :

p_{n} = v_{n} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 0, 8^{n - 1} + \frac{1}{2}

p_{n} = \frac{1}{2} (0, 8^{n - 1} + 1)

6. Limite de $(p_{n})$

On a $∣0, 8∣ < 1$ , donc $lim_{n \to + \infty} 0, 8^{n - 1} = 0$ .

n \to + \infty lim p_{n} = \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2}

Interpretation : A long terme, la probabilite que le bit recu soit correct tend vers $\frac{1}{2}$ . Le systeme de transmission perd toute fiabilite : recevoir un bit correct ou incorrect devient equiprobable.

n \to + \infty lim p_{n} = \frac{1}{2}

7. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $p_{n} ⩽ 0, 55$

On resout :

p_{n} ⩽ 0, 55 ⟺ \frac{1}{2} (0, 8^{n - 1} + 1) ⩽ 0, 55

0, 8^{n - 1} + 1 ⩽ 1, 1 ⟺ 0, 8^{n - 1} ⩽ 0, 1

On passe au logarithme neperien (attention : $ln (0, 8) < 0$ , l'inegalite change de sens) :

(n - 1) \times ln (0, 8) ⩽ ln (0, 1)

n - 1 ⩾ \frac{ln ( 0 , 1 )}{ln ( 0 , 8 )} = \frac{- 2 , 3026}{- 0 , 2231} \approx 10, 32

n ⩾ 11, 32

Le plus petit entier $n$ est donc $n = 12$ .

Verification :

$p_{11} = \frac{1}{2} (0, 8^{10} + 1) = \frac{1}{2} (0, 10737 + 1) \approx 0, 5537 > 0, 55$
$p_{12} = \frac{1}{2} (0, 8^{11} + 1) = \frac{1}{2} (0, 08590 + 1) \approx 0, 5430 ⩽ 0, 55$

n = 12

Reviser les probabilites →
Reviser les suites →

Exercice 2 — Etude de fonction (5 points)

Rappels utiles : Derivation d'un produit, fonction logarithme neperien, limites, convexite, tangente, integrale.

On considere la fonction $f$ definie sur $] 2; + \infty [$ par :

f (x) = x ln (x - 2)

On note $C_{f}$ sa courbe representative.

1. Limites de $f$

Limite en $+ \infty$ :

Quand $x \to + \infty$ , $x \to + \infty$ et $ln (x - 2) \to + \infty$ , donc par produit :

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

Limite en $2^{+}$ :

Quand $x \to 2^{+}$ , on a $x \to 2$ et $ln (x - 2) \to - \infty$ . Par produit :

x \to 2^{+} lim f (x) = 2 \times (- \infty) = - \infty

Attention : Ici le facteur

x

tend vers 2 (une constante non nulle), ce n'est pas une forme indeterminee.

x \to 2^{+} lim f (x) = - \infty et x \to + \infty lim f (x) = + \infty

2. Montrer que $f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2}$

On derive le produit $f (x) = x ln (x - 2)$ avec $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$u (x) = x$ , donc $u^{'} (x) = 1$
$v (x) = ln (x - 2)$ , donc $v^{'} (x) = \frac{1}{x - 2}$

f^{'} (x) = 1 \times ln (x - 2) + x \times \frac{1}{x - 2}

f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2}

3. Etude des variations de $f$

Etudions le signe de $f^{'} (x)$ sur $] 2; + \infty [$ .

Limite de $f^{'}$ en $2^{+}$ : $ln (x - 2) \to - \infty$ et $\frac{x}{x - 2} \to + \infty$ . Calculons plus precisement en posant $h = x - 2 \to 0^{+}$ :

f^{'} (x) = ln (h) + \frac{h + 2}{h} = ln (h) + 1 + \frac{2}{h}

Quand $h \to 0^{+}$ , $\frac{2}{h} \to + \infty$ domine $ln (h) \to - \infty$ , donc $f^{'} (x) \to + \infty$ .

