Bac Maths 2025 Amérique du Nord Jour 2

a. Paramètres. On répète $n = 15$ fois, de façon indépendante (l'énoncé le précise), une épreuve à deux issues — panier réussi (succès) ou manqué — de probabilité constante $p = 0{,}32$.

$$\boxed{N \sim \mathcal{B}(15\,;\ 0{,}32)}$$

b. Exactement 4 paniers.

$$P(N = 4) = \binom{15}{4} \times 0{,}32^{\,4} \times 0{,}68^{\,11} = 1365 \times 0{,}32^{4} \times 0{,}68^{11}$$

$$P(N = 4) = 0{,}20575\ldots$$

$$\boxed{P(N = 4) \approx 0{,}206}$$

c. Au plus 6 paniers. « Au plus $6$ » signifie $N \leqslant 6$ :

$$P(N \leqslant 6) = \sum_{k=0}^{6} \binom{15}{k} \times 0{,}32^{\,k} \times 0{,}68^{\,15-k}$$

À la calculatrice (binomFRép / binomcdf) :

$$\boxed{P(N \leqslant 6) \approx 0{,}828}$$

d. Espérance. Pour $N \sim \mathcal{B}(n\,;p)$, on a $E(N) = np$ :

$$E(N) = 15 \times 0{,}32$$

$$\boxed{E(N) = 4{,}8}$$

Interprétation : sur une série de $15$ tentatives à trois points, Victor en réussit en moyenne $4{,}8$.

Cohérence : la valeur $4$ (question b) est proche de cette moyenne, d'où sa probabilité relativement élevée ($20{,}6\ \%$) — c'est même la valeur la plus probable.

a. Relation entre $T$ et $N$. Chaque panier réussi rapporte trois points, et il n'y a que des lancers à trois points dans cette série :

$$\boxed{T = 3N}$$

b. Espérance de $T$. L'espérance est linéaire : $E(aX) = a\,E(X)$.

$$E(T) = E(3N) = 3 \times E(N) = 3 \times 4{,}8$$

$$\boxed{E(T) = 14{,}4}$$

Interprétation : sur une série de $15$ lancers à trois points, Victor marque en moyenne $14{,}4$ points.

Contrôle : $4{,}8$ paniers $\times\ 3$ points $= 14{,}4$ ✓

c. Probabilité $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$. Il faut revenir à $N$ — c'est elle qui suit la loi binomiale, pas $T$.

$$12 \leqslant T \leqslant 18 \iff 12 \leqslant 3N \leqslant 18$$

On divise par $3$ (positif, le sens est conservé) :

$$4 \leqslant N \leqslant 6$$

$$P(12 \leqslant T \leqslant 18) = P(4 \leqslant N \leqslant 6) = P(N \leqslant 6) - P(N \leqslant 3)$$

$$P(12 \leqslant T \leqslant 18) = 0{,}58582\ldots$$

$$\boxed{P(12 \leqslant T \leqslant 18) \approx 0{,}586}$$

Le réflexe : $T$ ne suit pas une loi binomiale (elle ne prend que les multiples de $3$). Toute question sur $T$ doit être traduite en une question sur $N$.

a. Interprétation. $M_{50}$ est le nombre moyen de points par match, calculé sur une série de $50$ matchs.

b. Espérance et variance.

Espérance — elle est linéaire, et cela sans aucune hypothèse d'indépendance :

$$E(M_{50}) = \frac{1}{50}\Big(E(X_1) + \cdots + E(X_{50})\Big) = \frac{1}{50} \times 50 \times 22$$

$$\boxed{E(M_{50}) = 22}$$

Variance — ici, en revanche, l'indépendance est indispensable : elle seule autorise $V(X_1 + \cdots + X_n) = \sum V(X_i)$. Et le facteur $\frac{1}{50}$ passe au carré :

$$V(M_{50}) = \frac{1}{50^2} \times \sum_{i=1}^{50} V(X_i) = \frac{1}{2500} \times 50 \times 65 = \frac{65}{50}$$

$$\boxed{V(M_{50}) = 1{,}3}$$

C'est le cœur de la loi des grands nombres : l'espérance ne bouge pas, mais la variance est divisée par $50$. La moyenne observée se resserre autour de $22$.

c. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Elle s'écrit, pour $\delta > 0$ :

$$P\Big(\left|M_{50} - E(M_{50})\right| \geqslant \delta\Big) \leqslant \frac{V(M_{50})}{\delta^2}$$

Avec $E(M_{50}) = 22$ et $\delta = 3$ :

$$P\Big(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\Big) \leqslant \frac{1{,}3}{3^2} = \frac{1{,}3}{9}$$

Mise sous forme fractionnaire — c'est ce que l'énoncé attend :

$$\frac{1{,}3}{9} = \frac{13/10}{9} = \frac{13}{90}$$

$$\boxed{P\Big(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\Big) \leqslant \frac{13}{90}}$$ $\blacksquare$

d. Probabilité de l'intervalle. Il faut voir que $]19\,;25[$ est centré sur $22$ :

$$22 - 19 = 3 \qquad \text{et} \qquad 25 - 22 = 3$$

Donc « $19 < M_{50} < 25$ » équivaut exactement à « $\left|M_{50} - 22\right| < 3$ ». On passe à l'évènement contraire de celui de la question c :

$$P(19 < M_{50} < 25) = 1 - P\Big(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\Big) \geqslant 1 - \frac{13}{90} = \frac{77}{90}$$

$$\frac{77}{90} = 0{,}8555\ldots$$

$$\boxed{P(19 < M_{50} < 25) \geqslant \frac{77}{90} \approx 0{,}856 > 0{,}85}$$ $\blacksquare$

Interprétation : sur $50$ matchs, il y a plus de $85\ \%$ de chances que la moyenne de points de Victor soit comprise entre $19$ et $25$.

$$\boxed{\textbf{L'affirmation est FAUSSE}}$$

Pour la réfuter, il suffit d'exhiber UN entier $n$ qui convient.

Généralisation de la question 1. Pour un entier $n$ quelconque, le même calcul donne :

$$E(M_n) = 22 \qquad V(M_n) = \frac{65}{n}$$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta = 3$ s'écrit alors :

$$P\Big(\left|M_n - 22\right| \geqslant 3\Big) \leqslant \frac{V(M_n)}{9} = \frac{65}{9n}$$

Il suffit donc que la MAJORATION soit inférieure à $0{,}01$ :

$$\frac{65}{9n} < 0{,}01 \iff 9n > \frac{65}{0{,}01} = 6\,500 \iff n > \frac{6\,500}{9} \approx 722{,}2$$

Conclusion. Prenons par exemple $n = 723$ :

$$P\Big(\left|M_{723} - 22\right| \geqslant 3\Big) \leqslant \frac{65}{9 \times 723} = \frac{65}{6\,507} \approx 0{,}00999 < 0{,}01$$

$$\boxed{n = 723 \text{ convient : l'affirmation est donc FAUSSE}}$$

Ce que cela dit vraiment. L'affirmation prétend qu'on ne peut jamais rendre cette probabilité aussi petite qu'on veut. C'est exactement le contraire de la loi des grands nombres : comme $V(M_n) = \dfrac{65}{n} \to 0$, la majoration $\dfrac{65}{9n}$ tend vers $0$, et l'on peut donc descendre sous n'importe quel seuil en jouant assez de matchs.

Le point de méthode : pour réfuter une affirmation universelle (« il n'existe aucun… »), il n'est pas nécessaire de trouver le plus petit $n$ qui convient — un seul contre-exemple suffit. Ici on en obtient un gratuitement en résolvant l'inéquation.

a. Premiers termes.

$$u_1 = \sqrt{u_0} = \boxed{\sqrt{2}} \approx 1{,}414$$

$$u_2 = \sqrt{u_1} = \sqrt{\sqrt{2}} = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \boxed{2^{\frac{1}{4}}} \approx 1{,}189$$

La forme générale se devine déjà : $u_n = 2^{\frac{1}{2^n}}$. Chaque racine carrée divise l'exposant par deux.

b. Conjecture. À la calculatrice :



$$\boxed{\text{La suite semble DÉCROISSANTE et converger vers } 1}$$

Intuition : prendre la racine carrée d'un nombre supérieur à $1$ le rapproche de $1$ tout en le gardant supérieur à $1$.

a. Récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ ».

