Bac Maths 2025 Amérique du Nord J2 secours

Limite en $-\infty$. Analysons chaque morceau :

• $x \to -\infty$ ;
• $e^{-x} \to +\infty$ (car $-x \to +\infty$), donc $x\,e^{-x} \to -\infty$ (négatif × positif) ;
• $2x - 1 \to -\infty$.

Somme de deux termes tendant vers $-\infty$ :

$$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty}$$

Limite en $+\infty$. Le terme $x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^{x}}$ est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, levée par croissance comparée :

$$\frac{x}{e^{x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$$

Et $2x - 1 \to +\infty$. Donc :

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

On dérive terme à terme. Pour $x\,e^{-x}$, c'est un produit $u = x$, $v = e^{-x}$, avec $u' = 1$, $v' = -e^{-x}$ :

$$\left(x\,e^{-x}\right)' = 1 \times e^{-x} + x \times \left(-e^{-x}\right) = (1 - x)\,e^{-x}$$

Et $(2x - 1)' = 2$. D'où :

$$\boxed{f'(x) = (1 - x)\,e^{-x} + 2}$$

On dérive $f'(x) = (1 - x)\,e^{-x} + 2$. La constante $2$ disparaît ; il reste le produit $u = 1 - x$, $v = e^{-x}$, avec $u' = -1$, $v' = -e^{-x}$ :

$$f''(x) = -1 \times e^{-x} + (1 - x) \times \left(-e^{-x}\right)$$

On factorise par $e^{-x}$ :

$$f''(x) = \Big[-1 - (1 - x)\Big]e^{-x} = (-1 - 1 + x)\,e^{-x}$$

$$\boxed{f''(x) = (x - 2)\,e^{-x}}$$ $\blacksquare$

La convexité se lit sur le signe de $f''$. Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f''(x) = (x - 2)\,e^{-x}$ est celui de $(x - 2)$ :

$$x - 2 > 0 \iff x > 2$$



$$\boxed{f \text{ est CONCAVE sur } ]-\infty\,;2] \text{ et CONVEXE sur } [2\,;+\infty[}$$

$f''$ s'annule en changeant de signe en $x = 2$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$.

Les variations de $f'$ se lisent sur le signe de $f''$ (qui est la dérivée de $f'$). D'après la question 4 :

• $f'' < 0$ sur $]-\infty\,;2[$ → $f'$ décroît ;
• $f'' > 0$ sur $]2\,;+\infty[$ → $f'$ croît.

$f'$ admet donc un minimum en $x = 2$.

Valeur exacte de l'extremum :

$$f'(2) = (1 - 2)\,e^{-2} + 2 = -e^{-2} + 2 = 2 - \frac{1}{e^2}$$



$$\boxed{f' \text{ admet un minimum en } x = 2, \text{ égal à } 2 - \dfrac{1}{e^2} \approx 1{,}865}$$

Le raisonnement est subtil. D'après la question 5, le minimum de $f'$ sur $\mathbb{R}$ vaut $f'(2) = 2 - \dfrac{1}{e^2}$.

Or $e^2 \approx 7{,}39$, donc $\dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 < 2$ :

$$f'(2) = 2 - \frac{1}{e^2} > 0$$

Comme $f'(2)$ est le minimum de $f'$, TOUTES les valeurs de $f'$ lui sont supérieures :

$$f'(x) \geqslant f'(2) = 2 - \frac{1}{e^2} > 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$

$$\boxed{f'(x) > 0 \text{ pour tout } x \ \implies \ f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}}$$ $\blacksquare$

Toute la question 5 servait à cela : montrer que $f' > 0$ partout ne se voit pas directement sur l'expression $(1-x)e^{-x} + 2$ (le terme $(1-x)e^{-x}$ peut être négatif). Il fallait passer par le minimum de $f'$ et vérifier qu'il est déjà positif. C'est une belle illustration de l'usage de la dérivée seconde.