Calculons $f^{''}$ pour etudier la convexite et les variations de $f^{'}$ :

f^{''} (x) = \frac{1}{x - 2} + \frac{( x - 2 ) - x}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{( x - 2 ) ^{2}}

f^{''} (x) = \frac{( x - 2 ) - 2}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}

On peut montrer que $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x > 2$ . En effet, pour $x > 2$ , on a $\frac{x}{x - 2} ⩾ 1$ et la fonction $f^{'}$ est a valeurs strictement positives sur $] 2; + \infty [$ .

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $] 2; + \infty [$ .

f est strictement croissante sur] 2; + \infty [

4. Convexite de $f$

On a montre que :

f^{''} (x) = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}

$f$ est concave sur $] 2; 4 [$ car $f^{''} (x) < 0$
$f$ est convexe sur $] 4; + \infty [$ car $f^{''} (x) > 0$

La courbe $C_{f}$ admet un point d'inflexion en $x = 4$ de coordonnees $(4; 4 ln 2)$ .

Point d’inflexion en (4; 4 ln 2)

5. Equation de la tangente au point d'inflexion

La tangente a $C_{f}$ au point d'abscisse $a = 4$ a pour equation :

T : y = f^{'} (4) (x - 4) + f (4)

Calculons :

$f (4) = 4 ln (2)$
$f^{'} (4) = ln (2) + \frac{4}{2} = ln (2) + 2$

T : y = (ln 2 + 2) (x - 4) + 4 ln 2

T : y = (ln 2 + 2) x - 4 ln 2 - 8 + 4 ln 2

T : y = (ln 2 + 2) x - 8

6. Position de la courbe par rapport a la tangente au point d'inflexion

On etudie le signe de $f (x) - T (x)$ :

f (x) - T (x) = x ln (x - 2) - (ln 2 + 2) x + 8

On a vu que $f^{''} (x) = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ . Posons $g (x) = f (x) - T (x)$ . On a $g^{''} (x) = f^{''} (x)$ (la tangente etant une droite, sa derivee seconde est nulle).

Sur $] 2; 4 [$ : $g^{''} (x) < 0$ , $g$ est concave, et $g (4) = 0$ , $g^{'} (4) = 0$ .
Sur $] 4; + \infty [$ : $g^{''} (x) > 0$ , $g$ est convexe, et $g (4) = 0$ , $g^{'} (4) = 0$ .

Le point $x = 4$ est un minimum local de $g$ sur $] 4; + \infty [$ (convexe, derivee nulle) donc $g (x) ⩾ 0$ pour $x > 4$ : la courbe est au-dessus de la tangente.

Sur $] 2; 4 [$ , $g$ est concave avec $g (4) = 0$ et $g^{'} (4) = 0$ , donc $g (x) ⩽ 0$ : la courbe est au-dessous de la tangente.

C_{f} est au-dessous de T sur] 2; 4 [et au-dessus sur] 4; + \infty [

Reviser le logarithme neperien →
Reviser la convexite →
Reviser la derivation →

Exercice 3 — Geometrie dans l'espace (5 points)

Rappels utiles : Produit scalaire dans l'espace, vecteur normal, equation cartesienne de plan, representation parametrique, projete orthogonal, volume de tetraedre.

On se place dans un repere orthonorme $(O; i, j, k)$ . On considere le tetraedre $A B C D$ avec :

$A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ , $D (1; 2; 3)$

1. Montrer que $A B$ , $A C$ et $A D$ ne sont pas coplanaires

Calculons les vecteurs :

A B = B - A = (- 1; 2; 0)

A C = C - A = (- 1; 0; 3)

A D = D - A = (0; 2; 3)

On calcule le determinant (produit mixte) :

det (A B, A C, A D) = - 1 20 - 1 03 023

= - 10323 - (- 1) 2023 + 0

= - 1 (0 \times 3 - 2 \times 3) + 1 (2 \times 3 - 2 \times 0)

= - 1 \times (- 6) + 1 \times 6 = 6 + 6 = 12 \neq = 0

Le determinant est non nul, donc les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, ce qui confirme que $A B C D$ est bien un tetraedre (les quatre points ne sont pas coplanaires).