Initialisation ($n = 0$). $u_0 = 2$ et $u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}414$. On a bien

$$1 \leqslant 1{,}414 \leqslant 2 \qquad \checkmark$$

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : elle conserve l'ordre. On peut donc l'appliquer à l'encadrement :

$$\sqrt{1} \leqslant \sqrt{u_{n+1}} \leqslant \sqrt{u_n}$$

Or $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{u_{n+1}} = u_{n+2}$ et $\sqrt{u_n} = u_{n+1}$, par définition de la suite :

$$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n$. $\blacksquare$

b. Convergence. L'encadrement contient deux informations :

• $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$ : la suite est décroissante ;
• $u_n \geqslant 1$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $1$.

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

$$\boxed{(u_n) \text{ converge vers une limite } \ell}$$

c. Résolution de $\sqrt{x} = x$ sur $[0\,;+\infty[$. On élève au carré — c'est licite car les deux membres sont positifs :

$$\sqrt{x} = x \iff x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x\,(x - 1) = 0$$

$$\boxed{x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1}$$

Surtout ne pas diviser par $x$ : on perdrait la solution $x = 0$.

d. Limite de la suite. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0\,;+\infty[$. En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$, la limite $\ell$ est un point fixe :

$$\ell = \sqrt{\ell}$$

D'après la question c, $\ell = 0$ ou $\ell = 1$.

Il faut trancher. L'encadrement de la question a donne $u_n \geqslant 1$ pour tout $n$, donc par passage à la limite $\ell \geqslant 1$. La valeur $\ell = 0$ est donc impossible.

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 1}$$

La conjecture de la question 1.b est confirmée.

a. Nature de $(v_n)$. On calcule $v_{n+1}$ en utilisant la relation de récurrence, puis la propriété $\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ :

$$v_{n+1} = \ln(u_{n+1}) = \ln\left(\sqrt{u_n}\right) = \ln\left(u_n^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\ln(u_n)$$

$$\boxed{v_{n+1} = \frac{1}{2}\,v_n}$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$, de premier terme

$$v_0 = \ln(u_0) = \ln 2$$ $\blacksquare$

C'est tout le génie de la méthode : le logarithme transforme une racine carrée — opération pénible — en une division par deux. La suite, intraitable au départ, devient géométrique.

b. Expression de $v_n$. Pour une suite géométrique, $v_n = v_0 \times q^{\,n}$ :

$$\boxed{v_n = \ln(2) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{\ln 2}{2^{\,n}}}$$

c. La relation clé. Par définition, $v_n = \ln(u_n)$. En combinant avec la question b :

$$\ln(u_n) = \frac{\ln 2}{2^{\,n}}$$

On multiplie les deux membres par $2^{\,n}$ :

$$\boxed{\ln(2) = 2^{\,n}\,\ln(u_n)}$$ $\blacksquare$

Pourquoi cette relation est précieuse. Elle exprime $\ln 2$ à l'aide de $\ln(u_n)$ — et comme $u_n \to 1$, l'argument du logarithme devient très proche de $1$. Or c'est précisément près de $1$ que $\ln$ est le plus facile à approcher, comme le montre la question suivante.

Pourquoi l'approximation $\ln(x) \approx x - 1$ est légitime. La tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$ (puisque $\ln 1 = 0$ et $\ln'(1) = 1$). Au voisinage immédiat de $1$, la courbe et sa tangente sont pratiquement confondues.

a. Recherche du plus petit $k$. Comme $u_k = 2^{\frac{1}{2^k}} > 1$ toujours, la condition $u_k > 0{,}99$ est automatiquement vérifiée. Il ne reste qu'à obtenir $u_k < 1{,}01$.