On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

• $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (question 6) ;
• $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Or $0$ est compris entre $-\infty$ et $+\infty$. L'équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

$$\boxed{\text{Il existe un unique réel } \alpha \text{ tel que } f(\alpha) = 0}$$ $\blacksquare$

Encadrement. Par balayage à la calculatrice :

$$f(0{,}37) \approx -0{,}004 < 0 \qquad f(0{,}38) \approx +0{,}020 > 0$$

$$\boxed{0{,}37 < \alpha < 0{,}38}$$

(valeur plus précise : $\alpha \approx 0{,}372$)

On étudie le signe de la différence $f(x) - (2x - 1)$ :

$$f(x) - (2x - 1) = \left(x\,e^{-x} + 2x - 1\right) - (2x - 1) = x\,e^{-x}$$

Le signe de $x\,e^{-x}$ est celui de $x$ (car $e^{-x} > 0$ pour tout $x$).

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{Sur } ]-\infty\,;0[ : \ f(x) < 2x - 1 \ \Rightarrow \ \mathcal{C}_f \text{ est EN DESSOUS de } \Delta \\[4pt] \text{En } x = 0 : \ f(0) = -1 \ \Rightarrow \ \mathcal{C}_f \text{ et } \Delta \text{ se COUPENT au point } (0\,;-1) \\[4pt] \text{Sur } ]0\,;+\infty[ : \ f(x) > 2x - 1 \ \Rightarrow \ \mathcal{C}_f \text{ est AU-DESSUS de } \Delta \end{array}}$$

Remarque : comme $x\,e^{-x} \to 0$ en $+\infty$, la droite $\Delta$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ — la courbe s'en rapproche tout en restant au-dessus.

Intégration par parties. On dérive le polynôme et on primitive l'exponentielle :

$$u(x) = x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 1$$
$$v'(x) = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad v(x) = -e^{-x}$$

Formule $\displaystyle\int_a^b uv' = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b u'v$ :

$$I_n = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_1^{n} - \int_1^{n} 1 \times \left(-e^{-x}\right)\mathrm{d}x = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_1^{n} + \int_1^{n} e^{-x}\,\mathrm{d}x$$

Terme tout intégré :

$$\Big[-x\,e^{-x}\Big]_1^{n} = -n\,e^{-n} - \left(-1 \times e^{-1}\right) = -n\,e^{-n} + e^{-1}$$

Intégrale restante :

$$\int_1^{n} e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-e^{-x}\Big]_1^{n} = -e^{-n} + e^{-1}$$

Somme :

$$I_n = -n\,e^{-n} + e^{-1} - e^{-n} + e^{-1} = 2e^{-1} - (n + 1)\,e^{-n}$$

$$\boxed{I_n = \frac{2}{e} - \frac{n + 1}{e^{n}}}$$ $\blacksquare$

a. Justification. L'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ sur $[1\,;n]$ est l'intégrale de la différence, à condition de connaître le signe de celle-ci.

D'après la question A.8, sur $[1\,;n]$ (donc pour $x \geqslant 1 > 0$) :

$$f(x) - (2x - 1) = x\,e^{-x} > 0$$

La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ sur tout $[1\,;n]$. L'aire s'écrit donc sans valeur absolue :

$$\mathcal{A}(D_n) = \int_1^{n} \Big[f(x) - (2x - 1)\Big]\mathrm{d}x = \int_1^{n} x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x = I_n$$

$$\boxed{\mathcal{A}(D_n) = I_n}$$ $\blacksquare$

b. Limite de l'aire. On reprend $I_n = \dfrac{2}{e} - \dfrac{n + 1}{e^{n}}$.

Le terme $\dfrac{n + 1}{e^{n}}$ tend vers $0$ par croissance comparée (l'exponentielle $e^n$ l'emporte sur le polynôme $n + 1$) :

$$\frac{n + 1}{e^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \mathcal{A}(D_n) = \frac{2}{e} \approx 0{,}736 \ \text{u.a.}}$$

Un résultat remarquable. Bien que le domaine $D_n$ s'étende indéfiniment vers la droite (de $x = 1$ jusqu'à $x = n$ avec $n \to +\infty$), son aire reste bornée et tend vers $\dfrac{2}{e}$.

