Bac Maths 2025 Asie Jour 2

Lecture directe des données du laboratoire :

$$\boxed{P_M(T) = 0{,}999} \qquad \text{(sensibilité du test)}$$

$$\boxed{P_{\overline{M}}(T) = 0{,}005} \qquad \text{(taux de faux positifs)}$$

Ce que ces deux nombres signifient.

• $P_M(T) = 0{,}999$ : sur $1\,000$ malades, le test en détecte $999$. Il ne rate presque personne.
• $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}005$ : sur $1\,000$ bien-portants, $5$ sont déclarés positifs à tort.

Sur le papier, c'est un excellent test. Toute la question de l'exercice est de savoir si cela suffit à le rendre fiable — et la réponse va surprendre.

On en déduit également, par événement contraire :

$$P_M\left(\overline{T}\right) = 0{,}001 \qquad P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right) = 0{,}995$$

La probabilité qu'un individu pris au hasard soit atteint est la proportion de malades dans la population :

$$P(M) = \frac{270\,000}{750\,000} = \frac{27}{75} = \frac{9}{25}$$

$$\boxed{P(M) = 0{,}36}$$

Interprétation : $36\ \%$ de la population de l'île a été infectée. C'est une prévalence très élevée — l'épidémie de 2005 fut exceptionnelle.

On en déduit $P\left(\overline{M}\right) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$.

Il s'agit de l'évènement $M \cap T$. On multiplie le long du chemin de l'arbre :

$$P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}36 \times 0{,}999$$

$$\boxed{P(M \cap T) = 0{,}35964}$$

Interprétation : environ $36\ \%$ de la population est à la fois malade et correctement dépistée. Ce sont les vrais positifs.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales.

$$P(T) = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right)$$

Premier terme (question 3) : $0{,}35964$ — les vrais positifs.

Second terme — les faux positifs :

$$P\left(\overline{M} \cap T\right) = P\left(\overline{M}\right) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}64 \times 0{,}005 = 0{,}0032$$

Somme :

$$P(T) = 0{,}35964 + 0{,}0032$$

$$\boxed{P(T) = 0{,}36284 \approx 0{,}363}$$

À retenir pour la suite : sur l'ensemble des tests positifs, les faux positifs ne représentent que $0{,}0032$ contre $0{,}35964$ de vrais positifs — soit moins de $1\ \%$. C'est ce rapport qui va déterminer la fiabilité.

Attention au sens du conditionnement. On cherche $P_T(M)$ — le test est positif, on remonte vers la maladie — et non $P_M(T)$, qui est donné par l'énoncé. C'est la probabilité inverse, et c'est elle qui intéresse le patient : « mon test est positif, suis-je vraiment malade ? »

$$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}35964}{0{,}36284}$$

$$P_T(M) = 0{,}99118\ldots$$

$$\boxed{P_T(M) \approx 0{,}991}$$

Le test est-il fiable ? Le critère de l'énoncé est $P_T(M) > 0{,}95$.

$$0{,}991 > 0{,}95 \qquad \checkmark$$

$$\boxed{\text{OUI, le test est fiable dans cette population}}$$

Interprétation : parmi les individus déclarés positifs, plus de $99\ \%$ sont réellement atteints. Le médecin peut annoncer le résultat en confiance.

Mais attention à ne pas généraliser : ce résultat tient à la prévalence très élevée de $36\ \%$. La partie B va montrer que le même test, appliqué à une population où la maladie est rare, cesse d'être fiable.

a. Probabilité d'un test positif. L'arbre est le même, avec $P(M) = p$ et $P\left(\overline{M}\right) = 1 - p$. Formule des probabilités totales :

$$P(T) = \underbrace{p \times 0{,}999}_{\text{vrais positifs}} + \underbrace{(1 - p) \times 0{,}005}_{\text{faux positifs}}$$

$$P(T) = 0{,}999\,p + 0{,}005 - 0{,}005\,p$$

$$\boxed{P(T) = 0{,}994\,p + 0{,}005}$$

b. Probabilité inverse.