À la calculatrice, on itère la racine carrée à partir de $2$ :



$$\boxed{k = 7 \qquad u_7 \approx 1{,}00543}$$

Le rang $6$ échoue de très peu ($1{,}0109$ contre $1{,}01$) — d'où l'intérêt de calculer, plutôt que d'estimer.

b. Approximation de $\ln(u_7)$. Puisque $u_7 \in\, ]0{,}99\,;1{,}01[$, on applique l'approximation $\ln(x) \approx x - 1$ :

$$\boxed{\ln(u_7) \approx 1{,}00543 - 1 = 0{,}00543}$$

c. Approximation de $\ln 2$. On applique la relation de la question 1.c avec $n = 7$ :

$$\ln(2) = 2^{\,7} \times \ln(u_7) = 128 \times \ln(u_7)$$

$$\ln(2) \approx 128 \times 0{,}00543$$

$$\boxed{\ln(2) \approx 0{,}695}$$

Qualité de l'approximation. La valeur exacte est $\ln 2 = 0{,}69315\ldots$ ; on obtient $0{,}695$, soit une erreur d'environ $0{,}3\ \%$ — avec pour seuls outils sept racines carrées et une soustraction.

C'est là toute l'élégance de la méthode de Briggs : au XVIᵉ siècle, sans calculatrice ni série entière, on savait déjà extraire des racines carrées à la main. Briggs a bâti sur cette seule opération les premières tables de logarithmes — celles qui ont servi aux astronomes et aux navigateurs pendant trois siècles.

Ce que fait la boucle. Elle remplace $a$ par sa racine carrée, encore et encore, jusqu'à ce que $a$ descende sous $1{,}01$ — c'est-à-dire jusqu'à entrer dans la zone où l'approximation $\ln(x) \approx x - 1$ est valable. La variable n compte le nombre de racines carrées effectuées.

En sortie de boucle, la variable a contient donc $u_n$, avec $u_n$ construite à partir de la valeur initiale de $a$. La relation de la question 1.c, généralisée à un premier terme $a$ quelconque, s'écrit :

$$\ln(a_{\text{initial}}) = 2^{\,n} \times \ln(a_{\text{final}})$$

Et comme $a_{\text{final}} < 1{,}01$, on peut y appliquer l'approximation par la tangente :

$$\ln(a_{\text{final}}) \approx a_{\text{final}} - 1$$

D'où la ligne manquante :

$$\boxed{\texttt{L = 2**n * (a - 1)}}$$

Algorithme complet :

from math import *
def Briggs(a):
n = 0
while a >= 1.01 :
a = sqrt(a)
n = n + 1
L = 2**n * (a - 1)
return L

Vérification avec $a = 2$. La boucle tourne $7$ fois (question 2.a), $a$ vaut alors $1{,}005430$, et

$$L = 2^{7} \times (1{,}005430 - 1) = 128 \times 0{,}005430 \approx 0{,}695$$

C'est bien l'approximation de $\ln 2$ trouvée à la question 2.c ✓

Le piège : la variable a est écrasée à chaque tour de boucle. En sortie, elle ne contient plus la valeur initiale — mais c'est justement ce qu'on veut, puisque c'est $a_{\text{final}}$ qui intervient dans la formule.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Méthode : on calcule les coordonnées des deux membres et on compare. Se repérer dans un cube « à l'œil » est le meilleur moyen de se tromper.

Membre de gauche.

$$\vec{JH} = H - J = \begin{pmatrix}0 - 1\\1 - 0\\1 - \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Membre de droite, terme par terme :

$$\vec{BI} = I - B = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} - 1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\0\\0\end{pmatrix} \quad\text{donc}\quad 2\,\vec{BI} = \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$$

$$\vec{DM} = M - D = \begin{pmatrix}0 - 0\\1 - 1\\\tfrac{1}{2} - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

$$\vec{CB} = B - C = \begin{pmatrix}1 - 1\\0 - 1\\0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix} \quad\text{donc}\quad -\vec{CB} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Somme :

$$2\,\vec{BI} + \vec{DM} - \vec{CB} = \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

$$\boxed{2\,\vec{BI} + \vec{DM} - \vec{CB} = \vec{JH}}$$

Les deux vecteurs coïncident : l'affirmation est vraie.

Attention au signe : $-\vec{CB} = \vec{BC}$. Beaucoup d'élèves écrivent $\vec{CB} = (0\,;1\,;0)$ au lieu de $(0\,;-1\,;0)$ et concluent à tort.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Rappel. Trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire si aucun ne s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.