det (A B, A C, A D) = 12 \neq = 0

2. Equation cartesienne du plan $(A B C)$

Methode : On cherche

n (a; b; c)

normal au plan

(A B C)

, c'est-a-dire orthogonal a

A B

A C

On calcule le produit vectoriel $n = A B \land A C$ :

n = A B \land A C = i - 1 - 1 j 20 k 03

n = i (2 \times 3 - 0 \times 0) - j ((- 1) \times 3 - 0 \times (- 1)) + k ((- 1) \times 0 - 2 \times (- 1))

n = (6; 3; 2)

Verification :

n \cdot A B = 6 \times (- 1) + 3 \times 2 + 2 \times 0 = - 6 + 6 = 0 ✓

n \cdot A C = 6 \times (- 1) + 3 \times 0 + 2 \times 3 = - 6 + 6 = 0 ✓

Le plan $(A B C)$ a pour equation $6 x + 3 y + 2 z + d = 0$ . Le point $A (1; 0; 0)$ appartient au plan :

6 (1) + 3 (0) + 2 (0) + d = 0 ⟹ d = - 6

(A B C) : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

Verification avec $B$ et $C$ :

$B : 6 (0) + 3 (2) + 2 (0) - 6 = 6 - 6 = 0 ✓$
$C : 6 (0) + 3 (0) + 2 (3) - 6 = 6 - 6 = 0 ✓$

3. Distance du point $D$ au plan $(A B C)$

Formule : La distance d'un point

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

au plan

a x + b y + cz + d = 0

est :

d (M, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Appliquons avec $D (1; 2; 3)$ et le plan $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ :

d (D, (A B C)) = \frac{∣6 ( 1 ) + 3 ( 2 ) + 2 ( 3 ) - 6∣}{6 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2}}

= \frac{∣6 + 6 + 6 - 6∣}{36 + 9 + 4} = \frac{12}{49} = \frac{12}{7}

d (D, (A B C)) = \frac{12}{7}

4. Projete orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(A B C)$

Methode : Le projete orthogonal

H

D

sur le plan est le point d'intersection de la droite passant par

D

et dirigee par

n

avec le plan.

La droite passant par $D (1; 2; 3)$ de vecteur directeur $n (6; 3; 2)$ a pour representation parametrique :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 6 λ y = 2 + 3 λ z = 3 + 2 λ

On substitue dans l'equation du plan $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ :

6 (1 + 6 λ) + 3 (2 + 3 λ) + 2 (3 + 2 λ) - 6 = 0

6 + 36 λ + 6 + 9 λ + 6 + 4 λ - 6 = 0

49 λ + 12 = 0 ⟹ λ = - \frac{12}{49}

Les coordonnees de $H$ sont :

x_{H} = 1 + 6 \times (- \frac{12}{49}) = 1 - \frac{72}{49} = \frac{49 - 72}{49} = - \frac{23}{49}

y_{H} = 2 + 3 \times (- \frac{12}{49}) = 2 - \frac{36}{49} = \frac{98 - 36}{49} = \frac{62}{49}

z_{H} = 3 + 2 \times (- \frac{12}{49}) = 3 - \frac{24}{49} = \frac{147 - 24}{49} = \frac{123}{49}

Verification : $6 \times (- \frac{23}{49}) + 3 \times \frac{62}{49} + 2 \times \frac{123}{49} - 6 = \frac{- 138 + 186 + 246}{49} - 6 = \frac{294}{49} - 6 = 6 - 6 = 0 ✓$

H (- \frac{23}{49}; \frac{62}{49}; \frac{123}{49})

5. Volume du tetraedre $A B C D$

Formule : Le volume d'un tetraedre est

V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h

ou bien

V = \frac{1}{6} ∣ det (A B, A C, A D) ∣

On a deja calcule le determinant :

det (A B, A C, A D) = 12

Donc :

V = \frac{1}{6} ∣12∣ = 2

V = 2 unites de volume

Verification par la seconde methode : Avec la base $A B C$ et la hauteur $h = d (D, (A B C)) = \frac{12}{7}$ :

L'aire du triangle $A B C$ est $A = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥ = \frac{1}{2} 36 + 9 + 4 = \frac{7}{2}$ .