$$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}999\,p}{0{,}994\,p + 0{,}005}$$

Mise sous la forme demandée. On multiplie numérateur et dénominateur par $1\,000$ — cela ne change pas la valeur du quotient et fait disparaître les décimales :

$$P_T(M) = \frac{0{,}999\,p \times 1\,000}{\left(0{,}994\,p + 0{,}005\right) \times 1\,000}$$

$$\boxed{P_T(M) = \frac{999\,p}{994\,p + 5}}$$ $\blacksquare$

Contrôle avec la partie A, où $p = 0{,}36$ :

$$\frac{999 \times 0{,}36}{994 \times 0{,}36 + 5} = \frac{359{,}64}{362{,}84} = 0{,}9912 \qquad \checkmark$$

Conforme à la question A.5.

Mise en inéquation. Le critère de fiabilité est $P_T(M) > 0{,}95$ :

$$\frac{999\,p}{994\,p + 5} > 0{,}95$$

Attention avant de multiplier en croix. Le dénominateur $994p + 5$ est strictement positif (car $p \geqslant 0$). On peut donc multiplier les deux membres par lui sans changer le sens de l'inégalité :

$$999\,p > 0{,}95\,(994\,p + 5)$$

Développement :

$$999\,p > 944{,}3\,p + 4{,}75$$

On regroupe les $p$ :

$$999\,p - 944{,}3\,p > 4{,}75 \iff 54{,}7\,p > 4{,}75$$

$$p > \frac{4{,}75}{54{,}7} = \frac{95}{1\,094} \approx 0{,}0868$$

$$\boxed{\text{Le test est fiable si et seulement si } p > \frac{95}{1\,094} \approx 8{,}7\ \%}$$

Ce résultat est le cœur de l'exercice — et il est contre-intuitif.

Ce test détecte $99{,}9\ \%$ des malades et ne se trompe que $5$ fois sur $1\,000$ chez les bien-portants. Sur le papier, il est excellent. Et pourtant :

> Si moins de $8{,}7\ \%$ de la population est atteinte, il n'est PAS fiable au sens de l'énoncé.

Pourquoi ? Imaginons une maladie touchant $1\ \%$ de la population, sur $100\,000$ personnes :

• $1\,000$ malades, dont $999$ testés positifs ;
• $99\,000$ bien-portants, dont $0{,}005 \times 99\,000 = 495$ testés positifs à tort.

Sur $999 + 495 = 1\,494$ tests positifs, seuls $999$ correspondent à de vrais malades, soit $67\ \%$ — bien en dessous du seuil de $95\ \%$. Un tiers des personnes annoncées positives sont en réalité saines.

C'est le paradoxe du dépistage : quand la maladie est rare, les bien-portants sont si nombreux que leurs quelques faux positifs finissent par noyer les vrais malades. C'est exactement la raison pour laquelle on ne dépiste pas systématiquement les maladies rares dans la population générale, même avec d'excellents tests.

Réflexe : passer par l'évènement contraire. « Au moins un individu atteint » est le contraire de « aucun individu atteint », qui ne correspond qu'à un seul cas, $X = 0$ :

$$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$$

Calcul de $P(X = 0)$. D'après la formule de la loi binomiale :

$$P(X = 0) = \binom{n}{0} \times 0{,}36^{\,0} \times 0{,}64^{\,n} = 0{,}64^{\,n}$$

Interprétation directe : aucun malade signifie que les $n$ individus sont tous sains, chacun avec probabilité $0{,}64$.