Coordonnées.

$$\vec{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \vec{AH}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

La relation saute aux yeux :

$$\vec{AB} + \vec{AH} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \vec{AG}$$

$$\boxed{\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AH}}$$

Le vecteur $\vec{AG}$ est donc une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ : les trois vecteurs sont coplanaires, et ne peuvent pas former une base de l'espace.

Interprétation géométrique. Les points $A$, $B$, $H$ et $G$ appartiennent tous au même plan — le plan $(ABGH)$, qui est un plan diagonal du cube. Trois vecteurs contenus dans un même plan ne peuvent évidemment pas engendrer tout l'espace.

Le réflexe : avant de calculer un déterminant, chercher une relation évidente entre les coordonnées. Ici $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AH}$ se lit directement, et règle la question en une ligne.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Coordonnées des deux vecteurs.

$$\vec{IB} = B - I = \begin{pmatrix}1 - \tfrac{1}{2}\\0 - 0\\0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\0\\0\end{pmatrix}$$

$$\vec{LM} = M - L = \begin{pmatrix}0 - \tfrac{1}{2}\\1 - 1\\\tfrac{1}{2} - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\0\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Produit scalaire. Le repère étant orthonormé, on multiplie les coordonnées deux à deux :

$$\vec{IB} \cdot \vec{LM} = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \times 0 + 0 \times \frac{1}{2}$$

$$\vec{IB} \cdot \vec{LM} = -\frac{1}{4} + 0 + 0$$

$$\boxed{\vec{IB} \cdot \vec{LM} = -\frac{1}{4}}$$

L'affirmation est vraie.

Interprétation : le produit scalaire est négatif, donc l'angle entre $\vec{IB}$ et $\vec{LM}$ est obtus. C'est cohérent : $\vec{IB}$ pointe vers les $x$ croissants, tandis que $\vec{LM}$ pointe vers les $x$ décroissants.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Le critère. Une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan — autrement dit si leur produit scalaire est nul.

Les deux vecteurs.

$$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}5 - 2\\-3 - 0\\7 - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-3\\8\end{pmatrix} \qquad \vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$$

(le vecteur normal se lit directement sur les coefficients de l'équation)

Produit scalaire.

$$\vec{AB} \cdot \vec{n} = 3 \times 2 + (-3) \times (-1) + 8 \times 3 = 6 + 3 + 24$$

$$\boxed{\vec{AB} \cdot \vec{n} = 33 \neq 0}$$

Le produit scalaire n'est pas nul : la droite $(AB)$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal{P}$. Elle est au contraire sécante à ce plan.

Attention à ne pas confondre les deux critères :
• droite parallèle au plan $\iff \vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ ;
• droite orthogonale au plan $\iff \vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires.

Les inverser est une erreur classique.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Deux conditions à vérifier.

Condition 1 — $\mathcal{P}'$ est-il parallèle à $\mathcal{P}$ ? Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

$$\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} \qquad \vec{n'}\begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix}$$

$$\vec{n'} = -\vec{n}$$

Ils sont colinéaires ✓ Les plans sont donc bien parallèles.

Le signe $-$ ne change rien : un vecteur normal est défini à un facteur non nul près. L'équation $-2x + y - 3z + 34 = 0$ décrit le même « type » de plan que $2x - y + 3z - 34 = 0$.

Condition 2 — $\mathcal{P}'$ passe-t-il par $B(5\,;-3\,;7)$ ? On injecte les coordonnées de $B$ dans l'équation :

$$-2 \times 5 + (-3) - 3 \times 7 + 34 = -10 - 3 - 21 + 34$$

$$= -34 + 34 = 0 \qquad \checkmark$$

Les coordonnées de $B$ vérifient l'équation : le plan passe bien par $B$.

Les deux conditions sont remplies : l'affirmation est vraie.

Piège possible : un candidat pressé pourrait rejeter l'affirmation en voyant les signes opposés de $\vec{n'}$ et $\vec{n}$, en croyant à tort que les vecteurs normaux doivent être égaux. Ils doivent seulement être colinéaires.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

On applique la formule de la distance d'un point à un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ :

$$d(A\,;\mathcal{P}) = \frac{\left|a\,x_A + b\,y_A + c\,z_A + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Ici $\mathcal{P} : 2x - y + 3z + 6 = 0$, donc $a = 2$, $b = -1$, $c = 3$, $d = 6$, et $A(2\,;0\,;-1)$.