V = \frac{1}{3} \times \frac{7}{2} \times \frac{12}{7} = \frac{1}{3} \times 6 = 2 ✓

Reviser les droites et plans de l'espace →
Reviser l'orthogonalite et les distances →
Reviser le produit scalaire dans l'espace →

Exercice 4 — Vrai/Faux (5 points)

Rappel : Dans un exercice Vrai/Faux, chaque affirmation doit etre justifiee. Une reponse non justifiee ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 — Integrale

Soit $f$ la fonction definie sur $[0; 1]$ par $f (x) = x e^{x}$ . On a $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ .

VRAI.

Methode : On utilise une integration par parties avec

u (x) = x

v^{'} (x) = e^{x}

On pose :

$u (x) = x$ , donc $u^{'} (x) = 1$
$v^{'} (x) = e^{x}$ , donc $v (x) = e^{x}$

Par integration par parties :

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x

= (1 \times e^{1} - 0 \times e^{0}) - [e^{x}]_{0}^{1}

= e - (e^{1} - e^{0}) = e - e + 1 = 1

VRAI : \int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1

Affirmation 2 — Equation differentielle

La fonction $g$ definie sur $R$ par $g (x) = (2 x + 1) e^{- x}$ est solution de l'equation differentielle $y^{'} + y = 2 e^{- x}$ .

VRAI.

Calculons $g^{'} (x)$ en derivant le produit :

g^{'} (x) = 2 e^{- x} + (2 x + 1) (- e^{- x}) = 2 e^{- x} - (2 x + 1) e^{- x}

g^{'} (x) = (2 - 2 x - 1) e^{- x} = (1 - 2 x) e^{- x}

Verifions $g^{'} (x) + g (x)$ :

g^{'} (x) + g (x) = (1 - 2 x) e^{- x} + (2 x + 1) e^{- x}

= (1 - 2 x + 2 x + 1) e^{- x} = 2 e^{- x}

On obtient bien $g^{'} (x) + g (x) = 2 e^{- x}$ , donc $g$ est solution de $y^{'} + y = 2 e^{- x}$ .

VRAI : g^{'} (x) + g (x) = 2 e^{- x}

Affirmation 3 — Suites

La suite $(u_{n})$ definie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ est convergente.

VRAI.

Montrons que la suite est croissante et majoree.

Cherchons le point fixe : $ℓ = 2 ℓ + 3$ , donc $ℓ^{2} = 2 ℓ + 3$ , soit $ℓ^{2} - 2 ℓ - 3 = 0$ , d'ou $(ℓ - 3) (ℓ + 1) = 0$ . Le point fixe positif est $ℓ = 3$ .

Montrons que $u_{n} ⩽ 3$ pour tout $n$ :

Initialisation : $u_{0} = 2 ⩽ 3$ . Vrai.

Heredite : Si $u_{n} ⩽ 3$ , alors $2 u_{n} + 3 ⩽ 9$ , donc $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 ⩽ 3$ .

Montrons que la suite est croissante :

u_{n + 1} - u_{n} = 2 u_{n} + 3 - u_{n}

Posons $h (x) = 2 x + 3 - x$ pour $x \in [0; 3]$ . On a :

h^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 3} - 1

Pour $x ⩾ 0$ , $2 x + 3 ⩾ 3 > 1$ , donc $h^{'} (x) < 0$ : $h$ est decroissante.

Or $h (3) = 9 - 3 = 0$ et $h$ est decroissante, donc pour $x ⩽ 3$ , $h (x) ⩾ 0$ .

Puisque $u_{n} ⩽ 3$ , on a $h (u_{n}) ⩾ 0$ , c'est-a-dire $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ .

La suite $(u_{n})$ est croissante et majoree par 3, donc elle converge.

Sa limite $ℓ$ verifie $ℓ = 2 ℓ + 3$ , d'ou $ℓ = 3$ .

VRAI : la suite converge vers ℓ = 3

Affirmation 4 — Integrale et aire

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0; 4]$ . Si $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ et $\int_{0}^{4} f (x) d x = 10$ , alors $\int_{2}^{4} f (x) d x = 7$ .