Mise en inéquation.

$$P(X \geqslant 1) > 0{,}99 \iff 1 - 0{,}64^{\,n} > 0{,}99 \iff 0{,}64^{\,n} < 0{,}01$$

Résolution par le logarithme. On compose par $\ln$, strictement croissante (le sens est conservé) :

$$n\ln(0{,}64) < \ln(0{,}01)$$

Le point délicat : $\ln(0{,}64) < 0$ (car $0{,}64 < 1$). En divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse :

$$n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)} = \frac{-4{,}6052}{-0{,}4463} \approx 10{,}32$$

Comme $n$ est un entier :

$$\boxed{n = 11 \text{ individus}}$$

Vérification, indispensable :
• $0{,}64^{10} \approx 0{,}01153 > 0{,}01$ : insuffisant ;
• $0{,}64^{11} \approx 0{,}00738 < 0{,}01$ ✓

Interprétation : il suffit d'interroger 11 personnes pour être sûr à $99\ \%$ d'en trouver au moins une infectée. C'est peu — et cela mesure la violence de l'épidémie de 2005.

L'erreur classique : oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par un logarithme négatif. On obtiendrait $n < 10{,}32$, donc $n = 10$ — et une réponse fausse.

a. Nature de $(v_n)$. On calcule $v_{n+1}$ en revenant à sa définition, puis en utilisant la relation de récurrence sur $(u_n)$ :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = \left(\frac{1}{2}u_n + 10\right) - 20 = \frac{1}{2}u_n - 10$$

L'étape décisive — faire apparaître $v_n$ en factorisant par $\dfrac{1}{2}$ :

$$v_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n - 20\right) = \frac{1}{2}\,v_n$$

$$\boxed{v_{n+1} = \frac{1}{2}\,v_n}$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$, de premier terme

$$v_0 = u_0 - 20 = 30 - 20 = 10$$ $\blacksquare$

Pourquoi $20$ ? Ce n'est pas un hasard : $20$ est le point fixe de la relation, la solution de $x = \frac{1}{2}x + 10$. Retrancher le point fixe est ce qui transforme une suite arithmético-géométrique en une suite géométrique.

b. Expression de $v_n$. Pour une suite géométrique, $v_n = v_0 \times q^{\,n}$ :

$$\boxed{v_n = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$$

c. Expression de $u_n$. Par définition, $v_n = u_n - 20$, donc $u_n = v_n + 20$ :

$$\boxed{u_n = 20 + 10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$$ $\blacksquare$

Contrôle :
• $u_0 = 20 + 10 \times 1 = 30$ ✓
• $u_1 = 20 + 10 \times 0{,}5 = 25$ ✓
• $u_2 = 20 + 10 \times 0{,}25 = 22{,}5$ ✓

On utilise la forme explicite $u_n = 20 + 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.

Limite de la partie géométrique. La raison $q = \dfrac{1}{2}$ vérifie $-1 < q < 1$, donc :

$$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 0$$

Par somme :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 20 + 10 \times 0 = 20}$$

Cohérent avec le point fixe : la limite est bien la solution de $\ell = \frac{1}{2}\ell + 10$.

La suite décroît vers $20$, sans jamais l'atteindre — puisque $10\left(\frac{1}{2}\right)^n$ reste strictement positif.

On applique la relation avec $n = 0$, en utilisant $w_0 = 45$ et $u_0 = 30$ :

$$w_1 = \frac{1}{2}w_0 + \frac{1}{2}u_0 + 7 = \frac{1}{2} \times 45 + \frac{1}{2} \times 30 + 7$$

$$w_1 = 22{,}5 + 15 + 7$$

$$\boxed{w_1 = 44{,}5}$$ $\blacksquare$

Le point crucial pour la suite : dans le calcul de $w_1$, c'est bien $u_{\mathbf{0}} = 30$ qui intervient — pas $u_1 = 25$. La relation fait apparaître $u_n$, pas $u_{n+1}$. Cette remarque est exactement ce qui permet de trouver le bug de l'algorithme à la question suivante.