C'est possible parce que l'écart $x\,e^{-x}$ entre la courbe et la droite tend vers $0$ suffisamment vite : l'aire « accumulée » converge, exactement comme la série d'un terme qui décroît assez rapidement.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

$$\vec{u_D}\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix} \qquad \vec{u_{D'}}\begin{pmatrix}2\\-6\\-8\end{pmatrix}$$

Test de colinéarité. On cherche un réel $k$ tel que $\vec{u_{D'}} = k\,\vec{u_D}$ :

$$\frac{2}{-1} = -2 \qquad \frac{-6}{3} = -2 \qquad \frac{-8}{4} = -2$$

Les trois rapports sont égaux à $-2$ :

$$\vec{u_{D'}} = -2\,\vec{u_D}$$

Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

L'affirmation est vraie.

Attention : pour conclure à la colinéarité, il faut vérifier que les trois rapports coïncident. Deux suffisant par hasard ne prouveraient rien.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Une observation qui simplifie tout. Les trois points $A$, $B$, $C$ ont la même deuxième coordonnée :

$$y_A = y_B = y_C = 3$$

Le plan $(ABC)$ est donc le plan d'équation $y = 3$ — un plan « horizontal » dont un vecteur normal évident est

$$\vec{n}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Le critère d'orthogonalité. La droite $D$ est orthogonale au plan $(ABC)$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec{u_D}(-1\,;3\,;4)$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(0\,;1\,;0)$.

Or $\vec{u_D}$ a ses première et troisième coordonnées non nulles ($-1$ et $4$), tandis que $\vec{n}$ les a nulles. Ils ne peuvent pas être colinéaires :

$$\boxed{\vec{u_D} \text{ n'est PAS colinéaire à } \vec{n} \ : \ D \text{ n'est pas orthogonale au plan } (ABC)}$$

L'affirmation est fausse.

Le déclic : repérer que les trois points partagent la coordonnée $y = 3$. Cela donne immédiatement l'équation du plan et son vecteur normal, sans aucun calcul de produit vectoriel.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Recherche d'un point commun. On égale les coordonnées de $D$ (paramètre $t$) et de $\Delta$ (paramètre $t'$) :

$$\left\{\begin{array}{l} 3 - t = -4 + 2t' \qquad (1)\\ -2 + 3t = 1 - 3t' \qquad (2)\\ 1 + 4t = 2 + t' \qquad (3) \end{array}\right.$$

De l'équation $(3)$ : $t' = 4t - 1$. On reporte dans $(1)$ :

$$3 - t = -4 + 2(4t - 1) = -4 + 8t - 2 = 8t - 6$$

$$3 + 6 = 8t + t \iff 9t = 9 \iff t = 1$$

d'où $t' = 4 \times 1 - 1 = 3$.

Vérification dans l'équation $(2)$ — elle est décisive :

$$\text{Gauche : } -2 + 3 \times 1 = 1 \qquad \text{Droite : } 1 - 3 \times 3 = 1 - 9 = -8$$

$$1 \neq -8$$

$$\boxed{\text{Le système est INCOMPATIBLE : } D \text{ et } \Delta \text{ ne sont pas sécantes}}$$

L'affirmation est fausse.

Pour aller plus loin. Les vecteurs directeurs $\vec{u_D}(-1\,;3\,;4)$ et $\vec{u_\Delta}(2\,;-3\,;1)$ ne sont pas colinéaires (leurs rapports diffèrent). Les droites ne sont donc ni sécantes, ni parallèles : elles sont non coplanaires.