VRAI.

D'apres la relation de Chasles :

\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x

Donc :

\int_{2}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{4} f (x) d x - \int_{0}^{2} f (x) d x = 10 - 3 = 7

VRAI : \int_{2}^{4} f (x) d x = 7

Affirmation 5 — Suite et decroissance

Soit $(u_{n})$ la suite definie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$ . La suite $(u_{n})$ est decroissante.

VRAI.

Montrons par recurrence que $u_{n} ⩾ 2$ et que la suite est decroissante.

Le point fixe est $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 1$ , soit $\frac{1}{2} ℓ = 1$ , d'ou $ℓ = 2$ .

Montrons que $u_{n} ⩾ 2$ pour tout $n$ :

Initialisation : $u_{0} = 3 ⩾ 2$ . Vrai.

Heredite : Si $u_{n} ⩾ 2$ , alors $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1 ⩾ \frac{1}{2} \times 2 + 1 = 2$ .

Montrons que la suite est decroissante :

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} u_{n} + 1 - u_{n} = - \frac{1}{2} u_{n} + 1 = - \frac{1}{2} (u_{n} - 2)

Puisque $u_{n} ⩾ 2$ , on a $u_{n} - 2 ⩾ 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} ⩽ 0$ .

La suite est bien decroissante (et converge vers 2).

Verification :

$u_{0} = 3$
$u_{1} = \frac{3}{2} + 1 = 2, 5$
$u_{2} = \frac{2 , 5}{2} + 1 = 2, 25$

VRAI : la suite (u_{n}) est decroissante, de limite 2

Reviser le calcul integral →
Reviser les equations differentielles →
Reviser les suites →

Bac Maths 2025 — Polynesie Jour 2

Themes abordes

Exercice 1 — (5 points)

Partie A

Partie B

Exercice 2 — (5 points)

Exercice 3 — (5 points)

Exercice 4 — (5 points)

Exercice 1 — Probabilites et suites (5 points)

Partie A — Probabilites

1. Arbre pondere

2. Montrer que pn+1​=0,8pn​+0,1

3. Calculer p2​ et p3​

Partie B — Etude de la convergence

4. On pose vn​=pn​−21​. Montrer que (vn​) est geometrique

5. Exprimer pn​ en fonction de n

6. Limite de (pn​)

7. Determiner le plus petit entier n tel que pn​⩽0,55

Exercice 2 — Etude de fonction (5 points)

1. Limites de f

2. Montrer que f′(x)=ln(x−2)+x−2x​

3. Etude des variations de f

4. Convexite de f

5. Equation de la tangente au point d'inflexion

6. Position de la courbe par rapport a la tangente au point d'inflexion

Exercice 3 — Geometrie dans l'espace (5 points)

1. Montrer que AB, AC et AD ne sont pas coplanaires

2. Equation cartesienne du plan (ABC)

3. Distance du point D au plan (ABC)

4. Projete orthogonal H de D sur le plan (ABC)

5. Volume du tetraedre ABCD

Exercice 4 — Vrai/Faux (5 points)

Affirmation 1 — Integrale

Affirmation 2 — Equation differentielle

Affirmation 3 — Suites

Affirmation 4 — Integrale et aire

Affirmation 5 — Suite et decroissance

2. Montrer que $p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 1$

3. Calculer $p_{2}$ et $p_{3}$

4. On pose $v_{n} = p_{n} - \frac{1}{2}$ . Montrer que $(v_{n})$ est geometrique

5. Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$

6. Limite de $(p_{n})$

7. Determiner le plus petit entier $n$ tel que $p_{n} ⩽ 0, 55$

1. Limites de $f$

2. Montrer que $f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2}$

3. Etude des variations de $f$

4. Convexite de $f$

1. Montrer que $A B$ , $A C$ et $A D$ ne sont pas coplanaires

2. Equation cartesienne du plan $(A B C)$

3. Distance du point $D$ au plan $(A B C)$

4. Projete orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(A B C)$

5. Volume du tetraedre $A B C D$