Traçons l'exécution de suite(1). Au départ, U = 30 (c'est $u_0$) et W = 45 (c'est $w_0$). Un seul tour de boucle :



$$\texttt{suite(1)} = 42 \neq 44{,}5$$

Le bug, identifié. La ligne 6 utilise la valeur de U après sa mise à jour, c'est-à-dire $u_1$. Or la relation de récurrence exige $u_{\mathbf{0}}$ :

$$w_1 = \frac{1}{2}w_0 + \frac{1}{2}\,u_{\mathbf{0}} + 7 \qquad \text{et NON} \qquad \frac{1}{2}w_0 + \frac{1}{2}\,u_{\mathbf{1}} + 7$$

$$\boxed{\text{La ligne 5 ÉCRASE } u_n \text{ avant que la ligne 6 n'en ait besoin}}$$

La correction : échanger les lignes 5 et 6. Il faut calculer W d'abord, tant que U contient encore l'ancienne valeur $u_n$ ; on met U à jour ensuite.

def suite(n):
U = 30
W = 45
for i in range(1, n+1):
W = W/2 + U/2 + 7
U = U/2 + 10
return W

Vérification de suite(1) après correction :

$$W = \frac{45}{2} + \frac{30}{2} + 7 = 22{,}5 + 15 + 7 = 44{,}5 \qquad \checkmark$$

C'est un bug classique en programmation : écraser une variable avant d'avoir fini de s'en servir. L'ordre des affectations n'est pas neutre — contrairement à ce que suggère l'écriture mathématique, où $u_n$ et $w_n$ semblent se calculer « en même temps ».

Autre correction possible : mémoriser l'ancienne valeur dans une variable temporaire (Uold = U) avant de mettre U à jour. L'échange des lignes est plus simple.

a. Récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $w_n = 10n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} + 11\left(\frac{1}{2}\right)^{n} + 34$ ».

Initialisation ($n = 0$).

$$10 \times 0 \times 1 + 11 \times 1 + 34 = 0 + 11 + 34 = 45 = w_0 \qquad \checkmark$$

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie. Calculons $w_{n+1}$ en utilisant la relation de récurrence et la forme explicite de $u_n$ (partie A) :

$$w_{n+1} = \frac{1}{2}\,w_n + \frac{1}{2}\,u_n + 7$$

Premier morceau — on applique l'hypothèse de récurrence :

$$\frac{1}{2}\,w_n = \frac{1}{2}\left[10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} + 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} + 34\right] = 10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 17$$

(car $\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$)

Second morceau — avec $u_n = 20 + 10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ :

$$\frac{1}{2}\,u_n = 10 + 5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$$

Somme des trois termes :

$$w_{n+1} = 10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 17 + 10 + 5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} + 7$$

$$w_{n+1} = 10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 34 + 5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$$

L'astuce finale. Le terme résiduel $5\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ doit se fondre dans le terme en $n$. Or :

$$5\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 10 \times \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 10\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

En le regroupant avec le premier terme :

$$10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 10\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} = 10(n+1)\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}$$

$$w_{n+1} = 10(n+1)\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} + 34$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\blacksquare$

Contrôle : $w_1 = 10 \times 1 \times 0{,}5 + 11 \times 0{,}5 + 34 = 5 + 5{,}5 + 34 = 44{,}5$ ✓

b. Convergence de $(w_n)$. On traite les trois termes séparément.

Premier terme — le théorème des gendarmes. L'encadrement admis donne, pour $n \geqslant 4$ :

$$0 \leqslant 10n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \frac{10}{n}$$

Or les deux bornes tendent vers $0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} 0 = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{10}{n} = 0$$

D'après le théorème des gendarmes :

$$\lim_{n \to +\infty} 10n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 0$$

Deuxième terme. La raison $\frac{1}{2}$ vérifie $-1 < \frac{1}{2} < 1$, donc

$$\lim_{n \to +\infty} 11\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 0$$

Troisième terme : la constante $34$.

Par somme :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} w_n = 0 + 0 + 34 = 34}$$

$$\boxed{\text{La suite } (w_n) \text{ CONVERGE vers } 34}$$

Pourquoi le théorème des gendarmes est indispensable ici : le terme $10n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ est une forme indéterminée $\infty \times 0$ — le facteur $10n$ tend vers $+\infty$ pendant que $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ tend vers $0$. L'encadrement admis lève l'indétermination : c'est l'exponentielle décroissante qui l'emporte sur la croissance linéaire.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

L'affirmation contient DEUX assertions — il faut les vérifier toutes les deux.