Numérateur :

$$\left|2 \times 2 + (-1) \times 0 + 3 \times (-1) + 6\right| = \left|4 - 0 - 3 + 6\right| = |7| = 7$$

La valeur absolue est indispensable : une distance est toujours positive.

Dénominateur :

$$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$

Conclusion — il faut rationaliser pour reconnaître la forme attendue :

$$d(A\,;\mathcal{P}) = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$

$$\boxed{d(A\,;\mathcal{P}) = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87}$$

L'affirmation est vraie.

L'étape que beaucoup ratent : s'arrêter à $\dfrac{7}{\sqrt{14}}$ et conclure « ce n'est pas la même chose ». Or $\dfrac{7}{\sqrt{14}} = \dfrac{7}{\sqrt{14}} \times \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \dfrac{7\sqrt{14}}{14} = \dfrac{\sqrt{14}}{2}$, puisque $\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Méthode. Deux droites sont non coplanaires lorsqu'elles ne sont ni parallèles, ni sécantes. Il faut donc chercher un point commun : si le système admet une solution, elles sont sécantes, donc coplanaires.

Les vecteurs directeurs.

$$\vec{AB}\begin{pmatrix}3\\-3\\8\end{pmatrix} \qquad \vec{v}\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}$$

Ils ne sont pas colinéaires ($\vec{v}$ a sa deuxième coordonnée nulle, pas $\vec{AB}$). Les droites ne sont donc pas parallèles.

Recherche d'un point d'intersection. Un point de $(AB)$ s'écrit $A + s\,\vec{AB}$, soit $(2 + 3s\,;\ -3s\,;\ -1 + 8s)$. On résout :

$$\left\{\begin{array}{l} 2 + 3s = -12 + 2k \\ -3s = 6 \\ -1 + 8s = 3 - 5k \end{array}\right.$$

La deuxième équation est la plus simple — on commence par elle :

$$-3s = 6 \iff s = -2$$

On reporte dans la première :

$$2 + 3 \times (-2) = -4 = -12 + 2k \iff 2k = 8 \iff k = 4$$

Vérification dans la troisième équation — c'est elle qui décide :

$$-1 + 8 \times (-2) = -17 \qquad \text{et} \qquad 3 - 5 \times 4 = 3 - 20 = -17$$

$$-17 = -17 \qquad \checkmark$$

Le système est compatible : les droites se coupent au point

$$\boxed{I(-4\,;6\,;-17)}$$

Elles sont donc sécantes, et deux droites sécantes sont toujours coplanaires. L'affirmation est fausse.

Le point de bascule : si la troisième équation avait été contradictoire, les droites auraient été non coplanaires et l'affirmation vraie. Il ne faut jamais faire l'économie de cette vérification.

a. Dérivation. C'est un produit $uv$ avec $u = e^{x}$ et $v = \sin(x)$ :

$$u'(x) = e^{x} \qquad v'(x) = \cos(x)$$

$$f'(x) = u'v + uv' = e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x)$$

On factorise par $e^{x}$ :

$$\boxed{f'(x) = e^{x}\left[\sin(x) + \cos(x)\right]}$$ $\blacksquare$

b. Signe de $f'$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. Comme $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$, le signe de $f'$ est celui de $\sin(x) + \cos(x)$.

Or sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ :

• $\sin(x) \geqslant 0$ ;
• $\cos(x) \geqslant 0$.

Leur somme est donc positive. Et elle ne peut pas être nulle : $\sin$ et $\cos$ ne s'annulent jamais en même temps (le seul point où $\sin x = 0$ sur cet intervalle est $x = 0$, où $\cos 0 = 1 \neq 0$).

$$\sin(x) + \cos(x) > 0 \quad \text{sur } \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$$

$$\boxed{f' > 0 \ \text{ donc } f \text{ est strictement croissante sur } \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]}$$ $\blacksquare$

L'argument à ne pas bâcler : dire simplement « $\sin$ et $\cos$ sont positifs » donne $f' \geqslant 0$, donc une croissance au sens large. Pour la stricte croissance, il faut ajouter qu'ils ne s'annulent pas simultanément.