Le point de méthode : ne jamais s'arrêter après avoir résolu deux équations. C'est la troisième qui tranche — ici elle révèle l'incompatibilité.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Le projeté orthogonal de $E$ sur $P$ est caractérisé par deux conditions :

1. $F$ appartient au plan $P$ ;
2. le vecteur $\vec{EF}$ est normal au plan (colinéaire au vecteur normal de $P$).

---

Condition 1 : $F(-3\,;-3\,;3)$ appartient-il à $P$ ? On injecte ses coordonnées dans $2x - 3y + z - 6 = 0$ :

$$2 \times (-3) - 3 \times (-3) + 3 - 6 = -6 + 9 + 3 - 6 = 0 \qquad \checkmark$$

Condition 2 : $\vec{EF}$ est-il colinéaire au vecteur normal ?

$$\vec{EF} = F - E = \begin{pmatrix}-3 - (-5)\\-3 - 0\\3 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$$

Le vecteur normal de $P$ (coefficients de l'équation) est

$$\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$$

On constate directement :

$$\vec{EF} = \vec{n}$$

Les deux vecteurs sont identiques, donc colinéaires ✓

---

Les deux conditions sont remplies :

$$\boxed{F \text{ est bien le projeté orthogonal de } E \text{ sur } P}$$

L'affirmation est vraie.

Le sujet a choisi $\vec{EF} = \vec{n}$ pour rendre la seconde condition immédiate : il suffit de comparer les coordonnées.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Le critère. Une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan (leur produit scalaire est nul).

$$\vec{u_D}\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix} \qquad \vec{n_{P'}}\begin{pmatrix}-3\\1\\-a^2\end{pmatrix}$$

On écrit la condition $\vec{u_D} \cdot \vec{n_{P'}} = 0$ :

$$(-1) \times (-3) + 3 \times 1 + 4 \times \left(-a^2\right) = 0$$

$$3 + 3 - 4a^2 = 0 \iff 6 - 4a^2 = 0 \iff a^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Résolution en $a$ :

$$a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \qquad \text{ou} \qquad a = -\frac{\sqrt{6}}{2}$$

$$\boxed{\text{Il existe DEUX valeurs de } a, \text{ pas une seule}}$$

L'affirmation (« exactement une valeur ») est donc fausse.

Le piège, redoutable. L'inconnue apparaît sous la forme $a^2$. L'équation $a^2 = \dfrac{3}{2}$ possède deux solutions opposées — c'est la nature d'un carré. Un candidat qui écrit « $a = \frac{\sqrt6}{2}$ » et s'arrête oublie la racine négative, et conclut à tort que l'affirmation est vraie.

À noter : si l'équation avait donné $a^2 = 0$ (une seule solution) ou $a^2 = -1$ (aucune), la réponse aurait été différente. Ici, $\frac{3}{2} > 0$ donne exactement deux valeurs.

Lecture directe des données de l'énoncé :

$$\boxed{P(C) = 0{,}02} \qquad \text{(}2\ \%\text{ de contaminés)}$$

$$\boxed{P(V) = 0{,}90} \qquad \text{(}90\ \%\text{ de vaccinés)}$$

$$\boxed{P_C(V) = 0{,}62} \qquad \text{(}62\ \%\text{ des CONTAMINÉS étaient vaccinés)}$$

Attention à la nature de la troisième. « $62\ \%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées » décrit une population restreinte aux contaminés : c'est bien une probabilité conditionnelle $P_C(V)$, et non $P(V \cap C)$ ni $P(V)$.

a. Intersection $C \cap V$. On multiplie le long du chemin $C$ puis $V$ :

$$P(C \cap V) = P(C) \times P_C(V) = 0{,}02 \times 0{,}62$$

$$\boxed{P(C \cap V) = 0{,}0124}$$

b. Intersection $\overline{C} \cap V$. Les évènements $C \cap V$ et $\overline{C} \cap V$ forment une partition de $V$ (une personne vaccinée est soit contaminée, soit non) :

$$P(V) = P(C \cap V) + P\left(\overline{C} \cap V\right)$$

On isole l'inconnue :

$$P\left(\overline{C} \cap V\right) = P(V) - P(C \cap V) = 0{,}90 - 0{,}0124$$

$$\boxed{P\left(\overline{C} \cap V\right) = 0{,}8876}$$

Interprétation : $88{,}76\ \%$ de la population est vaccinée et non contaminée. C'est de loin le cas le plus fréquent.