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Première assertion : $(d)$ est-elle orthogonale à $P$ ?

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

$$\vec{u}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\\tfrac{1}{2}\\1\end{pmatrix} \ \text{(coefficients de } t) \qquad \vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} \ \text{(coefficients de l'équation)}$$

Les fractions rendent la comparaison illisible — on multiplie $\vec{u}$ par $6$ (un vecteur directeur est défini à un facteur non nul près) :

$$6\,\vec{u} = \begin{pmatrix}6 \times \tfrac{1}{3}\\6 \times \tfrac{1}{2}\\6 \times 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} = \vec{n}$$

$$\boxed{6\,\vec{u} = \vec{n} \ : \ \text{les vecteurs sont colinéaires}}$$

La droite $(d)$ est donc bien orthogonale au plan $P$ ✓

Le sujet a délibérément écrit le vecteur directeur avec des fractions pour masquer la colinéarité. Multiplier par le dénominateur commun la fait apparaître immédiatement.

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Seconde assertion : $(d)$ coupe-t-elle $P$ en $H$ ?

Il faut vérifier deux choses : que $H$ est sur $(d)$, et que $H$ est sur $P$.

$H(-6\,;2\,;2)$ appartient-il à $(d)$ ? On cherche $t$ tel que :

$$\left\{\begin{array}{l} -8 + \tfrac{1}{3}t = -6 \\ -1 + \tfrac{1}{2}t = 2 \\ -4 + t = 2 \end{array}\right.$$

• première équation : $\tfrac{1}{3}t = 2$, donc $t = 6$ ;
• deuxième : $\tfrac{1}{2}t = 3$, donc $t = 6$ ✓
• troisième : $t = 6$ ✓

Les trois équations donnent le MÊME $t = 6$ : le point $H$ appartient bien à $(d)$ ✓

$H$ appartient-il à $P$ ? On injecte ses coordonnées dans l'équation :

$$2 \times (-6) + 3 \times 2 + 6 \times 2 - 6 = -12 + 6 + 12 - 6 = 0 \qquad \checkmark$$

Conclusion. $(d)$ est orthogonale à $P$ (donc sécante), et $H$ appartient à la fois à $(d)$ et à $P$ : c'est nécessairement leur unique point d'intersection.

$$\boxed{(d) \cap P = \{H\}}$$

Les deux assertions sont vraies : l'affirmation est vraie.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Les vecteurs partant de $C(3\,;0\,;0)$, sommet de l'angle :

$$\vec{CD} = D - C = \begin{pmatrix}0 - 3\\2 - 0\\0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}$$

$$\vec{CH} = H - C = \begin{pmatrix}-6 - 3\\2 - 0\\2 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\2\\2\end{pmatrix}$$

Produit scalaire.

$$\vec{CD} \cdot \vec{CH} = (-3) \times (-9) + 2 \times 2 + 0 \times 2 = 27 + 4 + 0 = 31$$

Normes.

$$\left\|\vec{CD}\right\| = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13} \approx 3{,}606$$

$$\left\|\vec{CH}\right\| = \sqrt{81 + 4 + 4} = \sqrt{89} \approx 9{,}434$$

Cosinus de l'angle.

$$\cos\widehat{DCH} = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{CH}}{\left\|\vec{CD}\right\| \times \left\|\vec{CH}\right\|} = \frac{31}{\sqrt{13} \times \sqrt{89}} = \frac{31}{\sqrt{1\,157}} \approx \frac{31}{34{,}015} \approx 0{,}9114$$

$$\widehat{DCH} = \arccos(0{,}9114) \approx 24{,}3°$$

$$\boxed{\widehat{DCH} \approx 24{,}3° \ \neq \ 17{,}3°}$$

L'affirmation est fausse.