Le premier niveau porte $C$ et $\overline{C}$, le second $V$ et $\overline{V}$. Complétons toutes les branches.

$$P(C) = 0{,}02 \qquad P\left(\overline{C}\right) = 0{,}98$$

Sur la branche $C$ : $P_C(V) = 0{,}62$, donc $P_C\left(\overline{V}\right) = 0{,}38$.

Sur la branche $\overline{C}$ : il faut calculer $P_{\overline{C}}(V)$ à partir de la question 2 :

$$P_{\overline{C}}(V) = \frac{P\left(\overline{C} \cap V\right)}{P\left(\overline{C}\right)} = \frac{0{,}8876}{0{,}98} = 0{,}9057\ldots$$

donc $P_{\overline{C}}\left(\overline{V}\right) = 1 - 0{,}9057 = 0{,}0943$.

$$\boxed{\begin{array}{ll} P_C(V) = 0{,}62 & P_C\left(\overline{V}\right) = 0{,}38 \\[4pt] P_{\overline{C}}(V) \approx 0{,}9057 & P_{\overline{C}}\left(\overline{V}\right) \approx 0{,}0943 \end{array}}$$

À noter : le taux de vaccination est plus élevé chez les non contaminés ($90{,}6\ \%$) que chez les contaminés ($62\ \%$) — un premier indice que le vaccin protège, confirmé à la question 4.

On cherche $P_V(C)$ — la personne est vaccinée, on remonte vers la contamination. C'est une probabilité inverse.

$$P_V(C) = \frac{P(C \cap V)}{P(V)} = \frac{0{,}0124}{0{,}90}$$

$$P_V(C) = 0{,}013777\ldots$$

$$\boxed{P_V(C) \approx 0{,}0138}$$

Interprétation. Parmi les personnes vaccinées, environ $1{,}38\ \%$ ont été contaminées.

Comparons avec la probabilité de contamination dans la population générale :

$$P_V(C) = 0{,}0138 \qquad < \qquad P(C) = 0{,}02$$

Être vacciné abaisse le risque de contamination, de $2\ \%$ à $1{,}38\ \%$. Le vaccin a donc un effet protecteur : savoir qu'une personne est vaccinée rend sa contamination moins probable.

C'est la traduction chiffrée de l'efficacité du vaccin.

a. « Dix fois plus de vaccinés que de non-vaccinés parmi les non contaminés » ?

On compare $P\left(\overline{C} \cap V\right)$ (non contaminés vaccinés) et $P\left(\overline{C} \cap \overline{V}\right)$ (non contaminés non vaccinés).

Le premier vaut $0{,}8876$ (question 2.b). Pour le second :

$$P\left(\overline{C} \cap \overline{V}\right) = P\left(\overline{C}\right) - P\left(\overline{C} \cap V\right) = 0{,}98 - 0{,}8876 = 0{,}0924$$

Rapport :

$$\frac{P\left(\overline{C} \cap V\right)}{P\left(\overline{C} \cap \overline{V}\right)} = \frac{0{,}8876}{0{,}0924} = 9{,}606\ldots$$

$$\boxed{\textbf{FAUSSE} \ : \ \text{le rapport vaut } \approx 9{,}6, \text{ et non } 10}$$

Il y a environ $9{,}6$ fois plus de vaccinés que de non-vaccinés parmi les non contaminés — proche de dix, mais pas exactement dix. L'affirmation, formulée de façon précise, est fausse.

Contrôle : si c'était « dix fois plus », on aurait $P\left(\overline{C} \cap V\right) = 10 \times 0{,}0924 = 0{,}924$. Or on trouve $0{,}8876 \neq 0{,}924$.

---

b. « Plus de $98\ \%$ des vaccinés non contaminés » ?

On cherche $P_V\left(\overline{C}\right)$ — parmi les vaccinés, la proportion de non contaminés.

$$P_V\left(\overline{C}\right) = \frac{P\left(\overline{C} \cap V\right)}{P(V)} = \frac{0{,}8876}{0{,}90} = 0{,}98622\ldots$$

$$\boxed{\textbf{VRAIE} \ : \ P_V\left(\overline{C}\right) \approx 0{,}9862 > 0{,}98}$$

Environ $98{,}62\ \%$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée — c'est bien plus de $98\ \%$. L'affirmation est vraie.

On pouvait aussi le voir par événement contraire : $P_V\left(\overline{C}\right) = 1 - P_V(C) = 1 - 0{,}0138 = 0{,}9862$, en réutilisant la question 4.

a. Loi de $X$. Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont réunies :

• $n = 20$ tirages identiques ;
• deux issues par tirage : contaminée (succès) ou non ;
• tirages indépendants (avec remise), probabilité constante $p = 0{,}02$.

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(20\,;\ 0{,}02)}$$

b. Probabilité de 4 contaminées. La formule de la loi binomiale :

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}$$

Avec $n = 20$, $k = 4$, $p = 0{,}02$ :

$$P(X = 4) = \binom{20}{4} \times 0{,}02^{\,4} \times 0{,}98^{\,16}$$

Calcul du coefficient : $\dbinom{20}{4} = 4\,845$.

$$P(X = 4) = 4\,845 \times 0{,}02^{4} \times 0{,}98^{16} = 0{,}000561\ldots$$

$$\boxed{P(X = 4) \approx 0{,}0006}$$

Interprétation. Il n'y a qu'environ $0{,}06\ \%$ de chances d'observer exactement $4$ contaminées dans un groupe de $20$.

C'est très faible, et cohérent : l'espérance vaut $E(X) = 20 \times 0{,}02 = 0{,}4$. On attend en moyenne moins d'une personne contaminée sur $20$ ; en trouver $4$ (dix fois la moyenne) est un évènement rare.

On applique la relation $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n$.

$u_3$ (avec $n = 1$) :

$$u_3 = u_2 - \frac{1}{4}u_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

$u_4$ (avec $n = 2$) :

$$u_4 = u_3 - \frac{1}{4}u_2 = \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

$u_5$ (avec $n = 3$) :

$$u_5 = u_4 - \frac{1}{4}u_3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{8}{32} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32}$$



$$\boxed{u_3 = \frac{3}{8}, \quad u_4 = \frac{1}{4}, \quad u_5 = \frac{5}{32}}$$

Observons les valeurs décimales :

$$u_1 = 0{,}5 \quad u_2 = 0{,}5 \quad u_3 = 0{,}375 \quad u_4 = 0{,}25 \quad u_5 \approx 0{,}156$$

À partir du rang $1$, les termes décroissent et se rapprochent de $0$.

$$\boxed{\text{Conjecture : } \lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

a. Valeur de $w_0$.

$$w_0 = u_1 - \frac{1}{2}u_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{2}$$

$$\boxed{w_0 = \frac{1}{2}}$$

b. Nature de $(w_n)$. On calcule $w_{n+1}$ et on cherche à le relier à $w_n$.

$$w_{n+1} = u_{n+2} - \frac{1}{2}u_{n+1}$$

On remplace $u_{n+2}$ par la relation de récurrence $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n$ :

$$w_{n+1} = \left(u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n\right) - \frac{1}{2}u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$$

On factorise par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître $w_n$ :

$$w_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n\right) = \frac{1}{2}\,w_n$$

$$\boxed{w_{n+1} = \frac{1}{2}\,w_n}$$

La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{2}$. $\blacksquare$

c. Expression de $w_n$.

$$w_n = w_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$

$$\boxed{w_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}$$