Un contrôle rapide avant même de calculer : le cosinus vaut environ $0{,}91$. Or $\cos(17{,}3°) \approx 0{,}955$ et $\cos(24{,}3°) \approx 0{,}911$. La valeur trouvée correspond bien à $24{,}3°$, pas à $17{,}3°$.

L'erreur à éviter : prendre $\vec{DC}$ au lieu de $\vec{CD}$, ou $\vec{HC}$ au lieu de $\vec{CH}$. Les deux vecteurs de l'angle $\widehat{DCH}$ partent du sommet $C$.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Trois choses à vérifier.

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1. Les plans sont-ils sécants ? Ils le sont si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

$$\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} \qquad \vec{n'}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$$

$$\frac{2}{1} = 2 \qquad \text{mais} \qquad \frac{3}{-2} = -1{,}5$$

Les rapports diffèrent : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans sont donc sécants, et leur intersection est une droite ✓

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2. $\Delta$ est-elle incluse dans $P$ ? Un point courant de $\Delta$ a pour coordonnées $M(3 - 3t\,;\ 0\,;\ t)$. On l'injecte dans l'équation de $P$ :

$$2(3 - 3t) + 3 \times 0 + 6t - 6 = 6 - 6t + 0 + 6t - 6 = 0$$

Le résultat est nul pour TOUT $t$ : chaque point de $\Delta$ appartient à $P$ ✓

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3. $\Delta$ est-elle incluse dans $P'$ ? Même méthode :

$$(3 - 3t) - 2 \times 0 + 3t - 3 = 3 - 3t - 0 + 3t - 3 = 0$$

À nouveau nul pour tout $t$ : chaque point de $\Delta$ appartient à $P'$ ✓

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Conclusion. La droite $\Delta$ est contenue à la fois dans $P$ et dans $P'$. Or l'intersection de deux plans sécants est exactement une droite. Donc :

$$\boxed{P \cap P' = \Delta}$$

L'affirmation est vraie.

Le point de méthode : il ne faut pas essayer de résoudre le système des deux équations de plans — c'est long et source d'erreurs. Il suffit de vérifier que la droite proposée convient, en montrant que les deux équations sont satisfaites identiquement en $t$.

Et l'argument « deux plans sécants se coupent selon une droite » est indispensable : sans lui, on aurait seulement montré que $\Delta$ est incluse dans l'intersection, pas qu'elle est l'intersection.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Le projeté orthogonal de $H$ sur $(CD)$ est caractérisé par DEUX conditions :

1. il appartient à la droite $(CD)$ ;
2. le vecteur qui le joint à $H$ est orthogonal à $(CD)$.

Il faut vérifier les deux — l'une sans l'autre ne prouve rien.

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Condition 1 : $J$ appartient-il à $(CD)$ ?

Un point de $(CD)$ s'écrit $C + s\,\vec{CD}$, avec $\vec{CD} = \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}$ :

$$M(3 - 3s\,;\ 2s\,;\ 0)$$

On cherche $s$ tel que $M = J\left(-\dfrac{54}{13}\,;\dfrac{62}{13}\,;0\right)$.

La deuxième coordonnée est la plus simple :

$$2s = \frac{62}{13} \iff s = \frac{31}{13}$$

Vérification dans la première :

$$3 - 3 \times \frac{31}{13} = 3 - \frac{93}{13} = \frac{39 - 93}{13} = -\frac{54}{13} \qquad \checkmark$$

Troisième coordonnée : $0 = 0$ ✓

$$\boxed{J \in (CD), \text{ obtenu pour } s = \frac{31}{13}}$$

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Condition 2 : $\vec{HJ}$ est-il orthogonal à $\vec{CD}$ ?

$$\vec{HJ} = J - H = \begin{pmatrix}-\frac{54}{13} - (-6)\\\frac{62}{13} - 2\\0 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{-54 + 78}{13}\\\frac{62 - 26}{13}\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{24}{13}\\\frac{36}{13}\\-2\end{pmatrix}$$

Produit scalaire avec $\vec{CD}$ :

$$\vec{HJ} \cdot \vec{CD} = \frac{24}{13} \times (-3) + \frac{36}{13} \times 2 + (-2) \times 0$$

$$= -\frac{72}{13} + \frac{72}{13} + 0$$

$$\boxed{\vec{HJ} \cdot \vec{CD} = 0}$$

Les vecteurs sont orthogonaux ✓

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Les deux conditions sont remplies :

$$\boxed{J \text{ est bien le projeté orthogonal de } H \text{ sur } (CD)}$$

Pourquoi les deux conditions sont nécessaires : un point de $(CD)$ quelconque ne convient pas (il faut l'orthogonalité), et un point vérifiant $\vec{HJ} \cdot \vec{CD} = 0$ mais hors de la droite ne convient pas non plus. Comparer avec l'affirmation 4 du sujet Asie Jour 1, où le point proposé n'était même pas sur la droite.

Lecture du graphique. La température part de $40$ °C à $t = 0$, monte jusqu'à un maximum d'environ $62$ °C, puis redescend.

On cherche l'instant où la courbe repasse par l'ordonnée $40$ :

$$\boxed{\text{Environ } 3{,}8 \ \text{minutes}}$$

(la partie B, question 2.c, confirmera cette lecture par le calcul : $\alpha \approx 3{,}8$ min)

Ce que décrit le modèle. La réaction est exothermique : elle dégage d'abord de la chaleur, ce qui fait monter la température ; puis les réactifs s'épuisent, le dégagement s'arrête, et le réacteur se refroidit. Au bout d'environ $3{,}8$ minutes, on est revenu à la température de départ — mais la température continue ensuite de descendre, en dessous des $40$ °C initiaux.

On évalue l'expression en $t = 0$, en utilisant $e^{0} = 1$ :

$$f(0) = (a \times 0 + b) \times e^{0} = b \times 1 = b$$

Or l'énoncé donne $f(0) = 40$ :

$$\boxed{b = 40}$$

Interprétation : $b$ est tout simplement la température initiale du réacteur, $40$ °C.

Stratégie. On calcule $f' + 0{,}5f$ à partir de la forme $f(t) = (at + 40)e^{-0{,}5t}$, puis on identifie avec le second membre.

Dérivation — produit de $u = at + 40$ et $v = e^{-0{,}5t}$, avec $u' = a$ et $v' = -0{,}5\,e^{-0{,}5t}$ :

$$f'(t) = a\,e^{-0{,}5t} + (at + 40) \times \left(-0{,}5\,e^{-0{,}5t}\right)$$

On factorise par $e^{-0{,}5t}$ :

$$f'(t) = \Big[a - 0{,}5\,(at + 40)\Big]e^{-0{,}5t}$$

Calcul de $f' + 0{,}5f$ — c'est ici que tout se simplifie :

$$f'(t) + 0{,}5\,f(t) = \Big[a - 0{,}5(at + 40)\Big]e^{-0{,}5t} + 0{,}5\,(at + 40)\,e^{-0{,}5t}$$

$$= \Big[a - \underbrace{0{,}5(at + 40) + 0{,}5(at + 40)}_{\text{s'annulent}}\Big]e^{-0{,}5t}$$

$$\boxed{f'(t) + 0{,}5\,f(t) = a\,e^{-0{,}5t}}$$

Identification. L'équation $(E)$ impose que cette expression soit égale à $60\,e^{-0{,}5t}$ :

$$a\,e^{-0{,}5t} = 60\,e^{-0{,}5t}$$

Comme $e^{-0{,}5t} \neq 0$ pour tout $t$, on peut simplifier :

$$\boxed{a = 60}$$

Expression finale de la fonction température :

$$f(t) = (60\,t + 40)\,e^{-0{,}5t}$$

Remarquable : le terme $b = 40$ disparaît entièrement du calcul de $f' + 0{,}5f$. C'est ce qui permet de déterminer $a$ indépendamment de $b$ — les deux constantes se lisent sur deux informations distinctes (la condition initiale et l'équation différentielle).